Đang tải... (xem toàn văn)
C3 : Duøng heä quaû: Hai maët phaúng phaân bieät vaø cuøng // vôùi moät maët phaúng thöù ba thì // vôùi nhau. 11/ Chöùng minh hai ñöôøng thaúng vuoâng goùc[r]
(1) MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1/ C/m điểm thuộc mặt phẳng :
Phương pháp :
Để chứng minh điểm M mp α ta chứng minh : {Đường thẳngM∈Đường thẳnga⊂mpaα⇒M∈mpα
2/ Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng :
Phương pháp : Để tìm giao điểm đường thẳng a mp α ta thực bước sau : Bước : Chọn mặt phẳng phụ β chứa đường thẳng a
( Chú ý : Mặt phẳng α β dể xác định giao tuyến ) Bước : Tìm giao tuyến Δ α β
Bước : Gọi I = giao điểm a Δ Chứng minh I giao điểm đường thẳng a mp α
( Chứng minh : I vừa thuộc đường thẳng a vừa thuộc mp α )
3/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng :
Phương pháp : Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng α β ta dùng cách sau : C1 : Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng
{A , BA , B∈∈mpmpαβ⇒Đường thẳng AB=mpα ∩mpβ
C2 : Tìm điểm chung hai mặt phẳng phương giao tuyến ( Giao tuyến // vng góc với đường thẳng cố định cho trước ) Chú ý : Khi tìm phương giao tuyến ta cân quan tâm đến định lý :
- Nếu a // (P) a // với giao tuyến d mp(P) mp(Q) qua a
- Hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba giao tuyến //
- Hai mặt phẳng cắt // với đường thẳng giao tuyến hai mạt phẳng // với đường
thẳng
4/ Chứng minh điểm thẳng hàng :
Phương pháp : Để chứng minh điểm : A, B, C thẳng hàng
Ta chứng minh điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt α β Þ A, B, C thuộc giao tuyến α β nên thẳng hàng
Thường CM sau:
( ) ( ) ( ) ( )
AB
C AB C
, nên A, B, C thẳng hàng
5/ Chứng minh đường thẳng đồng quy :
Phương pháp : Để chứng minh đường thẳng : a, b, c đồng quy ta thực bước sau : Bước : Đặt I = giao điểm a b
Bước : Tìm hai mặt phẳng α β cho c = giao tuyến α β
Bước : Chứng minh : {II∈∈mpmpαβ⇒I∈đường thẳngc ⇒ đường thẳng a, b, c qua I nên đồng qui
Caùch khaùc :
Dùng định lý : “Nếu ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến // đồng quy’’ Như loại trừ khả // chúng đồng quy
6/ Chứng minh giao tuyến hay (đường thẳng) cố định :
Phương pháp : Ta chứng minh đường thẳng hay giao tuyến giao hai mặt phẳng cố định
7/ Chứng minh hai đường thẳng chéo :
Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng chéo ta chứng minh chúng không nằm mặt phẳng (Thường dùng phương pháp chứng minh phản chứng: Giả sử hai đường thẳng khơng chéo Suy luận để suy điều vơ lý Vậy hai đường thẳng phải // với nhau)
8/ Chứng minh hai đường thẳng //
a
M
M
a
A
B
A B C
b
a c
(2)C1 : Dùng quan hệ song song biết trong mặt phẳng
C2 : Chứng minh chúng phân biệt // với đường thẳng thứ ba
C3 : Dùng định lý giao tuyến:
C4 : Dùng định lý giao tuyến:
C5 : Dùng định lý giao tuyến:
C6 : Dùng định lý giao tuyến:
9/ Chứng minh đường thẳng // với mặt phẳng
C1 : CM đường thẳng không nằm mặt phẳng // với đường thẳng nằm mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả:
c b a
a, b phân biệt & a // c, a // c a // b
b a R
Q P
(P) // (Q), ( ) ( )R P a R, ( ) ( ) Q b a // b
b a
Q P
(P) // a, (Q) // a, ( ) ( )P Q a a // b
Q P
b a
b a
P Q
b a
P Q
a // b, (P) qua a, (Q) qua b,( ) ( )P Q // a, // b trùng với a b
b P
a
Q a // (P), (Q) qua a,
( ) ( )P Q b a // b
b a
P
( )
a P , b( )P , a // b , a //( )P
a Q
P
(3)C3 : Dùng hệ quả:
10/ Chứng minh hai mặt phẳng song song
C1 : Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt // với mặt phẳng
C2 : Chứng minh chúng phân biệt vng góc với đường thẳng
C3 : Dùng hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt // với mặt phẳng thứ ba // với
11/ Chứng minh hai đường thẳng vng góc
C1 : Dùng quan hệ vng góc biết trong mặt phẳng C2 : ab góc( ; ) 90a b o.
C3: Dùng hệ quả:
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
a
b P
H
b
a
P
( )
a P , ( )P b a, b a //( )P
P
b a Q
, ( )
a b Q , a cắt b, a // (P) b // (P) ( )P //( )Q
P
a
Q
( )P , ( )Q phaân bieät, ( )P a Q, ( )a ( )P //( )Q
( ) ( )
a P
a b
b P
( )P //( )Q
a c
b
b// c, ab ac
a
P
(4)C6 : Sử dụng định lí ba đường vng góc C7: Dùng hệ quả:
12/ Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng
C1 : Dùng định lý
C2 : Dùng hệ quả:
C3 : Dùng hệ quả:
C4 : Dùng hệ quả:
13/ Chứng minh hai mặt phẳng vng góc
C1 : Chứng minh góc chúng vuông
y
x
O
( ) ( )
a song song P
a b
b P
( )P //( )Q
A C
B
AB
BC AC
c a b
P
b, c caét , b c, ( )P , a b a c, a ( )P
P
b a
a// b, b( )P a( )P
Q
P
b a
( ) ( )
( ) ( ),
P Q b
a P
a Q a b
P
() ()
( ) ( ) ( )
( ) ( ),( )P ( )P P
(5)
C2 : Dùng hệ quả:
CÁCH XÁC ĐINH GÓC
1/ Góc hai đường thẳng
1/ Góc hai mặt phẳng
1/ Góc đường thẳng mặt phẳng
Góc đường thẳng mặt phẳng góc đường thẳng hình chiếu mặt phẳng
y
x
b' a'
B A
O b a
=
B O
A
( ) ( ) , Ox ( ), Ox , Oy ( ), Oy Khi đó:
goùc (( );( )) goùc ( ;Ox Oy)xOy : 0 90o ( ) ( ) 90o
a ( ) ( ) ( )
( ) a a
Chọn điểm O tuỳ ý
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b Góc (a,b) = góc (a’,b’) =AOB Thường chọn điểm O a O b
Chọn điểm O thuộc giao tuyến
Dựng qua O :
( ) OA OA
vaø
( ) OB
OB
Goùc ( , ) = Goùc (OA OB, ) =
AOB
Chuù yù:
* 0 90o
(6) KHOẢNG CÁCH
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
1/ Hình chóp tam giác đều
B
O A
a
Chọn điểm A thuộc đường thẳng a Dựng qua AB ( ) B
Dựng giao điểm O a và chưa có ( OB hình chiếu a mặt phẳng ( ))
Khi đó: Góc( ;( ))a = Góc(OA OB, ) = AOB
Dùng: MH (), H thuéc () ta cã: d(M,()) = MH
M
H Khoảng cách từ điểm
đến đường thẳng Khoảng cách từ điểmđến mặt phẳng
Dùng MH : d(M,) = MH M
H
Khoảng cách hai đường thẳng song song
Khoảng cách mặt phẳng đường thẳng //
song song
Chọn điểm M 1, dựng MH 2 ( H thuéc 2) ta cã d(1,2) = MH
// 1 2
2 1
M
H
Chän ®iĨm M thc , dùng MH
( H thuéc ()), ta cã d(,()) = MH
// ()
H M
Khoảng cách hai Đường thẳng chéo Khoảng cách hai
mặt phẳng song song
Ta cã: d((),()) = d(,()) = MH (M thuéc , MH (), H thuéc )
() // (), chøa ()
H M
Dựng mặt phẳng () chứa b & () // a Dựng MH (), M thuộc a, H thuộc () Dựng a' mặt phẳng (), a' // a đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b B Dựng qua B // MH, cắt a A Khi đó: d(a,b) = d(a,())
= d(M,()) = MH = AB
a vµ b chÐo nhau
B A
H M
a' b
(7)Hình chóp tam giác đều: Đáy tam giác đều
Các mặt bên tam giác cân Đặc biệt: Hình tứ diện đều có: Đáy tam giác đều
Các mặt bên tam giác đều
Cách vẽ:
Vẽ đáy ABC Vẽ trung tuyến AI Dựng trọng tâm H Vẽ SH (ABC) Ta có:
SH chiều cao hình chóp Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH .
Góc mặt bên mặt đáy là: SIH 2/ Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều: Đáy hình vng
Các mặt bên tam giác cân Cách vẽ:
Vẽ đáy ABCD
Dựng giao điểm H hai đường chéo AC & BD Vẽ SH (ABCD)
Ta coù:
SH chiều cao hình chóp
Góc cạnh bên mặt đáy là: SAH . Góc mặt bên mặt đáy là: SIH
2/ Hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy
h
I
C A
H S
B
H I
D A
B C
S
A C
B S
SA (ABC) Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA Góc cạnh bên SC mặt đáy là: SCA
D A
B C
S
SA (ABCD) Góc cạnh bên SB mặt đáy là: SBA Góc cạnh bên SC mặt đáy là: SCA