BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK TOÁN 1 GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN • BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007) CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH Cực trò tại x 0 : ∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x 0 – ε, x 0 + ε) ⇒ f(x) ≤ f(x 0 ) Fermat: f đạt cực trò tại x 0 ∈ (a,b) & khả vi tại x 0 ⇒ f’(x 0 ) = 0 Minh hoạ hình học: ĐỊNH LÝ ROLL Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a, b), f(a) = f(b) ⇒ ∃ x 0 ∈(a, b): f’(x 0 ) = 0 Minh hoạ hình học: Giải: Xét hàm phụ VD: Chứng minh phương trình 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx – (a + b + c) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thực trong khoảng (0, 1) ĐỊNH LÝ (SỐ GIA) LAGRANGE Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) ⇒ ∃ c ∈ (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) VD: CMinh BĐThức yxyx −≤− arctgarctg p dụng: Khảo sát tính đơn điệu của hàm y = f(x) bằng đạo hàm KHAI TRIỂN TAYLOR CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n trên (a,b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 , ! )( xxxxoxx k xf xf n n k k k →−+−= ∑ = Hàm y = f(x) có đạo hàm tại x 0 ⇒ f(x) ≈ f(x 0 ) + f’(x 0 )(x – x 0 ) Công thức Taylor: f có đạo hàm cấp n+1 trên (a,b); x 0 , x∈(a, b) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ? ! !2 '' ' 0 0 2 0 0 000 +−++−+−+= n n xx n xf xx xf xxxfxff ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xxcxx n cf xx k xf xf xR n n n k k k n ,, )!1(! 0 1 0 )1( 0 0 0 ∈− + +−=⇒ + + = ∑ : Phần dư Lagrange KHAI TRIỂN MAC – LAURINT x 0 = 0: Khai triển Mac – Laurint (phổ biến) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ! 0 ! 0 0'0)( 0 xRx k f xRx n f xffxf n n k k k n n n +=++++= ∑ = Phần dư Lagrange: ( ) ( ) ( ) xxccx n cf xR n n n ,0, )!1( )( 1 )1( ∈= + = + + Phần dư Peano: ( ) 0,)( 1 →= + xxoxR n n VD: Khai triển Mac – Laurint của hàm a/ e x b/ cosx ( ) 0, !!2 1 1 2 →+++++= + xxo n xx xe n n x ( ) ( ) ( ) 0, !2 1 !4!2 1cos 12 242 →+−+−+−= + xxo n xxx x n n n Kết quả: MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm f(x) = sinx xxp =)( 1 6 )( 3 2 x xxp −= 1206 )( 53 3 xx xxp +−= Chú ý: Đồ thò đa thức xấp xỉ tiến dần về đồ thò hàm được khai triển KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN Khai triển e x : tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu. cos chẵn → mũ chẵn; sin lẻ → mũ lẻ; tg lẻ → mũ lẻ. K0 đan dấu → shx, chx Hàm lượng giác: sinx, cosx. Hàm tgx (chỉ đến cấp ba) ( ) ( ) 0, )!12( 1 !5!3 sin 2 12 1 53 →+ − − +++−= − − xxo n xxx xx n n n ( ) ( ) 0, )!2( 1 !4!2 1cos 12 242 →+ − +++−= + xxo n xxx x n n n ( ) 0, 3 tg 4 3 →++= xxo x xx . yxyx −≤− arctgarctg p dụng: Khảo sát tính đơn điệu của hàm y = f(x) bằng đạo hàm KHAI TRIỂN TAYLOR CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n trên (a,b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 0 0 0 , ! )(. hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm f(x) = sinx xxp =)( 1 6 )( 3 2 x xxp −= 1206 )( 53 3 xx xxp +−= Chú ý: Đồ thò đa thức xấp xỉ tiến dần về đồ thò hàm được khai triển KHAI TRIỂN MAC. ) xxcxx n cf xx k xf xf xR n n n k k k n ,, )!1(! 0 1 0 )1( 0 0 0 ∈− + +−=⇒ + + = ∑ : Phần dư Lagrange KHAI TRIỂN MAC – LAURINT x 0 = 0: Khai triển Mac – Laurint (phổ biến) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ! 0 ! 0 0'0)( 0 xRx k f xRx n f xffxf n n k k k n n n +=++++= ∑ = Phần