BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG TỐN GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH - Cực trị taïi x0: ∃ ε > : ∀ x ∈ (x0 – ε, x0 + ε) ⇒ f(x) ≤ f(x0) Fermat: f đạt cực trị x0 ∈ (a,b) & khả vi x0 ⇒ f’(x0) = Minh hoạ hình học: ĐỊNH LÝ ROLL Hàm f(x) liên tục [a,b], khả vi (a, b), f(a) ⇒ ∃ x0∈(a, b): f’(x0) = Minh hoạ hình học: VD: Chứng minh phương trình 4ax3 + 3bx2 + 2cx – (a + b + c) = nghiệm Giải: có thực Xét = f(b) ĐỊNH LÝ (SỐ GIA) LAGRANGE - Hàm f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) ⇒ ∃ c ∈ (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) p dụng: Khảo sát tính đơn điệu hàm y = f(x) đạo VD: CMinh hàm BĐThức arctgx − arctgy ≤ x − y KHAI TRIEÅN TAYLOR Haøm y = f(x) có đạo hàm x0 ⇒ f(x) ≈ f(x – x0) Công thức f có đạo hàm cấp n+1 0) + f’(x 0)(x Taylor: treân (a,b); x0 , x∈(a, b) ( n) f ' ' ( x0 ) f ( x0 ) f = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + + ( x − x0 ) n + ? 2! n! n ⇒ f ( x) = ∑ k =0 ( n +1) f ( k ) ( x0 ) f ( c) k ( x − x0 ) + ( x − x0 ) n+1 , c ∈ ( x0 , x ) k! (n + 1)! Rn ( x ) : Phần dư Lagrange CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n (k) ( x ) n f (a,b) ( x − x )k + o ( x − x )n , x → x f ( x) = ∑ 0 k ! k =0 ( ) KHAI TRIEÅN MAC – LAURINT - x0 = 0: Khai triển Mac – Laurint (phổ biến) n f ( n ) ( 0) n f ( k ) ( 0) k f ( x) = f ( 0) + f ' ( 0) x + + x + Rn ( x ) = ∑ x + Rn ( x) n! k! k =0 Phaàn f ( n+1) ( c ) n+1 x , c = c( x ) ∈ ( 0, x ) dö Rn ( x) = (n + 1)! ( ) Lagrange: n +1 , x→0 Phần dư Rn ( x) = o x Peano: VD: Khai triển Mac – Laurint hàm n x x b/ cosx e x = + x + + + + o( x n +1 ) , x → 2! n! Keát 2n x2 x4 x n cos x = − + − + ( − 1) + o( x n +1 ) , x → quaû: 2! 4! ( n )! a/ ex MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm p1 ( x) =f(x) x = sinx x3 p2 ( x ) = x − x3 x5 p3 ( x) = x − + 120 Chú ý: Đồ thị đa thức xấp xỉ tiến dần đồ thị hàm KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN Hàm lượng giác: sinx, cosx Hàm tgx (chỉ đến 3cấp ba) x x ( − 1) n−1 x n−1 sin x = x − + + + + o x 2n , x → 3! 5! (2n − 1)! ( ) x2 x4 ( − 1) n x 2n cos x = − + + + + o x n+1 , x → 2! 4! (2n)! ( ) ( ) x3 tgx = x + + o x , x → Khai triển ex: tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu cos chẵn → mũ chẵn; sin lẻ → mũ lẻ; tg lẻ → mũ lẻ K0 đan dấu → shx, chx ... ≤ x − y KHAI TRIEÅN TAYLOR Hàm y = f(x) có đạo hàm x0 ⇒ f(x) ≈ f(x – x0) Công thức f có đạo hàm cấp n+1 0) + f’(x 0)(x Taylor: ... VD: Khai triển Mac – Laurint hàm n x x b/ cosx e x = + x + + + + o( x n +1 ) , x → 2! n! Keát 2n x2 x4 x n cos x = − + − + ( − 1) + o( x n +1 ) , x → quaû: 2! 4! ( n )! a/ ex MINH HOẠ KHAI TRIỂN... Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm p1 ( x) =f(x) x = sinx x3 p2 ( x ) = x − x3 x5 p3 ( x) = x − + 120 Chú ý: Đồ thị đa thức xấp xỉ tiến dần đồ thị hàm KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM