Bài giảng Đại số lớp 8 chương 2 Phân thức đại số được biên soạn với nội dung các bài học trong chương 2. Mỗi bài học sẽ có phần tóm tắt lý thuyết, các bài tập và dạng toán, bài tập về nhà để giúp các em tiếp thu bài học một cách hiệu quả. Hi vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích dành cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình học tập và giảng dạy của mình.
Chương Phân thức đại số §1 Phân thức đại số Tóm tắt lý thuyết A với A B B đa thức, B khác đa thức A gọi tử thức (hay tử), B gọi mẫu thức (hay mẫu) A C Hai phân thức gọi A · D = B · C B D A C Ta viết = A · D = B · C B D ! Chú ý Một phân thức đại số (hay gọi phân thức) biểu thức có dạng Các tính chất tỉ lệ thức dãy tỉ số phân số cho phân thức Các giá trị biến làm cho mẫu nhận giá trị gọi giá trị hàm phân thức vô nghĩa hay không xác định 118 Chương Phân thức đại số 119 Bài tập dạng toán | Dạng 49 Chứng minh đẳng thức Thực theo ba bước Bước Lựa chọn cách biến đổi thường dùng sau Biến đổi vế trái thành vế phải Biến đổi vế phải thành vế trái Biến đổi đồng thời hai vế Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử Bước Rút gọn cách triệt tiêu nhân tử chung sử dụng định nghĩa hai phân thức cần, từ suy điều phải chứng minh ccc BÀI TẬP MẪU ccc b Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau a) 3x + = với x 6= −2 x+2 b) x2 + 2x x = với x 6= −2 3x + c) x−1 = với x 6= ±1 x2 − x+1 d) x2 + 3x − = x + với x 6= x−1 L Lời giải a) 3(x + 2) 3x + = = x+2 x+2 b) x2 + 2x x(x + 2) x = = 3x + 3(x + 2) c) x−1 x−1 = = x −1 (x − 1)(x + 1) x+1 d) x2 + 3x − (x − 1)(x + 4) = = x + x−1 x−1 b Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau a) 2x + = với x 6= −2 x+2 b) x2 + x x = với x 6= −1 2(x + 1) c) x−2 = với x 6= ±2 x −4 x+2 d) x2 + 4x − = x + với x 6= x−1 L Lời giải a) 2x + 2(x + 2) = = x+2 x+2 b) x2 + x x(x + 1) x = = 2(x + 1) 2(x + 1) c) x−2 x−2 = = x2 − (x − 2)(x + 2) x+2 d) x2 + 4x − (x − 1)(x + 5) = = x + x−1 x−1 Tài liệu Toán của: Phân thức đại số 120 b Ví dụ Ba phân thức sau có khơng? Tại sao? x3 − x2 + x + x + x2 + x ; ; x(x − 1) x x2 L Lời giải x3 − (x − 1)(x2 + x + 1) x2 + x + x3 + x2 + x x(x2 + x + 1) x2 + x + = = = = x(x − 1) x(x − 1) x x2 x2 x Vậy ba phân thức Ta có b Ví dụ Ba phân thức sau có khơng? x2 − 2x + x − 2x − ; ; x(x − 1) x 2x L Lời giải x2 − 2x + (x − 1)2 x−1 2x − 2(x − 1) x−1 Ta có = = = = x(x − 1) x(x − 1) x 2x 2x x Vậy ba phân thức | Dạng 50 Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Thực theo hai bước Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử hai vế Bước Triệt tiêu nhân tử chung rút đa thức cần tìm ccc BÀI TẬP MẪU ccc b Ví dụ Tìm đa thức A đẳng thức sau A x = với x 6= x 2 x2 + x A = với x 6= −1 2x + 2 2x − 1 = với x 6= ; x 6= 1; x 6= (x − 3)A x − 4x + ĐS: A = x2 ĐS: A = x ĐS: A = (x − 1)(2x − 1) L Lời giải A x x2 = ⇒ A = x2 ⇒ A = x 2 A x(x + 1) A x A x2 + x = ⇒ = ⇒ = ⇒ A = x 2x + 2 2(x + 1) 2 2x − 1 = ⇒ (2x − 1)(x − 1)(x − 3) = (x − 3)A ⇒ A = (x − 1)(2x − 1) (x − 3)A x − 4x + Giáo viên: Chương Phân thức đại số 121 b Ví dụ Tìm đa thức B đẳng thức sau B x−1 = với x 6= −1 x+1 2 B x−2 = với x ± 2 x −4 x+2 x−3 với x 6= 1; x 6= = (x − 1)B x − 4x + ĐS: B = (x − 1)(x + 1) ĐS: B = ĐS: B = (x − 3)2 L Lời giải B x−1 (x − 1)(x + 1) = ⇒B= x+1 2 x−2 B x−2 B = ⇒ = ⇒ B = x −4 x+2 (x − 2)(x + 2) x+2 x−3 = ⇒ (x − 3)(x − 3)(x − 1) = (x − 1)B ⇒ B = (x − 3)2 (x − 1)B x − 4x + b Ví dụ Tìm cặp đa thức A B thỏa mãn đa thức (x + 1)A = (x − 1)B ĐS: A = x − B = x + x2 − A = (x + 1)B với x 6= −1 x+1 ĐS: A = x + B = x − L Lời giải (x + 1)A = (x − 1)B Chọn A = x − B = x + x2 − A = (x + 1)B ⇒ (x − 1)A = (x + 1)B Chọn A = x + B = x − x+1 b Ví dụ Tìm cặp đa thức A B thỏa mãn đa thức (x + 2)A = (x − 2)B ĐS: A = x − B = x + x2 − A = (x + 2)B, với x 6= −2 x+2 ĐS: A = x + B = x − L Lời giải (x + 2)A = (x − 2)B Chọn A = x − B = x + 2 x2 − A = (x + 2)B ⇒ (x − 2)A = (x + 2)B Chọn A = x + B = x − x+2 Tài liệu Toán của: Phân thức đại số 122 | Dạng 51 Chứng minh đẳng thức có điều kiện Thực theo hai bước Bước Xuất phát từ điều phải chứng minh, áp dụng tính chất hai phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) Bước Thu gọn biểu thức dựa vào điều kiện đề để lập luận ccc BÀI TẬP MẪU ccc C A C A thỏa mãn = B 6= D Chứng minh b Ví dụ Cho hai phân thức B D B D A A−C = B B−D L Lời giải C A A−C A = ⇒ AD = BC ⇒ AB − AD = BA − BC ⇒ A(B − D) = B(A − C) ⇒ = B D B B−D C A C A thỏa mãn = B 6= −D Chứng minh b Ví dụ Cho hai phân thức B D B D A A+C = B B+D L Lời giải C A A+C A = ⇒ AD = BC ⇒ AB + AD = BA + BC ⇒ A(B + D) = B(A + C) ⇒ = B D B B+D Bài tập nhà } Bài Chứng minh đẳng thức sau a) 4x − = với x 6= x−2 b) x+3 = với x 6= 0; x 6= −3 x + 3x x c) x2 − 2x + x−1 = với x 6= ±1 x −1 x+1 d) x2 − 3x − = x − với x 6= −1 x+1 L Lời giải a) 4(x − 2) 4x − = = x−2 x−2 b) x+3 x+3 = = x + 3x x(x + 3) x c) x2 − 2x + (x − 1)2 x−1 = = x −1 (x − 1)(x + 1) x+1 d) x2 − 3x − (x + 1)(x − 4) = = x − x+1 x+1 Giáo viên: Chương Phân thức đại số 123 } Bài Ba phân thức sau có khơng? Tại sao? x2 + 2x + x + 2x + ; ; x(x + 1) x 2x L Lời giải (x + 1)2 x+1 2x + 2(x + 1) x+1 x2 + 2x + = = = = x(x + 1) x(x + 1) x 2x 2x x Vậy ba phân thức Ta có } Bài Tìm đa thức A đẳng thức sau A x−5 = với x 6= −5 x+5 2 A 2x2 + 4x = với x 6= −2 x+2 x−1 với x 6= ±4 = (x − 4)A x − 16 ĐS: A = (x − 5)(x + 5) ĐS: A = 4x ĐS: A = (x − 1)(x + 4) L Lời giải A x−5 (x − 5)(x + 5) = ⇒A= x+5 2 2x2 + 4x A 2x(x + 2) A 2x A = ⇒ = ⇒ = ⇒ A = 4x x+2 x+2 2 x−1 x−1 x−1 = ⇒ = ⇒ = ⇒ A = (x − 1)(x + 4) (x − 4)A x − 16 (x − 4)A (x − 4)(x + 4) A x+4 } Bài Tìm cặp đa thức A B thỏa mãn đa thức (x + 3)A = (x − 3)B ĐS: A = x − B = x + x2 − 16 A = (x + 4)B với x 6= −4 x+4 ĐS: A = x + B = x − L Lời giải (x + 3)A = (x − 3)B Chọn A = x − B = x + x2 − 16 A = (x + 4)B ⇒ (x − 4)A = (x + 4)B Chọn A = x + B = x − x+4 A C A D A+B C +D } Bài Cho hai phân thức thỏa mãn = Chứng minh = với B D B C A D A 6= 0; D 6= L Lời giải A D A+B C +D = ⇒ BD = AC ⇒ AD + BD = AC + AD ⇒ D(A + B) = A(C + D) ⇒ = B C A D Tài liệu Toán của: Tính chất phân thức 124 §2 Tính chất phân thức Tóm tắt lý thuyết Tính chất co phân thức Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức A A·M phân thức phân thức cho Ta có = B B·M Nếu chia tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức A A:N phân thức phân thức cho Ta có = với N nhân tử B B:N chung A B Quy tắc đổi dấu Nếu đối dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức A −A cho Ta có = B −B Nếu đổi dấu tử mẫu đồng thời đổi dấu phân thức phân thức A −A −A A phân thức cho Ta có = =− =− B −B B −B Bài tập dạng tốn | Dạng 52 Tính giá trị phân thức Thực theo ba bước Bước Phân tích tử thức mẫu thức phân thức thành nhân tử Bước Rút gọn phân thức Bước Thay giá trị biến vào phân thức tính ccc BÀI TẬP MẪU ccc b Ví dụ Tính giá trị phân thức A(x) = x+1 với x 6= x = x−1 Giáo viên: ĐS: A(2) = Chương Phân thức đại số 125 B(x) = x+1 với x 6= 2x − = x−1 C(x) = x2 − 3x + với x 6= −1 x2 = x+1 ĐS: C(2) = 0;C(−2) − 12 D(x) = x+3 với x 6= ±2 |x| = x2 − ĐS: D(3) = ;D(−3) = ĐS: B(2) = L Lời giải A(2) = 2+1 = 2−1 2x − = ⇒ x = Suy B(2) = 2+1 = 2−1 x2 = ⇒ x = x = −2 22 − · + (−2)2 − · (−2) + Ta có C(2) = = C(−2) = = −12 2+1 −2 + |x| = ⇒ x = x = −3 3+3 −3 + Ta có D(3) = = D(−3) = = −4 (−3)2 − b Ví dụ Tính giá trị phân thức A(x) = x+1 với x 6= −1 x = 3x + ĐS: A(2) = B(x) = 2x − với x 6= 3x − = x+2 ĐS: B(2) = C(x) = x2 − 4x + với x 6= −1 x2 = x+1 ĐS: C(3) = 0;C(−3) = −12 D(x) = −2x với x 6= |x| = x−3 ĐS: D(1) = 1;D(−1) = − L Lời giải A(2) = 2+1 = 3·2+3 3x − = ⇒ x = Suy B(2) = 2·2−1 = 2+2 x2 = ⇒ x = x = −3 32 − · + (−3)2 − · (−3) + Ta có C(3) = = C(−3) = = −12 3+1 −3 + |x| = ⇒ x = x = −1 −2 · −2 · (−1) Ta có D(1) = = D(−1) = =− 1−3 (−1) − Tài liệu Toán của: Tính chất phân thức 126 | Dạng 53 Biến đổi phân thức theo yêu cầu Thực theo hai bước Bước Phân tích tử thức mẫu thức thành nhân tử lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp tùy theo yêu cầu đề Bước Sử dụng tính chất phân thức (xem phân Tóm tắt lý thuyết) để đưa phân thức thỏa mãn yêu cầu ccc BÀI TẬP MẪU ccc x2 − b Ví dụ Cho phân thức với x 6= −1; x 6= Biến đổi phân thức cho (x + 1)(x − 3) x−1 thành phân thức có tử thức đa thức A = x − ĐS: x−3 L Lời giải x2 − (x − 1)(x + 1) x−1 A = = = (x + 1)(x − 3) (x + 1)(x − 3) x−3 x−3 x2 − với x 6= 2; x 6= Biến đổi phân thức cho (x − 2)(x − 3) x+2 thành phân thức có tử thức đa thức A = x + ĐS: x−3 b Ví dụ Cho phân thức L Lời giải (x − 2)(x + 2) x+2 A x2 − = = = (x − 2)(x − 3) (x − 2)(x + 3) x−3 x−3 x−1 với x 6= −1 Biến đổi phân thức cho thành phân x+1 x2 − thức có tử thức đa thức A = x2 − ĐS: (x + 1)2 b Ví dụ Cho phân thức L Lời giải x−1 (x − 1)(x + 1) x2 − = = x+1 (x + 1)(x + 1) (x + 1)2 x−2 với x 6= −2 Biến đổi phân thức cho thành phân x+2 x2 − thức có tử thức đa thức A = x2 − ĐS: (x + 2)2 b Ví dụ Cho phân thức L Lời giải (x − 2)(x + 2) x2 − x−2 = = x+2 (x + 2)(x + 2) (x + 2)2 Giáo viên: Chương Phân thức đại số 127 x+3 x2 − với x 6= 0; x 6= −1 x 6= 3, biến đổi hai 2x x+1 x2 − phân thức thành cặp phân thức có tử thức ĐS: 2x(x − 3) b Ví dụ Cho hai phân thức L Lời giải x+3 (x + 3)(x − 3) x2 − x2 − x2 − = = Vậy kết cặp phân thức 2x 2x(x − 3) 2x(x − 3) 2x(x − 3) x+1 x+2 x2 − với x 6= 0; x 6= −1 x 6= 2, biến đổi hai 2x x+1 x2 − x2 − phân thức thành cặp phân thức có tử thức.ĐS: 2x(x − 2) x+1 b Ví dụ Cho hai phân thức L Lời giải x+2 (x + 2)(x − 2) x2 − x2 − x2 − = = Vậy kết cặp phân thức 2x 2x(x − 2) 2x(x − 2) 2x(x − 2) x+1 x−3 x+3 với x 6= 0; x 6= −1, biến đổi hai phân thức 2x x+1 (x + 3)(x + 1) (x − 3)2x thành cặp phân thức có mẫu thức ĐS: 2x(x + 1) 2x(x + 1) b Ví dụ Cho hai phân thức L Lời giải x+3 (x + 3)(x + 1) x−3 (x − 3)2x = = 2x 2x(x + 1) x+1 (x + 1)2x (x + 3)(x + 1) (x − 3)2x Vậy kết cặp phân thức 2x(x + 1) 2x(x + 1) Ta có x+1 x+1 với x 6= x 6= 1, biến đổi hai phân thức x x−1 (x + 1)(x − 1) x(x + 1) thành cặp phân thức có mẫu thức ĐS: x(x − 1) x(x − 1) b Ví dụ Cho hai phân thức L Lời giải x+1 (x + 1)(x − 1) x+1 x(x + 1) = = x x(x − 1) x−1 x(x − 1) (x + 1)(x − 1) x(x + 1) Vậy kết cặp đa thức x(x − 1) x(x − 1) Ta có Tài liệu Tốn của: ... phân thức 124 §2 Tính chất phân thức Tóm tắt lý thuyết Tính chất co phân thức Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức A A·M phân thức phân thức cho Ta có = B B·M Nếu chia tử mẫu phân. .. đổi dấu phân thức phân thức A −A −A A phân thức cho Ta có = =− =− B −B B −B Bài tập dạng toán | Dạng 52 Tính giá trị phân thức Thực theo ba bước Bước Phân tích tử thức mẫu thức phân thức thành... chia tử mẫu phân thức với đa thức khác đa thức A A:N phân thức phân thức cho Ta có = với N nhân tử B B:N chung A B Quy tắc đổi dấu Nếu đối dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức A −A cho Ta