Luận văn thạc sĩ Vật lý lý thuyết, Vật lý lý toán, Hiệu ứng Hall, Lý thuyết lượng tử

Những tính toán về hệ số hấp thụ không tuyến tính sóng điện từ mạnh được sử dụng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối [5], trong bán dẫn siêu mạng hợp phần [6, 7] và

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới GS.TS Đinh Quốc Vương, thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ

em hoàn thành luận văn này

Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Văn Nghĩa, hiện đang giảng dạy tại trường Đại học Thuỷ Lợi, người đã giúp đỡ em rất nhiều trong những buổi đầu làm luận văn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý

lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô

đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường

Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn

Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED (103.01 – 2011.18) và QGTD.12.01

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn

Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 9 – 2014 Học viên: Nguyễn Vũ Thắng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……….1

CHƯƠNG 1 DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ

VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI… 41.1 Dây lượng tử……… 4

1.1.1 Khái niệm dây lượng tử……… 4 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với thế

cao vô hạn… ……… 4 1.2 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối……….5

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC

GIẢI TÍCH CHO TENXO ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC

TỪ TRỞ HALL CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT 12 2.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong dây lượng tử

hình chữ nhật 12 2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử

hình chữ nhật 13 2.3 Biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall 19 CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT

CHO DÂY LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl 27

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ……… 27

3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường ……… ……… 28

3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật 28

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

PHỤ LỤC……… 33

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ Trang 27

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường Trang 28

Hình 3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử

hình chữ nhật

Trang 29

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Cuối những năm 80 của thế kỷ 20 thành tựu của khoa học vật lý được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều Đó là, các bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …); bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu)

Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều) Nhưng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ một chiều và hệ không chiều), ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế phụ Trường điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần) Tuỳ thuộc vào trường điện thế phụ tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây lượng tử) Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường điện thế phụ thì chuyển động của hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt (hạt chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có trường điện thế phụ), phổ năng lượng của các hạt mang điện theo hướng này bị lượng tử hoá Chính sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, tenxơ

độ dẫn, tương tác điện tử với phonon…, đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới, ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có [1,2] Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang-điện tử nói riêng Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ

và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước Trong nhiều năm, có rất nhiều nghiên cứu giải quyết vấn đề về sự ảnh hưởng của sóng điện từ lên bán dẫn thấp chiều Sự hấp thụ tuyến tính sóng điện từ yếu gây

ra bởi sự giam giữ các điện tử trong bán dẫn thấp chiều, được nghiên cứu tỉ mỉ bằng cách sử dụng phương pháp Kubo - Mori [3,4] Những tính toán về hệ số hấp thụ không tuyến tính sóng điện từ mạnh được sử dụng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối [5], trong bán dẫn siêu mạng hợp phần [6, 7] và trong dây lượng tử [8] cũng được báo cáo Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự có mặt của sóng điện từ được nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử [9 – 13]

Như chúng ta đã biết, những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều ở nhiệt độ tương đối cao, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đang được nghiên cứu Trong một nghiên cứu, hiệu ứng Hall trong hố lượng tử với hố thế Parabol chỉ được tính đến sự có mặt của từ trường với chuyển động của điện tử là tự do nhưng trong trường hợp trường điện từ trực giao trong mặt phẳng của chuyển động tự do của electron không được tính đến Thời gian gần đây cũng đã có một số công trình nghiên cứu về Hiệu ứng Hall trong các bán dẫn thấp chiều Do đó, trong luận văn

này trình bày các kết quả nghiên cứu với đề tài: “Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng

Hall trong Dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn”

2 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử Chúng ta viết Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, sự có mặt của một từ trường đặt dọc theo trục Ox: B 

= (B, 0, 0), một điện trường dọc theo trục Oz: E 1

= (0, 0,

E1) trường laser như trường điện urE(0, E sin t,0)0  (trong đó Eo và Ω tương ứng là biên độ và tần số của trường laser) Sau đó, chúng ta xây dựng phương trình Hamiltonian cho hệ điện tử -phonon và giải phương trình để tìm ra biểu thức giải tích cho ten xơ độ dẫn Hall và hệ số Hall Biểu thức này chỉ ra rằng độ dẫn Hall

phụ thuộc vào từ trường, nồng độ pha tạp, tần số sóng điện từ Điều đó thể hiện

rõ ràng qua đồ thị bằng cách và sử dụng chương trình Matlab để tính toán số cho dây lượng tử hình chữ nhật Đây là phương pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn

thấp chiều

Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật để làm

rõ hơn các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều

Đối tượng nghiên cứu: dây lượng tử hình chữ nhật

Phạm vi nghiên cứu: Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong dây lượng tử

hình chữ nhật với trường hợp tán xạ chủ yếu là tán xạ điện tử phonon quang

Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn này được chia làm ba chương:

CHƯƠNG 1: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán

dẫn khối

CHƯƠNG 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho tenxo độ

dẫn Hall, hệ số Hall cho dây lượng tử hình chữ nhật

CHƯƠNG 3: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử

hình chữ nhật GaAs/GaAsAl

CHƯƠNG 1

DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG

HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI

Trong chương đầu tiên này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lược về dây lượng tử và

hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối theo quan điểm lượng tử Từ Hamiltonnian của hệ

điện tử - phonon, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, đưa ra công thức

tenxo độ dẫn Hall, công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối

1.1 Dây lượng tử

1.1.1 Khái niệm dây lượng tử

Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều Trong đó,

chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có

một chiều được chuyển động tự do (trong một số bài toán chiều này thường được

gọi là vô hạn); vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều Trên

thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt

Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa

hữu cơ kim loại MOCVD Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên

một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn

trên hệ khí điện tử hai chiều

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với

hố thế cao vô hạn

Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được

đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết Để tìm phổ năng lượng và hàm

sóng điện tử trong dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình

Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều

2 2

giữ điện tử do sự giảm kích thước Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích

thước ba trục được giả thiết lần lượt là L L L L L L x, y, z( z, x, y) Ta luôn giả thiết z là

chiều không bị lượng tử hóa (điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện

tử bị giam giữ trong hai chiều còn lại(x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng

hiệu dụng của điện tử là m*

Và phổ năng lượng của điện tử:

+ Khi chưa có từ trường:

n, l: là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hoá x và y;

: là véc tơ sóng của điện tử

Lx, Ly: là các kích thước của dây theo hai phương Ox, Oy

1.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.

Trong phần này chúng tôi giới thiệu tổng quát về ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phương Ox, một từ trường theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy Hiện tượng này được gọi là Hiệu ứng Hall cổ điển

kr  0,0, k

Ở đây, để có ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trường và từ trường không đổi, vuông góc với nhau Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trưng bởi vecto cường độ điện trường E (E sin0  t, 0, 0) với Eo và  tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ)

Trước hết, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ Sử dụng Hamiltonnian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối:

h

r r rh

  uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:

 

µ ,

n t p

Chứng minh tự tương ta nhận được phương trình đối với hàm , ,  

là đối xứng ta sẽ thu được phương trình:

 

1 2

* 2

p m

2

11

c c

0 0

x

eL a

5 7

2 2

7 6 3

 

(B)1

2 (B) 2

yz R

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH

CHO TENXO ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL DÂY

LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

Trong chương này, chúng tôi đưa ra Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm -

phonon trong dây lượng tử Sau đó bằng phương pháp phương trình động lượng tử

cho điện tử trong dây lượng tử, từ đó tìm được biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn

Hall và từ trở Hall

2.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong dây lượng tử

hình chữ nhật

Nếu ta đặt vào dây lượng tử một điện trường dọc theo trục Oz: Eur1(0, 0, E )1 ,

một từ trường không đổi theo phương Ox:Bur1(B , 0, 0)1 và một điện trường biến

l; Chỉ số lượng tử xuyên tâm

và trạng thái của điện tử trước và sau va chạm

: Năng lượng của phonon quang với vecto sóng

và b qr là toán tử sinh và toán tửu hủy của phonon quang

: Thế vecto của trường điện từ

2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật

Trước hết, ta đi thiết lập phương trình động lượng tử cho số điện tử trung bình

'

2 (t) n,l

t t

e (t) i exp i ε (k) ε (k q) qA(t ) dt

q t q q t n,l,k q n,l.k j n ,l ,k q j n ,l ,k

t n,l,n ,l ,k

Eqieccos(Ωos(ΩcΩ

m

EqiecdtAqem

ie

1 2

* 0 t

t

t t

2

* 0 2

Eqe

Ω

λ J sinΩi

Ω

λ i

λJsinΩi

Ω

λi

k k

i

e

e e

n

t i

C qr

là vectơ đơn vị theo phương Br

Đối số của hàm Bessel nhỏ





<< 1 Trong khi phân tích hàm Bessel theo đối

số ta chỉ giữ lại những số hạng tỷ lệ đến bậc một của

C qr

2 2

giả thiết tốc độ thay đổi hàm phân bố tỷ lệ với độ lệch đó khi đó (2.27) thành

C qr

2 2

Như vậy, phương trình (2.28) là phương trình động lượng tử của điện tử trong

dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn Để tìm được biểu thức giải tích

cho tenxơ độ dẫn Hall và từ trở Hall, ta đi giải phương trình (2.28) ở điều kiện nhiệt

độ cao với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang

2.3 Biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall

Nhân 2 vế của phương trình (2.28) với e k δ(εx n,l ε )n ,l

C qr

2 2

4



C qr

2 2

4



Giải (2.30) ta tìm được

( )

) ( 2 ) (

Thay (2.31) vào (2.32) ta thu được biểu thức của mật độ dòng toàn phần urj i

cũng như độ dẫn Hall ij Để làm được điều này, ta coi rằng chỉ có tương tác điện

Giả thiết khi điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử có dạng

vào tích phân; nói một cách khác chỉ có điện tử thỏa mãn bất đẳng thức này mới tham gia vào hiệu ứng:

2 x

2 2n,l,n ,l n,l n ,l

n,l,n ,l , , , , n,l,n ,l n,l,n ,l

τ(ε )e

F

f k k

= εF εn,l

2

kem*

2

β ε ε 2

2

2 2

2 2 2 2 1

β k1

x

x x

2m

x

x x

1

β kexp

3 ω τ ω τ h ω τε h

q k

c

e m

CHƯƠNG 3 TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT

CHO DÂY LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ, từ trường và chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl với hố thế cao vô hạn Các thông số được sử dụng trong quá trình tính toán này như sau:

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ khi thay đổi cảm ứng từ: B=4.0T; B=4.4T; B=4.6T, chiều dài dây lượng tử L=9.10-7m, hai kích thước dây lượng tử Lx=8.10-9m, Ly=7.10-9m ta thu được kết quả đồ thị thị 3.1:

x 1013-1.5

-1 -0.5

0 0.5 1

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ

Hình 3.1 thể hiện sự phụ thuộc hệ số Hall theo tần số sóng điện từ cho dây

đồ thị ta nhận thấy, ban đầu hệ số Hall tăng nhanh khi tần số tăng, sau đó đạt cực đại tại một giá trị của tần số rồi giảm mạnh Và khi tần số sóng điện từ tiếp tục tăng thì hệ số Hall lại đạt giá trị không đổi Ở những giá trị từ trường khác nhau, hình dạng đồ thị khác nhau, các giá trị cực đại của hệ số Hall không có sự khác nhiều

3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường khi thay đổi nhiệt độ: T=50K; T=100K; T=150K, chiều dài dây lượng tử L=9.10-7m, hai kích thước dây lượng tử Lx=8.10-9m, Ly=7.10-9m, ta thu được kết quả đồ thị thị 3.2:

-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường

Hình 3.2 thể hiện sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường với những giá trị khác nhau nhiệt độ Qua đồ thị, ta thấy hệ số Hall gần như không thay đổi khi từ trường tăng trong miền giá trị nhỏ Khi từ trường tiếp tục tăng, hệ số Hall giảm dần

3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật

Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử khi thay đổi nhiệt độ: T=120K; T=230K; T=350K, từ trường B=2T, hai kích thước dây lượng tử Lx=8.10-9m, Ly=7.10-9m, ta thu được kết quả đồ thị thị 3.3: