LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR - VÔ HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC. LUẬN VĂN THẠC SỸ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Nga LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR - VÔ HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Lê Thị Nga LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR - VÔ HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG VŨ TRỤ HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 8440103 LUẬN VĂN THẠC SỸ CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Thầy hướng dẫn: TS Nguyễn Anh Kỳ Hà Nội – 2020 Lời cam đoan Sau thời gian nghiên cứu, bảo hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Anh Kỳ, tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp thời hạn Đề tài luận văn có kế thừa kết nghiên cứu trước Tơi xin cam đoan kết nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2020 Học viên Lê Thị Nga Lời cảm ơn Tôi chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Anh Kỳ hết lòng ủng hộ, giúp đỡ hướng dẫn tơi q trình làm luận văn Tôi chân thành cảm ơn Thạc sỹ Phạm Văn Kỳ ln tận tình giúp đỡ, bảo cho Tôi chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Viện Vật Lý sẵn sàng giúp đỡ, dẫn cho tơi suốt q trình học tập Học Viện Tôi trân trọng cảm ơn Học viện Khoa học công nghệ tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa học luận văn Cảm ơn gia đình bạn bè động viên tơi q trình học tập làm luận văn Hà Nội 30/4/2020 Học viên Lê Thị Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU GIỚI THIỆU CHƯƠNG LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN 1.1 GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN EINSTEIN 1.2 PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN 1.2.1 Tác dụng Hilbert- Einstein tác dụng toàn phần 1.2.2 Phương trình Einstein chân khơng với có mặt vật chất CHƯƠNG LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG 2.1 GIỚI THIỆU LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VÔ HƯỚNG 11 25 25 2.2 PHƯƠNG TRÌNH CỦA LÝ THUYẾT HẤP DẪN TENSOR – VƠ HƯỚNG 31 2.2.1 Các phương trình vũ trụ tensor – vơ hướng 2.2.2 Mơ hình hàm V  ( m2       ) e  2 CHƯƠNG THẢO LUẬN CÁC KẾT QUẢ CỦA LUẬN VĂN 31 43 46 3.1 THẢO LUẬN 46 3.2 KẾT LUẬN 49 3.3 KIẾN NGHỊ 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 PHỤ LỤC 57 PHỤ LỤC A: LÝ THUYẾT BIẾN PHÂN 57  PHỤ LỤC B: CHỨNG MINH ĐẠI LƯỢNG T  LÀ TENSOR NĂNG XUNG LƯỢNG CỦA VẬT CHẤT 63 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tương dối tổng quát (hay gọi lý thuyết tương đối rộng), A Einstein lý thuyết hấp dẫn cải tiến lý thuyết hấp dẫn Newton, nên gọi lý thuyết hấp dẫn Einstein, giải thích tiên đốn xác nhiều tượng Vũ Trụ Tuy nhiên, lý thuyết với phương trình Einstein khơng thể giải thích số vấn đề giãn nở tăng tốc Vũ Trụ số vấn đề khác Do lý thuyết tương đối tổng quát cần mở rộng (cải tiến) Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng lý thuyết mở rộng đơn giản nhằm giải thích giãn nở tăng tốc Vũ Trụ số vấn đề khác vật lý đại Mục đích Tìm hiểu lý thuyết tương đối tổng quát lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng, sở nghiên cứu giãn nở tăng tốc Vũ Trụ tiệm cận lý thuyết với lý thuyết Einstein, từ đặt hướng nghiên cứu số tượng khác vụ trụ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý tương đối tổng quát lý thuyết hấp dẫn cải tiến, với trọng tâm lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng số vấn đề vũ trụ học liên quan Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài nghiên cứu Đề xuất phương án lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng Kết cho ta nhìn chi tiết thực thay đổi Vũ Trụ, giải thích nguyên nhân số tượng xảy Vũ Trụ làm tiền đề cho số nghiên cứu Vũ Trụ GIỚI THIỆU Lý thuyết tương đối tổng quát lý thuyết hấp dẫn Albert Einstein phát triển từ năm 1907 công bố cuối năm 1915, đầu năm 1916, thuyết xây dựng đường suy luận lý thuyết sau nhiều thí nghiệm thực tế kiểm chứng [13, pp.316-367] Thuyết tương đối tổng quát miêu tả trường hấp dẫn tính chất hình học khơng gian thời gian (khơng thời gian) Trong lý thuyết này, tương tác vật chất không thời gian làm cho không-thời gian trở nên cong, khơng cịn khơng-thời gian phẳng Minkowski Thuyết tương đối tổng quát sử dụng hình học Riemann để mô tả tượng vật lý không thời gian cong Độ cong khơngthời gian có liên hệ chặt chẽ trực tiếp với lượng xung lượng (năng-xung lượng) vật chất xạ, liên hệ xác định phương trình Einstein R  8 G Rg    T c Trong phương trình trên, vế trái tensor độ cong không-thời gian, vế phải tensor năng-xung lượng vật chất, có nghĩa hình học khơng-thời gian định vật chất chứa bên nó, vật chất bẻ cong khơng-thời gian Các phương trình vật lý viết dạng hiệp biến nên dạng chúng không thay đổi dù không gian phẳng hay cong Trong trường hợp trường hấp dẫn yếu, ta coi khơng-thời gian phẳng toán giải dựa nguyên lý tương đối hẹp Khi trường hấp dẫn đáng kể (chưa đủ lớn tới mức để phải lượng tử hóa) ảnh hưởng khơng thể bỏ q tốn phải xét không-thời gian cong (tức dựa lý thuyết tương đối tổng qt) Khi khơng có mặt vật chất, phương trình Einstein nói có vế phải mô tả trường hấp dẫn chân không hay trường hấp dẫn tự (ví dụ bên ngồi nguồn hấp dẫn) Phương trình Einstein nói thu thông qua nguyên lý tác dụng tối thiểu với mật độ Lagrangian trường hấp dẫn Lg  R Phương trình miêu tả tốt quy luật tượng xảy vật chất thông thường Tuy nhiên, quy luật Vũ Trụ liên quan vật chất tối hay lượng tối (tức tượng Vũ Trụ giãn nở tăng tốc) [1, pp.5-8], phương trình khơng cịn miêu tả đầy đủ xác Để giải vấn đề lượng tối, có đề xuất đưa vào số Vũ Trụ  mật độ Lagrangian trường hấp dẫn, lúc Lagrangian có dạng [1, pp.5-8] Lg  R  2 , phương trình Einstein trở thành [13, pp.382] 8 G R  Rg   g    T c Tuy nhiên, đề xuất sau làm rõ khơng khả thi Vậy thì, chất lượng tối gì? Trong vật lý thiên văn học vũ trụ học, lượng tối dạng lượng chưa biết rõ chiếm phần lớn Vũ Trụ gây tăng tốc độ giãn nở Vũ Trụ Thành phần Vũ Trụ ngày cho có khoảng 63,8% lượng tối (dark energy), 26,8% vật chất tối (dark matter) có khoảng 4,9% vật chất thông thường [https://vi.wikipedia.org/wiki/N%C4%83ng_l%C6%B0%E1%BB%A3ng_t%E 1%BB%91i] Năng lượng tối cho đặc tính ẩn khơng-thời gian Giãn nở tăng tốc Vũ Trụ mở rộng với tốc độ ngày tăng Có nhiều chứng kể từ xảy Vụ Nổ Lớn (Big Bang), Vũ Trụ trải qua hai giai đoạn tăng tốc [1, pp.5-8]: Giai đoạn tăng tốc kỷ nguyên lạm phát (inflation) trước có thống trị xạ (radiation) giai đoạn tăng tốc thứ hai kỷ nguyên vật chất thống trị (chủ yếu lượng tối) Tuy nhiên, cho lượng tối liên quan đến số Vũ Trụ  gắn liền với lượng chân không (các cặp hạt ảo sinh hủy liên tục tíc tắc, tạo hấp dẫn) nay, người ta ước tính tổng lượng tối (theo trạng thái lượng tử chân khơng) tồn Vũ Trụ trị số lớn trị số quan sát đến 120 bậc [2, pp.177] Sự sai lệch lớn Ngoài ra, cho lượng tối trường tương lai xa, Vũ Trụ bị xé toạc bị co lại điểm Mặt khác, cho Vũ Trụ có vật chất thơng thường khơng thể giải thích tượng giãn nở có gia tốc Vũ Trụ, điều có nghĩa lý thuyết Einstein không đầy đủ vùng rộng lớn Vũ Trụ, nên cần cải tiến Hiện có nhiều lý thuyết cải tiến đề xuất, song chưa lý thuyết thành công mỹ mãn Do vậy, cần tiếp tục tìm cải tiến Lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng [2, pp.231-236] lý thuyết sửa đổi từ lý thuyết tương đối tổng quát nhà khoa học nghiên cứu phát triển tích cực Một mục tiêu lý thuyết hấp dẫn tensor - vơ hướng giải thích giãn nở tăng tốc Vũ Trụ (tức vấn đề lượng tối) Một điểm đặc biệt thú vị lý thuyết số tương tác hấp dẫn Newton G = G(ϕ) thay đổi theo giãn nở Vũ Trụ (thay đổi theo thời gian) t → ∞ G(ϕ) → constant [5] Ngày nay, giai đoạn muộn Vũ Trụ, ta coi số tương tác hấp dẫn Newton không đổi (thay đổi theo thời gian chậm nên bỏ qua) có giá trị G = 67×10-11 Nm2kg-2) Đặc điểm suy rộng cho số tương tác khác, chẳng hạn số tương tác Cu-lơng hai điện tích, hay số tương tác khác Mơ hình chuẩn (tương tác mạnh tương tác điện-yếu) Lý thuyết hấp dẫn tensor - vơ hướng dùng để miêu tả tốt kỷ nguyên lạm phát (được A Starobinsky, A Linde A Guth đề xuất ([16], [17], [18]) bắt đầu khoảng 10-36 giây sau Big Bang kết thúc vào thời điểm khoảng 10-32 sau Big Bang Trong kỷ nguyên lạm phát , giãn nở Vũ Trụ diễn thời gian cực ngắn, với tốc độ giãn nở cực lớn, kích thước Vũ Trụ tăng lên khoảng 1030 lần so với kích thước ban đầu (hiện tại, Vũ Trụ quan sát có đường kính khoảng 93 tỷ năm ánh sáng) Kỷ nguyên lạm phát đưa vào để giải thích ngày Vũ Trụ lại đồng đẳng hướng, không-thời gian ngày Vũ Trụ lại gần phẳng, v.v Cũng thế, trường vô hướng đưa vào động lực lạm phát làm cho Vũ Trụ giãn nở với tốc độ cực lớn kỷ nguyên (về vấn đề tham khảo ([7], [9], [11]) Ngồi ra, lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng dùng để giải thích vật chất tối (xem, ví dụ, [11] [14]) Lý thuyết hấp dẫn tensor - vơ hướng dùng để miêu tả nhiều tượng khác Vũ Trụ học [2, pp.169-178] Trọng điểm lý thuyết hấp dẫn tensor - vô hướng hàm trường vô hướng V(ϕ) Nó chọn thích hợp để phục vụ mục đích định đó, chẳng hạn nghiên cứu vấn đề giãn nở tăng tốc Vũ Trụ, người ta có nhiều cách chọn dạng hàm thế, luận văn này, ta chọn hàm có dạng đơn giản mà mang lại kết thú vị Trong phần trình bày kết luận văn, đại lượng a(t) dùng để biểu diễn cho bán kính vũ trụ thời điểm t Tham khảo [3] [4], ta tìm nghiệm a(t) ứng với số hàm chọn Hàm thế, chọn luận văn này, có ý nghĩa nguồn sản sinh lượng tối Trong thời kỳ lạm phát, hàm có ý nghĩa nguồn sinh vật chất Việc lựa chọn hàm dựa theo tiêu chí hàm có dạng đơn giản, dễ dàng tính tốn kết thơng số Vũ Trụ ta mong đợi lựa chọn đáp ứng tiêu chí đề Chúng tơi hy vọng lựa chọn hàm kiểm chứng thơng qua thực nghiệm quan sát thực tế Sau hoàn thành nghiên cứu đề tài, thu kết thú vị (chi tiết trình bày chương 3) Tuy nhiên, để đánh giá kết phù hợp với thực tiễn tình hình Vũ Trụ cần thêm số kết cụ thể thông số đo qua quan sát thực nghiệm, kết nghiên cứu đề tài sở lý thuyết tốt để đánh giá, kiểm tra thực nghiệm, từ thực nghiệm, kiểm tra độ xác kết nghiên cứu 54 [𝛽] = [𝐸]−1 , [𝜇] = [𝐸]−2 Như thấy ta có 𝜀 (𝜑) (𝑡) = 3𝐻2 (𝑡), công thức hệ thống đơn vị 8𝜋𝐺 = 𝑐 = Để viết hệ đơn vị SI, ta dùng phương pháp chỉnh thứ nguyên dễ dàng thu 𝜀 3𝑐2 𝐻2 (𝑡) 𝑡) = , 8𝜋𝐺 (𝜑) ( nhiên, công thức hiển nhiên tã biết Vũ Trụ phẳng k=0 theo phương trình Einstein, số hạng mật độ lượng tổng quát (của dạng dạng 𝑇𝜇𝜈 ) cơng thức Nếu áp dụng số c = 299792458 m/s; G = 6.67259 × 10−11 𝑘𝑔−1 𝑚3 𝑠 −2 𝐻(𝜏) = 0.226 × 10−17 𝑠 −1 , ta mật độ lượng trường vô hướng (trong hệ SI) ngày 𝜀 (𝜑) (𝜏) = 0.8 × 10−9 ( 𝑘𝑔 𝑚𝑠2 = 𝐽 𝑚3 ), mật độ lượng tối đo thực nghiệm để Vũ Trụ tăng tốc ngày Chúng ta cần tính tốn khác thấy lý thuyết phù hợp định lượng với thực nghiệm (như nói trên, lý thuyết cho thấy phù hợp mặt định tính với thực nghiệm) mà cụ thể cần xác định hai số β μ, để thơng qua chúng, ta tính tốn định lượng đại lượng vật lý khác Vũ Trụ 3.3 KIẾN NGHỊ  Thực thí nghiệm (quan sát) để kiểm chứng hệ mà lý thuyết đạt  Có thể dùng mơ hình để nghiên cứu thêm số tượng toán khác Vũ Trụ  Đưa thêm mơ hình lý thuyết khác 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A De Felice and S Tsujikawa, “f(R) theories”, Living Rev Rel 13, (2010), pp.5-8 [arXiv:1002.4928[gr-qc]] [2] S Capozziello, M De Laurentis, Extended theories of gravity Phys Rept 509, 167 (2011) [arXiv:1108.6266 [gr-qc]] [3] S Capozziello and M Roshan, “Exact cosmological solutions from Hojman conservation quantities,” Phys Lett B 726 (2013) 471 [arXiv: 1308.3910 [grqc]] [4] M Paolella and S Capozziello, “Hojman symmetry approach for scalar–tensor cosmology,” Phys.Lett A 379, 1304 (2015) [arXiv: 1503.00098 [gr-qc]] [5] S Kamilya and B Modak, “Noether symmetry study in general scalar tensor theory,” Gen Rel.Grav 36, 673 (2004) [6] A Naruko, D Yoshida and S Mukohyama, “Gravitational scalar-tensor theory”, Class Quant Grav 33, no 9, 09LT01 (2016) [arXiv:1512.06977 [grqc]] [7] S Watson, “An Exposition on inflationary cosmology,” astro-ph/0005003 [8] A De Felice and S Tsujikawa, “f(R) theories”, Living Rev Rel 13, (2010) [arXiv:1002.4928[gr-qc]] [9] R Emami, H Firouzjahi, S M Sadegh Movahed and M Zarei, “Anisotropic Inflation from ChargedScalar Fields,” JCAP 1102, 005 (2011) [arXiv: 1010.5495 [astro-ph.CO]] [10] S Capozziello, R De Ritis, C Rubano and P Scudellaro, “Exact solutions in Brans-Dicke matter cosmologies”, Int J Mod Phys D 5, 85 (1996) [11] A D Linde, “The Inflationary Universe,” Rept Prog Phys 47, 925 (1984) [12] R de Ritis, G Marmo, G Platania, C Rubano, P Scudellaro and C Stornaiolo, “New approach to find exact solutions for cosmological models with a scalar field”, Phys Rev D 42, 1091 (1990) 56 [13] L D Landau and E M Lifshitz, “The clasical theory of fields”, vol 2, Elsevier, Oxford, 1994 [14] I Leanizbarrutia, A Rozas-Fernández and I Tereno, “Cosmological constraints on a unified darkmatter-energy scalar field model with fast transition,” Phys Rev D 96, no 2, 023503 (2017) [arXiv: 1706.01706 [astroph.CO]] [15] L Arturo Urena-López, “Scalar fields Cosmology: dark matter and inflation,” Journal of Physics: Conference Series 761 (2016) 012076 [14] S Capozziello, R De Ritis, C Rubano and P Scudellaro, “Exact solutions in Brans-Dicke mattercosmologies,” Int J Mod Phys D 5, 85 (1996) [16] A Starobinsky, "Spectrum of relict gravitational radiation and the early state of the Universe" Journal of Experimental and Theoretical Physics Letters 30 (1979), 682 [17] A D Linde, “Particle physics and inflationary cosmology”, Harwood academic publishers, Chur, Switzerland, 1990; Contemp concepts phys (1990) [hep-th/0503203] [18] A Guth, “Theinflationary Universe: The quest for a new theory of cosmic origins”,Addison Wesley, Reading, MA, 1997 [19] Nguyễn Anh Kỳ Phạm Văn Kỳ, "Các giảng lý thuyết hấp dẫn vũ trụ học" [20] Phạm Văn Kỳ, “Luận văn thạc sĩ Vật lý”, Viện Vật lý, Viện Hàn lâm Khoa học công nghệ Việt Nam, 2014 57 PHỤ LỤC PHỤ LỤC A: LÝ THUYẾT BIẾN PHÂN Xét phép biến đổi R, Rx  x, (A.1) cảm sinh phép biến đổi D(R) tác động hàm sóng theo quy tắc D(R) (x)   (x), (A.2) suy D( R)  ( x)  ( x)  , x x (A.3) với  ( x) hàm sóng hệ tọa độ x’ Tổng quát hơn, ta có  ( x)   ( x)     D( R) f  x, ( x),  f x ,  ( x ), ,  x  x    ( x)   ( x)      RD(R) f  x, ( x),  f x ,  ( x ), ,  x  x   (A.4) (A.5)  ( x)   đại lượng f  x, ( x), hàm, hàm hợp phiếm x   hàm toán tử R, D(R) tác dụng vào Hàm sóng  ( x) là: A ( x) trường điện từ, tensor metric g  ( x) không thời gian cong… * PHIẾM HÀM: + Hàm số cho tương ứng số ta số, ví dụ: y  f ( x) (A.6) + Phiếm hàm tương ứng hàm số cho ta số, ví dụ: f  x, ( x)   b a x  ( x)   ( x) dx, x (A.7) 58 Như vậy, tương ứng với hàm  ( x) xác định đó, ta lại có giá trị tích phân xác định Nếu phép biến đổi R vô bé ta có Rx  x gần giá trị x ; D( R) ( x)   (x) gần giá trị  ( x) hai cách định nghĩa biến  phân cho đại lượng sau: I Biến phân mở rộng  ( x)   Biến phân mở rộng đại lượng f  x, ( x), ký hiệu  f x   định nghĩa sau,  ( x)    f  x, ( x),  RD( R) f   x    ( x)    ( x)   x ,  ( x ),  x ,  ( x ),  x   x  (A.8) Áp dụng (A.5),  ( x)    f  x, ( x),  x    ( x)   f  x, ( x),  x    ( x)   f  x, ( x), x   (A.9) Với định nghĩa ta  x  x  x ,   b a x  ( x)   b a (A.10)  ( x)   ( x)  ( x), (A.11)  ( x)  ( x)  ( x)   , x x x (A.12)  ( x) dx x x2  2 ( x)  b  ( x)  ( x) dx   x  ( x)  dx a x x (A.13) Trong luận văn này, không dùng định nghĩa biến phân định nghĩa theo cách mà ta dùng định nghĩa biến phân sau 59 II Biến phân  ( x)   Biến phân đại lượng f  x, ( x), định nghĩa x   sau,  ( x)    f  x, ( x),  D( R) f x    ( x)   x ,  ( x ),   x   ( x)   f  x, ( x), , x   (A.14)  ( x)   f  x, ( x),  x    ( x)   f  x, ( x), x   (A.15) áp dụng (A.4), ta có  ( x)    f  x, ( x),  x   Với định nghĩa ta  x  0,   b a (A.16)  ( x)   ( x)  ( x), (A.17)  ( x)  ( x)  ( x)   , x x x (A.18) x  ( x)  b  ( x)  ( x) dx   x  2 ( x)  dx a x x  b a x  ( x)   ( x) dx (A.19) x b   ( x)      x  ( x)   dx (A.20) a  x    ( x)   Nếu f  x, ( x), hàm hợp từ (A.15), (A.16) (A.18) ta có x    ( x)    f  x, ( x),  x    ( x)  ( x)   f  x, ( x)   ( x),  x x   60  ( x)    f  x, ( x), ,   x   suy f  f f  ( x)  ( x)   ( x )  ,  ( x)  x x (A.21) từ ta thấy biến phân có dạng tương tự vi phân theo biến  ( x); d ( x) thay  ( x) d  ( x) x  ( x)  ( x) , thay  x x đó, tương tự vi phân ta có cơng thức biến phân tích hai hàm,  (f  g)  f  g  g  f Với hàm f(x) không phụ thuộc tường minh vào  ( x) (A.22)  ( x) theo định x nghĩa biến phân (A.15) ta có  f ( x)  0, (A.23) tổng quát (A.15) ta định nghĩa biến phân cho đại lượng có dạng   ( x)  2 ( x)  n ( x)  f  x, ( x), , , , ,  sau, n  x  x  x     ( x)  2 ( x)  n ( x)   f  f  x, ( x), , , , ,  n  x  x  x     ( x)  2 ( x)  n ( x)   f  x, ( x), , , , ,  , x x x n   (A.24)  2 ( x)  2 ( x)  2 ( x)    , x x x (A.25) từ ta suy 61  n ( x)  n ( x)  n ( x)    , x n x n x n (A.26) f f  (x) f  n (x) f   (x)   (x)    n (x)   ,  (x)  x x x n  n (A.27) ta có x đó, công thức (A.22) thỏa mãn Mặt khác, ta thấy theo định nghĩa (A.15) hay (A.24) tốn tử biến phân  tác động lên biến  mà không tác động lên biến x, ta dễ thấy  f    f x x (A.28) Công thức (A.28) với biến phân định nghĩa mục này, khơng “biến phân mở rộng” định nghĩa mục trước Theo định nghĩa ta thấy biến phân phiếm hàm,   ( x)  2 ( x)  n ( x)  f  x, ( x), , , , ,  x x x n      ( x)  2 ( x)  n ( x)  F  x, ( x), , , , ,  dx n  x  x  x   b a (A.29)   ( x)  2 ( x)  n ( x)    f  f  x, ( x), , , , ,  x x x n     ( x)  2 ( x)  n ( x)   f  x, ( x), , , , ,  n  x  x  x    b a   ( x)  2 ( x)  n ( x)  F  x, ( x), , , , , dx n  x  x  x   (A.30) 62 b  ( x)  2 ( x)  n ( x)     x, ( x), , , , , dx n a  x  x  x    b a   ( x)  2 ( x)  n ( x)  F  x, ( x), , , , ,  dx, x x x n   (A.31) suy  f    F  dx b a (A.32) 63 PHỤ LỤC B:  CHỨNG MINH ĐẠI LƯỢNG T  LÀ TENSOR NĂNG XUNG LƯỢNG CỦA VẬT CHẤT Như nói ta chứng minh đại lượng T tensor xung lượng vật chất Nhân hai vế (1.76) với g  ta 8 G R  R    T  , c (B.1) suy 8 G R   R     T   , c tức R  2R   R 8 G T, c4 8 G T, c4 (B.2) T  T    T 00  T 11  T 22  T 33 Thay (B.2) vào (B.1), ta có R    8 G     T    T  c4   (B.3) Các phương trình (1.73), (B.1), (B.3) tương đương phương trình Einstein Lấy đạo hàm hiệp biến theo số  hai vế (B.1) ta 8 G  R     R   T  , c (B.4) 64 8 G  R   R    T  c (B.5) Tiếp theo ta có đẳng thức Bawngsski,  R     R      R    0, (B.6) thật vậy, R                         ,   x x (B.7) suy              R                         , x x x x x x  số hạng cuối có dạng       sử dụng hệ quy chiếu quán tính x địa phương     nên số hạng cuối triệt tiêu Vậy, hệ quy chiếu qn tính địa phương, ta có             R        , x x x x x             R        , x x x x x             R    , x x  x x  x cộng vế với vế ba biểu thức lại với nhau, ta     R    R     R    0,  x x x (B.8) (B.9) (B.10) 65 mặt khác, điểm quán tính địa phương, đạo hàm hiệp biến trở thành đạo hàm thường, điểm quán tính địa phương, cơng thức viết lại,  R     R      R    0, (B.11) mà vế trái công thức tensor nên khơng hệ không hệ, tức công thức (B.11) khơng điểm qn tính địa phương mà cịn cho điểm, đó, công thức tổng quát   Nhân hai vế (B.11) với g   ta g   R   g   R   g    R   0,   g  nên   g  R      g  R       g  R    0,   g  R      g  R      g  R     0, mà R     R   , (B.12) R  R  , (B.13) suy   g  R      g  R      g  R     0,   g  R     g  R      g  R   0, mặt khác R   g  R  g  R   , (B.14) R  g  R  g  R   , (B.15) 66 nên  R    g  R      R    0, (B.16) ngồi (B.14) ta cịn có R   g  R  , (B.17) thật vậy, ta biết định nghĩa tensor độ cong bậc R  g R  , (B.18) R   R , (B.19) R   R , (B.20) R   R (B.21) với tính chất Nhân hai vế (B.18) với g  ta có g  R  g  g R  , (B.22) g  R   R  , (B.23) g  R  R   , (B.24) g  R  R    R , (B.25) suy nhân hai vế (B.24) với g  ta g  R    g  g  R  g  g  R , từ (B.19) (B.20) suy g  R    g  g  R 67 Theo (B.25) ta có g  R    g  R  R   , vậy, ta chứng minh (B.17) Thay (B.17) vào (B.16), ta có  R  2  R    0, (B.26)   R     R  0, (B.27) so sánh (B.27) với (B.5), suy  T    (B.28) Như vậy, xét không thời gian phẳng mà đạo hàm hiệp biến trở đạo hàm thường (B.28) trở thành, T   0, x (B.29) suy T   x d x  0, T   dS  0, mặt lấy tích phân mặt cong vơ bao tồn khơng thời gian Vì vậy, giả sử ta lấy mặt S có dạng mặt trụ với trục trục thời gian hai mặt đáy 1 ,  vng góc với trục thời gian, mặt bên hình trụ vơ cơng thức trở thành (tại mặt bên vô T   )  1 T  dS   T  dS  0, 2 dấu trừ xuất tích phân thứ hai pháp tuyến với hai siêu mặt đáy ngược hướng Mặt khác, hai mặt 1 ,  mặt loại thời gian, nên 68 dS0  dxdydz  dx, dSi  với i  1, 2,3 , đó, công thức trở thành  T  (t )dxdydz   T  (t )dxdydz  0, 0 suy  T  (t )dxdydz  const , T 0 vector xung lượng vật chất, hay T  tensor xung lượng vật chất Định luật bảo toàn xung lượng vật chất không thời gian phẳng (B.29), cịn khơng thời gian cong (B.28), phương trình khơng thể định luật bảo tồn Như khơng thời gian cong xung lượng vật chất khơng bảo tồn, điều có nghĩa thân khơng thời gian phải mang lượng (năng lượng trường hấp dẫn), tương tác vật chất với không thời gian nên tổng xung lượng không thời gian với xung lượng vật chất bảo toàn Ý kiến thầy hướng dẫn Học viên Nguyễn Anh Kỳ Lê Thị Nga