Khai triển taylor và ứng dụng trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG CHÂU KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY N[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG CHÂU KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN HỒNG CHÂU KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8460113 : Giáo viên hướng dẫn: TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - Năm 2022 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài “Khai triển Taylor ứng dụng Tốn sơ cấp” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Huỳnh Minh Hiền chưa công bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, xin chịu trách nhiệm luận văn Quy Nhơn, ngày 29 tháng 07 năm 2022 Học viên thực đề tài Nguyễn Hồng Châu ii Mục lục Mở đầu 1 Khai triển Taylor 1.1 Khai triển Taylor 1.1.1 Khai triển Taylor đa thức 1.1.2 Khai triển Taylor hàm số 1.1.3 Một số hệ khai triển Taylor 14 1.1.4 Khai triển Taylor hàm hai biến 16 1.1.5 Công thức khai triển Taylor số hàm sơ cấp thường gặp 19 1.2 Khai triển hàm thành chuỗi Taylor 24 Ứng dụng khai triển Taylor giải toán sơ cấp 26 2.1 Tính giới hạn hàm số 26 2.2 Tính gần 30 2.3 Chứng minh bất đẳng thức 36 2.4 Tìm cực trị hàm số 42 2.5 2.4.1 Cực trị hàm biến 42 2.4.2 Cực trị hàm hai biến 46 Tính đạo hàm 51 iii Kết luận 54 Danh mục tài liệu tham khảo 55 Mở đầu Năm 1715, nhà Tốn học người Scotland Brook Taylor giới thiệu cơng thức khai triển hàm số khả vi đến cấp n, lân cận a ∈ R f (x) = f (a)+ 1 f (a) (x − a)+ f 00 (a) (x − a)2 + .+ f (n) (a) (x − a)n +Rn (f ; x) 1! 2! n! Trong Rn (f ; x) phần dư Cơng thức sau gọi công thức khai triển Taylor a Sau đó, nhiều nhà Tốn học viết lại cơng thức khai triển Taylor với phần dư khác công thức Taylor với phần dư Lagrange, công thức Taylor với phần dư Peano, công thức Taylor với phần dư tích phân, ., tuỳ vào mục đích sử dụng Khi a = khai triển Taylor gọi khai triển Maclaurin Khai triển Taylor cho phép ta xấp xỉ hàm số khả vi đến cấp n + đa thức bậc n có nhiều ứng dụng toán sơ cấp toán cao cấp Việc tìm ứng dụng cơng thức khai triển Taylor vào giải tốn phổ thơng vấn đề hấp dẫn có ý nghĩa khoa học Vì chọn đề tài "Khai triển Taylor ứng dụng toán sơ cấp" để nghiên cứu Luận văn “Khai triển Taylor ứng dụng toán sơ cấp” Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Khai triển Taylor Trong chương này, luận văn trình bày cách có hệ thống sở lý thuyết cơng thức khai triển Taylor, từ đưa số hệ để áp dụng chương sau Chương 2: Ứng dụng khai triển Taylor giải toán sơ cấp Chương luận văn sử dụng khai triển Taylor để giải số dạng toán cụ thể tính giới hạn hàm số, tính gần đúng, tìm cực trị hàm số, Với việc hệ thống lại áp dụng công thức khai triển Taylor, luận văn tài liệu tham khảo giúp người đọc thấy rõ vai trò cần thiết việc học tập môn học, thấy cần thiết việc thường xuyên theo dõi hệ thống vấn đề tăng cường thực hành vận dụng kiến thức học điều khơng thể thiếu người học tốn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn khoa học TS Huỳnh Minh Hiền, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Thầy tận tình giúp đỡ truyền đạt cho tác giả kiến thức quý báu kinh nghiệm trình nghiên cứu khoa học, để tác giả hồn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn Hội đồng Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Sư phạm, Khoa Toán Thống kê, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học Tốn khóa 23 (2020 - 2022) tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè ln động viên để tơi hồn thành tốt luận văn Cuối tác giả hy vọng luận văn đóng góp tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm tịi nghiên cứu khai triển Talor Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy để luận văn hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Chương Khai triển Taylor Trong chương này, luận văn trình bày cách có hệ thống sở lý thuyết công thức khai triển Taylor bao gồm khai triển Taylor hàm biến, khai triển Taylor hàm hai biến, khai triển Taylor số hàm sơ cấp sử dụng luận văn Các kết chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4], [5], [8] 1.1 1.1.1 Khai triển Taylor Khai triển Taylor đa thức Xét đa thức P (x) = b0 + b1 x + b2 x2 + + bn xn Nhận xét đa thức (1.1) có tính chất P (k) (0) = k!bk , k = 0,1, 2, , n P (k) (0) = 0, k = n + 1, n + 2, (1.1) Vì đa thức (1.1) thường viết dạng công thức P (x) = a0 + a1 a2 an x + x2 + + xn 1! 2! n! (1.2) Với cách viết (1.2) ta thu cơng thức tính hệ số ak (k = 0,1, , n) đa thức P (x), giá trị đạo hàm cấp k đa thức x = ak = P (k) (0) , k = 0,1, , n Từ ta thu P (x) = P (0) + P 00 (0) P (n) (0) n P (0) x+ x + + x 1! 2! n! (1.3) Công thức (1.3) gọi công thức Taylor x = Ví dụ 1.1.1 Áp dụng công thức (1.3), ta viết
5 H (x) = x2 − 3x −
2 + 2x3 + 3x2 − x − dạng công thức Taylor x = H (x) = − 11x − 97x2 + 196x3 + 149x4 + 219x5 + 149x6 + 210x7 + 85x8 − 15x9 + x10 Dạng (1.2) cho ta mối liên hệ trực tiếp hệ số đa thức tắc với giá trị đạo hàm đa thức x = Trong trường hợp tổng quát, ta có định lý sau Định lý 1.1.2 ([1]) Công thức Taylor x = x0 có dạng 00 P (x0 ) P (x0 ) P (n) (x0 ) P (x) = P (x0 )+ (x − x0 )+ (x − x0 )2 + .+ (x − x0 )n (1.4) 1! 2! n! Chứng minh Cho đa thức P (x) có bậc khơng q n x0 ∈ R, P (x) có dạng P (x) = n X P (k) (x0 ) k=0 k! (x − x0 )k Đẳng thức chứng minh cách lấy đạo hàm liên tiếp hai vế sử dụng giả thiết giá trị ban đầu P (k) (x0 ) , ∀k ∈ {0,1, , n} Việc chứng minh tính suy từ tính chất đa thức (khác 0) bậc không vượt qua n có khơng q n nghiệm (kể bội)  Ví dụ 1.1.3 Áp dụng cơng thức (1.4), ta viết H (x) = (x − 1) (x − 2) · · · (x − 8) dạng công thức Taylor điểm x = 10 H (x) = 362880 − 90604220 (x − 10) − 32243892(x − 10)2 − 5876480(x − 10)3 − 612900(x − 10)4 − 31328(x − 10)5 − 449(x − 10)6 + 28(x − 10)7 + (x − 10)8 1.1.2 Khai triển Taylor hàm số Ta xét công thức khai triển Taylor đa thức Trong mục này, ta xác lập công thức Taylor cho hàm số thỏa mãn số điều kiện định Ta nhắc lại, hàm f khả vi điểm x = a theo định nghĩa, ta có f (a + h) − f (a) = f (a) h + o (h) , h → Nếu ta đặt a + h = x h = x − a f (x) − f (a) = f (a) (x − a) + o (x − a) , x → a Nói cách khác, tồn hàm tuyến tính P1 (x) = f (a) + f (a) (x − a) , x → a, cho f (x) = P1 (x) + o (x − a) , P1 (a) = f (a) , P1 (a) = f (a) (n+1) (x) f (a) ≤ sup f f (b) − k! (n + 1)! x∈[a,b] k=0 Bất đẳng gọi bất đẳng thức Taylor-Lagrange 1.1.3 Một số hệ khai triển Taylor Theo Định lý 1.1.9 Nếu f (x) khả vi cấp n + (n ∈ N∗ ) f (n+1) (x) liên tục lân cận U x0 với x ∈ U , tồn điểm c hai điểm x x0 cho f (x) = f (x0 ) + n X f (k) (x0 ) k! k=1 = P(f,n,x0 ) (x) + (x − x0 )k + f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 (n + 1)! f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 (n + 1)! Từ đó, ta có số hệ sau Hệ 1.1.14 Cho n số nguyên dương, f (x) đa thức bậc n f (x) = P(f,n,x0 ) (x) Chứng minh Nếu f (x) đa thức bậc n f (n+1) (x) = 0, f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 = (n + 1)! Suy f (x) = P(f,n,x0 ) (x)  Hệ 1.1.15 Cho n số nguyên dương lẻ, f (x) xác định R thỏa mãn f (x) khả vi cấp n + 1, n ∈ N∗ f (n+1) (x) liên tục lân cận U x0 a) Nếu f (n+1) (x) > 0, ∀x ∈ U f (x) ≥ P(f,n,x0 ) (x) , ∀x ∈ U b) Nếu f (n+1) (x) < 0, ∀x ∈ U f (x) ≤ P(f,n,x0 ) (x) , ∀x ∈ U 15 Chứng minh a) Nếu f (n+1) (x) > 0, ∀x ∈ U f (n+1) (x) > n lẻ nên n + chẵn, (x − x0 )n+1 ≥ Từ suy f (x) ≥ P(f,n,x0 ) (x) , ∀x ∈ U b) Nếu f (n+1) (x) < 0, ∀x ∈ U f (n+1) (x) < n lẻ nên n + chẵn, (x − x0 )n+1 ≥ Từ suy f (x) ≤ P(f,n,x0 ) (x) , ∀x ∈ U  Hệ 1.1.16 Cho n số nguyên dương chẵn, f (x) xác định R thỏa mãn f (x) khả vi cấp n + (n ∈ N∗ ) f (n+1) (x) liên tục lân cận U x0 a) Nếu f (n+1) (x) > 0, ∀x ∈ U f (x) ≥ P(f,n,x0 ) (x) , ∀x ≥ x0 f (x) ≤ P(f,n,x0 ) (x) , ∀x ≤ x0 b) Nếu f (n+1) (x) < 0, ∀x ∈ U f (x) ≤ P(f,n,x0 ) (x) , ∀x ≥ x0 f (x) ≥ P(f,n,x0 ) (x) , ∀x ≤ x0 Chứng minh a) Nếu f (n+1) (x) > 0, ∀x ∈ U f (n+1) (c) > n chẵn n + lẻ Với x ≥ x0 ta có (x − x0 )n+1 ≥ suy f (x) ≥ P(f,n,x0 ) (x) với x ≤ x0 ta có (x − x0 )n+1 ≤ suy f (x) ≤ P(f,n,x0 ) (x) b) Nếu f (n+1) (x) < 0, ∀x ∈ U f (n+1) (c) < n chẵn n + lẻ Với x ≥ x0 ta có (x − x0 )n+1 ≥ suy f (x) ≤ P(f,n,x0 ) (x) với x ≤ x0 ta có (x − x0 )n+1 ≤ suy f (x) ≥ P(f,n,x0 ) (x)  Hệ 1.1.17 Cho f (x) xác định R thỏa mãn f (x) khả vi cấp f 00 (x) liên tục lân cận U x0 a) Nếu f 00 (x) > 0, ∀x ∈ U f (x) ≥ f (x0 ) + f (x0 ) (x − x0 ) , ∀x ∈ U b) Nếu f 00 (x) < 0, ∀x ∈ U f (x) ≤ f (x0 ) + f (x0 ) (x − x0 ) , ∀x ∈ U Chứng minh Vì f (x) khả vi cấp nên n = 1, ta có f (x) = f (x0 ) + f (x) (x − x0 ) + f 00 (c) (x − x0 )2 2! ... chọn đề tài "Khai triển Taylor ứng dụng toán sơ cấp" để nghiên cứu Luận văn ? ?Khai triển Taylor ứng dụng toán sơ cấp? ?? Nội dung luận văn gồm hai chương Chương 1: Khai triển Taylor Trong chương... thống sở lý thuyết công thức khai triển Taylor, từ đưa số hệ để áp dụng chương sau Chương 2: Ứng dụng khai triển Taylor giải toán sơ cấp Chương luận văn sử dụng khai triển Taylor để giải số dạng tốn... 1 Khai triển Taylor 1.1 Khai triển Taylor 1.1.1 Khai triển Taylor đa thức 1.1.2 Khai triển Taylor hàm số 1.1.3 Một số hệ khai triển Taylor