BÁO cáo bài tập lớn đại số TUYẾN TÍNH giới thiệu khai triển fourier rời rạc ứng dụng của khai triển fourier để khử nhiễu âm thanh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Đề tài 19: Giới thiệu khai triển Fourier rời rạc & ứng dụng khai triển Fourier để khử nhiễu âm Giảng viên hướng dẫn : THS ĐẶNG VĂN VINH Danh sách thành viên MSSV Hồ Hữu Hậu 2113322 Nguyễn Thị Ánh Vy 2115349 Phạm Tấn Huy 2113535 Nguyễn Vĩnh Hùng 2113587 Phan Minh Thy 2112422 Nguyễn Tiến Hưng 2113609 Vương Lý Hữu Thạnh 2114819 | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH Mục lục Lời nói đầu I Lý Thuyết Giới thiệu Định nghĩa Tính chất Ứng dụng II Ứng dụng khai triển Fourier để khử nhiễu âm III Code Matlab IV Kết luận V.Tài liệu tham khảo | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH Lời nói đầu L ợi ích xử lý số tính hiệu ngày khẳng định rõ ràng Nó ứng dụng nhiều dạng khác với hiệu đặc biệt ngành khoa học môn học Với mức độ phát triển ngày cao bản, phương pháp khả ứng dụng lơi nhiều kỹ sư, nhà vật lý nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong lĩnh vực xử lý tính hiệu, biến đổi Fourier rời rạc (DFT) chiếm vị trí hàng đầu nhờ tồn thuật toán hiệu biến đổi Fourier rời rạc Biến đổi Fourier nhanh (FFT) công cụ hữu hiệu để tính biến đổi Fourier rời rạc Fourier rời rạc ngược Thuật toán FFT ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau, từ phép toán số học số phức đến lý thuyết tính hiệu, lý thuyết nhóm lý thyết số, v.v… | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH I Lý thuyết 1.Giới thiệu Trong tốn học, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đơi gọi là biến đổi Fourier hữu hạn, biến đổi trong giải tích Fourier cho tín hiệu thời gian rời rạc Đầu vào biến đổi chuỗi hữu hạn các số thực hoặc số phức, làm biến đổi công cụ lý tưởng để xử lý thơng tin các máy tính Đặc biệt, biến đổi sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và ngành liên quan đến phân tích tần số chứa tín hiệu, để giải phương trình đạo hàm riêng, để làm phép như tích chập 2.Định nghĩa Dãy của N số phức: x , … x N−1 biến đổi thành N số phức X , … X N−1 công thức sau : N −1 −i X k= ∑ x n e πkn N n=0 , k=0 ,1 , … , N −1 Với e=2,718 … ; π=3,141 … i2=−1 Phép biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT) được cho công thức sau : x n= N N−1 ∑ Xk e n =0 i πkn N , k =0 , ,… , N −1 Khác với khai triển chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục tuần hồn, phép lấy tích phân vây thay tổng Và có điểm khác quan trọng tổng tổng hữu hạn, lấy khoảng chu kỳ tín hiệu Những phương trình mơ tả đơn giản sau: số phức Xk đại diện cho biên độ pha bước sóng khác "tín hiệu vào" xn Phép biến đổi DFT tính giá trị Xk từ giá | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH trị xn, IDFT tính xn bằng tổng sóng thành phần  với tần số  k N Khi viết phương trình dạng trên, ta sử dụng cơng thức Euler để biểu diễn hàm lượng giác dạng lũy thừa số phức để biến đổi dễ dàng Khi viết Xk dưới dạng tọa độ cực, ta thu biên độ   Ak  và N pha φk từ modulus(mô-đun) argument của Xk: Ak =|X k|=√ ℜ( X k )2 + ℑ(X k )2 φ k =arg ( X k )=at an 2( ℑ ( X k ) , ℜ ( X k ) ) đó atan2 là dạng hai đối số hàm arctan Cần ghi thừa số chuẩn hóa DFT IDFT (ở N) dấu số mũ quy ước, khác tài liệu khác Điều kiện cho quy ước DFT IDFT có dấu ngược số mũ tích hai thừa số chuẩn hóa phải N 3.Tính chất 3.1 Tính tuyến tính Biến đổi Fourier rời rạc biến đổi tuyến tính: F : C N → C N Cho F ¿ F ¿ với số phức a , b , ta có: F¿ 3.2 Khả nghịch Với N > 0, vectơ phức N chiều có DFT (biến đổi Fourier rời rạc) IDFT (biến đổi Fourier rời rạc ngược) chúng vectơ phức N chiều Hay nói cách khác, x(n), y(n) có biến đổi Fourier rời rạc X(k), Y(k) thì: ax (n)+by ( n)↔ aX (k )+bY ( k) | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH Ta nhắc lại tính khả nghịch biểu diễn DFT dạng ma trận mục 3.5 3.3 Trực giao Các vectơ e i N chiều: πkn N tạo thành sở trực giao tập vectơ phức ∑ (e N−1 πi kn N n =0 ).(e −2 πi ' k n N )=0 k≠k' πi Đặt w=e N bậc N Khi đó, đẳng thức viết lại thành: N−1 ∑ ( w kn ) ( w k 'n ) =0 n =0 Ta dễ dàng chứng minh điều vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức 3.4 Tuần hoàn Nếu ta tính biểu thức định nghĩa DFT số nguyên k thay cho k =0 , , N −1 dãy số nhận mở rộng tuần hồn DFT có chu kỳ N: X (k+ N) =X k 3.5 Ma trận Unita Phép biến đổi DFT biểu diễn dạng ma trận sau: [ 1 e F= ⋮ e e −2 πi N e −2 πi N e ⋮ −2 πi (N −1 ) N e −2 πi N −2 πi N ⋮ −2 πi 2(N−1) N … e … e ⋮ −2 πi ( N−1) N −2 πi 2(N−1) N … e ⋮ −2 πi (N −1 ) N ] N×N | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH Các vectơ cột F N trực giao đề cập tính chất 3.3 với tích vơ hướng (u , v )=u¿ v , F N đồng thời ma trận đối xứng A=A T Người ta chứng minh được: (3) ¿ F N F N =¿ Để dễ dàng lấy nghịch đảo, ta trực chuẩn hóa FN cách nhân thêm số √ N (3) trở thành: ( FN √N )( ) ¿ F N =I √N Khi đó, √ N F N ma trận unita Suy ra: ( FN √N ) ( −1 = ) ¿ 1 ¿ F = FN N N √ √ N Từ (4) (5), ta được: ( FN √N ) −1 =√N FN F N −1= (4) −1 (5) F ¿ N N Ma trận F N −1 ma trận phép biến đổi Fourier rời rạc ngược (IDFT) Tóm lại: ● Biến đổi Fourier rời rạc x là: ● Biến đổi ngược để tìm x là: X =F N x −1 x=F N = ¿ FN X N Ứng dụng  Ứng dụng Y học | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH - Ứng dụng phép biến đổi Fourier gián đoạn phổ tử ngoại tỷ đối để định lượng đồng thời hai hoạt chất số chế phẩm hạ nhiệt giảm đau - Trên giới, biến đổi Fourier rời rạc áp dụng cho định lượng quang phổ hấp thụ phân tử dựa nguyên lý: phổ tỷ đối chất phân tích triển khai chuỗi Fourier hữu hạn từ thập niên 1990 Kỹ thuật ứng dụng thành công để định lượng hỗn hợp có chứa 2, thành phần - Nghiên cứu tiến hành nhằm triển khai ứng dụng biến đổi Fourier rời rạc cho phép định lượng đồng thời quang phổ tử ngoại hai hoạt chất số chế phẩm hạ nhiệt giảm đau (có chứa paracetamol) lưu hành thị trường Tính xác phép định lượng quang phổ đánh giá cách so sánh với phương pháp HPLC theo quy định Dược điển Việt Nam V  Ứng dụng khử nhiễu hình ảnh - Biến đổi Fourier hàm tốn học tách tín hiệu dạng sóng ( hàm thời gian) thành tần số tạo nên Ảnh số xem hàm biến đổi, nhiên khơng biến đổi theo thời gian mà biến đổi theo hai chiều khơng gian hình ảnh Ví dụ với ảnh số đa cấp xám điểm ảnh có giá trị từ đến 255 để biểu diễn độ xám (cường độ) điểm ảnh Vậy, mức xám điểm ảnh hàm số tọa độ điểm ảnh - Biến đổi Fourier rời rạc dạng số biến đổi Fourier áp dụng cho ảnh số, sử dụng để tách hình ảnh miền khơng gian thành thành phần tần số Biến đổi Fourier rời rạc biến đổi Fourier áp dụng cho điểm mẫu, khơng cho lại tồn tần số để hình thành ảnh số mà cho lại tập điểm mẫu đủ lớn với khả mô tả đầy đủ hình ảnh miền khơng gian Tổng số tần số tương ứng với tổng số điểm ảnh miền không gian Biến đổi Fourier rời rạc thường | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH sử dụng để lọc nhiễu hay làm nét hình ảnh Một hình thức biến đổi Fourier rời rạc biến đổi cosin rời rạc Tương tự biến đổi Fourier rời rạc, sử dụng để biểu diễn liệu dạng sóng, sử dụng phần số thực (thành phần cosin) Biến đổi cosin rời rạc phù hợp với nén ảnh (JPEG) nén video thơng tin ảnh có xu hướng tập trung vào vài thành phần tần số thấp biến đổi cosin rời rạc Ta áp dụng biến đổi cosin rời rạc ngược (IDCT) để có hình ảnh miền thời gian từ hình ảnh miền tần số Hình Ảnh xám(trái) biến đổi DFT(phải) Hình Lọc thơng thấp(trái) kết quả(phải) II Ứng dụng khai triển Fourier để khử nhiễu âm | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH Nếu như, xử lí tốt tập tin âm theo tiêu chí (trọng tâm, xác , hiệu tiết kiệm thời gian) việc giúp ích cho ta nhiều Trong nghiên cứu âm thanh, giúp ta tiết kiệm thời gian Còn doanh nghiệp chuyên lĩnh vực truyền thông đa phương tiện, xử lí tốt file âm thanh, tiết kiệm nhiều chi phí việc thiết kế phần mềm đó, hay đơn giản tăng chất lượng âm trình edit video chuyên nghiệp Từ hướng đến nhiều đối tượng khách hàng với trải nghiệm chất lượng âm tuyệt vời, chân thật đặt biệt khơng cịn tạp âm Cơ sở lý thuyết - Cho vectơ X ∈C n ( C ) Ta có, ma trận F N gọi ma trận Fourier cấp n Phép biến đổi Y = F N X gọi phép biến đổi Fourier rời rạc rạc vectơ X Vectơ Y = F N X biểu diễn dạng phức Y = A + iB Vectơ A chứa hệ số Vectơ B chứa hệ số αt βt n −1 ∑ α t cos n −1 ∑ β t sin πt n πt n - Như dung biến đổi fourier rời rạc, ta chuyển tín hiệu X miền thời gian thành miền tần số gồm tổng hàm cos πt n sin πt n Sau biến đổi ta có tín hiệu chưa qua khử nhiễu có dạng : n −1 ∑ αt cos 2nπt + βt sin 2nπt +¿ nhiễu ¿ - Sau phân tích Fourier rời rạc, ta xác định tần số tín hiệu tần số nhiễu ta lọc nhiễu giữ lại tín hiệu - Kết thúc ta biến đổi fourier ngược vectơ Y lại X để nghe tín hiệu sau xử nhiễu Biến đổi Fourier ngược : Y ( F ¿¿ n)−1 ¿= X ↔ X= ¿ F n n Y Các bước khử nhiễu âm :  Nhận tín hiệu, biểu diễn dạng hàm tuần hồn 10 | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH  Lấy mẫu tín hiệu liên tục thời điểm rời rạc  Có thể dùng số phương pháp xử lý xấp xỉ, biểu diễn điểm lấy mẫu thành hàm liên tục  Rời rạc hoá hàm liên tục này, theo thời gian biên độ  Áp dụng biến đổi Fourier để chuyển hàm phụ thuộc theo tần số Ví dụ : Cho âm lẫn tạp âm: Sau biến đổi Fourier chuyển từ miền thời gian sang miền tần số (hình trái) Khử tần số nhiễu giữ lại tần số (hình phải) 11 | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH III Code Matlab NỘI DUNG ĐOẠN CODE clc clear [x,Fs] = audioread('mixed.wav'); % load file âm X = fft(x); % biến đổi fourier không nằm trung tâm N = length(x); % Lấy tín hiệu kèn trumpet a3 = 2000; % tần số cắt w3 =(-N/2+1:(N/2)); % vecto tần số trung tâm w4 = w3.*Fs/N; % lấy tần số mẫu H = 1-(a3./(a3 + (1i*w4))); % H nằm trung tâm Hshift3 = fftshift(H); a5 = 5000; % tương tự w5 =(-N/2+1:(N/2)); w6 = w5.*Fs/N; H5 = 1-(a5./(a5 + (1i*w6))); Hshift5 = fftshift(H5); a = 6000; 12 | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH w0 =(-N/2+1:(N/2)); w = w0.*Fs/N; H2 = 1-(a./(a + (1i*w))); Hshift = fftshift(H2); Y = X *Hshift5' * Hshift3' *Hshift' ; % lọc tín hiệu y = real(ifft(Y)); % biến đổi fourier nghịch y = y*(max(abs(x))/ max(abs(y))); % Lấy tín hiệu trống a1 = 100; % tần số cắt w1 = (-N/2+1:(N/2)); % vectơ tần số trung tâm w2 = w1.*Fs/N; % lấy tần số mẫu H1 = a1./(a1 + 1i*w2); % H nằm trung tâm Hshift1 = fftshift(H1); % H không nằm trung tâm a10 = 50; % tương tự w10 = (-N/2+1:(N/2)); w20 = w10.*Fs/N; H10 = a10./(a10 + 1i*w20); Hshift10 = fftshift(H10); a12 = 5; w12 = (-N/2+1:(N/2)); w22 = w12.*Fs/N; H12 = a10./(a10 + 1i*w22); Hshift12 = fftshift(H12); Y1 = X *Hshift1' *Hshift10' *Hshift12'; % lọc tín hiệu y1 = real(ifft(Y1)); % biến đổi fourier nghịch y1 = y1*(max(abs(x))/ max(abs(y1))); % Âm lọc, lúc chạy ấn enter để nghe đoạn âm input('s');sound(x,Fs); % âm gốc input('s');sound(y1,Fs); % âm trống input('s');sound(y,Fs); % âm kèn subplot(3,1,1); 13 | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH plot(w5,abs(fftshift(X))) title('Âm gốc'); subplot(3,1,2); plot(w5,abs(fftshift(Y))) title('Tiếng trống'); subplot(3,1,3); plot(w2,abs(fftshift(Y1))) title('Tiếng kèn trumpet'); IV Kết Luận DFT công cụ mạnh mẽ xử lý tín hiệu kỹ thuật số, cho phép tìm phổ tín hiệu có thời lượng hữu hạn x(n) Về bản, tính tốn DFT tương đương với việc giải tập phương trình tuyến tính DFT cung cấp biểu diễn chuỗi thời lượng hữu hạn cách sử dụng chuỗi tuần hồn, chu kỳ chuỗi tuần hoàn giống với chuỗi thời lượng hữu hạn Kết sử dụng chuỗi Fourier thời gian rời rạc để suy phương trình DFT V Tài liệu tham khảo  Giáo trình Đại số tuyến tính - Đặng Văn Vinh NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh  Biến đổi Fourier rời rạc – Wikiwand https://www.wikiwand.com/vi/Bi%E1%BA%BFn_ %C4%91%E1%BB%95i_Fourier_r%E1%BB%9Di_r%E1%BA %A1c?fbclid=IwAR1aCiLIhY22qZ5HTQgQDPm2KrMoLnWeqEQ82rjnzuGXnGuqJS-_oYVegw  Toán kỹ thuật – Biến đổi Fourier tập biến đổi Fourier https://giaoductieuhoc.vn/toan-ky-thuat-bien-doi-fourier-bai-tap-biendoi-fourier-kho-tai-lieu-tong-hop-huu-ich-nhat/? 14 | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH fbclid=IwAR0Gtz6CeoA8o1WKIXRcDRu4xqjYDBNZrz4foX2qdCZ LXcI4fC6v5oBlNOs 15 | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH ... quả(phải) II Ứng dụng khai triển Fourier để khử nhiễu âm | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH. .. h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH - Ứng dụng phép biến đổi Fourier gián đoạn phổ tử ngoại tỷ đối để định lượng... thuyết tính hiệu, lý thuyết nhóm lý thyết số, v.v… | Đ i s ố t u y ế n tí n h BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN:GIỚI THIỆU KHAI TRIỂN FOURIER RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN FOURIER ĐỂ KHỬ NHIỄU ÂM THANH