Luận văn thạc sĩ Vật lý, Vật lý toán, Monent, Electron, Xung lượng, Lý thuyết trường lượng tử.

Feynman khởi xướng, cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý cơ bản qua tương tác điện từ, đồng thời cho kết quả

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Đắc Minh

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

VÀ PHƯƠNG PHÁP CĂT XUNG LƯỢNG LỚN TRONG LÝ

THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hµ Néi - 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Đắc Minh

MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON

VÀ PHƯƠNG PHÁP CĂT XUNG LƯỢNG LỚN TRONG LÝ

Lêi c¶m ¬n

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này

Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này

Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa

Vật lý đã hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này

Hà Nội, ngày 20 tháng 08 năm 2014

Học viên

Nguyễn Đắc Minh

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 - PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON 5

1.1 Phương trình Pauli 5

1.2 Phương trình Dirac ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính 6

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli 9

Chương 2 - GIẢN ĐỒ FEYNMAN VÀ MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG ELECTRON 17

2.1 S-ma trận 17

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường 22

2.3 Hệ số dạng điện từ 23

Chương 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG 27

3.1 Bổ chính cho moment dị thường trong gần đúng một vòng 27

3.2 Moment từ dị thường cùng với các bổ chính lượng tử 33

KẾT LUẬN 35

TÀI LIỆU THAM KHẢO 37

PHỤ LỤC 38

DANH MỤC HÌNH

Hình 1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng 18

MỞ ĐẦU

Sự phát triển của điện động lực học lượng tử QED đã chứng minh rằng, trên cơ

sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do I Tomonaga, J Schwinger, R Feynman khởi xướng, cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý cơ bản qua tương tác điện từ, đồng thời cho kết quả tính toán lý thuyết phù hợp với số liệu thực nghiệm với độ chính xác tùy ý Ví

dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/

Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới Cường độ của tương tác này được mô tả bằng moment từ electron , và nó bằng

sự đóng góp bổ sung, mà nó được gọi là mômen từ dị thường Lưu ý, chỉ số 0 ký hiệu cho các giá trị “trần”– các giá trị chưa kể tương tác, còn R – ký hiệu giá trị thu được từ thực nghiệm

Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng  1, 0038750, giá trị này được gọi là moment từ dị thường của electron J Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của electron vào năm 1948

và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 10

10 %) Biểu thức giải tích của moment từ dị thường electron về mặt lý thuyết gần đây đã thu được

Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho moment từ dị thường của hạt trong lý thuyết trường lượng tử, cụ thể moment từ dị thường của electron trong QED Việc tính đóng góp bổ chính một vòng, sẽ phải tính thêm nhiều giản đồ Feynman, chứa các tích phân phân kỳ, mà chúng có thể phân kỳ hồng ngoại và phân kỳ tử ngoại Việc loại bỏ phân kỳ hồng ngoại theo cách thông thường: cho photon ảo một khối lượng tối thiếu min, kết quả cuối cùng cho

min 0

  , còn phân kỳ tử ngoại trong quá trình tính toán giản đồ Feynman có nhiều cách được sử dụng: phương pháp điều chỉnh Pauli- Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, và phương pháp cắt xung lượng lớn Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp điều cắt xung lượng lớn, đang được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường lượng tử nói chung và QED nói riêng

Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục

Chương 1 - Phương trình Pauli và moment từ của electron Phương trình

Pauli và moment từ có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ

phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương trình

Pauli với số hạng tương tác của moment từ electron với trường ngoài /1/ Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng  v

c , v – là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng Các bổ chính tương đối tính tiếp theo cho phương

trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn  v

c thu được bằng việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3

Chương 2 - Giản đồ Feynman và moment từ dị thường của electron

Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thường của electron Các giản đồ Feynman liên quan đến các đường ngoài mà hạt tương tác với chân không vật lý: chân không của trường điện từ - các photon và chân không của trường electron – positron- các electron ảo – positron ảo Các giản đồ Feynman này gắn với việc tái chuẩn hóa hàm sóng của electron hay hàm sóng của trường ngoài, và chúng không cho đóng góp cho moment từ electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính

Chương 3 - Bổ chính cho moment từ dị thường của electron Trong mục

3.1 sử dụng phương pháp cắt xung lượng lớn ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng Việc tính biểu thức bổ chính cho moment từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục 3.2 Lưu ý, việc tính moment từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn này bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lượng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trường điện

từ ngoài liên quan tới các đường ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho moment từ dị thường của electron

Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự

Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h c 1

và metric Feynman Các véctơ phản biến là tọa độ :

 0 1 2 3   

x  x t x x x  y x z  t xr thì các véctơ tọa độ hiệp biến : x g x  x0 t x, 1 x x, 2  y x, 3  z t,xr,

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON

Phương trình Pauli cho electron có spin và số hạng tương tác giữa moment từ của nó với trường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Xuất phát từ phương trình Schrodinger cho hat có spin không, ta thêm spin của electron và tương tác của moment từ của nó với trường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, ta thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính cho phương trình này ở gần đúng bậc  v

c ta thu phương trình Pauli cho electron với moment từ Nghiên cứu các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen

1.1 Phương trình Pauli

Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng Phương trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm sóng  trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần

, ,2

h

r (1.1)

Vì hạt có spin nên nó có moment từ Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann moment

từ của hạt với spin bằng

2

h   r  0r, (1.2)

0

 - là magneton Bohr, còn r là các ma trận Pauli Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ

  0

0

2

e e

2

0

( )2

1.2 Phương trình Dirac ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính

Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta có:

0 2 0

0 0

0 2 9

rrh

0

2 0

2

2 0

với uvà trong trường hợp nghiệm âm thì spinor u liên hệ với d thừa số  v

c

Thay (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta

có

1( / ) u

nr nr

2

0

m c trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác MBr r giữa mômen từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn

vì vậy để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối

tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các số hạng moment

Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xác  2

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli

Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc  2

2

v

c và sai sót trong Hamilton ở bậc  3

3

v

c Trong giới hạn này n r

H là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn toàn “phân ly ” Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac

Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc v c/  và phương trình Dirac ở dạng

2

0 0,

m c K  K     (1.19) cùng với

mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó  cao hơn và cao hơn bậc v c/ 

sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới

bậc v c/  Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu được

m c K    U K UKU (1.22)

    (hay cao hơn) (1.23)

Và phép biến đổi thứ hai ta có

   (hay cao hơn) (1.25)

và tiếp tục Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là

công thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán 3  cho việc tính

toán kết quả K Điều này sẽ dẫn đến

v O c

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K cùng

c (hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn

1, ,

2 2 2 2 , ,

1ˆ

(1.38) Đúng đắn đến bậc  4

4

v O

c với việc chéo hóa Hamilton

- Khi các S S,  , là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen

- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong

vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac phép biến đổi Fouldy –

Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu

hạn nào đấy Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng

i j i i j k k i j i i j k k

2 (0) (0) (0) (0) (0)

m c K   K     (1.43) Cùng với các toán tử chẵn  0 , (0)  2 2

v O

c





-Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện Để kết thúc ta trở lại phương trình

(2.98) Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trường

hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện

(1.48) Trong trường hợp này ta có

có thể gia tốc chuyển động lắc của electron Thành phần cuối cùng chứa năng lượng tương tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và moment góc quỹ đạo Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng thừa số 4

0

eA V x V r A

trong mẫu số1 Trong trường hợp của thế Coulomb   2

/

V r  Ze r hai thành phần cuối cùng là

- Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ

là gần đúng Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy –Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc cao hơn v c/  Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu v c/ , mà từ đây ta thu được lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach-Villars,

là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài có thể so sánh với bước sóng Compton

- Phương pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhất phép khai triển v c/  là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận Hamiltonian của phương trình có dạng

- Mômen từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman

Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng

0

2

e mc

CHƯƠNG 2 GIẢN ĐỒ FEYNMAN VÀ MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG ELECTRON

Xuất phát từ Lagrange tương tác của electron với trường điện từ, kể cả trường điện từ ngoài, ta nêu vắn tắt cách xây dựng S-matrận tương ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài ext 

A x , Aext( )x 0 Trong mục 2.2

ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính

2.1 S-ma trận

Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài Nếu trường ngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng về nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc Quá trình tán xạ được mô tả bằng S-matrận /1/

A x , với điều kiện Aext x 0, còn số hạng thứ ba – là phản thành phần để tái chuẩn hóa khối lượng m Rm0m Sử dụng khai triển hàm mũ dưới đây

trong đó p1, p2 là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron

Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc ba (bổ chính) cho quá

đồ (b) electron có xung lượng bay vào bức xạ một photon ảo, sau đó bay tiếp và

tương tác với trường ngoaì, sau đó electron có thể hấp thụ một photon ảo và bay ra Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b) cho đóng góp vào mômen từ dị thường của electron, còn các giản đồ còn lại

diễn tả quá trình ngược lại electron sau khi tương tác với trường ngoài nó sẽ bức xạ

ra một photon và sau hấp thụ photon này Giản đồ Feynman e diễn tả quá trình tương tác của pho ton với chân không vật lý của trường electron – positron Electron tương tác với photon sau khi nó được sinh ra khi hủy cặp electron-positron khi có mặt ở trường ngoài Tất cả các giản đồ Feynman kể trên lien quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tích của electron, và các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài, chứ không cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron Tròng luận văn này chúng ta chỉ giữ lại phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman (b) cho moment từ dị thường của electron

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng với giản đồ Hình 1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:

4 1



Vì trường ngoài Aext( ) x không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta

có thể bỏ ra ngoài N-tích và p2| | p , đồng thời khai triển các toán tử 1 ( )x và ( )x

 thành các toán tử sinh hủy hạt

N  x   x N                    , với: ( ) 

x

  :toán tử hủy e; ( ) 

x

  :toán tử hủy e; ( ) 

x

  :toán tử sinh e; ( ) 

x

  :toán tử sinh e

Khi chuyển các toán tử sinh electron c( p1) từ phải sang trái và chuyển các toán

tử hủy electron c p ( 2)từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tư

của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận

2 2

10

22

10 20

12

Thay (2.6b) vào (2.4) ta được yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của

electron ở trường điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

1 2

ex

10 20

2 1

là thế điện từ ngoài

Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dưới dạng tương tự:

p S p2 1 1 p20p10R21 (2.8) trong đó R (giản đồ (a)) là biên độ tán xạ của electron trong trường điện từ ngoài 21

tĩnh (trường thế Coulomb) ở gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn Electron chuyển từ trạng thái với xung lượng pr1 sang trạng thái với xung lượng pr2, thì biên độ tán xạ được xác định bằng công thức:

  0     2  

1

14

 

2 0

2 1

12

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường

Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay u2u1bằng đại lượng tổng quát hơn mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồ đỉnh p p1, 2 Những giản đồ này được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực

và loại giản đồ không đích thực 2

Các giản đồ đích thực trước đây được gọi là

« giản đồ một hạt bất khả quy » được kết nối với nhau mà ta không thể tách làm hai phần bằng việc cắt bỏ một đường trong Các giản đồ không đích thực được lồng vào

thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp »