KHAI TRIỂN TAYLOR (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG TỐN GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH - Cực trị taïi x0: ∃ ε > : ∀ x ∈ (x0 – ε, x0 + ε) ⇒ f(x) ≤ f(x0) Fermat: f đạt cực trị x0 ∈ (a,b) & khả vi x0 ⇒ f’(x0) = Minh hoạ hình học: ĐỊNH LÝ ROLL Hàm f(x) liên tục [a,b], khả vi (a, b), f(a) ⇒ ∃ x0∈(a, b): f’(x0) = Minh hoạ hình học: VD: Chứng minh phương trình 4ax3 + 3bx2 + 2cx – (a + b + c) = nghiệm Giải: có thực Xét = f(b) ĐỊNH LÝ (SỐ GIA) LAGRANGE - Hàm f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) ⇒ ∃ c ∈ (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a) p dụng: Khảo sát tính đơn điệu hàm y = f(x) đạo VD: CMinh hàm BĐThức arctgx − arctgy ≤ x − y KHAI TRIEÅN TAYLOR Haøm y = f(x) có đạo hàm x0 ⇒ f(x) ≈ f(x – x0) Công thức f có đạo hàm cấp n+1 0) + f’(x 0)(x Taylor: treân (a,b); x0 , x∈(a, b) ( n) f ' ' ( x0 ) f ( x0 ) f = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + + ( x − x0 ) n + ? 2! n! n ⇒ f ( x) = ∑ k =0 ( n +1) f ( k ) ( x0 ) f ( c) k ( x − x0 ) + ( x − x0 ) n+1 , c ∈ ( x0 , x ) k! (n + 1)!        Rn ( x ) : Phần dư Lagrange CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n (k) ( x ) n f (a,b) ( x − x )k + o ( x − x )n , x → x f ( x) = ∑ 0 k ! k =0 ( ) KHAI TRIEÅN MAC – LAURINT - x0 = 0: Khai triển Mac – Laurint (phổ biến) n f ( n ) ( 0) n f ( k ) ( 0) k f ( x) = f ( 0) + f ' ( 0) x +  + x + Rn ( x ) = ∑ x + Rn ( x) n! k! k =0 Phaàn f ( n+1) ( c ) n+1 x , c = c( x ) ∈ ( 0, x ) dö Rn ( x) = (n + 1)! ( ) Lagrange: n +1 , x→0 Phần dư Rn ( x) = o x Peano: VD: Khai triển Mac – Laurint hàm n x x b/ cosx e x = + x + +  + + o( x n +1 ) , x → 2! n! Keát 2n x2 x4 x n cos x = − + −  + ( − 1) + o( x n +1 ) , x → quaû: 2! 4! ( n )! a/ ex MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm p1 ( x) =f(x) x = sinx x3 p2 ( x ) = x − x3 x5 p3 ( x) = x − + 120 Chú ý: Đồ thị đa thức xấp xỉ tiến dần đồ thị hàm KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN Hàm lượng giác: sinx, cosx Hàm tgx (chỉ đến 3cấp ba) x x ( − 1) n−1 x n−1 sin x = x − + +  + + o x 2n , x → 3! 5! (2n − 1)! ( ) x2 x4 ( − 1) n x 2n cos x = − + +  + + o x n+1 , x → 2! 4! (2n)! ( ) ( ) x3 tgx = x + + o x , x → Khai triển ex: tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu cos chẵn → mũ chẵn; sin lẻ → mũ lẻ; tg lẻ → mũ lẻ K0 đan dấu → shx, chx ... ≤ x − y KHAI TRIEÅN TAYLOR Hàm y = f(x) có đạo hàm x0 ⇒ f(x) ≈ f(x – x0) Công thức f có đạo hàm cấp n+1 0) + f’(x 0)(x Taylor: ... VD: Khai triển Mac – Laurint hàm n x x b/ cosx e x = + x + +  + + o( x n +1 ) , x → 2! n! Keát 2n x2 x4 x n cos x = − + −  + ( − 1) + o( x n +1 ) , x → quaû: 2! 4! ( n )! a/ ex MINH HOẠ KHAI TRIỂN... Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm p1 ( x) =f(x) x = sinx x3 p2 ( x ) = x − x3 x5 p3 ( x) = x − + 120 Chú ý: Đồ thị đa thức xấp xỉ tiến dần đồ thị hàm KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM