Một số dãy số có công thức truy hồi đặc biệt”

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Lê Thị Nga i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Lương Trong trình làm luận văn, Thầy người hướng dẫn mặt khoa học mà Thầy cịn ln động viên, khích lệ tác giả khắc phục khó khăn để hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giảng dạy lớp K11 cao học Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Hồng Đức Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo, Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ mơn Tốn giải tích khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Xin cảm ơn bạn bè người thân động viên giúp đỡ Thanh Hóa, tháng năm 2020 Tác giả Lê Thị Nga ii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ 1.2 Chuỗi số 11 Chương Sự hội tụ dãy số có dạng truy hồi bất đẳng thức 15 2.1 Sự hội tụ dãy số có cơng thức truy hồi dạng bất đẳng thức 15 2.2 Bài tập áp dụng 34 Chương Số hạng tổng quát dãy số truy hồi dạng max 37 3.1 Tính tuần hồn cuối dãy số 37 3.2 Một số tập áp dụng 53 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số chủ đề quan trọng toán học không đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết tối ưu, Trong chương trình tốn học THPT, tốn dãy số vấn đề quan trọng Các toán dãy số thường xuất kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic toán học để đánh giá khả tư học sinh Các toán dãy số toán không dễ cần nắm kỹ lý thuyết rèn luyện thường xun thơng qua ví dụ tập Dù có nhiều tài liệu tiếng Việt dãy số, tài liệu dãy số cho dạng đặc biệt, có ứng dụng vấn đề toán học cao cấp chưa nhiều Với mục đích hiểu học hỏi sâu vấn đề dãy số, tích luỹ kinh nghiệm, phục vụ công tác giảng dạy, em lựa chọn đề tài “Một số dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt” Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu hội tụ tìm số hạng tổng quát số dãy số truy hồi có dạng đặc biệt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các dãy số cho dạng bất đẳng thức, min, max Phạm vi nghiên cứu: Sự hội tụ số hạng tổng quát Phương pháp nghiên cứu • Phân tích, tổng hợp tài liệu • Phân tích, đánh giá phát triển kết liên quan Nhiệm vụ nghiên cứu • Hệ thống số kiến thức liên quan tới dãy số, chuỗi số • Trình bày có hệ thống số kết hội tụ dãy số truy hồi dạng bất đẳng thức ví dụ • Trình bày có hệ thống số kết số hạng tổng quát dãy số truy hồi dạng min, max ví dụ Cấu trúc luận văn Ngồi lời cảm ơn, mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết liên quan tới dãy số chuỗi số Chương 2: Sự hội tụ dãy số có cơng thức truy hồi dạng bất đẳng thức Trong chương trình bày số kết tổng quát hội tụ dãy số cho dạng bất đẳng thức Một số ví dụ cụ thể trình bày dạng tập Chương 3: Số hạng tổng quát dãy số truy hồi dạng max Chương trình bày số kết tốn tìm số hạng tổng qt dãy số cho dạng max Một số trường hợp đặc biệt tương tự đề xuất dạng tập Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm số kết liên quan tới dãy số chuỗi số Tài liệu tham khảo phần [2, 3] 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Khái niệm dãy số thực thường định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1 Một dãy số ánh xạ u từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R u: N→R n 7→ u(n) = un ∞ thường kí hiệu {un }n≥0 {un }∞ n=0 , (un )n≥0 , (un )n=0 Tổng quát hơn, với n0 số nguyên, ánh xạ u từ tập {n ∈ Z : n ≥ n0 } vào tập số thực R gọi dãy số Trong trường hợp này, dãy số ∞ kí hiệu {un }n≥n0 {un }∞ n=n0 , (un )n≥n0 , (un )n=n0 Số thực un0 gọi số hạng đầu dãy số un gọi số hạng tổng quát dãy số Dãy số viết dạng khai triển un0 , un0 +1 , · · · , un , · · · Trong trường hợp khơng có nhầm lẫn số n0 số hạng đầu, ta kí hiệu dãy số {un }n (un )n Để đơn giản, phần ta coi n0 = Ví dụ (i) Dãy cộng: Một dãy (un )n R gọi dãy cộng (hoặc cấp số cộng) tồn r ∈ R cho: ∀n ∈ N, un+1 = un + r Phần tử r (được xác định nhất) gọi công sai dãy cộng (un )n Khi ta có un = u0 + rn với n ∈ N (ii) Dãy nhân: Một dãy (un )n R gọi dãy nhân (hoặc, cấp số nhân) tồn r ∈ R cho: ∀n ∈ N, un+1 = run Phần tử r (được xác định nhất), trừ (∀n ∈ N, un = 0) gọi cơng bội dãy nhân (un )n Khi ta có un = u0 rn với n ∈ N Định nghĩa 1.1.2 Cho p số tự nhiên, n0 số nguyên Dãy số {un }n≥n0 gọi tuần hoàn với chu kỳ p un+p = un với n ≥ n0 Dãy số {un }n≥n0 gọi tuần hoàn cuối với chu kỳ p tồn số nguyên k ≥ n0 cho un+p = un với n ≥ k Định nghĩa 1.1.3 Ta gọi ánh xạ tăng nghiêm ngặt σ : N −→ N hàm trích Với dãy (un )n∈N cho trước, dãy (uσ (n) )n∈N với σ (n) hàm trích gọi dãy (un )n∈N Nhận xét (i) Với hàm trích σ ta có σ (n) ≤ n với n (ii) Nếu σ , τ hai hàm trích σ ◦ τ hàm trích Do dãy dãy (un )n∈N dãy (un )n∈N Định nghĩa 1.1.4 Cho (un )n dãy thực Ta nói • (un )n tăng un ≤ un+1 với n ∈ N • (un )n giảm un+1 ≤ un với n ∈ N • (un )n tăng nghiêm ngặt un < un+1 với n ∈ N • (un )n giảm nghiêm ngặt un+1 < un với n ∈ N • (un )n đơn điệu dãy tăng giảm • (un )n đơn điệu nghiêm ngặt tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt Nhận xét 1) Nếu (un )n (vn )n tăng (tương ứng giảm) un + tăng (tương ứng giảm) 2) Nếu (un )n (vn )n tăng (tương ứng giảm) số hạng thuộc R+ un tăng (tương ứng giảm) 3) Một dãy khơng tăng khơng giảm; ví dụ dãy (un )n với un = (−1)n Định nghĩa 1.1.5 Cho (un )n dãy thực Ta nói • dãy (un )n bị chặn tồn số thực M cho un ≤ M với n • dãy (un )n bị chặn tồn số thực m cho un ≥ m với n • dãy (un )n bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn 1.1.2 Sự hội tụ Định nghĩa 1.1.6 Ta nói dãy số (un )n hội tụ đến l ∈ R với ε > 0, tồn N ∈ N cho |un − l| < ε, ∀n ≥ N Ta nói dãy số (un )n hội tụ tồn l ∈ R cho (un )n hội tụ đến l Dãy khơng hội tụ gọi phân kỳ Chú ý (un )n∈N hội tụ đến l dãy (un − l)n∈N hội tụ đến Mệnh đề 1.1.7 (Tính giới hạn tồn tại) Nếu dãy số (un )n hội tụ đến l1 hội tụ đến l2 l1 = l2 Nếu (un )n hội tụ đến l, ta nói l giới hạn (un )n kí hiệu l = lim un un → l( un → l n → +∞) n→∞ Ví dụ (1) Mọi dãy dừng (nghĩa số từ thứ tự trở đi) hội tụ   hội tụ đến (2) Dãy n n≥1 Nhận xét Nếu hai dãy số trùng kể từ thứ tự trở đi, chúng có chất nhau, nghĩa hội tụ dãy kéo theo hội tụ dãy Nói cách khác ta khơng làm thay đổi chất dãy số (hội tụ, phân kỳ) ta thay đổi phần tử đến thứ tự cho trước Định nghĩa 1.1.8 Cho (un )n dãy thực (1) Ta nói (un )n tiến tới +∞ (hoặc, nhận +∞ làm giới hạn) ∀A > 0, ∃N ∈ N, (n ≥ N ⇒ un ≥ A) Khi ta kí hiệu: un → +∞ n → ∞ hay limn→∞ un = +∞ (2) Ta nói (un )n tiến tới −∞ (hoặc, nhận −∞ làm giới hạn) ∀B < 0, ∃N ∈ N, (n ≥ N ⇒ un ≤ B) Khi ta kí hiệu: un → −∞ n → ∞ hay limn→∞ un = −∞ Nhận xét Tất dãy thực có giới hạn +∞ −∞ phân kỳ Mệnh đề 1.1.9 (i) Mọi dãy hội tụ bị chặn (ii) Mọi dãy thực tiến tới +∞ bị chặn (iii) Mọi dãy thực tiến tới −∞ bị chặn Nhận xét Tồn dãy bị chặn không hội tụ Nếu dãy thực tiến tới +∞, khơng bị chặn trên, điều ngược lại khơng Mọi dãy khơng bị chặn phân kỳ Mệnh đề 1.1.10 Cho (un )n dãy thực hội tụ có giới hạn l, (a, b) ∈ R2 (i) Nếu a < l tồn N1 ∈ N cho: ∀n ∈ N, (n ≥ N1 ⇒ a < un ) (ii) Nếu l < b tồn N2 ∈ N cho: ∀n ∈ N, (n ≥ N2 ⇒ un < b) (iii) Nếu a < l < b tồn N ∈ N cho: ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ a < un < b) Mệnh đề 1.1.11 Cho (un )n dãy thực hội tụ, l giới hạn (a, b) ∈ R2 (i) Nếu tồn N1 ∈ N cho ∀n ∈ N, (n ≥ N1 ⇒ un ≥ a) l ≥ a (ii) Nếu tồn N2 ∈ N cho ∀n ∈ N, (n ≥ N2 ⇒ un ≤ b) l ≤ b (iii) Nếu tồn N ∈ N cho ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ a ≤ un ≤ b) a ≤ l ≤ b Mệnh đề 1.1.12 (Nguyên lý kẹp) Cho (un )n , (vn )n , (wn )n ba dãy thực cho ( ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ un ≤ ≤ wn ) (un )n (wn )n hội tụ đến giới hạn l Khi đó, (vn )n hội tụ đến l n n , ta có: k=1 n + k  n n n2    un ≤ ∑ = n +1 k=1 n + ∀n ∈ N∗ , n n n   =  un ≥ ∑ n+1 k=1 n + n Ví dụ 1.1.13 Với n ∈ N∗ , un = ∑ n2 n Vì → → 1, ta kết luận: un → n +1 n+1 Mệnh đề 1.1.14 Cho hai dãy thực (un )n (vn )n Nếu ( ∃N ∈ N, ∀n ∈ N, (n ≥ N ⇒ un ≤ ) un → +∞ → +∞ (b111 ) Giả sử y0 ≤ A y3 = y0 y0     A A A A , y1 = , = , y4 = y3 y0 y0 y0   A y5 = , y2 = {y0 , y0 } = y0 y4 Như vậy, y3 = y0 , y4 = y1 , y5 = y2 Tương tự Bổ đề 3.1.2, dãy {yn }∞ n=−2 tuần hoàn cuối với chu kỳ nghiệm có dạng   A A y−2 , y−1 , y0 , , y0 , y0 , , y0 , · · · y0 y0 (b112 ) Giả sử y0 ≥ A A y3 = y0 y0     A A A y4 = , y1 = y0 , = , y3 y0 y0   A , y2 = {y0 , y0 } = y0 y5 = y4     A A A A y6 = , y3 = , = y5 y0 y0 y0 Ta có y4 = y1 , y5 = y2 , y3 = y6 , nên dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ có dạng   A A A A y−2 , y−1 , y0 , , y0 , , , y0 , , · · · y0 y0 y0 y0 (b12 ) Giả sử y0 ≥ y−1 , y2 = y−1     A A y3 = , y0 = , y0 y2 y−1 (b121 ) Nếu y0 ≤ A y3 = y0 y−1     A A A A y4 = , y1 = , = y3 y0 y0 y0 Do đó, y2 = y−1 , y3 = y0 , y4 = y1 Điều dẫn đến dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ có dạng   A A y−2 , y−1 , y0 , , y−1 , y0 , , · · · y0 y0 44 (b122 ) Nếu y0 ≥ A A , y3 = y−1 y−1     A A A y4 = , y1 = y−1 , = , y3 y0 y0   A y5 = , y2 = {y0 , y−1 } = y−1 , y4     A A A A y6 = = , y3 = , y5 y−1 y−1 y−1 Như y4 = y1 , y5 = y2 , y6 = y3 , dãy tuần hồn cuối với chu kỳ có dạng   A A A A y−2 , y−1 , y0 , , y−1 , , , y−1 , ,··· y0 y−1 y0 y−1 A (b2 ) Giả sử ≥ y−2 y1 = y−2 y0     A A , y−1 = , y−1 y2 = y1 y−2 Có hai trường hợp xảy A (b21 ) Nếu ≥ y−1 , y2 = y−1 y−2     A A , y0 = , y0 y3 = y2 y−1 A Khi đó, y3 = y0 Do đó,y1 = y−2 , y2 = y−1 , y3 = y0 y−1 Vì dãy {yn }∞ n=−2 tuần hoàn với chu kỳ (b211 ) Bây giả sử y0 ≤ {yn }∞ n=−2 = {y−2 , y−1 , y0 , y−2 , y−1 , y0 , · · · } A A , y3 = Ta có y−1 y−1   A y4 = , y1 = {y−1 , y−2 } = y−2 , y3     A A y5 = , y2 = , y−1 = y−1 , y4 y−2     A A A A y6 = , y3 = , = y5 y−1 y−1 y−1 (b212 ) Giả sử y0 ≥ 45 Như y4 = y1 , y5 = y2 , y6 = y3 Dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ có dạng   A A , y−2 , y−1 , ,··· y−2 , y−1 , y0 , y−2 , y−1 , y−1 y−1 (b22 ) Bây giả sử A A ≤ y−1 , y2 = y−2 y−2   A y3 = , y0 = {y−2 , y0 } y2 (b221 ) Nếu y0 ≤ y−2 , y3 = y0     A A y4 = , y1 = , y−2 = y−2 , y3 y0     A A A A = y5 = , y2 = , y4 y−2 y−2 y−2 Điều có nghĩa y3 = y0 , y4 = y1 y5 = y2 Do dãy tuần hồn cuối với chu kỳ có dạng   A A , y0 , y−2 , ,··· y−2 , y−1 , y0 , y−2 , y−2 y−2 (b222 ) Giả sử y−2 ≤ y0 y3 = y−2     A A y4 = , y1 = , y−2 = y−2 , y3 y−2     A A A A , y2 = , = , y5 = y4 y−2 y−2 y−2   A y6 = , y3 = {y−2 , y−2 } = y−2 y5 Do y4 = y1 y5 = y2 , y6 = y3 Dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ có dạng   A A y−2 , y−1 , y0 , y−2 , , y−2 , y−2 , , y−2 , · · · y−2 y−2 Định lý chứng minh Tiếp theo ta xét trường hợp A < Định lý 3.1.6 Giả sử A < Khi dãy {xn }∞ n=−2 thoả mãn (3.1) tuần hoàn cuối với chu kỳ 46 Chứng minh Có trường hợp xảy (i) Trường hợp x−2 > 0, x−1 > 0, x0 > Từ A < ta có   A , x−2 > x1 = max x0 Từ (3.1) sử dụng quy nạp ta có xn > với n ∈ N0 Do   A , xn−2 = xn−2 , xn+1 = max xn dãy tuần hoàn với chu kỳ (ii) Trường hợp x−2 < 0, x−1 < 0, x0 < Ta có   A A x1 = max , x−2 = > 0, x x0   A , x−1 = max {x0 , x−1 } < 0, x2 = max x1   A A x3 = max , x0 = > 0, x x2   A x4 = max , x1 = max {x2 , x1 } = x1 > 0, x3     A A , x2 = max , x2 = x2 , x5 = max x4 x1     A A x6 = max , x3 = max , x3 = x3 x5 x2 Như x4 = x1 , x5 = x2 x6 = x3 dãy tuần hồn cuối với chu kỳ (iii) Trường hợp x−2 < 0, x−1 < 0, x0 > Từ A < ta có   A , x−2 < x1 = max x0 Ta có hai trường hợp 47 (c1 ) Nếu A ≤ x−2 x1 = x−2 Hơn ta có x0   A A x2 = max , x−1 = > 0, x x1   A , x0 = x0 > 0, x3 = max x2     A A x4 = max , x1 = max , x1 = x1 , x3 x0     A A A A , x2 = max , = x5 = max x4 x1 x1 x1 Do x3 = x0 , x4 = x1 x5 = x2 Từ suy dãy tuần hồn cuối với chu kỳ A A (c2 ) Nếu ≥ x−2 x1 = x0 x0   A , x−1 = max {x0 , x−1 } = x0 > 0, x2 = max x1     A A x3 = max , x0 = max , x0 = x0 > 0, x2 x0     A A A A x4 = max , x1 = max , = , x x0 x0 x0   A x5 = max , x2 = max {x0 , x0 } = x0 x4 Do x3 = x0 , x4 = x1 x5 = x2 Từ suy dãy tuần hồn cuối với chu kỳ (iv) Trường hợp x−2 < 0, x0 < 0, x−1 > Ta có   A A x1 = max , x−2 = > x x0   A x2 = max , x−1 = max {x0 , x−1 } = x−1 , x1     A A x3 = max , x0 = max , x0 < x2 x−1 Ta có hai trường hợp A (d1 ) Giả sử ≤ x0 x3 = x0 Hơn ta có x−1     A A A A x4 = max , x1 = max , = x3 x0 x0 x0 48 Từ x2 = x−1 , x3 = x0 x4 = x1 Từ kết suy trường hợp A A ≥ x0 x3 = (d2 ) Giả sử x−1 x−1     A A , x1 = max x−1 , = x−1 , x4 = max x3 x0     A A x5 = max , x2 = max , x−1 = x−1 , x4 x−1     A A A A , x3 = max , = , x6 = max x5 x−1 x−1 x−1   A , x4 = max {x−1 , x−1 } = x−1 x7 = max x6 Do x5 = x2 , x6 = x3 x7 = x4 suy dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ (v) Trường hợp x−1 < 0, x0 < 0, x−2 > Ta có   A x1 = max , x−2 > x0 Ta có hai trường hợp A (e1 ) Nếu ≤ x−2 x1 = x−2 Ta có x0     A A x2 = max , x−1 = max , x−1 < 0, x1 x−2   A A x3 = max , x0 = , x x2   A x4 = max , x1 = max {x2 , x−2 } = x−2 , x3     A A , x2 = max , x2 = x2 , x5 = max x4 x−2     A A A A x6 = max , x3 = max , = x5 x2 x2 x2 Từ x4 = x1 , x5 = x2 x6 = x3 suy dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ 49 (e2 ) Nếu A A ≥ x−2 x1 = Ta có x0 x0   A x2 = max , x−1 = max {x0 , x−1 } < 0, x1   A A , x0 = > 0, x3 = max x x2     A A A = , x4 = max , x1 = max x2 , x x0 x0   A , x2 = max {x0 , x2 } = x2 , x5 = max x4     A A A A , x3 = max , = x6 = max x5 x2 x2 x2 Từ x4 = x1 , x5 = x2 x6 = x3 suy dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ (vi) Trường hợp x−1 > 0, x0 > 0, x−2 < Ta có   A x1 = max , x−2 < x0 Ta có hai trường hợp A A ( f1 ) Nếu ≥ x−2 x1 = Hơn ta có x0 x0   A x2 = max , x−1 = max {x0 , x−1 } > 0, x1   A x3 = max , x0 = x0 , x2     A A A A x4 = max , x1 = max , = , x x0 x0 x0   A x5 = max , x2 = max {x0 , x2 } = x2 x4 Từ x3 = x0 , x4 = x1 x5 = x2 suy dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ 50 ( f2 ) Nếu A ≤ x−2 x1 = x−2 Hơn ta có x0     A A x2 = max , x−1 = max , x−1 > 0, x1 x−2   A x3 = max , x0 = x0 , x2     A A , x1 = max , x−2 = x−2 , x4 = max x3 x0     A A x5 = max , x2 = max , x2 = x2 x4 x−2 Vì x3 = x0 , x4 = x1 x5 = x2 , nên dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ (vii) Trường hợp x−1 < 0, x−2 > 0, x0 > Ta có   A , x−2 = x−2 , x1 = max x0     A A x2 = max , x−1 = max , x−1 < 0, x1 x−2   A , x0 > x3 = max x2 Ta có hai trường hợp A A (g1 ) Nếu ≥ x0 x3 = Hơn ta có x2 x2   A x4 = max , x1 = max {x2 , x−2 } = x−2 , x3     A A x5 = max , x2 = max , x2 = x2 , x4 x−2     A A A A x6 = max , x3 = max , = x5 x2 x2 x2 Do x4 = x1 , x5 = x2 x6 = x3 Từ suy dãy tuần hồn cuối với chu kỳ A (g2 ) Nếu ≤ x0 , x3 = x0 Hơn ta có x2     A A x4 = max , x1 = max , x−2 = x−2 , x3 x0     A A x5 = max , x2 = max , x2 = x2 x4 x−2 51 Từ x3 = x0 , x4 = x1 x5 = x2 suy dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ (viii) Trường hợp x0 < 0, x−2 > 0, x−1 > A (h1 ) Nếu ≤ x−2 , x1 = x−2 Hơn ta có x0     A A x2 = max , x−1 = max , x−1 = x−1 , x1 x−2     A A x3 = max , x0 = max , x0 > x2 x−1 Ta có hai trường hợp A (h11 ) Nếu ≤ x0 x3 = x0 Do x1 = x−2 , x2 = x−1 x3 = x0 Kết x−1 suy dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ A A ≥ x0 , x3 = Hơn ta có (h12 ) Nếu x−1 x−1   A , x1 = max {x−1 , x−2 } > 0, x4 = max x3     A A , x2 = max , x−1 = x−1 , x5 = max x4 x4     A A A A x6 = max , x3 = max , = , x5 x−1 x−1 x−1   A , x4 = max {x−1 , x4 } = x4 x7 = max x6 Do x5 = x2 , x6 = x3 x7 = x4 , nên dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ A A (h2 ) Nếu ≥ x−2 x1 = x0 x0   A x2 = max , x−1 = max {x0 , x−1 } = x−1 , x1     A A x3 = max , x0 = max , x0 < x2 x−1 Ta có hai trường hợp 52 (h21 ) Nếu A A ≥ x0 , x3 = x−1 x−1     A A , x1 = max x−1 , = x−1 , x4 = max x3 x0     A A x5 = max , x2 = max , x−1 = x−1 , x4 x−1     A A A A = x6 = max , x3 = max , , x5 x−1 x−1 x−1   A , x4 = max {x−1 , x4 } = x4 x7 = max x6 Do x5 = x2 , x6 = x3 x7 = x4 , nên dãy tuần hoàn cuối với chu kỳ A ≤ x0 , x3 = x0 (h22 ) Nếu x−1     A A A A x4 = max , x1 = max , = x3 x0 x0 x0 Từ x2 = x−1 , x3 = x0 x4 = x1 , suy tdãy tuần hoàn cuối với chu kỳ Định lý chứng minh Tóm lại ta có kết sau Định lý 3.1.7 Giả sử A ∈ R Khi dãy {xn }∞ n=−2 thoả mãn (3.1) tuần hoàn cuối với chu kỳ 3.2 Một số tập áp dụng Từ chứng minh Định lý 3.1.3 Định lý 3.1.5, ta dễ dàng có số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=−2 thoả mãn công thức truy hồi (3.1) trường hợp • A > x−2 > 0, x−1 > 0, x0 > 0; • A > x−2 < 0, x−1 < 0, x0 < Tương tự kết trên, ta đưa số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=−2 cho trường hợp lại Trong phần này, đề xuất số 53 tập trường hợp đặc biệt trường hợp xét phần trước Ngoài ra, số tập liên quan tới dãy số có cơng thức truy hồi tương tự công thức (3.1) đề xuất Bài tập 3.2.1 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   , xn , n ≥ xn+3 = max xn+2 với x0 = 1, x1 = 1, x2 = Bài tập 3.2.2 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   xn+3 = max , xn , n ≥ 2xn+2 với x0 = −1, x1 = 1, x2 = Bài tập 3.2.3 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   −2 , xn , n ≥ xn+3 = max xn+2 với x0 = −1, x1 = −2, x2 = Bài tập 3.2.4 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   , xn , n ≥ xn+3 = max 2xn+2 với x0 = −1, x1 = −2, x2 = −3 Bài tập 3.2.5 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   , xn , n ≥ xn+3 = 2xn+2 với x0 = −1, x1 = 2, x2 = Bài tập 3.2.6 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   xn+3 = , xn , n ≥ 2xn+2 với x0 = −1, x1 = −2, x2 = 54 Bài tập 3.2.7 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   , xn , n ≥ xn+2 = max 2xn+1 với x0 = −1, x1 = −2 Bài tập 3.2.8 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   xn+2 = max , xn , n ≥ xn+1 với x0 = 1, x1 = Bài tập 3.2.9 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   , xn , n ≥ xn+2 = max − xn+1 với x0 = 2, x1 = Bài tập 3.2.10 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   , xn , n ≥ xn+2 = xn+1 với x0 = −1, x1 = Bài tập 3.2.11 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   xn+2 = − , xn , n ≥ xn+1 với x0 = −1, x1 = Bài tập 3.2.12 Tìm số hạng tổng quát dãy {xn }∞ n=0 thoả mãn   , xn , n ≥ xn+2 = max − xn+1 với x0 = −1, x1 = Gợi ý Giải tập tương tự phần chứng minh định lý chương 55 KẾT LUẬN Luận văn “Một số dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt” trình bày số kết hội tụ số hạng tổng quát số dãy số cho dạng đặc biệt Các kết luận văn bao gồm: Trình bày số kết hội tụ số dãy số cho có dạng truy hồi bất đẳng thức, Định lý 2.1.3, Định lý 2.1.5, Mệnh đề 2.1.10, Mệnh đề 2.1.11, Hệ 2.1.4, Hệ 2.1.7 kết Một số tập áp dụng kết trình bày, tập 2.2.3, 2.2.4,2.2.5,2.2.6,2.2.7,2.2.8, 2.2.9 2.2.11 đề xuất Trình bày số kết số hạng tổng quát dãy số cho dạng min, max Các kết trích dẫn từ tài liệu [8] Một số tập áp dụng dựa kết đề xuất 56 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] H V Hùng (2011) , Sự hội tụ dãy truy hồi phi tuyến, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải,27, 87-93 [2] J M Monier (2000) , Giáo trình Tốn Tập 1: Giải tích 1, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội (Người dịch: Lý Hoàng Tú) [3] Vũ Tuấn (2011), Giáo trình Giải tích Tốn học 1,2, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội Tiếng Anh [4] P K Anh, N.T.Vinh (2019) , Self-adaptive gradient projection algorithms for variational inequalities involving non Lipschitz-continuous operators, Numerical Algorithms, 81, 983–1001 [5] V Berinde (2009) , A note on a difference inequality used in the iterative approximation of fixed points, Creative Math Inf 18 , No.1, 6-9 [6] V Berinde (2009) , On a family of first order difference inequalities used in the iterative approximation of fixed points, Creative Math Inf 18 , No 2, 110 - 122 57 [7] V Berinde, M Pacurar (2014) , Stability of k-step fixed point iterative methods for some Preˇsic type contractive mappings, Journal of Inequalities and Applications , 2014:149 [8] E.M.n Elsayed,o S Stevic (2009) , On the max-type equation xn+1 = max xAn , xn−2 , Nonlinear Analysis, 71, 910–922 [9] J.R Jachymski (1997) , An extension of A Ostrowski’s theorem on the roundoff stability of iterations Aequationes Math, 53, 242-253 [10] W.J Kaczor, M.T Nowak (2000) , Problems in Mathematical Analysis I: Real Numbers, Sequences and Series, American Mathematical Society [11] P.E Mainge (2008) , Convergence theorems for inertial KM-type algorithms J Comput Appl Math, 219, 223–236 [12] Y Malitsky (2015) , Projected Reflected Gradient Methods for Monotone Variational Inequalities SIAM Journal on Optimization, 25, 502–520 [13] K.K Tan, H.K Xu (1993) , Approximating Fixed Points of Nonexpansive Mappings by the Ishikawa Iteration Process, J Math Anal Appl, 178, 301 -308 [14] H.K Xu (2002) , Iterative algorithms for nonlinear operator, J London Math Soc, 66, 240–256 [15] Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Properties_of_polynomial_roots 58