Giải tích 1 bài 13 đạo hàm riêng và vi phân

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI 13 §3.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN (TT) Vi phân toàn phần Định nghĩa f(x, y) xác định D   , M0(x0 ; y0)  D Nếu  A, B không phụ thuộc vào x, y để có 2 f(M0)= Ax + By + x + y,x, y : x  y  lim   0, lim    x 0  y 0  x 0 y 0 ta bảo hàm f khả vi M0 có df(M0) = Ax + By vi phân toàn phần hàm f M0 Hàm f gọi khả vi miền D  f khả vi  MD PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Chú ý f(x, y) khả vi M0(x0 ; y0)  f(x, y) liên tục M0(x0 ; y0) Hay dùng : f(x, y) không liên tục M0(x0 ; y0) f(x, y) khơng khả vi M0(x0; y0) Ví dụ Xét tính khả vi hàm số sau (0 ; 0) a) u = x + 2y GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) u( x0 ; y )  u( x0  x; y  y )  u( x0 ; y )  [x0  x  2( y  y )]  ( x0  2y )  x  2y +)  x  2y  0.x  0.y  A  1, B  2,  0,    du( x0 ; y )  x  2y , ( x0 ; y ) b) u = 2x + y  x 3y 2 , x y 0  c) f  x, y    x  y  2 x y 0 0, (f không liên tục (0 ; 0)  không khả vi) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  2 , x , y  ,      x  y  sin x  y2 d) f  x, y    0,  x, y    ,    x tan y ,  x, y    ,   2 e (K50) f  x, y    x  y 0,  x, y    ,   (f không liên tục (0 ; 0)  không khả vi) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  x sin y , x , y  ,      2 f  x, y    x  y 0,  x, y    ,   (không khả vi) GIẢI 2) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +)  lim ( x ;y )(0;0) lim thao.nguyenxuan@hust.edu.vn f ( x; y )  lim ( x;y )(0;0) ( x;y )(0;0) ky sin y x ky ,y 0 ( ky )2 lim x sin y  k x y , k    khơng có y 1 k f ( x; y )  f ( x; y ) không liên tục (0;0) +) Do f ( x; y ) khơng khả vi (0;0) f (K62) Cho z( x; y )  x  y , z có khả vi (0 ;0) ? Tại ? (khơng có zy (0;0)  không khả vi) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn y 0 z(0; y )  z(0;0) +) zy (0;0)  lim  lim  y 0 y 0 y 0 y +) Không tồn zy (0;0)  khơng khả vi Định lí z=f(x, y) có đạo hàm riêng cấp liên tục lân cận M0(x0 ; y0)  f(x, y) khả vi M0(x0 ; y0) có dz(M0)= f’x(M0) x + f’y (M0)y Nhận xét Kết cho hàm nhiều biến Ví dụ Tính vi phân tồn phần a) z  ln  x  y  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn z b) u  2 , du  3, 4,  x y c) z  arctan xy d)(K59) u  x u  x GIẢI 2) yz yz , A(3, 1, 2) (dx  6ln3dy ) , A(2, 1, 3) (dx  6ln2dy ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) du( A)  u x ( A)dx  uy ( A)dy  uz ( A)dz d 13 +) u x ( A)  x dx d y3 uy ( A)  dy d 1z uz ( A)  dz x 2 d  x  1, dx x 2  y3    y ln   6ln 2,  y 1 y 1  z 3 d  dz   du( A)  dx  6ln2dy z 3 Chú ý Dựa vào vi phân để tính gần đúng: f(x0 + x, y0 + y)  f(x0, y0) + f’x(x0, y0)x + f’y(x0, y0)y Ví dụ Tính gần a) (1,02) (0,97) b)  4,05    2,93  PGS TS Nguyễn Xuân Thảo 2,02 c) (1,04) thao.nguyenxuan@hust.edu.vn d) ln  1,03  0,98  1 e) sin32 cos59 x  3y f) Tính gần biến thiên hàm số z  y  3x x biến thiên từ x1 = đến x2 = 2,5 y từ y1 = đến y2 = 3,5 g) Hình chữ nhật có hai cạnh a = 10cm b = 24cm Đường chéo l thay đổi cạnh a dài thêm 4mm cạnh b ngắn 1mm? Tính giá trị gần so sánh với giá trị h) Chiều cao hình nón h = 30cm, bán kính đáy R = 10cm Thể tích thay đổi tăng h thêm 3mm giảm R 1mm? PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn D F, G  D F, G  ux ( x0 ; y ; z0 )   (M0 ); v x ( x0 ; y ; z0 )   ( M0 ) D D  x, v  D D  u, x  Tương tự có uy ( x0 ; y ; z0 ); v y ( x0 ; y ; z0 );uz ( x0 ; y ; z0 ); v z ( x0 ; y ; z0 ) Ví dụ 3 a) 1) z  3xyz = a , tính dz xy xy 2) + xy  ln(e + e ) = 0, tính dy x y 3)  ln  10 , tính dz z z PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x  y  z  4)  , tính dy, dz 2 x  y  z  5) x = u cosv, y = u sinv, z = u , tính vi phân toàn phần dz 6) x = v cosu  u cosv + sinu, y = v sinu  u sinv  cosu, z = (u  v) , tính dz yz b (K50) Phương trình x.e = y + z + xác định hàm ẩn z(x, y) Tính dz(0 ; 0) (dx  dy) c (K51) 1) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định phương trình x/z z  ye = Tính dz(0 ; 1) (dx + dy) 2) Hàm ẩn z = z(x, y) xác định phương trình xey/z  z = Tính dz(1 ; 0) (dx  dy) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn xz d (K53) 1) Phương trình x + 2y + z = ye xác định hàm ẩn z = z(x, y) Tính dz(0 ; 1) (2dx  dy) yz 2) Phương trình xe = 2x  y  z xác định hàm ẩn z = z(x, y) Tính dz(1 ; 0) (dx  2dy) 3) Phương trình y z   x  z  2 xác định  hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh zx  y zy  x   4) Phương trình x z  y  z  xác định hàm ẩn z = z(x, y) Chứng minh x zx  zy  3 y e (K55) 1) x  2y  3z3   x  y  z Tính dz 1;  1 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (  dx  dy ) 9 2) x  2y  z3   x  y  z Tính dz  1; 1 (  dx  dy ) 3 f (K56) 1) sin( x  z )  e y  z , tính zx  zy (1) 2) cos( z  y )  e z  x , tính zx  zy (1) g (K57)1) Cho x  z  y  z   1 CMR x zx  zy  2) Cho y  z  x  z   1 CMR zx  y zy  GIẢI 1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x +) F  x  z  y  z    Fx  z  y  z , Fy   , y z z y z Fx Fz  x (1  )   zx    Fz y z x(1  ) y z x x  Fy y z y z zy      1 Fz x(1  ) x (1  ) y z y z PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x z y z y z 2 x zx  zy  x  1  x (1  ) x (1  ) y z y z 1  x( z  y  z ) y z y z     1 1 1 1 1 1 1 y z y z y z y z h (K58) 1) Cho yz  ln( x  z ) Tính zx , zy PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn z( x  z ) ( zx  , zy  ) y ( x  z)  1 y ( x  z) 2) Cho x  z  arctan( yz ) Tính zx , zy ( zx   ( yz )  y  ( yz ) , zy  z  y  ( yz ) ) i (K59) 1) Cho x  xy  2yz  z3  Tính zx (1,0), zy (1,0) ( 1 ,  ) 2) Cho x y  y  x 2z  z3  Tính zx (0,1), zy (0,1) GIẢI 2) (0 ,  ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) x y  y  x z  z    z3 (0;1)   z(0;1)  1 +) F  x y  y  x z  z3   Fx  xy  xz, Fy  x  y , Fz  x  3z  Fx (0;1; 1)  0, Fy (0;1; 1)  8, Fx Fz (0;1; 1)    zx (0;1)   (0;1; 1)  0, Fz Fy zy (0;1)   (0;1; 1)   Fz j (K60) 1) Cho x arctan z  xy  y  2z3  Tính zx , zy ( (2 x arctan z  2y )( z  1) 2 ), (  (4 xy  y )( z  1) 2 x  6z ( z  1) x  6z ( z  1) 2) Cho x  y arctan z  x y  2y  z5  ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Tính zx , zy ( (3 x  xy )( z  1) y  5z ( z  1) 3 ), (  (2y arctan z  x  2)( z  1) y  5z ( z  1) 3) Cho x  2y  x y  Tính y (0) 3 4) Cho x  y  xy  Tính y (0) (0 ) ( ) ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn k (K61) Phương trình x  y  xy  13  xác định hàm ẩn y  y ( x ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm ẩn điểm A( 1; 2) x  11 (y   ) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) A( 1; 2)  C  y  ( 2)  y ( 1)( x  1) 3 2   +) F  x  y  xy  13  Fx  x  y , Fy  3 y  x,  Fx ( 1; 2)  3, Fy ( 1; 2)  15  Fx 3  y ( 1)   ( 1; 2)    Fy 15 x  11 +) y    ( x  1)  y   5 l (K62) Cho hàm ẩn z  f ( x; y ) xác định phương trình z y z  xe  Ứng dụng vi phân tính gần f (0,02;0,99) (0,02) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) z  f ( x; y ), x0  0, x  0,02, y  1, y  0,01  f (0,02;0,99)  z( x0 ; y )  zx ( x0 ; y )x  zy ( x0 ; y )y +) z  xe z y   z(0;1)  z y z y xz z y z y x F  z  xe  Fx  e , Fy  e , Fz   e  y y  Fx (0;1;0)  1, Fy (0;1;0)  0, Fz (0;1;0)    Fy Fx  zx (0;1)   (0;1;0)  1, zy (0;1)   (0;1;0)   Fz Fz +) f (0,02;0,99)  z( x0 ; y )  zx ( x0 ; y )x  zy ( x0 ; y )y   0,02   y  0,02 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn m (K64) 1) Phương trình x  y  xy   0, xác định hàm ẩn y  y ( x ) Tính y (0) ( ) 2) Phương trình ( x  y )z  e xyz  0, xác định hàm ẩn z( x; y ) Tính dz(0;1) (2dx  dy ) GIẢI 1) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) x  y  xy    y (0)  +) F  x  y  xy   Fx  x  y , Fy  y  xy , Fx  Fx (0;1)  3, Fy (0;1)    y (0)   (0;1)   Fy 2) Phương trình ( x  y )z  e z( x; y ) Tính dz(0;1) GIẢI xyz  0, xác định hàm ẩn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) ( x  y )z  e xyz   z(0;1)  1 +) F  ( x  y )z  e xyz  Fx  z  yze xyz , Fy  z  xze xyz , Fz  x  y  xye xyz  Fz (0;1; 1)   0, Fx (0;1; 1)  2, Fy (0;1; 1)  1, Fx 2 +) zx (0;1)   (0;1; 1)    2, Fz Fy 1 zy (0;1)   (0;1; 1)    1 Fz dz(0;1)  zx (0;1)dx  zy (0;1)dy  2dx  dy HAVE A GOOD UNDERSTANDING! ... x  y , Fz  x  3z  Fx (0 ;1; ? ?1)  0, Fy (0 ;1; ? ?1)  8, Fx Fz (0 ;1; ? ?1)    zx (0 ;1)   (0 ;1; ? ?1)  0, Fz Fy zy (0 ;1)   (0 ;1; ? ?1)   Fz j (K60) 1) Cho x arctan z  xy  y ... (K 61) Cho z  z(u,v ) khả vi  , zu (1, ? ?1)  2,  zv (1, ? ?1)  3, f ( x )  z( x ; x ) Tính f ( ? ?1) (5) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) f ( ? ?1)  zu (1, ? ?1) ... z(0 ;1)  ? ?1 +) F  ( x  y )z  e xyz  Fx  z  yze xyz , Fy  z  xze xyz , Fz  x  y  xye xyz  Fz (0 ;1; ? ?1)   0, Fx (0 ;1; ? ?1)  2, Fy (0 ;1; ? ?1)  ? ?1, Fx 2 +) zx (0 ;1)   (0 ;1;