BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 THI ONLINE - CÔNG THỨC KHAI TRIỂN TAYLOR VÀ ỨNG DỤNG *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video giảng lời giải chi tiết có Vted (https://www.vted.vn/) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh: Trường: Câu [Q178302926] Khai triển đa thức P (x) = x + x − theo luỹ thừa nguyên dương x − Câu [Q373311573] Khai triển đa thức P (x) = x + x − 3x + theo luỹ thừa nguyên dương x − Câu [Q601266565] Khai triển Taylor đến cấp điểm x = với phần dư dạng peano hàm số 2 f (x) = arcsin x Câu [Q788378876] Khai triển Taylor đến cấp điểm f (x) = (x − 1) với phần dư dạng peano hàm số x = arccos(x − 1) Câu [Q131916589] Khai triển hàm số f (x) = √x + theo luỹ thừa x − đến bậc với phần dư dạng peano x Câu [Q656278596] Khai triển Mac – Laurin đến cấp hàm số f (x) = ∫ ln(1 + t)dt Câu [Q224772568] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = x sin 2x + Câu [Q585161557] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = 2x + Câu [Q762675865] Khai triển Taylor theo luỹ thừa x − đến bậc ba hàm số f (x) = √x Câu 10 [Q867169504] Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa x − đến bậc ba hàm số f (x) = x Câu 11 [Q936805484] Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa x − đến bậc ba hàm số f (x) = x − x x − Câu 12 [Q006306665] Khai triển Taylor theo theo luỹ thừa x − đến bậc ba hàm số f (x) = ln(1 − x + x ) x − Câu 13 [Q636046663] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = e Câu 14 [Q136488467] Khai triển Mac – Laurin đến luỹ thừa bậc x hàm số f (x) = e Câu 15 [Q036666000] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = e đến bậc x Câu 16 [Q509578639] Khai triển Mac – Laurin hàm số y = x sin x đến luỹ thừa x sin x tan x 11 Câu 17 [Q275537329] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = x − e Câu 18 [Q559953522] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = x −6x đến bậc x + 15x + 26 Câu 19 [Q902477339] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = x ln(1 + 2x) đến luỹ thừa bậc x Câu 20 [Q072449101] Cho hàm số f (x) xác định có đạo hàm cấp liên tục đoạn [0; 1] thoả mãn f (0) = f (1) ∣ , ∀x ∈ [0; 1] ∣f (x)∣ ∣ ≤ A, ∀x ∈ [0; 1] Chứng minh ∣ ∣f (x)∣ ∣ ≤ ′′ ′ A Câu 21 [Q566605696] Cho f minh rằng: f (0) − 2f ( : [0, 1] → R ′′ (x) ≤ Chứng ) + f (1) ≤ hàm khả vi đến cấp cho với x ∈ [0, 1] f Câu 22 [Q318775669] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = xe đến số hạng x Câu 23 [Q179796954] [VMC 2008] Cho hàm số g(x) có g (x) > với x ∈ R Giả sử hàm số f (x) xác định −2x ′′ π liên tục R thỏa mãn ′ f (0) > g(0), ∫ f (x)dx < g(0) π + g (0) f (t) = g(t) π 2 Chứng minh tồn t ∈ [0, π] cho BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 Câu 24 [Q077874767] Khai triển Mac – Laurin số hàm số sơ cấp sau đây: y = e x ⇒ y (n) y = sin x ⇒ y Vậy sin x = x − x (x) = e (n) 3! ⇒ y (n) (0) = ⇒ e nπ (x) = sin(x + x + x (−1) − + 5! ) ⇒ y x (n) = + x 1! (0) = sin + nπ x x + 2! + + 3! x n n! n + o(x ) 0, n = 2k = { k (−1) , n = 2k + n (2n+1)! x 2n+1 + o(x 2n+1 ) k y = cos x ⇒ y Vậy cos x = − x (n) x + y = ln(1 + x) ⇒ y x (−1) 4! 2! Vậy ln(1 + x) = x − nπ (x) = cos x (x + − + (n) 2 x (−1) x + 2n n−1 + o(x − + 2n (0) = cos nπ (−1) , n = 2k = { 0, n = 2k + ) (n−1)! (x+1) (n) n (2n)! (x) = ) ⇒ y (−1) ⇒ y n n−1 x (n) (0) = (−1) n−1 (n − 1)! n n + o(x ) n n y = Vậy 1 x+1 ⇒ y (n) (x+1) = − x + x x+1 y = (1 + x) Vậy y = (1 + x) (−1) n! (x) = α α n+1 ⇒ y (n) n − x + +(−1) x ⇒ y (n) n n (0) = (−1) n! n + o(x ) (x) = α(α − 1) (α − (n − 1))(1 + x) α(α − 1) α = + x + 1! α−n ⇒ y (n) (0) = α(α − 1) (α − (n − 1)) α(α − 1) (α − (n − 1)) x + + 2! x n n + o(x ) n! Câu 25 [Q668559227] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = x x Câu 28 [Q200404971] Khai triển Taylor đến luỹ thừa bậc đến số hạng x đến số hạng x − 3x + x + Câu 26 [Q700907537] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = Câu 27 [Q231766537] Khai triển Taylor đến luỹ thừa bậc dạng Peano − 3x − x − hàm số x − f (x) = x√5x + hàm số f (x) = với phần dư với phần dư √x + dạng Peano Câu 29 [Q756521105] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = e đến luỹ thừa bậc x Câu 30 [Q091709747] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = ln(1 + 2x − 3x ) đến luỹ thừa bậc x 2x −3x Câu 31 [Q440366076] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = 2x + x + đến luỹ thừa bậc 10 x − Câu 32 [Q672076603] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = (2x + 3)(x + 1) đến luỹ thừa bậc x Câu 33 [Q223000276] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = ln(cos x) đến luỹ thừa bậc x Câu 34 [Q207243466] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = x + x − đến luỹ thừa bậc x (x − 1) (x + 1) Câu 35 [Q706017565] Cho f : [0, 1] → R khả vi đến cấp f (x) = b Chứng minh max f (x) ≥ 8(a − b) [0, 1] thỏa mãn f (0) = f (1) = a ′′ x∈[0,1] x∈[0,1] Câu 36 [Q937626389] Cho f : R → R hàm khả vi đến cấp có đạo hàm cấp dương Chứng minh f (x + f (x)) ≥ f (x) với số thực x ′ HƯỚNG DẪN BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 ... 25 [Q668559227] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = x x Câu 28 [Q200404971] Khai triển Taylor đến luỹ thừa bậc đến số hạng x đến số hạng x − 3x + x + Câu 26 [Q700907537] Khai triển Mac – Laurin... [Q672076603] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = (2x + 3)(x + 1) đến luỹ thừa bậc x Câu 33 [Q223000276] Khai triển Mac – Laurin hàm số f (x) = ln(cos x) đến luỹ thừa bậc x Câu 34 [Q207243466] Khai triển. .. [Q231766537] Khai triển Taylor đến luỹ thừa bậc dạng Peano − 3x − x − hàm số x − f (x) = x√5x + hàm số f (x) = với phần dư với phần dư √x + dạng Peano Câu 29 [Q756521105] Khai triển Mac – Laurin