Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Bài giảng Đại số và Giải tích 11 - Bài 5: Đạo hàm cấp hai với các nội dung định nghĩa, ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai. Mời các bạn cùng tham khảo bài giảng để nắm chắc kiến thức.

§5 ĐẠO HÀM CẤP HAI Kiểm tra cũ Bài 1  Bài 2 Tìm d (s inx) d (cos x ) Tìm vi phân của hàm số y = sinx - xcosx Giả iTa có y’= cosx­coxs + xsinx    =  xsinx Do dy=(xsinx)dx Giải Ta có d (s inx) (s inx) ' dx = d (cos x) (cos x) ' dx cos x = = − c otx − s inx §5   ĐẠO HÀM CẤP HAI I. ĐỊNH NGHĨA Tính y’ và đạo hàm của y’  biết  b. y = sinx x − x + 4x a. y = Giải Giải Ta có Ta có x − 10 x + y’ =  (y’)’= 6x ­ 10 y’ =  cos x (y’)’ = ­ sinx ( a, b ) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểxm                 . Khi đó hệ thức y’ = f’(x) xác định một hàm  số mới trên khoảng (a, b). Nếu hàm số y’ = f’(x)lại  có đạo hàm tại mọi x thì ta gọi đạo hàm của y’ là  đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x Kí hiệu y’’ hoặc f’’(x) Chú ý Đạo hàm cấp ba kí hiệu là y’’’hoặc f’’’(x) hoặc f(3) (x) Đạo hàm cấp n – 1 kí hiệu là f(n­ 1)(x) (n �Ν, n �4) Đạo hàm cầp n của f(x) kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x) f ( n) ( x) = ( f ( n −1) ( x) ) ' Ví dụ: Cho y = x5 a. Hãy điền vào bảng sau y’ 5x y’’ 20x3 y’’’ y(4) y(5) 60x2 120x 120 y(6) b. Tính y100 c. Bắt đầu từ n bằng bao nhiêu thì yn   bằng 0 Giải y100 = 0;               n = 6 Câu hỏi trắc nghiệm Hãy điền đúng sai vào ơ trống a) y = sinx có y’’ = sinx S b) y = sinx có y’’ = ­sinx Đ c) y = sinx có y(3) = cosx S d) y = sinx có y(3) = ­cosx Đ II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI Hđ 2: Ta có: v(t) = s’ = gt Với t0 = 4s thì v(4) = 4.g = 4.9,8 = 39,2 m/s Với t1 = 4,1s thì v(4,1) = 4.g = 4,1.9,8 = 40,18 m/s  g (t − t ) ∆v v(t1 ) − v(t2 ) 1 = = = g ( t1 + t0 ) 39,69 ∆t t1 − t0 t1 − t0 Xét chuyển động xác định bởi phương trình  s = f(t),  trong đó s = f(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp  hai Vận tốc tức thời tại t của chuyển động là v(t) = f ’(t) ∆v Lấy số gia      t ∆t ại t thì v(t) có số gia tương ứng là  Tỉ số  ∆v ∆t được gọi  gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian ∆t Nếu tồn  tạ i là gia tốc tức  thVì v(t) =  ời ∆v v '(t ) = lim = γ (t ) ∆t ∆t Ta gọi v '(t ) = γ (t ) của chuyển động tại thời điểm t Nên γ (t ) = f ''(t ) 1. Ý nghĩa cơ học  Đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của  chuyển động s = f(t) tại thời điểm t HĐ 3 Tính gia tốc tức thời của sự rơi tự do s = gt Giải Vì đạo hàm cấp hai f ’’(t) là gia tốc tức thời của  chuyển động s = f(t) tại thời điểm t Nên ta có s’ = gt suy ra s’’ = g 2. Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình S(t) = Asin ( ωt + ϕ ) (A; ω ϕ là những hằng  s ố ) Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển  độGi ngải Gọi v(t) là vận tốc tức thời của chuyển động tại  thời điểm t, ta có ' = Aω cos(ωt + ϕ ) � A sin ω t + ϕ ( ) v(t) = s’(t) = � � � Vậy gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm  t là '' ' γ (t ) = s (t ) = v (t ) = − Aω sin ( ωt + ϕ ) Tóm tắt bài học 1. Đạo hàm cấp 1, 2,  3,      4,    …,   n Kí hiệu        y’, y’’,y’’’,y4 ,   , y(n)  2. Phương trình chuyển động Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t  v(t) = f ’(t) Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t  γ (t ) = f ''(t ) Bài tập Bài tập 1 Tính f ’’(x) biết a. f(x) = (2x – 3)5 b. f(x) = 3x2 + 3x Giải a.  f ’(x) = 5.2(2x­3)4 = 10 (2x­3)4      Suy ra f ’’(x) = 80(2x – 3)3 b.  f ’(x) = 6x +3  Suy ra f ’’(x) = 6 Bài tập 2 Tính f ’’(3) của bài 1a Ta có: f ’’(x) = 80(2x – 3)3 Suy ra f’’(3) = 80.(2.3­ 3)3 = 80.27 = 2160 ... có? ?đạo? ?hàm? ?tại mọi x thì ta gọi? ?đạo? ?hàm? ?của y’ là  đạo? ?hàm? ?cấp? ?hai? ?của? ?hàm? ?số? ?y = f(x) tại x Kí hiệu y’’ hoặc f’’(x) Chú ý Đạo? ?hàm? ?cấp? ?ba kí hiệu là y’’’hoặc f’’’(x) hoặc f(3) (x) Đạo? ?hàm? ?cấp? ?n – 1 kí hiệu là f(n­ 1)(x) (n �Ν, n �4) Đạo? ?hàm? ?cầp n của f(x) kí hiệu là y(n) hoặc f(n)(x)... Giả sử? ?hàm? ?số? ?y = f(x) có? ?đạo? ?hàm? ?tại mỗi điểxm                 . Khi đó hệ thức y’ = f’(x) xác định một? ?hàm? ? số? ?mới trên khoảng (a, b). Nếu? ?hàm? ?số? ?y’ = f’(x)lại  có? ?đạo? ?hàm? ?tại mọi x thì ta gọi? ?đạo? ?hàm? ?của y’ là ... §5   ĐẠO HÀM CẤP? ?HAI I. ĐỊNH NGHĨA Tính y’? ?và? ?đạo? ?hàm? ?của y’  biết  b. y = sinx x − x + 4x a. y = Giải Giải Ta có Ta có x − 10 x + y’ =  (y’)’= 6x ­ 10 y’ =  cos x (y’)’ = ­ sinx ( a, b ) Giả sử? ?hàm? ?số? ?y = f(x) có? ?đạo? ?hàm? ?tại mỗi điểxm