Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức

Trang | 6 Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giá[r]

Trang | LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 1 Kiến thức cần nhớ

a) Định nghĩa Acgumen số phức

- Điểm M O biểu diễn số phức z a bi a b , R số đo góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM gọi acgumen số phức z

- Nếu  acgumen z k2 acgumen z với kZ b) Khái niệm dạng lượng giác số phức

- Số phức z = a + bi dạng đại số z

- Số phức zrcosisin dạng lượng giác z, đó: + r mơ đun số phức

+  acgumen số phức

c) Các phép toán với số phức dạng lượng giác:

Cho hai số phức z1 r1cos1isin1,z2 r2cos2isin2 Khi đó:

       

       

 

     

1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

1 1

1

1 2 2 2

cos sin cos sin cos cos sin sin

cos sin cos sin cos sin

cos sin

cos sin

cos sin

z z r i r i r r i r r

z z r i r i r r i

r i

z r

i

z r i r

       

       

 

   

 

        

        



      



d) Cơng thức Moivre: Cho số phức zrcosisin Khi đó: cos sin  n cos sin 

n n

z r i   r ni n

2 Một số dạng toán thường gặp

Trang | Cho số phức z = a + bi, viết z dạng zrcosisin

Phương pháp:

- Bước 1: Tính r  a2b2

- Bước 2: Tính  thỏa mãn cos sin

a r b r  

 

 

 



Dạng 2: Tính giá trị, rút gọn biểu thức Phương pháp:

Sử dụng phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức, công thức Moivre để tính giá trị rút gọn biểu thức

3 Bài tập

Bài 1: Cho số phức z thảo mãn z  4i Tìm giá trị nhỏ z

A 1 B C D

Lời giải

Giả sử z a bi, ta có: a bi  3 4i  4 a3 2 b 42 16

Đặt 4sin 4sin

4 cos cos

a a

b b

 

 

   

 



     

 

2 2

9 16sin 24sin 16 32 cos

3

41 24sin 32 cos 41 40 sin cos

5

z a b   

   

       

 

       

 

Đặt 2 2  

cos = ,sin 41 40sin

5 z a b

         

Dấu "" xảy 2

2 k k

 

            

Vậy z 1 Chọn A

Bài 2: Cho wsinicos với

2  

  thỏa mãn w2 1 w Giá trị  

2018

26 w

P 

Trang |

Ta có:  2

w  1 sinicos   1 cos 2isin 2 w  1 2cos  

2

2 w  sin cos  2

Từ giả thiết: w2 1 w cos

4 

 

   

2  

 

2

2 2

w w w

2 i 2 i

       

Vậy P232018 Chọn A

Bài 3: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: Số phức z có mơ đun

A Đường trịn tâm O, bán kính R1 B Đường trịn tâm O 2; , bán kính R1 C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1 Lời giải

Gọi M điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z a bi với a b,  Ta có: z  1 OM 1

Tập hợp điểm M đường trịn tâm O, bán kính R1 Chọn A

Bài 4: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: Số phức z có phần thực

A Đường trịn tâm O, bán kính R1 B Đường trịn tâm O 2; , bán kính R1 C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1 Lời giải

Ta có: a1

Tập hợp điểm M đường thẳng D x: 1 Chọn D

Bài 5: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: Số phức z có phần ảo -1

Trang | C Đường thẳng y 1

D Đường thẳng x1 Lời giải

Ta có: b 1

Tập hợp điểm M đường thẳng :y 1 Chọn C

Bài 6: Tìm mặt phẳng tập hợp   điểm M biểu diễn số phức z cho Z z z

  số thực

A Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc đường trịn tâm O , bán kính ' R2 B Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc đường trịn tâm O , bán kính ' R1 C Đường trịn tâm O , bán kính R1

D Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc ' Lời giải

Đặt z x yi z, 0 với x y, 

Ta có: Z z x yi x yi 42x yi2

z x yi x y



       

 

 2   2 

2

4

x x y y x y i

Z

x y

    

 



Z số thực:  

2 2

2 2

4 0

0

y x y y x y

x y

x y

        

 

 

 



  



Do   gồm :

- Trục hoành 'x Ox ngoại trừ điểm gốc - Đường trịn tâm O, bán kính R2 Chọn A

Bài 7: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho: z 2 z i

A 2

0

3

x y  y  B x1 2 y12 4 C

2

1

4

x  y 

D.3x24y2360

Lời giải

Trang |

Ta có: 2 4  12 2

3

z  z i x y  x  y x y  y 

Cách Ta có: z 2 z i  OM 2OMOB  OM 2BM Với B 1; điểm biểu diễn số i

Do ta có: OM 2BM MO MB

  

Ta suy tập hợp điểm M đường trịn Apollonius đường kính IJ , với I J, thuộc trục tung và:

O

OI IB

J JB

  

2 0;

3 I 

  

  J 0;

Phương trình đường trịn :  

2

2 2

2 0

3 3

x y  y  x y  y 

 

Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia