Đẳng thức dạng lượng giác của một số dãy số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NÔNG THỊ PHƢƠNG ĐẲNG THỨC DẠNG LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ DÃY SỐ Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị dãy số 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 3 1.2 Dãy số Fibonacci dãy số Lucas 1.3 Dãy số cân dãy số đối cân Chương Hàm số lượng giác với dãy số Fibonacci dãy số Lucas 11 2.1 2.2 Biểu diễn lượng giác dãy số Fibonacci dãy số Lucas 11 Một số đẳng thức dạng lượng giác dãy số Fibonacci dãy số Lucas 19 Chương Một số đẳng thức dạng lượng giác dãy số cân dãy số đối cân 28 3.1 Đẳng thức dạng lượng giác tính chẵn lẻ số cân 3.2 29 Đẳng thức dạng lượng giác tính chẵn lẻ dãy số 3.3 Lucas cân 31 Tính chẵn lẻ số đối cân số Lucas đối cân 34 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Ta kí hiệu {Fr } dãy số Fibonacci định nghĩa  F = F = 1 F = F r r−1 + Fr−2 , r ≥ {Lr } dãy số Lucas định nghĩa  L = 2, L = 1 L = L r r−1 + Lr−2 , r ≥ Đây hai dãy số tiếng nhiều người quan tâm nghiên cứu Nhiều đẳng thức thú vị hai dãy số tìm Năm 2007, B Lewis [7] cơng bố tạp chí The Mathematical Gazette, số đẳng thức kiểu lượng giác dãy số Fibonacci dãy số Lucas, tức số đẳng thức số Fibonacci số Lucas mà có dạng giống đẳng thức lượng giác Chẳng hạn, Lewis chứng minh đẳng thức Fr+s = (Fr Ls + Fs Lr ), đẳng thức có dạng gần giống với đẳng thức sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w Năm 2010, B Sury [8] công bố tạp chí Acta Mathematica Universitatis Comenianae số biểu diễn số Fibonacci số Lucas dạng tích hàm lượng giác dạng chuỗi số Từ biểu diễn này, tác giả báo thu số tính chất tính chia hết số Fibonacci số Lucas, đồng thời trả lời phần câu hỏi mở chu kỳ tuần hoàn dãy Fibonacci lấy modulo số nguyên tố Trong trình nghiên cứu số tam giác (tức số tổng số số tự nhiên đầu tiên), tác giả A Behera G.K Panda [4] giới thiệu khái niệm số cân Bn , số Lucas cân Cn , số đối cân bn số Lucas đối cân cn Các số có nhiều tính chất thú vị nên nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu năm gần Nhiều luận văn thạc sĩ viết dãy số này, chẳng hạn tài liệu [3], [1], [2] Với ý tưởng tương tự việc tìm kiếm đẳng thức dạng lượng giác dãy số, gần đây, N.V Định [5] cơng bố tạp chí khoa học Đại học Thái Nguyên số đẳng thức dạng lượng giác số cân bằng, số Lucascân bằng, số đối cân số Lucas đối cân Từ xác định tính chẵn lẻ số Mục tiêu đề tài nghiên cứu tài liệu tham khảo để trình bày lại kết B Sury B Lewis dãy số Fibonacci dãy số Lucas, đồng thời trình bày số đẳng thức dạng lượng giác khác hai dãy số Mục tiêu thứ hai trình bày lại kết N.V Định vài kết tương tự dãy số cân bằng, đối cân bằng, Lucas cân Lucas đối cân Nội dung luận văn trình bày ba chương Chương 1, “Kiến thức chuẩn bị dãy số”, trình bày cách sơ lược phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, đặc biệt nghiệm phương trình phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Từ đó, trình bày khái niệm dãy số mà luận văn quan tâm công thức số hạng tổng qt (cịn gọi cơng thức Binet) chúng Chương 2, “Hàm số lượng giác dãy số Fibonacci dãy số Lucas”, trình bày kết B.Sury biểu diễn số Fibonacci số Lucas dạng tích hàm số lượng giác dạng chuỗi số, từ thu tính chất tính chia hết hai dãy số xác định chu kỳ tuần hoàn dãy số Fibonacci lấy modulo số nguyên tố số trường hợp đặc biệt; trình bày kết B Lewis số kết tương tự số đẳng thức dạng lượng giác số Fibonacci số Lucas Chương 3, “Một số đẳng thức dạng lượng giác dãy số cân dãy số đối cân bằng”, trình bày kết N.V Định số kết tương tự số đẳng thức dạng lượng giác tính chẵn lẻ dãy số cân bằng, đối cân bằng, Lucas cân Lucas đối cân Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn TS Ngô Văn Định, người quan tâm bảo, động viên, giúp đỡ tận tình tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực đề tài Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, giáo khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ cho tác giả suốt thời gian học tập Trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Vân Nham, Lạng Sơn toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, khích lệ tơi q trình học tập hoàn thành luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, tháng 12 năm 2022 Tác giả Nông Thị Phương Chương Kiến thức chuẩn bị dãy số Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức dãy số sử dụng chương sau Cụ thể, chúng tơi trình bày sơ lược phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nghiệm trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Sau đó, chúng tơi trình bày khái niệm dãy số Fibonacci, dãy số Lucas, dãy số cân bằng, dãy số đối cân bằng, dãy số Lucas-cân dãy số Lucas-đối cân 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Trong mục này, nhắc lại khái niệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, đặc biệt cơng thức nghiệm phương trình trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Định nghĩa 1.1 Phương trình có dạng un+1 = Aun + Bun−1 , n = 1, 2, , (1.1) A, B số, gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Để tìm nghiệm phương trình sai phân (1.1), ta xét phương trình bậc hai λ2 − Aλ − B = (1.2) Phương trình bậc hai gọi phương trình đặc trưng phương trình sai phân (1.1) Định lý sau cho cơng thức nghiệm phương trình sai phân (1.1) trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt Định lý 1.2 ([6], Định lý 10.1) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α β Khi phương trình sai phân (1.1) có nghiệm un = C1 αn + C2 β n ; n = 0, 1, 2, , (1.3) C1 C2 số Chứng minh Ta cần chứng minh un = C1 αn + C2 β n , với C1 , C2 số bất kỳ, thỏa mãn phương trình (1.1) Thật vậy: Aun−1 + Bun−2 = A(C1 αn−1 + C2 β n−1 ) + β(C1 αn−2 + C2 β n−2 ) = C1 αn−2 (Aα + B) + C2 β n−2 (Aβ + B) = C1 αn−2 α2 + C2 β n−2 β = C1 α n + C2 β n = un Vậy un = C1 αn + C2 β n nghiệm phương trình un = Aun−1 + Bun−2 Đó điều cần chứng minh Nhận xét 1.3 Định lý 1.2 cho ta công thức nghiệm tổng quát phương trình sai phân (1.1) trường hợp phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Trong công thức nghiệm, hệ số C1 , C2 tùy ý Tuy nhiên, cho thêm điều kiện ban đầu phương trình (1.1) hệ số hồn tồn xác định Cụ thể, xét phương trình (1.1) với điều kiện ban đầu u0 = c0 u1 = c1 Khi đó, hệ số C1 , C2 xác định hệ phương trình:  c = C + C  c = C α + C β 1 Từ hệ phương trình dễ dàng ta thu C1 = c0 α − c1 c1 − c0 β C2 = α−β α−β Ví dụ 1.4 Tìm nghiệm phương trình sai phân un+1 = 9un − 20un−1 (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 7; u1 = Lời giải Phương trình đặc trưng phương trình (1.4) λ2 − 9λ + 20 = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Do đó, nghiệm tổng qt phương trình (1.4) un = C1 4n + C2 5n , n = 0, 1, Từ điều kiện ban đầu u0 = 9, u1 = ta có hệ phương trình  C + C = 4C + 5C = Giải hệ phương trình ta C1 = 26, C2 = −19 Vậy nghiệm phương trình (1.4) với điều kiện ban đầu u0 = 7, u1 = un = 26.4n − 19.5n , n = 0, 1, 1.2 Dãy số Fibonacci dãy số Lucas Trong mục trình bày lại khái niệm số tính chất dãy số Fibonacci dãy số Lucas Đây hai dãy số tiếng, nhiều người quan tâm có nhiều luận văn thạc sĩ trình bày hai dãy số Ở đây, giới thiệu sơ lược khái niệm công thức Binet xác định số hạng tổng quát chúng Trước tiên đến với khái niệm dãy số Fibonacci Định nghĩa 1.5 Các số Fibonacci {Fn }, n = 0, 1, 2, xác định phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Fn+1 = Fn + Fn−1 , n ≥ 1, với điều kiện ban đầu F0 = 0, F1 = Như vậy, theo Định nghĩa 1.5 trên, số Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, Áp dụng lý thuyết phương trình sai phân trình bày trên, phương trình đặc trưng phương trình sai phân Fn+1 = Fn + Fn−1 λ2 − λ − = Phương trình có hai nghiệm phân biệt √ √ − −1 1+ β = = α= 2 α Do dãy số Fibonacci có số hạng tổng quát Fn = αn − β n √ , n ≥ (1.5) Công thức (1.5) gọi cơng thức Binet dãy số Fibonacci Ngồi cơng thức Binet, số Fibonacci xác định nhiều công thức khác, chẳng hạn công thức sau cho ta cách xác định số Fibonacci qua hệ số nhị thức [(n−2)/2] Fn = X r=0 ! n−1−r , n ≥ r Công thức thu thông qua việc khai triển hàm sinh dãy số Fibonacci Ở chương sau, có cách xác định khác số Fibonacci thông qua hàm số lượng giác Tiếp theo, đến với khái niệm dãy số Lucas Định nghĩa 1.6 Các số Lucas {Ln }, n = 0, 1, 2, xác định phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Ln+1 = Ln + Ln−1 , n ≥ 1, với điều kiện ban đầu L0 = 2, L1 = Như vậy, ta thấy phương trình sai phân tuyến tính cấp hai xác định dãy số Lucas tương tự phương trình sai phân tuyến tính cấp hai xác định dãy số Fibonacci khác điều kiện ban đầu Một vài số Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, Phương trình đặc trưng λ trình có √ √ − λ − = Phương 1− −1 1+ hai nghiệm phân biệt α = β = = Với điều 2 α kiện ban đầu L0 = L1 = 1, dãy số Lucas có số hạng tổng quát Ln = αn + β n , với n ≥ (1.6) Công thức (1.6) gọi công thức Binet dãy số Lucas Tương tự số Fibonacci, số Lucas có nhiều tính chất đẹp phát Ở chương sau, chúng tơi trình bày số tính chất dãy số có liên quan đến hàm số lượng giác, nhiều tính chất khác sử dụng Ngoài ra, hai dãy số Fibonacci dãy số Lucas có nhiều mối liên hệ chặt chẽ, chẳng hạn ta có Ln = Fn−1 + Fn+1 , n ≥ Ở chương sau, trình bày số tính chất thể mối liên quan hai dãy số 25 ii) Áp dụng công thức Binet dãy số Fibonacci dãy số Lucas, ta có: 5F (r+s) F (r−s) = 2 (r+s) 1 α − β (r+s) α (r−s) − β (r−s) √ √ =5 · 5     1 = α (r+s) − β (r+s) · α (r−s) − β (r−s) 1 1 1 1 = α (r+s)+ (r−s) − β (r+s) · α (r−s) − α (r+s) · β (r−s) + β (r+s)+ (r−s) = αr + β r − (α · β) (r−s) (αs + β s ) = Lr − (−1) (r−s) Ls Vậy ii) chứng minh iii) Áp dụng công thức Binet dãy số Fibonacci dãy số Lucas, ta có: F (r+s) L (r−s) = = α (r+s)  − β (r+s)  (r−s) √ + β (r−s) · α2  1 1 1 1  = √ α (r+s)+ (r−s) + α (r+s) · β (r−s) − β (r+s) · α (r−s) − β (r+s)+ (r−s) 1 = √ (αr − β r ) + √ (αβ) (r−s) (αs − β s ) 5 = Fr + (−1) (r−s) Fs Vậy iii) chứng minh iv) Áp dụng công thức Binet dãy số Fibonacci dãy số Lucas, ta có: F (r−s) L (r+s) = 2   1  (r−s) √ α2 − β (r−s) α (r+s) + β (r+s)  1 1 1  (r−s)+ (r+s) (r−s)+ 21 (r+s) (r+s) (r−s) (r−s) (r+s) 2 2 2 =√ α −β −α ·β +α ·β   1 (r−s) s s r r (α − β ) = √ α − β ) − √ (α · β) 5 = Fr − (−1) (r−s) Fs 26 Vậy iv) chứng minh Mệnh đề cho số đẳng thức tương đồng với công thức “biến đổi tích thành tổng” hàm số lượng giác: [cos(x + y) + cos(x − y)] ; sin x sin y = − [cos(x + y) − cos(x − y)] ; sin x cos y = [sin(x + y) + sin(x − y)] cos x cos y = Mệnh đề 2.12 i) Lr Ls = Lr+s + (−1)s Lr−s ; ii) 5Fr Fs = Lr+s − (−1)s Lr−s ; iii) Fr Ls = Fr+s + (−1)s Fr−s Chứng minh i) Áp dụng công thức Binet dãy số Fibonacci dãy số Lucas, ta có: Lr Ls = (αr + β r ) (αs + β s ) = αr+s + αr β s + αs β r + β r+s

= αr+s + β r+s + (−1)s αr−s + β r−s = Lr+s + (−1)s Lr−s Vậy i) chứng minh ii) Áp dụng công thức Binet dãy số Fibonacci dãy số Lucas, ta có: αr − β r αs − β s · √ 5Fr Fs = · √ 5 r r s = (α − β )(α − β s )
= αr+s + β r+s − αr β s − αs β r
= αr+s − β r+s − (α · β)s (αr−s + β r−s ) = Lr+s − (−1)s Lr−s Vậy ii) chứng minh 27 iii) Áp dụng công thức Binet dãy số Fibonacci dãy số Lucas, ta có: Fr Ls = √ (αr − β r ) (αs + β s )
= √ αr+s + αr β s − β r β s − β r+s

1 = √ αr+s − β r+s + √ (−1)s αr−s − β r−s 5 = Fr+s + (−1)s Fr−s Vậy iii) chứng minh Như vậy, với cách tiếp cận thông qua đẳng thức lượng giác quen thuộc, thấy nhiều mối quan hệ thú vị dãy số Fibonacci dãy số Lucas Chúng ta thấy rằng, đẳng thức thu hai dãy số khơng hồn tồn giống hệ số với đẳng thức lượng giác Trong chương tiếp theo, chúng tơi trình bày mối quan hệ dãy số cân bằng, dãy số đối cân bằng, dãy số Lucas cân dãy số Lucas đối cân thu cách tìm kiếm đẳng thức tương đồng với đẳng thức lượng giác Chúng ta thấy rằng, nhiều tính chất dãy số giống với đẳng thức lượng giác 28 Chương Một số đẳng thức dạng lượng giác dãy số cân dãy số đối cân Ở chương luận văn, nêu khái niệm dãy số cân {Bn }, dãy số đối cân {bn }, dãy số Lucas cân {Cn } dãy số Lucas đối cân {cn } Công thức Binet dãy số λn1 − λn2 , ∀n ≥ 0, Bn = λ1 − λ2 λn1 + λn2 , ∀n ≥ 0, Cn = √ √ λ1 = + 8, λ2 = − α12n−1 − α22n−1 √ − 2n−1 2n−1 α + α2 , cn = √ √ α1 = + 2, α2 = − Lưu ý λ1 = α12 λ2 = α22 Tiếp tục ý tưởng phần cuối chương 2, chương này, chúng tơi trình bày số đẳng thức liên quan đến bốn dãy số nói có tính tương đồng với đẳng thức lượng giác từ tính chất chất này, chúng tơi trình bày số kết tính chất chia hết dãy số Tài liệu tham khảo chương tài liệu [5] bn = 29 3.1 Đẳng thức dạng lượng giác tính chẵn lẻ số cân Trong phần này, chứng minh số đồng dạng lượng giác dãy số cân suy tính chẵn lẻ chúng Chúng ta bắt đầu định lý cho đẳng thức dạng lượng giác hoàn toàn tương đồng với đẳng thức     x+y x−y cos sin x − sin y = sin 2 Định lý 3.1 Cho n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m có tính chẵn lẻ, ta có C n+m Bn − Bm = 2B n−m 2 Chứng minh Sử dụng cơng thức Binet, ta có n−m C n+m 2B n−m 2 n−m n+m n+m λ1 + λ 2 λ1 − λ2 · =2· λ − λ2 m m n n λ − λ2 λ1 − λ2 − = λ1 − λ λ1 − λ2 = Bn − Bm Suy điều phải chứng minh Hệ 3.2 Cho n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m, ta có B2n − B2m = 2Bn−m Cn+m Chứng minh Đây hệ trực tiếp từ Định lý 3.1 Trong Hệ 3.2, cho m = ta hệ sau Hệ 3.3 Với n ≥ 1, ta có B2n − = 2Bn−1 Cn+1 Hệ 3.4 Cho n, m số nguyên khơng âm cho n ≥ m Khi B2n = 2(Bn−m Cn+m + Bm Cm ) 30 Hệ suy trực tiếp từ Định lý 3.1 Hệ 3.5 Cho n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m, ta có Bn+m − Bn−m = 2Bm Cn Định lý sau cho thơng tin tính chẵn lẻ số cân Định lý 3.6 Với số nguyên dương n ≥ 0, dãy số cân Bn n có tính chẵn lẻ Chứng minh Nếu n, m số ngun có tính chẵn lẻ Bn Bm có tính chẵn lẻ theo Định lý 3.1 Mặt khác, ta có B0 = 0, B1 = B2 = Suy Bn n có tính chẵn lẻ Ta có biểu thức dãysố cânbằngcó dạng đẳng thức dạng x−y x+y cos Cụ thể, ta có lượng giác sin x + sin y = sin 2 định lý sau Định lý 3.7 Cho n, m số nguyên thỏa mãn n ≥ m có tính chẵn lẻ Khi đó, Bn + Bm = 2B n+m C n−m 2 Chứng minh Sử dụng cơng thức Binet, ta có n+m C n−m 2B n+m 2 n+m n−m n−m λ − λ2 λ + λ 2 · =2· λ1 − λ2 n n m m λ − λ2 λ1 − λ2 = + λ1 − λ λ1 − λ2 = Bn + Bm Suy điều phải chứng minh Từ Định lý 3.7, có hệ trực tiếp sau Hệ 3.8 Cho n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m, ta có Bn+m + Bn−m = 2Bn Cm 31 Từ đẳng thức Hệ 3.5 Hệ 3.8, dễ dàng thu đẳng thức dạng lượng giác tương đồng với hai công thức lượng giác quen thuộc sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y Mệnh đề 3.9 Cho n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m, ta có i) Bn+m = Bn Cm + Bm Cn ; ii) Bn−m = Bn Cm − Bm Cn Từ Mệnh đề 3.9, ta có cơng thức “nhân đơi” B2n = 2Bn Cn Kết hợp với Hệ 3.2, ta có hệ sau Hệ 3.10 Cho n, m số nguyên không âm cho n ≥ m Khi B2n = 2(Bn−m Cn+m + Bm Cm ) 3.2 Đẳng thức dạng lượng giác tính chẵn lẻ dãy số Lucas cân Tương tự mục trước, mục chúng tơi trình bày số đẳng thức dạng lượng giác có liên quan đến tổng hiệu số Lucas cân bằng, từ suy vài tính chất tính chẵn lẻ số Định lý sau cho đẳng thức hoàn toàn tương đồng với đẳng thức lượng giác     x+y x−y cos x + cos y = cos cos (3.1) 2 đẳng thức có dạng gần giống (chỉ sai khác hệ số) với đẳng thức     x−y x+y sin (3.2) cos x − cos y = −2 sin 2 32 Định lý 3.11 Cho m, n số tự nhiên cho n ≥ m có tính chẵn lẻ Khi C n−m , i) Cn + Cm = 2C n+m 2 (3.3) B n−m ii) Cn − Cm = 16B n+m 2 (3.4) Chứng minh Sử dụng cơng thức Binet, ta có n+m C n−m 2C n+m 2 n+m n−m n−m λ1 + λ 2 λ + λ 2 · =2· 2 n n m m λ + λ λ1 + λ = + = Cn + Cm 2 Đẳng thức chứng minh Tiếp theo, ta chứng minh đẳng thức thứ hai, ta có n+m B n−m B n+m 2 n+m n−m n−m λ1 − λ2 λ − λ2 · = λ1 − λ2 λ1 − λ2 m (λn1 + λn2 − λm = − λ2 ) (λ1 − λ2 ) 1 m = (λn1 + λn2 − λm (Cn − Cm ) − λ2 ) = 32 16 Suy điều phải chứng minh Hệ suy trực tiếp từ Định lý 3.11 Hệ 3.12 Với n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m, ta có i) C2n + C2m = 2Cn+m Cn−m , (3.5) ii) C2n − C2m = 16Bn+m Bn−m (3.6) Từ Định lý 3.11 ta suy khơng tính chẵn lẻ mà cịn tính chất chia hết liên quan đến số Lucas cân thể định lý Định lý 3.13 Với số nguyên n ≥ 0, dãy số Lucas cân Cn số lẻ Hơn nữa, n, m số nguyên có tính chẵn lẻ hiệu Cn Cm chia hết cho 16 33 Chứng minh Nếu n, m số ngun có tính chẵn lẻ hiệu Cn Cm chia hết cho 16 suy từ đẳng thức thứ Định lý 3.11 Từ suy Cn Cm có tính chẵn lẻ Mặt khác, ta có C0 = 1, C1 = 3, C2 = 17 Vậy Cn số lẻ với n Suy điều phải chứng minh Mệnh đề cho hai đẳng thức thú vị số cân số Lucas cân mà từ thu đẳng thức có dạng lượng giác cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y hệ sau Mệnh đề 3.14 Cho n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m Khi đẳng thức sau i) 16(Cn Cm − Bn Bm ) = 7Cn+m + 9Cn−m , ii) 16(Cn Cm + Bn Bm ) = 9Cn+m + 7Cn−m (3.7) (3.8) Chứng minh Sử dụng công thức Binet, ta có m m λn1 − λn2 λm λn1 + λn2 λm − λ2 + λ2 · · − Cn Cm − B n B m = 2 λ1 − λ2 λ1 − λ2 λn+m + λn+m + λn−m + λn−m λn+m + λn+m − λn−m − λn−m 2 2 = − 32 n+m n+m n−m n−m λ1 + λ 7Cn+m + 9Cn−m λ1 + λ · + · = = 16 16 16 Vậy i) chứng minh ii) chứng minh tương tự Hệ 3.15 Cho n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m Khi đó, đẳng thức sau i) Cn+m = Cn Cm + 8Bn Bm ; ii) Cn−m = Cn Cm − 8Bn Bm Mệnh đề sau cho ta quan hệ tổng dãy số Lucas cân dãy số Lucas đối cân bằng, từ suy tính chất số học tổng hai số Lucas cân liên tiếp 34 Mệnh đề 3.16 Với n, m số tự nhiên thỏa mãn n ≥ m ≥ 1, ta có i) Cn+m−1 − Cn−m = 2cn cm , ii) Cn+m−1 + Cn−m = 16bn bm + 8(bn + bm ) + (3.9) (3.10) Chứng minh Sử dụng công thức Binet dãy số Lucas đối cân bằng, với ý α1 α2 = −1, ta có α12n−1 + α22n−1 α12m−1 + α22m−1 · cn cm = 2 2(n+m−1) 2(n+m−1) 2(n−m) 2(n−m) α1 + α2 α1 + α2 − 2 = (Cn+m−1 − Cn−m ) Như i) chứng minh Tương tự, ta chứng minh ii) Từ ii) Mệnh đề 3.16, cho m = 0, suy dãy tổng dãy Lucas cân liên tiếp Hệ 3.17 Với số nguyên n ≥ 1, tổng số Lucas cân thứ (n − 1) số Lucas cân thứ n chia hết cho 3.3 Tính chẵn lẻ số đối cân số Lucas đối cân Trong mục này, chúng tơi trình bày số tính chất số học liên quan đến tính chẵn lẻ số đối cân bằng, số Lucas đối cân Trước đó, chúng tơi trình bày vài đẳng thức mối quan hệ dãy số này, có số đẳng thức dạng lượng giác Mệnh đề 3.18 Cho m, n số nguyên dương i) Nếu n > m bn+m − bn−m = 2cn Bm ; ii) Nếu n ≤ m bn+m − bm−n+1 = 2cn Bm (3.11) (3.12) 35 Chứng minh Sử dụng công thức Binet dãy số cân dãy số Lucas đối cân bằng, ta có α12n−1 + α22n−1 α12m − α22m √ · cn B m = 2(n+m)−1 2(n+m)−1 2(n−m)−1 2(n−m) α1 − α2 α1 − α2 −1 √ √ = − 8   (b n+m − bn−m ), n > m; =  (b n+m − bm−n+1 ), n ≤ m Suy điều phải chứng minh Từ Mệnh đề 3.18, ta có kết sau tính chẵn lẻ số đối cân Định lý 3.19 Mọi số đối cân số chẵn Hơn nữa, với m ≥ 1, hiệu số đối cân thứ (2m + 1) số đối cân thứ (2m) chia hết cho Chứng minh Theo ii) Mệnh đề 3.18, ta có bn bn+1 có tính chẵn lẻ với n ≥ Suy bn số chẵn với n ≥ b1 = Mặt khác, từ ii) Mệnh đề 3.18, ta có khẳng định thứ hai B2m số chẵn teo Định lý 3.6 Trong định lý sau, ta có đẳng thức dãy số Lucas cân dãy số Lucas đối cân có dạng lượng giác     x+y x−y sin x + sin y = sin cos 2 Định lý 3.20 Cho m, n số ngun Khi i) Nếu n > m cn+m + cn−m = 2cn Cm ; (3.13) ii) Nếu n ≤ m cn+m − cm−n+1 = 2cn Cm (3.14) 36 Chứng minh Sử dụng công thức Binet dãy số Lucas cân dãy số Lucas đối cân bằng, ta có α12n−1 + α22n−1 α12m + α22m · cn C m = 2 2(n+m)−1 2(n+m)−1 2(n−m)−1 2(n−m) α1 + α2 α1 + α2 −1 = + 4   (c n+m + cn−m ), n > m; =  (c n+m − cm−n+1 ), n ≤ m Suy điều phải chứng minh Từ mệnh đề trên, ta suy tính chẵn lẻ số Lucas đối cân Định lý 3.21 Dãy số Lucas đối cân số lẻ Chứng minh Từ Định lý 3.20 ii) suy cn cn+1 có tính chẵn lẻ với n ≥ Do đó, cn số lẻ với n ≥ c1 = Tính chất cuối mà chúng tơi trình bày số Lucas đối cân thứ (2n) đồng dư với −1 modulo số Lucas đối cân thứ (4n) đồng dư với −1 modulo 16, với n ≥ Mệnh đề 3.22 Với số nguyên n ≥ 1, ta có c2n + = 8(2bn + 1)Bn Chứng minh Sử dụng cơng thức Binet, ta có  2n  2n−1 α1 − α22n−1 α1 − α22n √ √ · − bn B n = 4 α14n−1 + α24n−1 α1−1 + α2−1 = − − Bn 32 32 1 = (c2n + 1) − Bn 16 Suy điều phải chứng minh 37 Kết luận Luận văn “Đẳng thức dạng lượng giác số dãy số ” trình bày nội dung sau: (i) Trình bày cách sơ lược khái niệm dãy số Fibonacci, dãy số Lucas, dãy số cân bằng, dãy số Lucas cân bằng, dãy số đối cân dãy số Lucas đối cân (ii) Trình bày số đẳng thức lượng giác dãy số Fibonacci dãy số Lucas (iii) Trình bày số tính chất, đẳng thức dạng lượng giác, tính chẵn lẻ dãy số cân bằng, dãy số đối cân bằng, dãy số Lucas cân dãy số Lucas đối cân 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hà Thu Giang (2016), Số cân Fibonacci số cân Lucas, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên [2] Nguyễn Thị Huệ (2016), Một số liên hệ số cân số đối cân với số Pell số Pell liên kết, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên [3] Hoàng Thị Hường (2015), Số cân số đối cân bằng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [4] A Behera, G.K Panda (1999), "On the square roots of trianglular numbers", Fibonacci Quarterly, 48 No 2, p 98-105 [5] N.V Dinh (2021), “Trigonometric-Type identities anh the parity of Balancing and Lucas – Balancing numbers”, TNU Journal of Science Technology, Vol.226, No.15, p.44-52 [6] T Koshy (2001), Fibonacci and Lucas numbers with Applications, John Wiley & Sons, Inc., Toronto 39 [7] B Lewis (2007), “Trigonometry and Fibonacci Numbers”, The Mathematical Gazette, Vol.91, No.521, p 216 -226 [8] B Sury (2010) “Trigonometric expressions for Fibonacci anh Lucas numbers”, Acta Math Univ Comenianae, Vol LXXIX, No.2 p.199208