GT ha NS ung dung cua khai trien taylor va da thuc 07 24

ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH ĐA THỨC ĐỂ ĐÁNH GIÁ BIỂU THỨC TS Nguyễn Sơn Hà, Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm – ĐHSP Hà Nội Email sonhadhsphn@gmail.com (Nội dung báo cáo khóa tập huấn GV THPT Chuyên Toán năm 2016 khu vực phía Nam) TĨM TẮT Bài viết trình bày kinh nghiệm sử dụng khai triển Taylor hàm số khả vi liên tục cấp cao để đánh giá so sánh giá trị hàm số với giá trị đa thức Từ đó, số điều kiện hàm số biến số, giáo viên đưa toán liên quan đến bất đẳng thức MỤC LỤC Nội dung STT Trang 20 22 22 Mở đầu Một số hệ khai triển Taylor Khai triển Taylor số hàm số ứng dụng Bài tập đề nghị Kết luận Tài liệu tham khảo NỘI DUNG 1.Mở đầu Với hàm số khả vi cấp cao, ta có khai triển Taylor: Nếu f  x  khả vi cấp n  1 n  N *  f ( n1)  x  liên tục lân cận U x0 x U , tồn điểm c hai điểm x x0 cho n f  x   f  x0    k 1 f k  x0  k!  x  x0  f   c n 1   x  x0   n  1! n 1 k n Trong viết này, ta gọi P f ,n, x0   x   f  x0    k 1 Taylor cấp n f  x  điểm x0 f k  x0  k!  x  x0  k đa thức f   c n 1 Khi f  x   P f ,n, x0   x    x  x0   n  1! n 1 f   c n 1 Bài viết xét tình xác định dấu  x  x0  , từ  n  1! đánh giá so sánh f  x  với đa thức P f ,n, x0   x  n 1 Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Một số hệ khai triển Taylor f   c n 1 Từ đẳng thức f  x   P f ,n, x0   x    x  x0  , ta có số kết sau  n  1! n 1 Hệ Cho n số nguyên dương, f  x  đa thức bậc n f  x   P f ,n, x0   x  Hệ Cho n số nguyên dương lẻ, f  x  xác định R thỏa mãn: f  x  khả vi cấp n  1 n  N *  f ( n1)  x  liên tục lân cận U x0 a) Nếu f  n1  x   x  R f  x   P f ,n, x0   x  x  R  x   x  R f  x   P f ,n,x   x  x  R Hệ Cho n số nguyên dương chẵn, f  x  xác định R thỏa mãn vi cấp n  1 n  N *  f ( n1)  x  liên tục lân cận U x0 b) Nếu f  a)Nếu f  n1 n1  x   x  R f  x  khả f  x   P f ,n, x0   x  x  x0 f  x   P f ,n, x0   x  x  x0  x   x  R f  x   P f ,n,x   x  x  x0 f  x   P f ,n,x   x  x  x0 Hệ Cho f  x  xác định R thỏa mãn f  x  khả vi cấp f ''  x  liên tục b)Nếu f  n1 0 lân cận U x0 a) Nếu f ''  x   x  R f  x   f  x0   f '  x0  x  x0  x  R b) Nếu f ''  x   x  R f  x   f  x0   f '  x0  x  x0  x  R Hệ trường hợp riêng hệ n=1 Hệ Cho f  x  xác định R thỏa mãn f  x  khả vi cấp f (3)  x  liên tục lân cận U x0 a)Nếu f  3 b) Nếu f   x   x  R f  x   P f ,2,x   x  3  x   x  R f  x   P f ,2,x   x  x  x0 f  x   P f ,2, x0   x  x  x0 x  x0 f  x   P f ,2, x0   x  x  x0 Hệ trường hợp riêng hệ n=2 Các hệ tập xác định hàm số khoảng đồng thời hàm số có đạo hàm cấp cao liên tục không đổi dấu tập xác định Nếu dùng khai triển Taylor ta thấy hệ Tuy nhiên khai triển Taylor không đưa vào chương trình Trung học phổ thơng Các tốn sau có từ việc xét trường hợp riêng hệ Trong trường hợp, tác giả có đưa định hướng cách chứng minh bất đẳng thức sở sử dụng kiến thức quy định sách giáo khoa hành Khi giải nhiều toán bất đẳng thức, ta mị mẫm dự đốn bất đẳng thức kiểm nghiệm lại xem bất đẳng thức có khơng Bài viết tập trung Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội việc sử dụng đa thức P f ,n, x0   x  giúp ta đưa số đánh giá tình liên quan đến hàm f  x  Khai triển Taylor số hàm số ứng dụng 3.1)Hàm số f  x   x , x 0;   1 3  0, f    x    x   0;   x 4x x 8x x xa P f ,1,a   x   f  a   f '  a  x  a   a   x  a  a a f ' x   , f ''  x   P f ,2,a   x   f  a   f '  a  x  a   f ''  a  1 2  x  a  a   x  a   x  a 2! a 8a a xa   x  a a 8a a Bài (Sử dụng Hệ 5).Cho x  0, a  Chứng minh xa xa  x  a)Nếu x  a  x  a a a 8a a xa xa b)Nếu  x  a x    x  a  a 8a a a Cách giải:  +) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số khơng âm, ta có  x a  xa a 2 xa x   x a  x  a   8a a  a 8a a  Từ đây, ta có: xa xa  x  a)Nếu x  a  x  a a a 8a a xa xa  b)Nếu  x  a x   x  a  a 8a a a +) x    x 3 a 3.2)Hàm số f  x   1  x  , x   1;    P f ,1,0  x     x, P f ,2,0  x     x  f 2  x      11  x   2 ,f 3    1 x2 ,  x      1  21  x   3  -Khi   N * , P f , ,0  x    Ck x k k 0 Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội -Khi   1, f  x   Ta có f '  x   f k   0   1 k , x  R \ 1 1 x 1 1  x  , f ''  x   1  x  ,f n k !  P f ,n,0  x   f      3  x  f k 3! 1  x   0xk   k! Bài (Sử dụng Hệ 4).Cho x  1 Chứng minh k 1 , , f n n  1 n!  x  n 1 1  x  n   1 x k k k 1 a) 1  x     x    ;0   1;    b) 1  x     x    0;1  Cách giải: Xét biến thiên hàm số y  1  x     x  Không phải lúc có f  x   P  f , n, x0  x f  x   P  f , n, x0  x Đa thức P  f , n, x0  biểu thức mà ta chọn để đánh giá so sánh với f  x  Thực tế, sau mị mẫm dự đốn, ta phải kiểm nghiệm xem bất đẳng thức có khơng Bất đẳng thức Bài bất đẳng thức Bernoulli Bài (Sử dụng Hệ 5)    1  Cho   Chứng minh 1  x     x  x x     1  Cách giải: Xét biến thiên hàm số g  x   1  x     x  x Bài (Nguyễn Vũ Lương, Các toán hàm mũ loga, NXB Giáo dục, 2013) 1 Cho x  Chứng minh a) b)   x  x  x3   x  x  x3  x x 1 x 1 Nhận xét: Có thể dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức 3.3)Hàm số f  x   e x , x  R x2 f  x   e , f '  x   e , f ''  x   e , P f ,1,0  x    x, P f ,2,0  x    x  x x3 xn P f ,n,0  x    x     2! 3! n! Bài (Sử dụng Hệ 4) Chứng minh e x   x x  R x x x Cách giải: Xét biến thiên hàm số y  e x   x Đẳng thức xảy x  Như x  e x   x Bài (Sử dụng Bài 5) Cho a  e Chứng minh a x   x x  Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Cách giải: a x  e x   x x  Bài (Sử dụng Hệ 4) Đề thi Olympic 30 tháng năm 2001 Chứng minh tam giác ABC ta có 1  sin A1  sin B 1  sin C   e Cách giải: 1  sin A1  sin B 1  sin C   e sin A e sin B sin C e sin Asin B sin C e e 3 3 Bài (Sử dụng Hệ 4) n Cho n  N * , a1 , a2 , , an  0, s   Chứng minh i 1 n  1  a   e s i i 1 n n n i 1 i 1  Cách giải: Theo Bài 5,   eai   1     eai  e i 1  e s Bài (Sử dụng Hệ 5) x2 x2 x Chứng minh a) e   x  x  0, b) e   x  x  2  x2  Cách giải: Hàm số f  x   x  ln 1  x   đồng biến 0;   2  x  x2  x2 x   f  x   f    x  ln 1  x    e x   x  2  Các đẳng thức xảy x  n Bài 10 (Sử dụng Hệ 5) Cho n  N , a1 , a2 , , an  0,   s Chứng minh * i 1  a  1   i 1  n i  s e  Cách giải: Theo Bài 9,    a a  eai   1   2 i 1  i n i n   i 1  es   e  e  i 1 n Bài 11 (Sử dụng Hệ 3) x x3 xn    x  2! 3! n! n  xk  Cách giải: Hàm số f  x   x  ln 1    đồng biến 0;    k 1 k !  Cho n  N * Chứng minh e x   x  n n  xk  xk x x   f  x   f    x  ln 1     e    k 1 k !  k 1 k !  Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội n Bài 12 (Sử dụng Hệ 5) Cho n  N * , a1 , a2 , , an  1,   n  Chứng minh n i 1  1  a   n i i 1 nn e   n n 1 Cách giải: Đặt   xi , xi  i  1, n   n    xi  n n i 1 i 1 n n  xi2  2 n   1  a    1  1  xi      xi  xi   1  xi    i 1 i 1 i 1 i 1   n n i n  xi  x x  xi xi i 1 Theo Bài 8,  xi   e   1  xi     e  e  e n  n e 2  i 1 i 1  i i n n   1  ai2   2n n e n i 1 Ngoài bất đẳng thức phát nhờ khai triển Taylor, kết hợp bất đẳng thức đại số để đưa bất đẳng thức Bài 13 (Sử dụng Hệ 4) n minh e ak k 1 Cho số thực a1, a2 , , an thỏa mãn n a k 1    n    ak2   k 1  n n e Cách giải: Theo Bài 4, ta có ak k 1 n n k 1 k 1   1  ak   n   ak  n 2 Ta chứng minh  ak    ak  k 1  k 1  n n n n  n  n  n  2 Ta có   ak    ak   ak      ak   ak k 1 k 1 k 1  k 1   i 1,i k  k 1 n n n k 1 k 1  n    i 1,i k      ak   ak  ak   2 ak k 1 2  n   n    ak2  k 1  k 1  Bài 14 (Sử dụng Hệ 4) (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012) Cho x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Từ kết trên, ta có n e P3 ak x y 3 yz 3 zx  x2  y  z Cách giải: Theo Bài 13, ta có: Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội k  Chứng x y 3 yz 3  zx  3 x  y  y  z  z  x 2 x  y  y  z  z  x   x  y  z    xy  yz  zx  2   x  y  z    x  y  z   3 x  y  z  3 x y 3 yz 3 zx    x  y  z   P  P   x, y, z    0;0;0 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Ta sử dụng khai triển Taylor để đề xuất bất đẳng thức mới, từ xét tính bị chặn hội tụ dãy số Bài 15 (Sử dụng Hệ 4) Cho dãy số dương  un  ,  sn  ,   thỏa mãn n n k 1 k 1 sn   uk ,   1  uk , n  N * Chứng minh  sn  hội tụ   hội tụ n n Cách giải: Áp dụng Bài 5, ta có n  1  u    e k k 1 uk  uk  e k 1 k 1 Các dãy số  sn  ,   dãy tăng số dương sn   esn n  N * Dễ thấy  sn  bị chặn   bị chặn Vì  sn  hội tụ   hội tụ n Bài 16 (Sử dụng Hệ 5) Cho dãy số dương  un  ,  sn  ,  wn  thỏa mãn sn   uk , k 1 n   wn   1  uk  uk2 , n  N * Chứng minh  sn  hội tụ  wn  hội tụ  k 1  n Cách giải: Áp dụng Bài 4, ta có   uk   uk2    euk  e k 1  k 1 k 1 Các dãy số  sn  ,  wn  dãy tăng số dương sn  wn  esn n  N * n  1  u n k Dễ thấy  sn  bị chặn  wn  bị chặn Vì  sn  hội tụ  wn  hội tụ n  m ui  Nhận xét, tổng quát Bài 15 Bài 16 với dãy số  wn  mà wn     k  k 1  i 0 i !  m số nguyên dương Bài 17 (Sử dụng Hệ 4) Cho   dãy số dương  un  thỏa mãn n  un      k k 1   * , n  N Chứng minh dãy  un  hội tụ  Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội n  k k 1   Cách giải: Áp dụng Bài 4, ta có un   1      e  e k 1 k  k 1 k 1  n Bổ đề: Cho     thỏa mãn    , n  N * Ta có dãy   bị chặn k 1 k n n 1 x k  N * , theo định lí Lagrang tồn xk   k ; k  1 thỏa mãn Xét f  x   x1 , x   0;   Ta có f '  x   1    x    f  k  1  f  k  1 1 1  1  f '  xk           1 k  1 xk xk    k  1  k  1 1   k  1  k  k  1 xk   k ; k  1   k  1    1  1      1   1  xk   k  k  1  k  1   n 1 n 1  1  1    1         1   1 k  k 1 k k 1  k  1 k 1    k     n n 1 1  1         1   1    1   1 n      1 n 1 k 1 k k 1  k  1 n  Vì   nên        n  N *  1     1 n  1  1 Áp dụng bổ đề, ta có un  e   1 (đpcm) n  N * Vì  un  đơn điệu tăng bị chặn nên  un  hội tụ Bài 18 (Sử dụng Hệ 4) Cho dãy số ( xn ) : x1  1, xn n   n  1 n  3n  3 n  n  n 1 n xn1 n  N * , n  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Cách giải: xn xn n  xn  n   n  1 n  3n  3 n  n2  n   n  1 n  3n  3 n3  n  n  1 n3 n3 xn1 n  xn1 n   n  1 (n  2)  (n  2)  1 n3  xn1 n  2 n3 (n  1)2  (n  1)  1 f  n  f  n  2  1   xn1 n  f  x   x  x    f  n  1   n  Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội f  n  1  f  n  2  xn  1   xn1 n  f  n  n  f  n  1 n f  n  1 1 1   Đặt un  xnn   un  1   un1   1   k  f  n  n  k 1   xn  f  n n2  n  n  1 un   1   f  n  1 n  n  k 1  k  n 1  k 1  Với n nguyên dương, đặt un   1  n2  n   1, theo Bài 17 n n  n  Ta có lim n2  n  1 Ta có x  un n  N * n  n  n 1 k   un  hội tụ Vậy  yn  hội tụ Bài 19 (Sử dụng Hệ 4) Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn Việt Nam, 2011 2n n1 Cho dãy số thực  xn  xác định x1  1, xn  x n  2, n  N  i n    i1 Với số nguyên dương n, đặt yn  xn1  xn Chứng minh dãy số  yn  có giới hạn hữu hạn n   n 1 2n n1 (n  1)2 Cách giải: xn  xi  xn  xi   (n  1)2 i 1 2n i 1  2(n  1) n 2(n  1)  n1  2(n  1)  (n  1) xn1  xi  xi  xn    xn  xn     2 n n n i 1  i 1   2n   xn1  xn1  (n  1)(n2  1)  xn x    n  N * n   n n 1  n  n n n xk 1 xn1  xk x      1      1   n  N * k k n  k 1  k  k 1 k  k 1  n n 1  1    xn1   n  1  1    xn  n 1   k  k  k 1  k 1  n n 1      yn  xn1  xn   n  1  1    n 1   k  k  k 1  k 1  n    n1    1  n1     yn   n  1 1    n   1    1     1    n   k 1  k   n n  k 1  k   n 1    1 Với n nguyên dương, đặt un   1   Ta có yn  1    un n  N * k   n n  k 1      Ta có lim 1     1, theo Bài 16  un  hội tụ Vậy  yn  hội tụ n n n Nhờ khai triển Taylor, ta đề xuất bất đẳng thức, từ đề xuất giải phương trình, hệ phương trình phương pháp đánh giá Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Bài 20 (Sử dụng Hệ 4) Giải phương trình e x   x Cách giải: Sử dụng Bài 5, phương trình có tập nghiệm S  0 Bài 21 (Sử dụng Hệ 4) Giải phương trình 10 x   x Cách giải: Sử dụng Bài 6, phương trình có tập nghiệm S  0 Bài 22 (Sử dụng Hệ 4) Giải phương trình x   ln x Cách giải: Điều kiện x  Đặt t  ln x Phương trình trở thành et   t Sử dụng Bài 20, ta có t   x  x    log x  Bài 23 (Sử dụng Hệ 4) Giải phương trình Cách giải: Đặt t  log x2  1, t  Phương trình trở thành 10t   t Sử dụng Bài 6, ta có t   x  x2 x Bài 24 (Sử dụng Hệ 5) Giải phương trình e   x  Cách giải: Sử dụng Bài 9, phương trình có tập nghiệm S  0 Bài 25 (Sử dụng Hệ 5) Giải phương trình 10 Cách giải: Đặt t  x ln10  10 x  et  et   t  x  x ln10    x ln10  2 t2  t   x  Bài 26 (Sử dụng Hệ 5) Giải phương trình ln 2  ln  ln x x x     x ln 30  x ln 2  ln  ln Cách giải: x  3x  5x   x ln 30  x  3 5 x x x  x ln 2   x ln  2  x ln3   x ln3  2  x ln5   x ln5  Sử dụng kết Bài 8, ta có: Nếu x  e x ln  x ln 2   x ln  2 2 3 5 x x x ,e e  x ln3   x ln3   x ln 2   x ln  2 ,e 2  x ln    x ln  Nếu x  x ln x ln x ln ,e x ln ,e x ln  x ln5   x ln5  2 2 x ln 3 x ln 5     x ln    x ln  2  x ln3   x ln3  2  x ln5   x ln5  Khai triển Taylor ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội 2 3 5 x x x  x ln    x ln  2  x ln 3   x ln   x ln 5   x ln  2 ln  ln  ln x x x Nếu x      x ln 30  x Vậy, phương trình có tập nghiệm S  0 2 3.4)Hàm số f  x   ln 1  x  , x   1;   f ' x   1 , f ''  x   , f    x  x 1 x  x      x2 P f ,1,0  x   x, P f ,2,0  x   x  x2 x  g  x lx n Bài 27 (Sử dụng Hệ 5) Chứng minh x  ln 1  x   x  Cách giải: Xét biến thiên hàm số 1   x2  h  x   ln 1  x    x   2  Bài 28 (Sử dụng Hệ 4) n a)Cho dãy số  un  thỏa mãn un    ln  n  1 ,n  N * Chứng minh dãy số có k 1 k giới hạn hữu hạn b)Cho số nguyên dương a, b (a