SKKN phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT NGUYỄN THÁI HỌC =====***===== BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Tác giả sáng kiến: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG Mã sáng kiến: 05.52 Vĩnh Yên BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu Trong năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc đứng tốp đầu nước chất lượng thi ĐH-CĐ thi THPT Quốc gia Là trường đà phát triển, trường THPT Nguyễn Thái Học nỗ lực để trì nâng cao chất lượng giáo dục mặt nhà trường Nhiệm vụ vừa trách nhiệm, vừa niềm vinh dự giáo viên Là giáo viên ban Giám hiệu giao nhiệm vụ giảng dạy lớp mũi nhọn khối A của trường, ôn thi THPT Quốc gia, phụ trách đội tuyển toán lớp 11, tơi nhận thấy phải có trách nhiệm giúp em học sinh đạt điểm số cao khả em “DÃY SỐ” là một những kiến thức hay và khó chương trình Đại số và Giải tích lớp 11 Trong các đề thi khảo sát chuyên đề của các trường có không ít những câu hỏi trắc nghiệm về dãy số đã gây khó khăn đối với học sinh Đặc biệt các đề thi học sinh giỏi lớp 11 câu dãy số xuất hiện và là câu khó đối với nhiều học sinh Trong đó dạng toán phổ biến nhất về dãy số là dạng bài về tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số( CTTQ) và tình giới hạn của dãy số Để giúp học sinh THPT đặc biệt học sinh lớp khá giỏi lớp 11 trường THPT Nguyễn Thái Học gải quyết được một số dạng bài tập liên quan đến dãy số, chọn viết đề tài: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát và cách tính giới hạn một số dãy số cho bằng công thức truy hồi Tên sáng kiến: “ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0977604246 - E_mail: thuyduongnth@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: - Họ tên: NGUYỄN THỊ THÙY DƯƠNG - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học - Số điện thoại: 0977604246 - E_mail: thuyduongnth@gmail.com Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng vào dạy học mơn ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11ở trường THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 11 Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng năm 2016 Mô tả chất sáng kiến: Sáng kiến gồm phần: PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN 4: KẾT QUẢ PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN I Cơ sở thực tiễn Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò Đới với người thầy, ngồi việc truyền thụ kiến thức mới, giúp học sinh củng cố những kiến thức học cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học sinh, giúp em bước vượt qua khó khăn, thử thách cách nhẹ nhàng Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, quá trình dạy học giáo viên cần định hướng cho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách vận dụng lí thuyết vào bài tập, biết cách đưa toán phức tạp toán đơn giản, biết cách biến “không thể” thành “có thể” II Cơ sở lý thút DÃY SỚ 1 Định nghĩa: a) Mỗi hàm số xác định tập số tự nhiên gọi dãy số vơ hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: Dạng khai triển: Trong ta gọi: số hạng đầu, số thứ hay số hạng tổng quát dãy số b) Mỗi hàm số xác định tập với gọi dãy số hữu hạn 1.2 Dãy số tăng, dãy số giảm  a) Dãy số gọi tăng với b) Dãy số gọi giảm với 1.3 Dãy số bị chặn a) Dãy số gọi bị chặn tồn số cho b) Dãy số gọi bị chặn tồn số cho c) Dãy số gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số cho CẤP SỐ CỘNG 2.1 Định nghĩa: (un) cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) 2.2 Số hạng tổng quát: với n  với k  2.3 Tính chất số hạng: 2.4 Tổng n số hạng đầu tiên: = CẤP SỐ NHÂN Định nghĩa: (un) cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q:công bội) Số hạng tổng quát: với n  3 Tính chất số hạng: với k  Tổng n số hạng đầu tiên: PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ I Thuận lợi: + Bản thân là giáo viên đã trường lâu năm, được Ban giám hiệu phân công đứng lớp chọn và phụ trách đội tuyển nhiều năm nên có kiến thức tương đối chắc chắn và bao quát toàn cấp học + Học sinh đã được rèn luyện kỹ giải bài tập về cấp số cộng, cấp số nhân là nền tảng để giải các bài toán về dãy số + Phương pháp được dạy cho đối tượng học sinh khá, nên đa số các em có ý thức học tập tốt và nắm bắt kiến thức tốt II Khó khăn: + Học sinh vẫn quen cách học thụ động, không chịu suy nghĩ tìm tòi trước những câu hỏi khó, lạ + Thời lượng dạy không được nhiều nên nhiều ý tưởng của giáo viên chưa truyền tải được hết PHẦN 3: NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP DẠNG 1: TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Một nội dung thường gặp toán dãy số xác định công thức số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức truy hồi Có nhiều phương pháp để giải yêu cầu Tuy nhiên phương pháp thường gặp là biến đổi để qui dãy số đặc biệt đó chính là: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Dạng 1.1 Xác định CTTQ dãy (un) xác định : a, b số Dãy số kiểu này xuất hiện khá nhiều các bài tập về dãy số cũng các câu hỏi trắc nghiệm Chúng ta hãy bắt đầu bằng ví dụ đơn giản nhất: Ví dụ 1: (Bài tập 2.6 phần b sách tập đại số giải tích 11) : Tìm cơng thức sớ hạng TQ dãy (un) xác định sau : Lời giải: Bài toán này có thể giải bằng các cách khác nhau: Cách 1: Dự đoán SHTQ rồi chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học Ta có: Dự đoán: Dễ dáng chứng minh được công thức bằng phương pháp quy nạp toán học Cách 2: Từ công thức truy hồi một cấp số cộng, với: suy ra: Khi đó: Ví dụ 2: Xác định SHTQ của dãy số được xác định bởi: Lời giải: suy dãy số là Tương tự ví dụ 1, có thể giải ví dụ bằng cách dự đoán công thức SHTQ rối chứng minh bằng quy nạp Tuy nhiên từ công thức truy hồi ta có thể thấy dãy số này là một CSN với: từ đó suy ra: * Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy bài toán có thể giải quyết dễ dàng bởi dãy số đã cho chính là những dãy đặc biệt cấp số cộng ( CSC) hoặc cấp số nhân (CSN) Tuy nhiên không phải dãy số nào cũng là CSC hay CSN Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: (Bài tập 3.11 phần a sách tập đại số giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số Hãy điền số thích hợp vào bảng sau đây: n un Lời giải: Dãy số này không phải là CSC hay CSN, nhiên ta có thể biến đổi về CSC, CSN đối với một dãy trung gian khác Thật vậy: Từ công thức truy hồi: một CSN Tức là: ta biến đổi về dãy , ta sẽ tìm dãy cho là vậy Ta có: Như vậy dãy số với là một cấp số nhân xác định sau: Ta thấy (vn) lập thành CSN với số hạng đầu v1=6 công bội q=3 nên suy Vậy ta có bảng sau: n un 49 481 4369 *Từ ví dụ ta có cách làm tổng quát cho dãy số dạng : sau: Cách giải: + Nếu thì (un) là cấp số cộng với công sai d=b + Nếu : Ta sẽ phân tích nên hay Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: Từ ta có dãy là CSN có cơng bợi q=a Suy ra: hay BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho dãy số: a Chứng minh dãy số là CSN b Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số ĐS: Bài 2: Tìm công thức SHTQ của các dãy số sau: a ĐS: b ; ĐS: Dạng 1.2: Xác định CTTQ dãy (un) xác định sau : , Trong đa thức bậc với số Cách giải: Ta phân tích TH1: Nếu a=1 ta chọn g(n) đa thức bậc k+1 có hệ số tự TH2: Nếu a ≠1 ta chọn g(n) đa thức bậc k Khi ta viết cơng thức truy hồi dãy sau: Ta tìm CTTQ dãy (un) là: Ví dụ 1:(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số giải tích 11) Cho dãy (un) xác định Tìm CTTQ dãy (un) Lời giải: Cách 1: Giải sử: Khi ta phân tích: Đồng hệ số Khi ta xác định hàm g(n): Từ công thức truy hồi dãy (un) ta có: Cách 2: Từ cơng thức truy hồi Un+1-Un= 3n-2 ta thay giá trị n=1,2,… cộng theo vế ta được: Ví dụ 2: (bài 3.28 trang 90 sách tập đại số giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số (vn) xác định sau: Chứng minh rằng: Lời giải: Cách Chứng minh phương pháp quy nạp Cách Tìm CTTQ (vn) Ta có (vn) xách định sau: Phân tích: 10 Đồng hệ số: x1, x2 nghiệm phương trình: T2-5T+6=0 Ta chọn : Áp dụng dạng ta có: Từ (*) ta có: BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Xác định công thức tổng quát dãy (Un).được cho công thứ : Bài 2: Xác định công thức tổng quát dãy (Un).được cho công thức: ĐS Bài 3: Xác định công thức tổng quát dãy (Un) cho công thức: 18 Bài 4: Xác định công thức tổng quát dãy (Un).được cho công thức: a, ĐS: b, ĐS: c, ĐS: d, e, CÂU HỎI TRĂC NGHIỆM Câu Cho dãy số với Số hạng tổng quát dãy số số hạng đây? A C Câu Cho dãy số B D với Số hạng tổng quát dãy số số hạng đây? A Câu Cho dãy số với B C D Công thức số hạng tổng quát dãy số : 19 A B Câu Cho dãy số C D xác định Giá trị để A B Câu Cho dãy số C Khơng có D xác định sau: Tính tổng A B C Câu Cho dãy số D xác định Tìm chữ số hàng đơn vị A B Câu Cho dãy số C với D Số hạng tổng quát dãy số số hạng đây? A B Câu 9: Cho dãy A C D Tính B C 20 D Câu 10 Cho dãy số với Số hạng tổng quát dãy số số hạng đây? A C B D Câu 11: Cho dãy số có Khi số hạng thứ n+3 là? A B C D Câu 12 Cho dãy số xác định A Tìm B Câu 13 Cho dãy số C với D Số hạng tổng quát dãy số số hạng đây? A B C D Câu 14 Cho dãy số xác định Tìm số nguyên dương nhỏnhất cho A B Câu 15 Tính tổng 21 C D A C B D DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY CHO CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỜI Dạng 2.1 Tính giới hạn của dãy sớ cho bởi công thức truy hồi bằng cách xác định CTTQ của dãy số Nếu biết CTTQ của dãy số thì việc tính giới hạn không còn khó khăn nữa Để tìm CTTQ của dãy số có khá nhiều cách Trong dạng ở chuyên đề này chúng ta đã đưa được một số cách bản để xác định Các ví dụ sau dùng các phương pháp đã biết ở dạng để tìm CTTQ của dãy số Ví dụ Cho dãy số: Tính Lời giải: Áp dụng dạng 1.1 ta tìm được CTTQ cảu dãy số là: Do đó: Ví dụ 2: Cho dãy số: Tính Lời giải: Áp dụng dạng 1.1 ta tìm được CTTQ cảu dãy số là: Do đó: Ví dụ 3: Cho dãy số: Tính Lời giải: Áp dụng dạng 1.5 ta tìm được CTTQ của dãy số là: 22 (HSG Bắc Giang) Do đó: BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho dãy số: Tính Bài 2: Cho dãy số: Tính ĐS: ĐS: Nhận xét: Nhiều bài toán việc tìm được CTTQ là khó khăn, đó ta có thể tìm giới hạn dãy số theo cách khác dễ Dạng 2.2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách sử dụng tính đơn điệu và bị chặn Để tìm được giới hạn theo cách này ta cần nắm được các tính chất sau của dãy số: Dãy số tăng và bị chặn hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới thì có thì có giới hạn hữu hạn Nếu dãy số Nếu dãy số Giải sử dãy số Ví dụ 1: Cho dãy số thỏa mãn điều kiện thỏa mãn điều kiện và tồn tại và tồn tại có giới hạn hữu hạn thì xác địn bởi: Tìm Lời giải: Ta sẽ chứng minh dãy tăng và bị chặn Thật vậy: Chứng minh dãy số tăng bằng quy nạp sau: - Với n=1 ta có: 23 thì thì - Giả xử Hay dãy số , đó Vậy tăng nê sẽ bị chặn dưới bởi Ta sẽ chứng minh dãy số chặn bởi bằng quy nạp, thật vậy: - Khi n=1 ta có - Giả sử , Vậy dãy số Giả sử , đó bị chặn bởi Do đó dãy số thì có giới hạn hữu hạn Từ hệ thức truy hồi, lấy giới hạn hai vế ta có: Vậy Ví dụ 2 : Cho dãy số (un) xác định sau: Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức CôSi : hay dãy số bị chặn dưới bởi Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh  Thật vậy : - Xét hiệu : 24 bị Do Như vậy dãy số hay dãy số giảm giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn Giả sử Ta có phương trình: Vậy Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định sau: Tìm: Lời giải: Dễ dàng chứng minh dãy tăng vì: chặn dưới bởi u1=2019 hay Giả sử dãy sớ có giới hạn hữu hạn a( a>2019) thì : suy dãy sớ khơng có giới hạn hữu hạn hay Ta có : Vậy : Ví dụ 3 : Cho dãy số (un) xác định sau: Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó Lời giải : 25 suy dãy số bị Ta có : Áp dụng bất đẳng thức CôSi : hay dãy số bị chặn dưới bởi Dự đoán dãy số giảm, ta sẽ chứng minh  Thật vậy : - Xét hiệu : Do hay dãy số giảm Như vậy dãy số giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn Giả sử Ta có phương trình: Vậy Ví dụ 4: Cho dãy số xác địn bởi: Tìm (Đề HSG Quảng Bình) Lời giải: Ta có: nên Giả sử ( ) dãy số bị chặn có giới hạn hữu hạn 26 dãy số tăng Ta có: phương trình này vô nghiệm nên dẫn đến mâu thuẫn Vậy dãy ( ) khơng bị chặn Do đó: Ta có: BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho dãy số (un) xác định sau: Chứng minh rằng có giới hạn và tính giới hạn đó Bài 2: Cho dãy số xác định : Tính Bài 3: Cho dãy số (un) xác định sau: Chứng minh dãy số tăng và tìm giới hạn của dãy số đó Dạng 2.3 Tính giới hạn của dãy số bằng cách sử dụng nguyên lý kẹp Để áp dụng phương pháp này ta nhắc lại nguyên lý kẹp sau: Cho dãy số: thỏa mãn điều kiện: thì Sau ta xét một số ví dụ minh họa phương pháp này: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau: Lời giải: 27 và 1) Ta có: mà 2) Ta có: mà Nhận xét: Trong Ví dụ 1, dãy số được cho bằng CTTQ vì vậy việc áp dụng giới hạn kẹp dễ hơn, trường hợp dãy số cho bằng công thức truy hồi ta phải sử dụng kỹ đánh giá cao để có thể dùng được giới hạn kẹp Sau ta xét các ví dụ mà dãy số cho bằng công thức truy hồi Ví dụ 2: Cho dãy số xác định : a CMR: b) CMR: Tính Lời giải: a) Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được Thật vậy: Với n=1 thì Giải sử đúng , ta chứng minh Ta có: Do đó: Vậy 28 Ta chứng minh b) Từ câu a) suy ra: Do đó ta có: Nên theo nguyên lý kẹp: Ví dụ 3: Cho dãy số a) CMR: xác định : và b) Tính Lời giải: Nhận xét: Việc tìm CTTQ của dãy số ta có thể đánh giá được là khá khó khăn, từ hệ thức truy hồi dễ dàng a) Dễ dàng chứng minh được Từ hệ thức truy hồi ta suy ra: b) Từ câu a) ta có: mà nên theo nguyên lý kẹp ta có Ví dụ 4: Cho dãy số xác định : 29 ( với -1