Giải tích 1 hàm số nhiều biến số

10/8/2016 Khái niệm hàm hai biến CHƯƠNG • Định nghĩa: Cho khơng gian: R2  HÀM NHIỀU BIẾN • Ánh xạ: x , y  : x , y  R  va f : D D  R2  R x , y   z  f x , y  • Được gọi hàm hai biến xác định tập hợp D • Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với số thực z • x, y biến độc lập; z biến phụ thuộc Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Khái niệm hàm ba biến Tập xác định hàm hai biến • Định nghĩa: Cho khơng gian: R  • Ánh xạ: x , y, z  : x , y , z  R  va f : D D R R x , y , z   u  f x , y , z  • Được gọi hàm ba biến xác định tập hợp D • Mỗi cặp (x,y,z)∈ tương ứng với số thực u • x, y, z biến độc lập; u biến phụ thuộc Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến • Tập xác định hàm số tập hợp tất cặp (x,y) cho giá trị biểu thức f(x,y) số thực • Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau: a ) f x , y   y  x2 b ) f x , y   ln 2x  y  1 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tập xác định hàm ba biến Đạo hàm riêng • Tập xác định hàm số tập hợp tất cặp (x,y,z) cho giá trị biểu thức f(x,y,z) số thực • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D • Xem y số ta hàm biến theo x • Lấy đạo hàm hàm số ta đạo hàm riêng theo biến x • Ký hiệu: z z 'x hay x • Tương tự ta đạo hàm riêng theo biến y Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 10/8/2016 Đạo hàm riêng • Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D • Các đạo hàm riêng z theo x,y:  f x , y  f x , y   f x , y  z z 'x    lim x x0 x x x  x0  f x , y  f x , y   f x , y  z z 'y    lim y y0 y y y  y0 • Lấy đạo hàm riêng theo biến đạo hàm hàm biến xem biến lại số Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho hàm số z  x  3xy  y • Đạo hàm riêng theo x (xem y số) z 'x  3x  3y • Đạo hàm riêng theo y (xem x số) z 'y  6xy  4y Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Vi phân hàm nhiều biến • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng z’x; z’y • Khi biểu thức: dz  z 'x dx  z ' y dy • Được gọi vi phân tồn phần hàm hai biến cho • Ý nghĩa: Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số z  x3  y  xy • Có vi phân tồn phần dz   3x  y  dx   x  y  dy Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm riêng cấp Đạo hàm riêng cấp • Cho hàm hai biến z=f(x,y) có đạo hàm riêng z’x; z’y • Đây đạo hàm riêng cấp • Đạo hàm riêng đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp • Các đạo hàm riêng cấp • Các đạo hàm riêng cấp ký hiệu là: '  z 'x  x  z xx''  z x''2  z 'y  ' Bài giảng Toán Cao cấp x  z ''yx '  z 'x  y  z xy''  z 'y  ' y  z ''yy  z ''y2 Nguyễn Văn Tiến 2 z 2 z 2 z 2 z ; ; ; x xy yx y • Ví dụ: Các đạo hàm riêng của: z  x3  y  xy z 'x  3x  y z ' y  2 y  x z "xx  x z "xy  z "yx  z "yy  2 Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 10/8/2016 Đạo hàm riêng cấp • Bài tập: Tính đhr cấp hàm số: a) z  x y b) z  e xy  x c) z  ln    y Vi phân cấp • Vi phân cấp hàm hai biến z=f(x,y) biểu thức có dạng: d z  z x2 " dx  z xy " dxdy  z y " dy • Chú ý: d z  d  dz   d  z 'x dx  z ' y dy  d z  z xx " dx  z xy " dxdy  z yx " dydx  z yy " dy d z  z x2 " dx  z xy " dxdy  z y2 " dy Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định D • Xét điểm M0(x0; y0) ∈ • Nếu điểm M(x,y) nằm quanh M0 M≠ M0 ta có: z  x3  y  xy • d z  xdx  2dxdy  2dy • VD2 Tính vi phân cấp hàm số: a) z  ln  x  y  b) z  xy  x y f  M   f  M  hay f  x, y   f  x0 , y0  c) z  sin  x  y  Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Cực trị hàm hai biến_Cực đại • VD1 Vi phân cấp hàm số: Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Thì M0 gọi điểm cực đại hàm số Bài giảng Toán Cao cấp Cực trị hàm hai biến_Cực tiểu Nguyễn Văn Tiến Khái niệm cực trị • Khái niệm: cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định D • Xét điểm M0(x0; y0) ∈ • Nếu điểm M(x,y) nằm quanh M0 M≠ M0 ta có: • Các điểm cực đại cực tiểu gọi chung điểm cực trị • Ví dụ: Xét hàm số f(x,y)=x2+y2-2x+3 điểm M0 1; ∈ = • Ta có: f  M   f  M  hay f  x, y   f  x0 , y0  f  M   f  x, y   x  y  x    x  1  y   • Thì M0 gọi điểm cực tiểu hàm số Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến f  M   f 1;0   2 • Vậy f  M   f  M   M  M  • M0 điểm cực tiểu hàm số Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 10/8/2016 Cực trị hàm nhiều biến • Một cách tương tự ta định nghĩa cực đại, cực tiểu hàm nhiều biến • Cho hàm nhiều biến f(x1,x2,…,xn) xác định có đạo hàm riêng theo tất biến độc lập D • Điểm M ( x1 , x2 , , xn )  D điểm: • Cực đại khi? • Cực tiểu khi? Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Điều kiện cần để có cực trị • Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) xác định có đạo hàm riêng theo tất biến độc lập D đạt cực trị (cực đại cực tiểu) điểm M ( x1 , x2 , , xn )  D f ( x1 , x2 , , xn )  , i  1, 2, , n xi • Điểm thỏa mãn điều kiện gọi điểm dừng hàm số • Hàm số đạt cực trị điểm dừng • Đây điều kiện cần, chưa phải điều kiện đủ Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ma trận Hess • Giả sử hàm số n biến số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp Khi đó, ma trận vng cấp n    H    f x1 x1 f x1 x2  f x2 x1 f x2 x2   f xn x1  f xn x2   f x1 xn   f x2 xn     f xn xn  gọi ma trận Hess hàm số Nếu hàm số f(x1,x2,…,xn) có đạo hàm riêng cấp liên tục ma trận Hess ma trận đối xứng Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Điều kiện đủ cực trị • Giả sử Ví dụ • Ma trận Hess hàm biến f ( x, y, z)  x3 y4 z5 • ma trận  x2 y z 12 x y3 z 15x2 y z    H  12 x y3 z 12 x3 y z 20 x3 y3 z  15x y z 20 x3 y3 z 20 x3 y z    Bài giảng Toán Cao cấp Điều kiện đủ để có cực trị • Ma trận Hess: M ( x1 , x2 , , xn )  D • điểm dừng hàm số f(x1,x2,…,xn) điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp hai liên tục • Đặt: aij  Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 2 f ( x1 , x2 , , xn ) (i, j  1, 2, , n) xi x j Nguyễn Văn Tiến  a11 a H   21    an1 a12  a1n  a22  a2 n       an  ann  • Xét định thức chính: a11 a21 a11 a12 D1  a11, D2  ,, Dk  a21 a2  ak1 Bài giảng Toán Cao cấp a12  a1k a22  a2k    ak  akk ,, Dn  a11 a12  a1n a21 a22  a2n     an1 an2  ann Nguyễn Văn Tiến 10/8/2016 Tiêu chuẩn xét cực trị • i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 M điểm cực tiểu hàm số • ii) Nếu D10, …, (-1)n Dn>0 M điểm cực đại hàm số • iii) Nếu Di≥0 (hay (-1)i Di>0 ) tồn k cho Dk=0 chưa thể kết luận cực trị địa phương hàm số Hàm số đạt cực trị khơng đạt cực trị điểm M Muốn có kết luận ta phải sử dụng phương pháp khác • iv) Trong trường hợp khác M khơng phải điểm cực trị Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Áp dụng cho hàm biến • i) Nếu A>0, >0 M0 điểm cực tiểu • ii) Nếu A0 M0 điểm cực đại • iii) Nếu 0 M(x0;y0) điểm cực đại có điều kiện hàm số • Nếu D0, D30 M điểm cực đại có điều kiện hàm số • Nếu D2m.Q(K;L) hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ • Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) hàm cấp k • + Nếu k>1 hàm sản xuất có hiệu tăng theo quy mơ • + Nếu k0) • Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD, 3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Cực trị có điều kiện – VD2 • Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo đài phát (x phút) đài truyền hình (y phút) Hàm doanh thu: R  x, y   320 x  x  3xy  y  540 y  2000 • Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B=180 triệu đồng • a) Tìm x, y để cực đại doanh thu • b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên ? Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 16 10/8/2016 Bài tập Bài tập • Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 Q_sản lượng; K_vốn; L_lao động Doanh nghiệp thuê đơn vị vốn 3$; đơn vị lao động 1$ Ngân sách chi cho yếu tố đầu vào B=160$ • A) Với hàm sản xuất tăng quy mơ sản xuất hiệu thay đổi nào? Nếu K tăng lên 1%; L tăng lên 3% sản lượng tăng lên % mức (K,L)? • B) Xác định mức sử dụng vốn lao động để sản lượng tối đa Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ sản lượng tối đa tăng lên đơn vị? • C) Hàm số có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? • D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động? Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đáp án Bài tập A) Hiệu không đổi Sản lượng tăng 1,5% B) K=L=40; Qmax=1600 Tăng yếu tố đầu vào Qmax tăng khoảng 10 đơn vị • C) Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần • Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 (Q: sản lượng, K: vốn L: lao động) • A) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mơ sản xuất • B) Giả sử thuê tư 4$, giá thuê lai động 3$ doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050$ Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa • • • • Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đáp án • A) Hiệu theo quy mơ • B) Q(150;150) lớn KIỂM TRA 30PH Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17 10/8/2016 Bài Bài • 1.1 Tìm giới hạn sau: 1  e  1  cosx  2x a) lim x 0 x  4sin x b) lim x 0 ln  cos x  ln 1  3sin x  • 1.2 Tìm a để hàm số có đạo hàm 0: x   ,x  e f x     x  ax  , x     Bài giảng Tốn Cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A có thơng tin sau: • Hàm cầu là: P=600-2Q • Hàm chi phí là: TC=0,2Q2+28Q+200 • A) Tìm mức sản xuất Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Khi giá bán lợi nhuận đạt • B) Nếu đơn vị sản lượng Q công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ sản lượng giá bán để công ty đạt lợi nhuận tối đa Khi lợi nhuận Bài giảng Toán Cao cấp Nguyễn Văn Tiến 18 ... Tiến  a 11 a H   21    an1 a12  a1n  a22  a2 n       an  ann  • Xét định thức chính: a 11 a 21 a 11 a12 D1  a 11, D2  ,, Dk  a 21 a2  ak1 Bài giảng Toán Cao cấp a12  a1k a22... Tiến 14 10 /8/2 016 Cực trị hàm kinh tế – VD1 • Hướng dẫn: • Ta có: • Hàm tổng chi phí: TC  Q12  Q1Q2  Q22 12 30  5P1  P2  Q1  5P1  P2  12 30  14 Q1  P1  360  3Q1  Q2 14     P1... ,, Dn  a 11 a12  a1n a 21 a22  a2n     an1 an2  ann Nguyễn Văn Tiến 10 /8/2 016 Tiêu chuẩn xét cực trị • i) Nếu D1>0, D2>0, …, Dn>0 M điểm cực tiểu hàm số • ii) Nếu D10, …, ( -1) n Dn>0