Luận văn thạc sĩ Vật lý, Bài toán Polaron, Vật lý toán, Phương pháp tích phân phiếm hàm

Khái niệm polaron tiếp tục thu hút nhiều sự quan tâm trong thực nghiệm cũng như lý thuyết: nó mô tả các tính chất vật lý của các hạt mang điện trong các tinh thể có cực và các bán dẫn io

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Mai Thị Minh Ánh

NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Mai Thị Minh Ánh

NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN POLARON

BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2014

1

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 2

Chương 1 – Bài toán Polaron trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thường 6 1.1 Khái niệm Polaron …… ……… 6

1.1.1 Polaron bán kính lớn 8

1.1.2 Polaron bán kính nhỏ 9

1.2 Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể ……… …… 11

1.3 Bài toán Polaron trong lý thuyết nhiễu loạn thông thường ……… … 15

1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc nhất ……… …… 17

1.3.1 Tính hằng số nhiễu loạn bậc hai … ……… …… 17

1.3.3 Năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron ……… 19

Chương 2 – Bài toán Polaron trong khuôn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm22 Chương 3 – Năng lượng trạng thái cơ bản và các bổ chính bậc nhất Khối lượng hiệu dụng của Polaron 30

3.1 Giá trị trung bình hàm Green trong trạng thái chân không ……… … 30

3.2 Năng lương trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron … 35

3.3 Gần đúng bậc nhất cho phổ năng lượng ……… 39

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

2

MỞ ĐẦU

Khái niệm polaron đầu tiên được L.D Landau giới thiệu trong một bài báo rất ngắn /16/, sau đó được phát triển bởi S.I Pekar/20/, ông đã nghiên cứu các tính chất cơ bản nhất của polaron tĩnh trong trường hợp giới hạn của tương tác electron-phonon rất mạnh, để hành vi của polaron có thể được phân tích trong gần đúng đoạn nhiệt

Nhiều nhà nghiên cứu nổi tiếng khác, trong đó có H Fro¨hlich/14/, R Feynman/11/ và N.N Bogolyubov /8/, đã đóng góp cho sự phát triển của lý thuyết polaron sau này Khái niệm polaron tiếp tục thu hút nhiều sự quan tâm trong thực nghiệm cũng như lý thuyết: nó mô tả các tính chất vật lý của các hạt mang điện trong các tinh thể có cực và các bán dẫn ion và, cùng lúc đó, nó biểu hiện một mô hình đơn giản nhưng hiệu quả trong mô hình lý thuyết trường của một hạt tương tác với trường boson vô hướng

Mô hình Polaron mô tả tương tác của hạt phi tương đối tính với trường lượng

tử vô hướng là một trong những mô hình cơ bản đơn giản, quan trọng trong việc vận dụng các phương pháp của lý thuyết trường lượng tử vào chất rắn /11, 15, 17/

Có rất nhiều phương pháp đã được phát triển để nghiên cứu mô hình Polaron Bằng phương pháp nhiễu loạn thông thường ta tính được năng lượng trạng thái cơ bản và khối lượng hiệu dụng của Polaron/12, 14, 16/, tuy nhiên việc tính toán các bổ chính bậc cao gặp khó khăn Trong rất nhiều phương pháp của lý thuyết trường lượng tử cho bài toán này, phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ ra là phương pháp hữu hiệu

Einstein và Smolykhovski là những người đầu tiên đã đưa khái niệm tích

phân phiếm hàm (trong vật lý người ta gọi là tích phân đường hay tích phân theo

quỹ đạo) vào nghiên cứu lý thuyết chuyển động của hạt Brown, song cơ sở toán học

chặt chẽ của khái niệm này lại dựa vào các công trình nghiên cứu của Weiner (trong

toán học người ta gọi là tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm)/7/

3

Khái niệm tích phân qũy đạo là công cụ hữu hiệu để nghiên cứu các vấn đề vật lý lý thuyết Feynman là người đầu tiên đã sử dụng nó để xây dựng một cách phát biểu mới cho cơ học lượng tử /3, 9/ Nền tảng chủ yếu của phương pháp này là

dựa vào nguyên lý: “Biên độ xác suất của phép dời chuyển lượng tử của hệ từ

trạng thái đầu |i đến trạng thái cuối |f được xác định bởi tổng hay tích phân)

theo tất cả các quỹ đạo khả dĩ trong không gian pha của biểu thức exp

[ t x S

i



trong đó S [ t x( )] là hàm tác dụng cổ điển” Feynman cũng là người đầu tiên áp

dụng phương pháp này vào lý thuyết trường lượng tử tương đối tính Thành tựu to lớn của phương pháp tích phân phiếm hàm là phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman được sử dụng trong Điện động lực học lượng tử (QED) trước đây và việc lượng tử hóa các lý thuyết trường chuẩn sau này

Bài toán Polaron đã được Feynman nghiên cứu đầu tiên /11/ bằng phương pháp biến phân, trong đó mức năng lượng của trạng thái cơ bản đã được đánh giá

cho trường hợp liên kết yếu

Mục đích của bản luận văn là phát triển nghiên cứu của Feynman, tính năng

lượng trạng thái cơ bản, và bổ chính năng lượng bậc nhất của nó, khối lượng hiệu dụng của Polaron bằng phương pháp tích phân phiến hàm Các tích phân phiếm hàm được tính toán nhờ phương pháp gần đúng quỹ đạo thẳng hay còn gọi là gần đúng eikonal trong lý thuyết tán xạ lượng tử

Nội dung của luận văn bao gồm ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1: Bài toán Polaron trong khuôn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông

thường

Mô hình Polaron trong mạng tinh thể được trình bày trong mục (1.1) Từ

mô hình đó chúng tôi xây dựng biểu thức cho Hamiltonian của hệ electron - phonon trong mạng tinh thể (1.2) Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường ta tính được

4

năng lượng cơ bản, bổ chính của nó, và khối lượng hiệu dụng của Polaron trong

trường hợp liên kết yếu (1.3)

Chương 2: Bài toán Polaron trong khuôn khổ phương pháp tích phân

phiếm hàm

Tích phân phiếm hàm trong luận văn được đưa vào giải bài toán Polaron khi tuyến tính hóa toán tử Laplace :

Biến số s trong hàm mũ, được coi như chỉ số trật tự ( như thời gian trong T – tích )

T- tích sang N - tích không thể thực hiện được nêu không khai triển thành chuỗi của

lý thuyết nhiễu loạn, lý do trong thừa số hàm số mũ chứa toán tử phi tuyến

Ta chỉ có thể thực hiện phép biến đổi

[ ∫ ] ∫ ⃗⃗⃗ ∫ … Phương trình cho hàm Green tổng quát của mô hình Polaron (cụ thể xét mô hình tương tác của hạt vô hướng phi tương đối tính ( electron ) với trường ngoài – (nếu trường ngoài lượng tử hóa, sẽ là tập hợp các phonon) được dẫn ra ở chương 2

Chương 3: Năng lượng và bổ chính bậc nhất cho trạng thái cơ bản, và

khối lượng hiệu dụng của Polaron

Sử dụng hàm Green thu được ở chương 2, ta tìm giá trị trung bình của hàm Green trong trạng thái chân không trong gần đúng quỹ đạo thẳng ở mục (3.1) Sử dụng kết quả này để tìm năng lượng trạng thái cơ bản và tính khối lượng hiệu dụng

5

của Polaron trong mục (3.2) Các bổ chính bậc nhất cho năng lượng trạng thái cơ bản được trình bày trong mục (3.3)

Phần kết luận dành cho việc tổng hợp những kết quả chung thu được trong

luận văn và thảo luận

6

Chương 1 BÀI TOÁN POLARON TRONG KHUÔN KHỔ

LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN THÔNG THƯỜNG 1.1 Khái niệm Polaron

Electron trong vật rắn là chuẩn hạt và chiếm các trạng thái đơn electron trong mô hình vùng năng lượng Phonon cũng là một chuẩn hạt mô tả các dao động

và nhánh j của phổ tán sắc j q

Tương tác electron – Phonon thể hiện qua việc sinh (phát) hoặc huỷ (hấp thụ)

Trong mạng tinh thể phức tạp, các nguyên tử cơ sở có các điện tích khác nhau như các tinh thể Ion thì sự phân cực sẽ liên kết với các dao động quang của mạng và sự phân cực này dẫn đến tương tác mạnh của electron với các Phonon

quang Trong tinh thể Ion do tương tác Co lom m electron phân c c môi

trường xung quanh mình S phân c c này làm biến dạng mạng, nghĩa là kích

thích các Phonon quang Trong các tinh thể Ion, một số nguyên tử mang điện tích dương trong khi một số khác lại mang điện tích âm Một Phonon quang có các Ion khác nhau dao động khác pha Khi các Ion âm và các Ion dương dao động theo hướng ngược nhau, chúng thiết lập một trường lưỡng cực phân cực Sự phân cực hoá gây ra trường điện làm tán xạ các electron Trường điện đó là nguồn liên kết có cực, electron và sự phân cực mạng (biến dạng mạng) liên kết với nhau tạo thành một chuẩn hạt được gọi là Polaron Mô hình mô tả Polaron phụ thuộc vào sự biến dạng mạng truyền trong môi trường hoặc trực tiếp bao quanh electron với một khoảng vài hằng số mạng (Polaron bán kính nhỏ) hay trên một số lớn hằng số mạng (Polaron bán kính lớn)

Khi có electron chen thêm vào giữa các nút mạng thì các Ion nằm ở các nút mạng bị lệch khỏi vị trí cân bằng của mình do lực hút hoặc lực đẩy tĩnh điện Từ

vậy có thể nói một cách đơn giản rằng Polaron là electron “Mặc áo” Phonon v

các tính chất của một electron khoác thêm áo như vậy trong nhiề trường hợp khác hẳn với các tính chất của electron “Trần trụi” cụ thể là:

(1) Polaron được sinh ra do tương tác tĩnh điện giữa electron và mạng tinh thể, do đó tinh thể phải là tinh thể Ion thì Polaron ở đó mới khác nhiều so với electron vì tương tác này lúc đó mạnh hơn nhiều so với tinh thể đồng hoá trị hoặc các loại tinh thể khác

(2) Polaron xảy ra chủ yếu trong tinh thể Ion mà tinh thể Ion là chất cách điện, do đó về cơ bản Polaron chỉ có mặt trong các tinh thể cách điện

(3) Polaron xảy ra không phải chỉ với electron mà còn có thể xảy ra với cả lỗ trống

(4) Để có Polaron xuất hiện các Ion của mạng tinh thể phải bị dịch chuyển,

do đó so với electron thì Polaron có độ ì (quán tính) hay nói cách khác là khối

lượng hiệu dụng lớn hơn nhiều Polaron thậm chí có thể nặng đến mức bị bắt giữ

(định xứ tại một vị trí nào đó trong tinh thể) không chuyển động được Về sự bắt giữ của Polaron có thể nói thêm như sau:

- Sự bắt giữ Polaron thường xảy ra trong các tinh thể Ion phân cực mạnh, ví

dụ như các tinh thể kiềm – halogen, hoặc bạc – halogen

- Lỗ trống hay bị bắt giữ hơn electron, hầu như trong tất cả các tinh thể kiềm

- halogen và bạc - halogen lỗ trống đều bị bắt giữ

từ

electron + phonon Điện động lực học lượng tử

Giữa electron và phonon

thể

“electron” + phonon

Giữa “electron” và phonon

9

Tương tác electron – phonon có dạng thông thường, ngoại trừ yếu tố ma trận

( )

M k q phụ thuộc vào k cũng như q Sự phụ thuộc vào k là do sự nhảy biến điệu của phonon Phần này sẽ được bỏ qua (D3  0), vì vậy yếu tố ma trận electron –

Tổng theo vector sóng đối với các hạt chỉ mở rộng qua vùng Brillouin Trong mô hình thực của vật rắn, sẽ có rất nhiều dải được lấy tổng Đối với độ rộng dải lớn, hạt

sẽ giam giữ chuyển động của nó để cho các trạng thái ở gần đáy của dải Đối với j

trong tinh thể lập phương k  zj (1 (  k  ) / 6)2 , vì thế hạt có khối lượng hiệu dụng

bởi lý thuyết liên kết yếu Những thay đổi này (trong mô hình liên kết chặt) phải tương xứng với thay đổi trong độ rộng dải Năng lượng tự trao đổi Polaron theo lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh – Schrodiger bậc nhất là :

F k e  i



10

ứng Polaron định vị một hạt trên ô mạng và hiện tượng nhảy từ ô mạng này sang ô mạng khác xuất hiện một cách không thường xuyên Phần liên kết chặt chính là nhiễu loạn, trong khi phần tương tác phonon – hạt lại lớn Hamiltonan được giải trong không gian cho các hạt mà không sử dụng đến các toạ độ tập hợp Bước đầu tiên là áp dụng biến đổi chính tắc làm chéo hoá hai phần cuối trong Hamiltonian Biến đổi chính tắc có dạng :

e C e C X Toán tử số hạt n j C C j j giao hoán với S và không

thừa số X jX j Thành phần đầu tiên không thể giải chính xác được, vì vậy phép

biến đổi chính tắc đã không thể làm chéo hoá Hamilton này được Trạng thái riêng

11

J f X jX i j

Trong đó: i , f mô tả các trạng thái ban đầu và cuối cùng của phonon trong

quá trình dịch chuyển Vì thừa số X jX j cho phép các phonon được hình thành

dụng tăng lên cùng một lượng Trong khuôn khổ Holstein, nhảy chéo đóng góp vào phần ảo

Dáng điệu Polaron lớn xuất hiện khi các chuyển dịch chéo chi phối

Dáng điệu Polaron nhỏ, với nhảy khuyếch tán, xuất hiện khi các dịch chuyển không chéo chi phối (xem [3,9])

1.2 Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể

Hamiltonian của electron trong mạng tinh thể có thể biểu diễn dưới dạng:

12

phonon Mạng tinh thể được xem như tập hợp các dao động tử điều hòa Khi đó

véctơ sóng ⃗ , sao cho:

là tần số dao động mạng

là khối lượng hiệu dụng của electron

r là toán tử tọa độ của electron

Trong biểu thức Hamiltonian tự do H0, số hạng thứ nhất trong công thức (1.17) tương ứng với động năng electron, số hạng thứ hai là năng lượng của các lượng tử của trường ngoài, trong mạng tinh thể chúng là các phonon

Thành phần Hamiltonian tương tác giữa electron vói trường ngoài U(r

) – trường của mạng tinh thể trong công thức (1.2) thỏa mãn phương trình cổ điển:

* ,

3

3

),()

,()

2

( a

a r ik a

r ik

e e a k b e e a k b k

,

* ,

3

3

),()

,()

2( a

a r ik a

r ik

e e a k b e e a k b k k



Một cách gần đúng có thể coi chỉ có mode dao động với véc tơ đơn vị phân cực dọc

), bỏ qua các mode dao động khác Khi đó ta có:

 ik r

k r ik

k e b e b

k k d

)2

)2( 3

3 '

k e b e

b    

k r ik

k e b e b

(

)

3 4 3 3 2

k e b A e b A

Vậy bài toán dẫn đến việc xác định tính chất của hệ với Hamiltonian

này không nhỏ, vậy các bổ chính liên quan với thế năng này là các trường có bản chất lượng tử, và ta có thể tính bổ chính này bằng lý thuyết nhiễu loạn

Sau đây ta sẽ vận dụng biểu thức Hamiltonian ở (1.26) để giải quyết bài toán POLARON

Và trong gần đúng bậc nhất

từ điều kiện tối thiểu của năng lượng (Xem thêm các công trình của N.N Bogoliubov đã dẫn về vấn đề này)

Vấn đề Polaron không đặc biệt quan trọng, nhưng lý thú ở chỗ nó sẽ đưa

đên một bài toán vật lý toán nào đó Phương pháp giải bài toán này cũng có thể sử dụng để giải bài toán tương tự Bài toán Polaron có thể giải theo những cách khác nhau Trước tiên để đơn giản ta giải quyết bài toán Polaron trong trường hợp liên kết yếu α và sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường

16

1.3 Bài toán Polaron trong lý thuyết nhiễu loạn thông thường

Để cho hằng số liên kết yếu α ta sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường Theo (1.16) Hamiltonian được viết dưới dạng tổng

) ( ) ( ) (n n n

k e b e

Các giá trị riêng và các hàm riêng của HO nhận được từ lời giải phương trình:

) ( 0 ) (

n

tập hợp đủ trực chuẩn với nhau theo /1/

xong đặt ε = 1)

Khai triển năng lượng của hệ dưới dạng chuỗi luỹ thừa :

E(n)= E0(n) + ε E1(n)

17

tử phonon

đến tương tác với các dao động mạng, khi đó năng lượng nhiễu loạn theo /1/:

năng lượng nhiễu loạn bổ xung, | m và | n - là các trạng thái riêng của H0

Eo(n) là trị riêng H0 ứng với trạng thái | n

Khái quát lên, do U tương tác lên trạng thái sẽ làm thay đổi số phonon, nên số hạng

1.3.2 Tính số hạng nhiễu loạn bậc hai

Xét giản đồ bậc 2 được biểu diễn bằng giản đồ trên (H.1)

18

(H.1) ⃗

Trong trạng thái trung gian có electron với xung lượng ⃗ ⃗ ) và pho non cùng với

)( 2

Trong hệ đơn vị đã được lựa chọn của chúng ta

Xét yếu tố ma trận:

k

r ik k r ik

b k

Trong đó 0 trong trang thái | n = | , 0Pr  có nghĩa là không có phonon

1.3.3 Năng lƣợng trạng thái cơ bản và khối lƣợng hiệu dụng của Polaron

Tổng quát hóa công thức (1.36) cho trường hợp ba chiều và viết tổng dưới dạng tích phân, ta tìm đươc:

)2.2(

.)2(

22

3 3

1

x b

ax

dx

20

Đặt b=k2 và a=k2 - 2P.k + 2 có thể viết (1.37) thành

k x k

P k x

dx k

d E

2 2 2

1 0 3

3 0

])1()2.2([)2(2

k d

3 1

1)

2(2

k

k d dx

2 2 2 2

3

3 1

1)

2(2

82

4

2 2 1

0 0

P P

P x x

P P

) 2

( 6

1 2

122

2 2

Trên đây chúng tôi đã trình bày lời giải bái toán Polaron bằng lý thuyết

nhiễu loạn, tuy nhiên sử dụng phương pháp này ta chỉ th được kết quả một cách

rời rạc và việc tính các số hạng bổ chính bậc cao là phức tạp

Phương pháp tích phân phiếm hàm cho phép tìm biểu thức tổng quát của hàm Green, thuận tiện vượt khỏi khuôn mẫu của lý thuyết nhiễu loạn

Để thuận tiện trong mục này ta chọn hệ đơn vị c1

Trong phần này, ta sẽ nghiên cứu bài toán tìm hàm Green trong P-biểu diễn, khi xung lượng toàn phần của hệ có dạng:

k k k k

2

1       *

(2.3)