Giải tích 1 bài 4 đạo hàm và vi phân

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI (§1.9, §1.10) §1.9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN (Tiếp theo) Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao (n) (n  1) Định nghĩa f (x) = (f (x)' , n    n Ví dụ a) y = cosx, y  cos  x  n   2 (n)  b) y = x ,    , tính y PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c) y = loga|x|, y n (n)  ( 1)n 1(n  1)! n x ln a (n) Quy tắc  f (x), g (x) (n) (n) 1) (f(x) = f (x) (n) (n) (n) 2) (f(x)  g(x) = f (x)  g (x) 3) Quy tắc Leibnitz :  f  x  g  x   n  n   k  k     n k    Cn f x g x k 0 (5) Ví dụ y = x lnx, tính y (20) Ví dụ y = sinax cosbx, tính y (30) Ví dụ y = x cosx, tính y PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ y  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (n) , tính y x 1 Ví dụ a (K50) y   2x e 2x , tính y(n) ((2)ne2x(n +  2x) y  x ln(1  x ), tính y (n) ( (n  2)!3 n 1 1  x n  x  n )  x  3t  2t       b (K52) y  f ( x ),  , tính f x , f x t2  y  te PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn t2 t2 e 2te (f   , f   ) 2   2t  x  t  et y  f ( x ),  , tính f   x  , f   x  2t y  t  e  t (f   2(1  e ), f   (50) 2e ) t 1 e (100) (102) c (K55) f(x) = x sin(1  x) Tính f (1) (51) f(x) = (1  x) cos x Tính f (0) x   2n  0 d (K57) Cho f  x   ln Tính f 2x  x  t PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ((2n  1)!) e (K60) 10   1) Cho f  x   x ln x Tính f 1 (9!) 10      2) Cho f x  ln Tính f (9!) 1 x 20! x  20  3) Cho f  x   Tính f ( x ) (8 ) x 2 ( x  2)21  50     x  f (K62) Cho f x  Tính f 1 x 99! ( 50 , x  1) (1  x )101 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo g (K63) Cho f  x   ( thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Tính f x  2x  51! , x  ) ( x  1)52 x2 h (K64) CMR cos x   , x  GIẢI  50   x  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x2 +)f ( x )  cosx    f ( x )   sin x  x,  f ( x )   cosx  0, x  +) f ( x )  f (0),  f ( x )   f ( x )  f (0) x2 x2  cos x     cos x   , x  2 2x i (K65) a) f ( x )  ( x  1)e Tính f GIẢI 100   100  (51 ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +)f ( x )  x  1, g ( x )  e2 x  g ( k ) (0)  2k , k 0  1,  (k ) f (0)   1, k 1 0, k2  100  f (100) (0)   k C100 f ( k ) (0)g (100k ) (0) k 0   k C100 f ( k ) (0)g (100k ) (0) k 0 +) (100) (99)  C100f (0)g (0)  C100f (0)g (0) 100 99 100 2  100  2  51 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn e 1 x , x  n b) f ( x )   Tính f   x 0  b) Vi phân cấp cao n n1 Định nghĩa d f = d(d f), n  n (n) n x biến số độc lập ta có d f = f (x)dx x 10 Ví dụ y = x e , tính d y Vi phân cấp cao khơng có tính bất biến 2 (2) Ví dụ y = x , x = t , có d y  y dx GIẢI (0 ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) y  (t )3  t  d y  d (dy )  d (6t 5dt )  30t 4dt +) y (2)dx  (6 x )(dx )2  (6t )(2tdt )2  24t 4dt 2  30t dt  d y Ví dụ (K52) 11 a) y = (x + 1) ln(2x + 3), tính d y(1), 10 (8!C11 dx11) 10 b) y  (1  x )ln(2 x  1), tính d y(1) ( 7!C10 29 dx10 ) 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) f(x)=ax6  bx5  cx liên tục [0;1], khả vi (0;1), f(0)=f(1)=0 +) Đl Rolle  d (0;1): f (d)=0  6ad5  5bd  c  Định lí Lagrange f(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b)   c  (a ; b): f b   f a   f  c  ba Ví dụ f(x) = x(x + 1), x  [0 ; 2] Ví dụ f(x) = |x|(x  1), x  [1 ; 2] Ví dụ CMR: |arctana  arctanb|  |a  b| 19 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 10 a (K50) Chứng minh VCB (x)  (x), x  +, 2 (x) = arctan (x + 1)  arctan x, (x) = arccot 1  x  1 x 2 Chứng minh VCB (x)  (x), x  +, (x) = arccot2(2  x)  arccot2(1  x), (x)  4arctan 1 x2   x2 n b (K55) 1.Chứng minh  ln2 nk k 1  20 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n Chứng minh  ln2 2n  k k 1  Tìm a để   x   tan bậc với x bậc với x 3x a  tan 1 x a x  + Tìm a để   x   tan 1 (2) 2 x x  + 21 VCB a  tan 5x a VCB (3) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c (K59) 1) Hàm f  x   x ( x  1),  x  có thỏa mãn giả thiết Định lý Lagrang ? công thức Lagrang có cho hàm ? (Có, c  ) 2) Hàm f  x   x ( x  1), 1  x  có thỏa mãn giả thiết Định lý Lagrang ? công thức Lagrang có cho hàm ? (Khơng, c  ) 3) Cho xi , y i  (a; b ), xi  y i , i  1, n CMR f khả vi (a; b ) tồn số c  (a; b ), cho : 22 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn n n  [f(xi )-f(yi )]  f (c ) (xi -yi ) i 1 i 1 GIẢI 2) 23 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x ( x  1)  x ( x  1) +) f     lim  lim  1, x 0 x x 0 x 0  x ( x  1)   x( x  1)        f  lim  lim  1  f x 0 x x 0 x 0  Do f(x) không khả vi x=0, nên không thỏa ĐL Lagrange f (2)  f ( 1)   2c  1, c  +)  f (c )    ( 1) 2c  1, c   c  ,  c    2c   2,  c  2    2c   2, 1  c  c   , 1  c    24 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn c  d)(K63) Cho  a  b  CMR : ba  sin b  sin a  b  a 2 e)(K64) CMR ln(1  )  , x  x 2 x GIẢI 25 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn ln( x  2)  ln x +) (1)   , x  ( x  2)  x 2 x +) f (t )  ln t liên tục [x;x+2], khả vi (x;x+2), theo ĐL Lagrange, có ln( x  2)  ln x 1  , c  ( x; x  2)   ( x  2)  x c c x2 ln( x  2)  ln x x2    ln  x2 x x2 26 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2  ln(1  )  , x  x x2 Định lí Cauchy f(x), g(x) liên tục [a ; b], khả vi (a ; b)   c  (a ; b): [f(b)  f(a)]g'(c) = [g(b)  g(a)]f'(c) Ngoài ra, g'(x)  0,  x  (a ; b) có f  b   f a  f  c   g b   g a  g c  Ví dụ 11 f(x) = x2, g(x) = x3, x  [1 ; 2] Ví dụ 12 f(x) = |x|(x + 1), g(x) = x, x  [2 ; 1] 27 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 13 a (K53): CMR  x > có 3arctanx + arctan(x + 2) < 4arctan(x + 1) CMR  x > có 2arccotx + arccot(x + 2) > 3arccot(x + 1) GIẢI 1) 28 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +)  3[arctan( x  1)  arctan x ]  arctan( x  2)  arctan( x  1) [arctan( x  1)  arctan x ]   , arctanx đồng arctan( x  2)  arctan( x  1) biến +) f (t )  arctan t , g (t )  arctan(t  1) liên tục [x;x+1], khả vi (x;x+1), g   t    0, từ ĐL Cauchy có  (t  1) f  x  1  f  x  f  c   ,0  x  c  x   g  x  1  g  x  g   c  29 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn [arctan( x  1)  arctan x ] 1   : arctan( x  2)  arctan( x  1)  c  (1  c )2 [arctan( x  1)  arctan x ]  (1  c )     arctan( x  2)  arctan( x  1) 1 c2 b(K58): Phương trình x  a1x  a2 x  a3 x  a4  ,  ak  0, có bốn nghiệm k 1 thực phân biệt CMR : 3a12  8a2 Cho hàm f(x) liên tục [0,1], khả vi (0,1), có f(0)=0, f(1)=1 CMR : 30 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Phương trình f(x)=1-x có nghiệm khoảng (0,1) +) a  b ; a, b  (0,1) : f (a )f (b )  c) (K59) 1) Các hàm f  x   x ( x  1), g  x   x  1, 1  x  có thỏa mãn giả thiết Định lý Cauchy ? cơng thức Cauchy có cho hàm ? (Không, c  ) 2) Các hàm f  x   x ( x  1), g  x   x  1, 2  x  có thỏa mãn giả thiết Định lý Cauchy ? cơng thức Cauchy có cho hàm ? (Không, c   ) 31 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo d)(K63) Cho f ( x )  x , g ( x )  x c  ( 1;3) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn [-1;3].Tìm số f (c ) f (3)  f ( 1)  cho g (c ) g (3)  g ( 1) Điều có mâu thuẫn với định lý Cauchy hay khơng ? Giải thích ? ( c  , không mâu thuẫn) GIẢI 32 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) g ( x )  x   x   ( 1;3)  không thỏa ĐL Cauchy  +) f (3)  f ( 1)  f (c )  28  3c g (3)  g ( 1) g (c ) 2c 3c 7  c   ( 1;3) c Khơng mâu thuẫn gì, ĐL Cauchy điều kiện đủ HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 33 ... (K52) 11 a) y = (x + 1) ln(2x + 3), tính d y(? ?1) , 10 (8!C 11 dx 11) 10 b) y  (1  x )ln(2 x  1) , tính d y (1) ( 7!C10 29 dx10 ) 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 10 (K 54) ... cos x , tính d20f(0) ( 210 dx20) 11 22 Ví dụ 11 (K56) 7 a) f ( x )  ( x  1) ln (1  x ) Tính d f(0) b) f ( x )  ( x  1) ln (1  x ) Tính d f(0) GIẢI a) 11 ( 540 dx ) ( 540 dx ) PGS TS Nguyễn Xuân... k2  10 0  f (10 0) (0)   k C100 f ( k ) (0)g (10 0k ) (0) k 0   k C100 f ( k ) (0)g (10 0k ) (0) k 0 +) (10 0) (99)  C100f (0)g (0)  C100f (0)g (0) 10 0 99 10 0 2  10 0  2  51 PGS