Luận văn thạc sĩ Vật lý địa cầu, Ngôn ngữ lập trình Matlab, Vật lý, Trường từ

Hình 3.5a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của hình trụ tròn nằm ngang dài Hình 3.6a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của hình trụ tròn nằm ngang dài Hình 3.7a,b,c : Biến đổi Hil

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Thị Thúy Hiền

XÂY DỰNG BỘ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH CHUYỂN ĐỔI CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ BẰNG

NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Nguyễn Thị Thúy Hiền

XÂY DỰNG BỘ CHƯƠNG TRÌNH TÍNH CHUYỂN ĐỔI CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ BẰNG

NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB

Chuyên ngành: Vật lý địa cầu

Mã số: 60440111

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Đức Thanh

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành quyển luận văn này, trước tiên, với lòng kính trọng và

biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TS Đỗ Đức Thanh - người

thầy trực tiếp hướng dẫn khoa học và tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Bộ môn Vật lý Địa cầu – Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức và có những đóng góp hết sức quý báu cho tôi để hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô trong

Bộ môn Vật lý – Khoa Cơ điện và Công trình – Trường Đại học Lâm Nghiệp

đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình Cuối cùng cho phép tôi bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới gia đình và bạn bè, những người đã luôn quan tâm, động viên và là chỗ dựa tinh thần vững chắc của tôi trong những thời khắc khó khăn nhất

Do điều kiện thời gian và trình độ có hạn nên bản luận văn của tôi không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội,Ngày 07 tháng 12 năm 2015

Học viên

Nguyễn Thị Thúy Hiền

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1: Các thông số của vật thể có thiết diện ngang là hình trụ tròn bị từ hóa

đồng nhất……… …32 Bảng 3.2 Các thông số của vật thể có thiết diện ngang là đa giác bất kì bị từ hóa đồng nhất……… 42 Bảng 3.3 Các thông số của quả cầu bị từ hóa đồng nhất……… 51

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1: Vecto biểu diễn dị thường trường tổng……….04

Hình 1.2: Thế từ của một vật tiết diện bất kỳ………06

Hình 1.3: Từ hóa của một vật tiết diện bất kỳ……… 10

Hình 1.4: Tính từ trường của một hình trụ tròn nằm ngang……… 13

Hình 1.5: Vật thể 2 chiều tiết diện ngang bất kỳ được xấp xỉ bằng đa giác N cạnh 15

Hình 1.6: Tính từ trường cho cầu thể……… 18

Hình 1.7: Vị trí của vecto ……… 19

Hình 1.8: Các đường cong trên hình cầu dọc theo phương kinh tuyến 21

Hình 1.9: Các đường đẳng trị trên hình cầu với I=600 (trục thẳng đứng chạy theo phương kinh tuyến từ)……… 22

Hình 2.1: Sơ đồ tuyến đo trên vật thể hai chiều……….…… 28

Hình 3.1a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của hình trụ tròn nằm ngang dài vô tận với góc nghiêng từ hóa I=900……… ……… 34

Hình 3.2a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của hình trụ tròn nằm ngang dài vô tận với góc nghiêng từ hóa I=900……….35

Hình 3.3a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của hình trụ tròn nằm ngang dài vô tận với góc nghiêng từ hóa I=900……… …… 36

Hình 3.4a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của hình trụ tròn nằm ngang dài vô tận với góc nghiêng từ hóa I=600……… ……… 38

Hình 3.5a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của hình trụ tròn nằm ngang dài

Hình 3.6a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của hình trụ tròn nằm ngang dài

Hình 3.7a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể có tiết diện ngang là

Hình 3.8a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể có tiết diện ngang là

Hình 3.9a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể có tiết diện ngang là

Hình 3.10a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể có tiết diện ngang là

Hình 3.11a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể có tiết diện ngang là

Hình 3.12a,b,c : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể có tiết diện ngang là

Hình 3.13a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể hình cầu với góc

Hình 3.14a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể hình cầu với góc

Hình 3.15a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể hình cầu với góc

Hình 3.16a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể hình cầu với góc

Hình 3.17a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể hình cầu với góc

Hình 3.18a,b,c,d,e : Biến đổi Hilbert từ thành phần của vật thể hình cầu với góc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 XÁC ĐỊNH CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ GÂY RA BỞI CÁC VẬT THỂ BỊ TỪ HÓA 3

1.1 Bài toán thuận xác định các thành phần của trường từ gây bởi vật thể bị từ hóa 3

1.2 Dị thường từ toàn phần 3

1.3 Các biểu thức tích phân tổng quát xác định thế từ và các thành phần của trường từ 6

1.4 Các phương pháp hai chiều 12

1.4.1 Phương pháp xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi hình trụ tròn nằm ngang có chiều dài vô hạn 13

1.4.2 Phương pháp xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi vật thể hai chiều có tiết diện ngang là đa giác bất kì 14

1.5 Phương pháp ba chiều 17

CHƯƠNG 2 SỬ DỤNG THUẬT TOÁN HILBERT ĐỂ BIẾN ĐỔI CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ 23

2.1 Định nghĩa biến đổi Hilbert 23

2.2 Sử dụng thuật toán Hilbert để tính chuyển các thành phần của trường từ 26

2.2.1 Mở đầu 26

2.2.2 Tính chuyển các thành phần của trường từ nhờ thuật toán Hilbert 27

CHƯƠNG 3 MÔ HÌNH HÓA VÀ KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 32

3.1 Mô hình 1: Mô hình vật thể là hình trụ tròn nằm ngang 32

3.3.1 Thông số của mô hình 32

3.3.2 Kết quả tính toán 33

3.2 Mô hình 2: Mô hình vật thể có thiết diện ngang là đa giác bất kì 43

3.2.1 Thông số của mô hình 43

3.2.2 Kết quả tính toán 44

3.3 Mô hình 3: Mô hình vật thể hình cầu 56

3.3.1 Thông số của mô hình 56

3.3.2 Kết quả tính toán 57

KẾT LUẬN 70

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHÁO 71

từ góp phần giải quyết các vấn đề về phân vùng, kiến tạo thạch học, phát hiện các vùng

có triển vọng khoáng sản để tiến hành các công tác thăm dò địa chất, địa vật lý chi tiết

Phương pháp từ thường được áp dụng tổ hợp với các phương pháp địa Vật lý, địa hoá, địa chất khác nhằm mục đích nâng cao hiệu quả của chúng Nhờ có phương pháp từ người ta có khả năng rất lớn để nghiên cứu những diện tích có triển vọng khoáng sản trong những vùng bị phủ kín

Trong phương pháp thăm dò từ, việc giải các bài toán nhằm xác định các thành phần của trường từ của vật thể bị từ hóa giữ vai trò vô cùng quan trọng Tuy nhiên, dị thường từ không chỉ phụ thuộc vào các thông số của vật thể gây dị từ mà còn phụ thuộc vào độ từ thiên và độ từ khuynh của trường cực từ trái đất Bởi vậy, việc xác định tất cả các thành phần của trường từ trên cùng một khu vực gặp nhiều khó khăn Do đó, chúng ta cần tìm ra một phương pháp để có thể chuyển đổi giữa các thành phần của trường từ Ngoài ra việc tính chuyển từ thành phần này sang thành phần khác của trường từ cũng mang ý nghĩa đặc biệt quan trọng Nó góp phần làm đơn giản hóa đáng kể việc xử lý các

số liệu đo từ cũng như để so sánh các số liệu từ và trọng lực trên cùng một khu vực nghiên cứu

Matlab (Matrix Laboratory) theo tên gọi của nó là một công cụ phần mềm của Math Work, được phát triển mạnh mẽ nhằm phục vụ chủ yếu cho các mô tả nghiên cứu kĩ thuật bằng toán học với những phần tử cơ bản nhất là ma trận Mức phát triển của Matlab ngày nay chứng tỏ nó là một phần mềm có giao diện cực mạnh cùng nhiều lợi thế trong kỹ thuật lập trình để giải quyết các vấn đề đa dạng trong nghiên cứu khoa học kĩ thuật Các câu lệnh của Matlab được viết rất sát với các mô tả kỹ thuật khiến cho việc lập trình bằng ngôn ngữ này thuận tiện và dễ sử dụng hơn nhiều so với các ngôn ngữ lập trình khác như

2

Pascal, Fotran Ngoài ra, Matlab còn cho phép người dùng có thể biểu diễn đồ họa 1 cách mềm dẻo, đơn giản và khá chính xác trong không gian hai chiều cũng như trong không gian ba chiều

Do đó, trong phạm vi luận văn này, chúng tôi đã tiến hành lập trình bằng ngôn ngữ Matlab để thực hiện việc giải bài toán thuận nhằm xác định và tính chuyển các thành phần của trường dị từ trong trường hợp các vật thể bị từ hóa là hình cầu và các vật thể có tiết diện ngang là hình trụ hay tiết diện ngang xấp xỉ bởi một đa giác N cạnh bất kỳ

Để làm rõ vấn đề này, luận văn được chia làm 3 chương:

- Chương 1 Xác định các thành phần của trường từ gây bởi các vật thể bị từ hóa

- Chương 2 Sử dụng thuật toán Hilbert để biến đổi các thành phần của trường từ

- Chương 3 Mô hình hóa và kết quả thử nghiệm

3

CHƯƠNG 1 XÁC ĐỊNH CÁC THÀNH PHẦN CỦA TRƯỜNG TỪ GÂY RA BỞI CÁC VẬT

Để giải bài toán thuận ta thừa nhận các điều kiện sau:

1.Vật thể gây trường bị từ hoá đồng nhất

2.Vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng hay các mặt cong bậc hai là các vật thể có dạng hình học đơn giản

3 Do quy luật chồng chất của thế, trường ta thừa nhận lực tác dụng của vật thể lên điểm đo là tổng lực của các phần tử cơ bản thuộc vật thể đó

Về nguyên tắc bài toán thuận là đơn nghiệm Tương ứng với một vật thể ta có thể tìm được một lời giải độc nhất mô tả trường từ của vật Dĩ nhiên là trong thiên nhiên các thực thể địa chất không bao giờ nghiệm đúng hoàn toàn với điều kiện đặt ra của bài toán Chúng thường có dạng kỳ dị, ranh giới biến đổi từ tính từ từ và từ hoá không hoàn toàn đồng nhất Tuy nhiên, kinh nghiệm cho thấy với một sai số giới hạn việc xấp xỉ các thực thể địa chất với các vật thể hình học đã nói là có thể chấp nhận được và là cần thiết trong khâu nghiên cứu phân tích các số liệu đo đạc

Dị thường từ toàn phần [5]

4

Giả sử trong vùng nghiên cứu trường từ khu vực F

, có nguồn gốc ở dưới sâu, bị

nhiễu loạn bởi trường dị thường Fr do các vật bị từ hoá nằm nông (vật gây dị thường từ)

gây ra Trường tổng quan sát được tại điểm P bất kỳ trong vùng đó sẽ là vectơ tổng

1

F

F F

Hình 1.1.Vectơ biểu diễn dị thường trường tổng

Hình 1.1 biểu diễn các phương trình (1.1) và (1.2) Nếu trường khu vực lớn hơn

nhiều so với trường nhiễu thì  xấp xỉ bằng thành phần của trường dị thường theo

5

hướng trường khu vực Thực tế cho thấy, các dị thường từ trong vỏ trái đất có biên độ cỡ

một vài nT tới vài ngàn nT, nhưng hiếm khi vượt quá 5000 nT, vì vậy, điều kiện F F





thường được sử dụng trong các nghiên cứu độ từ hoá vỏ trái đất

Khi vật thể gây dị thường bị từ hóa cả bởi cảm ứng và từ hóa dư, biên độ và hướng

của chúng rõ ràng là không trùng với nhau Khi đó, độ từ hóa Jr tổng cộng trong vật thể

là tổng hợp của cả hai Tuy nhiên, trong trường hợp của vật thể hai chiều, không phải tất

cả độ từ hóa tổng cộng tạo ra dị thường Vectơ từ hóa Jr có thể được phân thành 3 thành phần vuông góc với nhau: (a) thẳng đứng hướng xuống dưới Jsin, (b) song song với đường phương của vật thể cos cosJ  và (c) vuông góc với đường phương trong mặt phẳng nằm ngang Jcos sin , trong đó là góc nghiêng của vectơ từ hoá còn  là phương vị từ của đường phương vật thể (góc tạo bởi đường phương vật thể với cực bắc địa từ)

Trong ba thành phần này, thành phần song song với đường phương của vật thể không có tác dụng tạo ra dị thường từ Vectơ từ hóa hiệu dụng gây ra dị thường từ, vì vậy, là tổng hợp của thành phần thẳng đứng hướng xuống dưới và thành phần vuông góc

với đường phương Vectơ từ hóa hiệu dụng có cường độ J'

và góc nghiêng  '

nằm trong mặt phẳng thẳng đứng vuông góc với đường phương (mặt phẳng quan sát) được cho bởi:

coscos

1sin

6

cho các thành phần khác nhau Radhakrishna Murthy (2001) [7] đã đưa vào một thông số được gọi là hướng đo D m để có thể viết một cách khái quát dị thường từ của các vật thể đơn giản và phát triển phương pháp minh giải chung, có thể áp dụng cho tất cả ba thành phần dị thường của vật thể Hướng từ hóa thực tế được xác định như là góc nghiêng của một đường nào đó trong mặt phẳng kinh tuyến từ mà dọc theo nó thành phần dị thường từ

được đo đạc Thành phần dị thường từ toàn phần T dọc theo hướng D m liên quan với thành phần dị thường từ thẳng đứng Z và nằm ngang H bởi mối liên hệ:

TZsinD mHcosD m (1.5)

Nhờ thông số D m, ta có thể đưa ra được phương trình khái quát để có thể tính được

các thành phần dị thường từ khác nhau của các vật thể hai chiều theo D m D m sẽ nhận các giá trị 0, /2 và  để tính các thành phần dị thường tương ứng là H, Z và T từ

phương trình khái quát Như vậy, các kỹ thuật minh giải được phát triển dựa trên phương trình này có giá trị đối với ba thành phần của dị thường

Trong thực tế hiện nay, việc dùng các từ kế prôton cho phép đo được cường độ trường toàn phần của trường từ trái đất, nên ta xác định được một cách dễ dàng trường dị thường 

Việc nghiên cứu và phân tích trường dị thường từ của trái đất có giá trị thực tế rất lớn không những chỉ trong lĩnh vực đo vẽ bản đồ địa chất, tìm kiếm khoáng sản, mà còn giúp ta làm sáng tỏ các đặc điểm kiến tạo của vùng nghiên cứu qua sự thể hiện của nó trong trường từ cũng như trong mặt cắt địa từ của vỏ trái đất

Các biểu thức tích phân tổng quát xác định thế từ và các thành phần của trường từ [4]

7

Giả sử vật thể giới hạn bởi mặt S (Hình 1.2) có từ hoá J Tính thế từ gây ra nên bởi

các vật thể đó tại điểm P nằm ngoài nó Vì vật thể được cấu tạo từ những mômen từ có kích thước nhỏ, chúng được xem là những yếu tố cơ bản - các lưỡng cực từ được tính là:

dU=

3 r

r

r J (

1Jgrad( dv (1.7)

Tích phân (1.7) lấy cho toàn bộ thể tích giới hạn bởi mặt S, gradient lấy theo toạ độ điểm P

Nếu chuyển sang toạ độ điểm Q ta có :

U = 

V

)r

1Jgrad

J(div dv - 

V

)r

divJ

Biến đổi tích phân thứ nhất sang tích phân mặt bằng thuật toán Ostrogratxki-Gaus ta có

:

Vì gradient lấy theo toạ độ điểm P còn tích phân lấy theo tọa độ điểm Q cho nên

trình tự thực hiện có thể ngược lại và ta có : U = -Jrad

U ta có thể tính cường độ trường từ theo công thức:

H = -gradU (1.11)

Ở đây U được xác định theo công thức (1.9) hoặc (1.10)

dincm

= 6,67.10 8

2 2

kgNm

 : mật độ

Jx, Jy, Jz : là các thành phần từ hóa theo các trục

Vxx: Đạo hàm bậc hai của thế trọng lực theo các trục tương ứng

Trong trường hợp vật thể có phương kéo dài, thế từ theo các trục y luôn là một hằng

số (trục y bố trí theo phương của vật thể) Ta có:

Giả sử ta có vật thể tiết diện bất kỳ chịu từ hoá nghiêng dưới góc i Khi đó chia J thành hai thành phần và tính từ trường gây nên bởi các thành phần đó:

Jx = J cosi

Jz = J sini

i

J J(x)

J(z)

Hình 1.3 Từ hóa của 1 vật có tiết diện bất kỳ

z

x

V J z

V J x

z z

V J

x

x x

x

V J x

2 2

z

V x

Z(i+) = cosZ(i) - sinH(i)

H(i+) = sinZ(i) + cosH(i) (1.20) Cường độ toàn phần của dị thường từ sẽ là :

2 2

2

2 n

xx

VJ()z

VJ(H

Trên đây chúng ta đã nghiên cứu một số công thức cơ bản cho việc xem xét trường

từ của các vật thể Bây giờ chúng ta chuyển sang bài toán cụ thể

Các phương pháp hai chiều

13

Phương pháp xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi hình trụ tròn nằm

ngang có chiều dài vô hạn [6]

Trường từ đối với một hình trụ tròn tương ứng với hai “đường cực” ngược dấu đặt

ở tâm của hình trụ và có khoảng cách rất nhỏ Để tính trường từ ta chọn hệ toạ độ như trên hình (1.4), trước tiên ta giả thiết từ hoá thẳng đứng

Thế từ gây nên bởi một phần tử dy có mômen từ của một đơn vị là :

;

Hình 1.4 Tính trường từ của trụ tròn nằm ngang

Sau khi lấy tích phân ta có :

) ( 2

x z h

z h

)(

2

x h

x h z

14

) (

4

x h

hx x

h

x h

sin)(

2 2

) (

4

x h

h

x h

cos)(

2 2

x h

hx

sin ) (

Phương pháp xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi vật thể hai chiều có tiết

diện ngang là đa giác bất kì [4]

Như chúng ta biết, dạng của một dị thường của một trọng lực phụ thuộc chỉ vào dạng và phân bố khối lượng gây dị thường, được mô tả bởi phân bố mật độ

(x,y,z) trong khi với các dị thường từ thì vấn đề trở nên phức tạp hơn, nó phụ thuộc không chỉ vào phân bố từ hoá M(x,y,z) mà còn phụ thuộc vào hướng từ hoá và vào hướng của trường khu vực Đối với dị thường trường tổng, dĩ nhiên, thành phần đo được song song với trường từ khu vực

Xét dị thường trường tổng  T(x) đo được dọc theo một tuyến nằm phía trên và vuông góc với phương kéo dài của một vật thể hai chiều có tiết diện ngang bất kỳ, được xấp xỉ bởi đa giác N cạnh: trong đó trục y song song với hướng kéo dài của vật thể, còn trục x hướng theo phương quan sát Các thành phần x,z của vật thể từ hoá:

Df là độ từ khuynh và độ từ thiên của trường khu vực, là phương vị của trục x (tức là

15

phương vị của tuyến) Các độ từ khuynh của các véc tơ được gọi là độ từ khuynh hiệu

dụng được cho bởi :

) D cos(

Im tg ( arctg )

mx

mz ( arctg Im'

tgIf (

arctg )

fx

fz ( arctg '

Hình 1.5 Vật thể hai chiều tiết diện ngang bất kì được xấp xỉ bằng đa giác N cạnh

Dị thường từ  0 do toàn bộ vật thể gây ra tại điểm P(0,0) được xác định bằng

công thức:

 0

) cos (cos



sin cos

1

k N

k

m k

N là số cạnh của đa giác

 là góc phương vị đường phương vật thể (độ)

 là góc nghiêng từ hoá của vật thể (độ)

J là độ từ hoá của vật thể (A/m)

(x k+1 ,z k+1 )

16

Jlà độ từ hoá hiệu dung, được xác định như sau:

cos cos 1 cos

với K, F tương ứng là độ cảm từ dư của vật thể và cường độ của trường cảm ứng

 là góc nghiêng hiệu dụng của véctơ từ hoá vật thể được xác định bởi:

D là hướng đo với: 0 cho thành nằm ngang

D m =  cho dị thường từ toàn phần

Với i là góc từ hoá gây ra bởi vật thể

còn S k,C k,k1,k, rk, rk+1 là các đại lượng đã được chỉ ra trong hình 1.4 Theo

hình vẽ này ta có: rk = 2

k 2

k z

1 k 2 1

R

)xx(  

17

)

//.(

2/

2/

Như vậy, ta sẽ tính được dị thường từ của vật thể có tiết diện ngang là đa giác bất

kỳ Như trên đã nói, bằng cách cho D m nhận các giá trị khác nhau ta sẽ nhận được các thành phần khác nhau của dị thường từ

Phương pháp ba chiều [1]

Trong phương pháp này, chúng tôi xác định các thành phần của trường từ gây ra bởi hình cầu trên mặt quan sát Giả sử hình cầu có bán kính R độ sâu từ mặt đất tới tâm là h, véc tơ từ hoá nghiêng một góc i Ta tính trường từ của hình cầu theo trục x trong hệ toạ

độ xyz, tâm O tại hình chiếu của tâm quả cầu lên mặt đất, trục x trong mặt phẳng thẳng đứng chứa véc tơ từ hoá

Phân chia véc tơ từ hoá J thành hai thành phần nằm ngang Jx và thẳng đứng Jz Mỗi thành phần đó sẽ gây nên một cặp thành phần nằm ngang và thẳng đứng của cường độ trường từ : Hx, Zx và Hz, Xz Giá trị của các thành phần H và Z là :

H = Hx + Hz ; Z = Zx +Zz

k+1 =

Thừa nhận vật thể từ hoá đồng nhất nên :

U = .2 2

r

M r

V I

19

Để tìm các biểu thức tọa độ đó, ta chọn hệ thống tọa độ và xác định hình chiếu của các vecto , trên các trục tọa độ đó Đặt gốc tọa độ tại hình chiếu tâm hình cầu trên mặt phẳng ngang, hướng trục 0x lên phía bắc còn trục 0z xuống dưới Hướng của trong trường hợp tổng quát được xác định bởi các góc i và (Hình 1.7), còn khi từ hóa cảm ứng, được xác định bằng góc I0 Các vecto và trong hệ thống tọa độ đó được xác định bằng các biểu thức sau:

Nếu thực hiện các phép tính đại số đối với biểu thức (1.24) với r2

= x2 +y2 + h2 ta thu được biểu thức tổng quát cho vecto Bur (T a

20

(1.25)

(1.26)

(1.27)

Khi từ hóa thẳng đứng (i=900) các biểu thức trên có dạng đơn giản hơn:

Trong trường hợp đó trường từ có dạng đối xứng đối với hình chiếu của tâm quả cầu trên mặt đất

Có thể dễ dàng thu được biểu thức xác định các thành phần của trường từ từ các công thức (1.25), (1.26), (1.27) như sau:

(1.30)

Khi từ hóa cảm ứng (i = I0, = 0):

Các điểm đó là các điểm cực trị, các điểm không tương ứng với các hoành độ xmax,

xmin, x0 Khi quả cầu bị từ hóa nghiêng, việc xác định các điểm đó khó khăn hơn vì đối với các đường cong Za và Ha ta không biết được vị trí của hình chiếu tâm quả cầu trên mặt phẳng (gốc tọa độ)

Hình 1.8 Các đường cong trên hình cầu dọc theo phương kinh tuyến

Khi từ hóa thẳng đứng x0 của Za và Ha được xác định như sau:

(x0)z = ; (x0)H = 0

22

Vì vậy trong mặt phẳng thẳng đứng của tuyến các đường giá trị không Za sẽ là các đường thẳng nghiêng với trục 0x một góc ( với tg = )

Trong không gian chúng tạo nên hình nón với đỉnh ở tâm hình cầu

Hình 1.9.Các đường đẳng trị trên hình cầu với I=60 0 (trục thẳng đứng chạy theo

phương kinh tuyến từ)

Các giá trị cực trị Za có được khi:

23

CHƯƠNG 2

SỬ DỤNG THUẬT TOÁN HILBERT ĐỂ BIẾN ĐỔI CÁC THÀNH PHẦN CỦA

TRƯỜNG TỪ

2.1 Định nghĩa biến đổi Hilbert [2]

Biến đổi Hilbert được xuất hiện đầu tiên khi D Hilbert nghiên cứu bài toán Riemann-Hilbert, bài toán tìm hàm chỉnh hình khi biết “bước nhảy” của nó khi đi qua một đường cong Sau đó nó được nhiều nhà toán học quan tâm và đặc biệt nó là khởi nguồn của lý thuyết tích phân kỳ dị do A Zygmund, A P Calderon cũng như

S G Mikhlin và nhiều nhà toán học khác xây dựng nên

Về mặt định nghĩa, biến đổi Hilbert của hàm f(x) được định nghĩa như sau:

– Miền lấy tích phân vô hạn

Do đó nếu hiểu tích phân trên như cách lấy giới hạn của tích phân suy rộng thông thường thì sẽ có rất ít hàm để tích phân này hội tụ Chẳng hạn hàm là hàm khá tốt nhưng khi thay vào tích phân trên ta chỉ được một tích phân suy rộng không hội tụ

24

tại bất cứ điểm x nào Nhưng nếu ta hiểu tích phân trên theo kiểu giá trị chính, nghĩa là:

thì với f(x) thuộc lớp hàm giảm nhanh giới hạn trên hoàn toàn xác định tại mọi điểm x Khi đó biến đổi Hilbert chẳng qua là ánh xạ tích chập của f(x) với ( Vì vậy, biến đổi Fourier một chiều của nó được cho bởi biến đổi Fourier của f(x) nhân với biến đổi Fourier của ( , cụ thể là:

Ta có:

là ánh xạ tuyến tính liên tục từ vào Như vậy biến đổi Hilbert là toán tử dạng tích chập, bất biến với phép dịch chuyển và đặc biệt ta có thể viết nó như toán tử nhân Fourier với nhân là biến đổi Fourier:

Khi đó biến đổi Hilbert dạng toán tử nhân Fourier

Với cách nhìn này ta thấy được thêm một số tính chất của biến đổi Hilbert:

– Giống biến đổi Fourier, biến đổi Hilbert bảo toàn chuẩn trong L 2, nghĩa là

và H 2 = - I Và hơi khác một chút so với biến đổi Fourier, toán tử liên hợp của biến đổi

Hilbert:

Riesz và E Titchmash cho các đánh giá:

Hằng số tốt nhất được S Pichorides chỉ ra

Hơn nữa, bằng kỹ thuật maximal nghĩa là xét toán tử maximal

26

Và vài đánh giá ta có giá trị chính của tích phân xác định với hầu hết x

Ngoài ra, tín hiệu giải tích của f(x) được xác định như sau:

a(x) = f(x) – iF H (x) (2.4)

Với phương trình (2.3) ta dễ dàng suy ra biến đổi Fourier của tín hiệu giải tích:

F[a] = F[f] (1+sgnk)

Vì vậy, phổ của tín hiệu giải tích f(x) bằng hai lần biến đổi Fourier của f(x) ở k>0

và bằng 0 đối với k<0 Từ nhận xét đó, suy ra rằng tín hiệu giải tích của f(x) có thể tìm được bằng hai cách sau:

- Tính trực tiếp biến đổi Hilbert đối với f(x) theo phương trình (2.3)

- Biến đổi Fourier f(x), đặt bằng 0 đối với các giá trị k>0, nhân đôi đối với các giá trị k>0, và biến đổi Fourier ngược kết quả thu được

2.2 Sử dụng thuật toán Hilbert để tính chuyển các thành phần của trường từ [6]

2.2.1 Mở đầu

Như ta đã biết, dị thường từ không chỉ phụ thuộc vào các thông số của vật thể gây dị

từ mà còn phụ thuộc vào độ từ thiên và độ từ khuynh của trường cực từ trái đất Do đó, việc so sánh dị thường từ và dị thường trọng lực trên cùng một khu vực gặp nhiều khó khăn Để khắc phục những khó khăn đó, năm 1957 Baranov đã đưa ra một phương pháp nhằm đạt được gradient thẳng đứng của trọng lực từ trường từ toàn phần Sau đó, cũng chính Baranov và Naudy đã đưa ra khái niệm “ chuyển trường về cực” Trong đó bao gồm những cách thức biến đổi trường từ nhằm đưa nó về trường từ của vật thể bị từ hóa vuông

2.2.2 Tính chuyển các thành phần của trường từ nhờ thuật toán Hilbert

Giả sử hệ trục tọa độ vuông góc (chiều dương trục z hướng xuống dưới), đường phương vật thể kéo dài theo trục y (hình 2.1) Khi đó, tại điểm P(x) nằm trên trục x, thế từ gây ra bởi nguyên tố có tiết diện ngang ds của vật thể gây dị thường từ được xác định bởi:

Ở đây: h là độ sâu tới nguyên tố ds kể từ tuyến quan sát

I’ là độ từ khuynh của trường từ Trái Đất trong mặt phẳng x0z, nó có thể xác định được qua độ từ khuynh I và phương

28

Ở đây T là cường độ từ trường cảm ứng còn k là hệ số từ cảm dư (chênh lệch giữa hệ

số từ cảm của nguồn và đất đá vây quanh)

Từ công thức (2.5), ta tính được thành phần thẳng đứng, nằm ngang và tổng cộng của nguyên tố ds như sau:

= - PT [ - (AsinI’ – BcosI’)sinI’ + (AcosI’ + BsinI’)cosI’]

= - PT [2BcosI’sinI’ + A(cos2I’ – sin2I’)]

= - PT [ Acos2I’ + Bsin2I’] = T

Vậy:

= -2kTds [BcosI’ – AsinI’] = - PV [ BcosI’ – AsinI’] = Z

Biến đổi tương tự công thức (2.13) ta có:

= 2kTds [ A(cos2I’sinI’- sin2I’cosI’) – B(cos2I’cosI’ + sin2I’sinI’)]

= - PV [ Asin( I’ – 2I’) – Bcos( 2I’ – I’)]

= PV [ AsinI’ – BcosI’] = Z