BÁO cáo bài tập lớn đại số TUYẾN TÍNH đề tài STOCHASTIC MATRIX

lOMoARcPSD|11598335 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH 2020-2021  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI 24: STOCHASTIC MATRIX GVHD: Nguyễn Anh Thi Lớp: L14 Tp Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 04 năm 2021 lOMoARcPSD|11598335 ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HỒ CHÍ MINH  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI 24 1/ Giới thiệu Stochastic matrix 2/ Viết chương trình sử dụng Stochastic matrix để giải ví dụ cụ thể 3/ Nêu vài ứng dụng Stochastic matrix Giảng viên hướng dẫn : Nguyễn Anh Thi lOMoARcPSD|11598335 Lời nói đầu Các mức lượng hệ hạt nhân mô tả giá trị riêng tốn tử Hermit khơng gian Hilbert mà số chiều vơ hạn Do vậy, tính tốn ta phải đối mặt với khơng khó khăn Vào năm 1950, nghiên cứu vấn đề đó, Eugene Wigner thay phải đối mặt với tốn tử khơng gian vơ hạn chiều trên, mơ tả hệ phức tạp hạt nhân nguyên tử ma trận có phần tử biến ngẫu nhiên (ma trận ngẫu nhiên) Với ràng buộc phân bố phần tử, ta tìm phân bố giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên, từ mơ tả mức lượng hệ hạt nhân Với ý tưởng vậy, Wigner đồng nghiệp ơng nhà vật lý, tốn học sau nghiên cứu phát triển lý thuyết ma trận ngẫu nhiên Ngày nay, ma trận ngẫu nhiên trở thành cơng cụ mạnh có ứng dụng rộng rãi vật lý, toán học nhiều lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật khác lOMoARcPSD|11598335 Lời cảm ơn Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Nguyễn Anh Thi ngày qua khơng ngại khó khăn mà cố vấn, giúp đỡ cho nhóm chúng em hồn thành báo cáo Cũng thành viên nhóm 11 lớp L14 cố gắng, hợp tác với để tạo sản phẩm cuối báo cáo này! lOMoARcPSD|11598335 Danh sách thành viên: STT HỌ VÀ TÊN MSSV Bùi Quốc Đạt 2012908 Trần Quốc Vinh 2012432 Hà Quang Vinh 2015056 Hoàng Lâm Vũ 1915970 Huỳnh Minh Tường 2012391 Huỳnh Ngọc Như Ý 2012468 Lê Hoàng Vĩnh Đan 2011042 Nguyễn Văn Thanh Tùng 2015001 Khương Gia Túc 2014993 10 Nguyễn Anh Tuấn 2014943 11 Lương Hồng Tiến Đạt 2012924 12 Bùi Sỹ Tuấn Vũ 1915966 13 Võ Nguyễn Phương Long Vĩnh 2015081 lOMoARcPSD|11598335 MỤC LỤC Phần I: Giới thiệu Stochastic matrix Giới thiệu chung Stochastic matrix Cơ sở lý thuyết……………………………………… 12 Phần II: Viết chương trình sử dụng Stochastic matrix để giải ví dụ cụ thể Giới thiệu viết chương trình code 13 Những hàm code sử dụng .15 Phần III: Nêu vài ứng dụng Stochastic matrix Ứng dụng 17 Tài liệu tham khảo…………………………………21 lOMoARcPSD|11598335 Phần I: Giới thiệu Stochastic matrix Với báo cáo “Stochastic Matrix” – Ma trận ngẫu nhiên nhóm chúng em muốn làm rõ vấn đề nội dung, định nghĩa, ý nghĩa, ứng dụng, mở rộng loại ma trận giúp người có nhìn tổng quan lẽ chúng em nhận thấy mơ hình có nhiều ứng dụng thực tế từ sinh học, tự nhiên chứng khốn, trị chơi trí tuệ Các ví dụ điển “Bước ngẫu nhiên” hay “Sai lầm bạc” ứng dụng rút từ mơ hình Giới thiệu chung: Stochastic Matrix Trong toán học, Stochastic Matrix (ma trận ngẫu nhiên) ma trận vuông sử dụng để mô tả trình chuyển đổi chuỗi Markov Mỗi mục nhập số thực âm đại diện cho xác suất Nó cịn gọi ma trận xác suất, ma trận chuyển tiếp, ma trận thay thế, ma trận Markov Ma trận ngẫu nhiên phát triển lần Andrey Markov vào đầu kỷ 20, sử dụng nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm lý thuyết xác suất, thống kê, tài tốn học đại số tuyến tính, khoa học máy tính di truyền dân số Có số định nghĩa loại ma trận ngẫu nhiên khác nhau: • Một ma trận ngẫu nhiên phải ma trận vuông thực, với hàng có tổng • Một ma trận ngẫu nhiên trái ma trận vng thực, với cột có tổng • Một ma trận ngẫu nhiên kép ma trận vuông gồm số thực không âm với hàng cột có tổng Trong mạch, người ta xác định vectơ ngẫu nhiên (cũng gọi vectơ xác suất ) dạng vectơ có phần tử số thực khơng âm có tổng lOMoARcPSD|11598335 Do đó, hàng ma trận ngẫu nhiên bên phải (hoặc cột ma trận ngẫu nhiên bên trái) vectơ ngẫu nhiên Một quy ước chung văn học toán học tiếng Anh sử dụng vectơ hàng xác suất ma trận ngẫu nhiên phải thay vectơ cột xác suất ma trận ngẫu nhiên trái A Lịch sử: Stochastic Matrix phát triển với chuỗi Markov Andrey Markov , người Nga nhà toán học giáo sư St Đại học Petersburg người lần xuất chủ đề vào năm 1906 Mục đích sử dụng ban đầu ông để phân tích ngôn ngữ môn toán học khác trộn thẻ, chuỗi ma trận Markov nhanh chóng sử dụng lĩnh vực khác Stochastic Matrix phát triển thêm học Andrey Kolmogorov, người mở rộng khả chúng cách cho phép quy trình Markov thời gian liên tục Vào năm 1950, báo sử dụng ma trận ngẫu nhiên xuất lĩnh vực kinh tế lượng lý thuyết mạch Vào năm 1960, ma trận ngẫu nhiên xuất nhiều cơng trình khoa học khác nhau, từ khoa học hành vi đến địa chất đến quy hoạch khu dân cư Ngoài ra, nhiều cơng trình tốn học thực thập kỷ để cải thiện phạm vi sử dụng chức ma trận ngẫu nhiên quy trình Markovian nói chung Từ năm 1970 đến nay, ma trận ngẫu nhiên sử dụng hầu hết lĩnh vực yêu cầu phân tích thức, từ khoa học cấu trúc đến chẩn đốn y tế đến quản lý nhân Ngoài ra, ma trận ngẫu nhiên sử dụng rộng rãi mơ hình biến đổi đất đai, thường thuật ngữ ma trận Markov (*) Chuỗi Markov hay gọi xích Markov q trình ngẫu nhiên mơ tả dãy biến cố xác suất biến cố phụ thuộc vào trạng thái biến cố trước Một dãy vơ hạn đếm được, xích thay đổi trạng thái theo khoảng thời gian rời rạc, cho ta xích Markov thời gian rời rạc (DTMC) Một trình diễn thời gian liên tục gọi xích Markov thời gian liên tục (CTMC) Chúng đặt tên theo nhà toán học người Nga Andrey Markov lOMoARcPSD|11598335 B Định nghĩa thuộc tính: Một ma trận ngẫu nhiên mô tả chuỗi Markov X t hữu hạn nhà nước không gian S với cardinality S Nếu xác suất chuyển từ i sang j bước thời gian Pr ( j | i ) = P i , j , ma trận ngẫu nhiên P cho cách sử dụng P i , j làm phần tử hàng thứ i cột thứ j , ví dụ: Vì tổng xác suất chuyển đổi từ trạng thái i sang tất trạng thái khác phải 1, ma trận ma trận ngẫu nhiên Tổng theo phần tử trên hàng i P viết ngắn gọn P = , vectơ chiều S tất hàng Sử dụng điều này, thấy tích hai ma trận ngẫu nhiên P ′ P ′ ′ ngẫu nhiên phải: P ′ P ′ ′ = P ′ ( P ′ ′ ) = P ′ = Nói chung, lũy thừa thứ k Pk ma trận ngẫu nhiên phải P ngẫu nhiên Xác suất chuyển từisangjtrong hai bước sau cho phần tử thứ( i , j )của bình phương P: Nói chung, xác suất chuyển từ trạng thái sang trạng thái khác chuỗi Markov hữu hạn cho ma trận P k bước cho P k Một phân phối xác suất ban đầu trạng thái, xác định vị trí ban đầu hệ thống với xác suất nào, đưa dạng vectơ hàng lOMoARcPSD|11598335 Một văn phòng phẩm vector khả π định nghĩa phân phối, viết vector hàng, điều khơng thay đổi áp dụng ma trận chuyển đổi; nghĩa là, định nghĩa phân phối xác suất tập {1,…, n } ký tự riêng hàng ma trận xác suất, liên kết với giá trị riêng 1: Có thể bán kính quang phổ ma trận ngẫu nhiên Theo định lý vòng tròn Gershgorin , tất giá trị riêng ma trận ngẫu nhiên có giá trị tuyệt đối nhỏ Ngoài ra, ma trận ngẫu nhiên bên phải có ký hiệu riêng cột "hiển nhiên" liên kết với giá trị riêng 1: vectơ , có tọa độ tất (chỉ cần quan sát nhân hàng A với tổng mục hàng đó, 1) Vì giá trị riêng bên trái bên phải ma trận vuông giống nhau, nên ma trận ngẫu nhiên có dấu hiệu riêng hàng liên kết với giá trị riêng1 giá trị tuyệt đối lớn tất giá trị riêng Cuối cùng, Định lý điểm cố định Brouwer (áp dụng cho tập lồi thu gọn tất phân phối xác suất tập hữu hạn {1,…, n } ) ngụ ý lại số eigenvector véc tơ xác suất đứng yên Mặt khác, định lý Perron – Frobenius đảm bảo ma trận ngẫu nhiên bất khả quy có vectơ dừng giá trị tuyệt đối lớn giá trị riêng Tuy nhiên, định lý áp dụng trực tiếp cho ma trận chúng cần khơng phải khơng thể thay đổi Nói chung, có số vectơ Tuy nhiên, ma trận có mục nhập dương hồn tồn (hoặc nói chung ma trận ngẫu nhiên quy đổi được), vectơ tính tốn cách quan sát với i nào, có giới hạn sau: π j phần tử thứ j vectơ hàng π Trong số điều khác, điều nói xác suất dài hạn việc trạng thái j độc lập với trạng thái ban đầu i Việc hai phép tính cho vectơ đứng yên dạng định lý ergodic , thường nhiều hệ động lực tiêu tán : hệ tiến hóa, theo thời gian, thành trạng thái tĩnh 10 lOMoARcPSD|11598335 Một cách trực quan, ma trận ngẫu nhiên đại diện cho chuỗi Markov; việc áp dụng ma trận ngẫu nhiên vào phân phối xác suất phân phối lại khối lượng xác suất phân phối gốc bảo toàn khối lượng tổng Nếu q trình áp dụng lặp lặp lại, phân phối hội tụ thành phân phối tĩnh cho chuỗi Markov Mở rộng: Xích Markov Định nghĩa: Một trình Markov trình ngẫu nhiên thỏa mãn tính chất Markov (đơi gọi "tính khơng ghi nhớ") Nói đơn giản, q trình mà kết tương lai dự đốn dựa trạng thái - quan trọng - dự đốn tốt dự đốn dựa tồn lịch sử q trình Nói cách khác, dựa trạng thái hệ thống, trạng thái khứ tương lai độc lập Một xích Markov loại q trình Markov có không gian trạng thái rời rạc tập số rời rạc (thường biểu diễn thời gian), nhiên định nghĩa xác thống Thơng thường, xích Markov cịn định nghĩa q trình Markov thời gian liên tục rời rạc với không gian trạng thái đếm (tức thời gian bất kỳ), có định nghĩa khác coi xích Markov có thời gian rời rạc khơng gian trạng thái đếm liên tục (tức không gian trạng thái bất kỳ) Tính chất: Ma trận chuyển đổi xác suất (ma trận Markov) có số tính chất sau: • Tổng phần tử cột ma trận chuyển đổi • Ma trận chuyển đổi ln có trị riêng λ1 =1 • Mọi trị riêng λk ma trận chuyển đổi thỏa |λk| ≤ • Véctơ cột v gọi véctơ xác suất trạng thái, phần tử khơng âm tổng tất phần tử véctơ Nếu v véctơ xác suất trạng thái, Pv véctơ xác suất trạng thái 11 lOMoARcPSD|11598335 • Ma trận chuyển đổi P gọi ma trận chuyển đổi quy, tồn số tự nhiên n thỏa Pn có tất phần tử dương Ma trận chuyển đổi quy có trị riêng λ1 =1 với bội đại số λ1 tất trị riêng λk lại thỏa |λk|