KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG TỐN GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC - x Từ khai triển hàm y = e  Khai triển sinx, cosx,Mũ sinhx, chẵncoshx x2 x4   1 n x n  n 1  cos x 1     o x ,x 2! 4! (2n)! x e x 1  x   2! x3   1 n x n1  n2  sin x x    o x ,x 3! (2n  1)! Mũ lẻ Tươngtựnhưsin x, cos x nhưngkhông đandấu  shx, chx 2n x3 x n 1 x x shx x     o x n 2 , chx 1     o x n 1  3!  2n  1! 2! (2n)! x3 tgx  x   o x , x    Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx: o nhỏ KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1  x), LN(1 + x) -Haøm nghịch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân): 1 n n n n   1  x    x  o x , 1  x  x      1 x  o x n  1 x 1 x Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)  Nhị thức Newton (1 + x)n 1  x   1  x     1 x        n  1 x n  o x n  2! n! VD: Khai trieån f  x  3  x đến cấp 3 MacLaurint hàm x 1 x 1 x Gia 1  x  1     1    1    o x , x       3   2!    3! ûi: ln(1 + x): 1/ (1+x)  xn/n, x x3 ( 1) n  n ln1  x   x     x  o x n  n BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: HÀM Haøm ex cos x sin x 1 x 1 x 1  x   ln1  x  Khai trieån x x3 xn  x     2! 3! n! 2n x2 x4 x n 1       1 x 2n 2! 4!  2n ! n 1 x3 x5 x n x       1 x n 1 3! 5!  2n  1! n  x  x  x      1 x n Phần dư Lagrange ec x n 1  n  1! cos sin  c n 2 x  2n  2! cos sin  c n 3 x  2n  3! n 1   1 n 1 x 1  c  n 2  x  x  x3   x n    1     n  1 n  x  x   x 2! n! n x2 x3 x n 1 x x        1 n PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH Đưa hàm cần khai triển dạng tổng, hiệu, tích (đhàm, tphân) hàm p dụng kh/tr MacLaurint VD: Khai triển ML đến f  x  e x   ln1  x  1 x caáp 3: 2     x x Gia f  x    x     21  x  x    5 x     o x  2     ûi: VD: Khai trieån MacLaurint f  x  cos x cosh x đến cấp 3: x   x 3  Gia f  x  1   o x  1   o x   1  o x , x  2! 2!    ûi: Chú ý: Có thể sử dụng đạo hàm, tích phân (coi chừng C!) VD: Khai triển ML đến f  x  ln x   x    KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1  x) Với thương (tỷ số, phân số) 1 x hàm số: Dùng Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất số 1! x VD: Khai triển a / e , caáp b/ , caáp 2x cos x MacLaurint 2    1 x x x 2  Gia a / e x      x   o  x      o  x   1 x 2  2!   ûi: 2 x x 1   b/  1    o x      o x    cos x   x 2!  o x       VD: Khai trieån MacLaurint f  x   x2  4x  đến cấp 1 1  1 1  Gia f  x            x  1 x  3  x  x  3   x  x  ûi: KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HP Hàm hợp f(u(x)): Khai triển bước Đầu tiên khai triển MacLaurint u(x), sau khai triển f(u) & cắt luỹ thừa yêu cầutra (Có Chúđến ý quan trọng:được Luôn kiểm thể thứ tự) điềổi kiện u(0) = 0! VD: Khai trieån a / sin  x  b / cos x đến cấp MacLaurint u Gia a / u x & u  0 0  sin u u   x  o x  3! 12 ûi:      x2 x4   x x 4  b / 1    o x   1      o x    1  u   24     2  24         u VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y = KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VỀ KTR ML -0 Khai trieån Taylor f(x) quanh x = x : Đổi biến t = x – x0 sử dụng khai triển Mac Laurint Cách 2: f(t) Biến đổi để (x – x0) xuất cho hàm trực tiếp hàm số! VD: Khai triển Taylor f  x  1 quanh x 2 đến cấp x hàm Giải: Cách 1: t = f  x  1  1  1   t      x t  2 1 t 2   x–2 1 Cách 2: Tạo (x – 2) f  x      x  2  2   x  2 hàm VD: Khai triển Taylor f  x  3 x quanh x  đến cấp 13 haøm  x       x  2    Gia  x     21   21             ûi: ỨNG DỤNG KT TAYLOR TÌM GIỚI HẠN Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB VD: Tính VD: Tìm VD: Tìm (SGK/8 0)  x3  x x  x   o  x     o x x  sin x   lim lim  lim 3 x x x x x x sin 3x  sin x  ln1  x  sin x  ln 1  x  lim  lim x x x2 e x  sin x   ln 1  x    lim    x  x 1  x  x      lim  x  x ln1    x   x  x  1  x  ln1  x  x x 1  x   x  ln1  x  x ln1  x   lim  x x 1  x    x 1  x  lim ỨNG DỤNG KT TAYLOR TÍNH GẦN ĐÚNG - Tính gần & ước lượng sai số: phần dư Lagrange n f ( x)  k 0 f k  x0  k! k  x  x0  ,   Rn  f  n 1  c  (n  1)! x  x0 n 1 , c   x0 , x  VD: Tính gần giá trị số e với độ -4 c xaùc 10 (SGK/79) 1 e Gia e 1       , c   0,1  e S ,    n  1!  1!  2!   n!  n  1! ûi: S Tương tự: Cần chọn số hạng khai triển hàm y = ex để -4 xấp xỉ e với độ xác 10 VD: Góc x cho phép xấp xỉ sinx  x với độ xác 10-4 VI PHÂN Hàm khả vi x0  y = Ax + o(x), x  : Soá gia hàm số biểu diễn tuyến tính theo x vô bé bậc cao x y  C  : y  f  x  Vi phaân: dy = Ax = f  x0  x  f’(x)dx Nhận xét: Hàm có y đạo hàm  Có vi f  x0  phân: Hàm khả vi x 1/ C: số  f '  x0  x dC = & d(Cy) = x0 x0  x x O Cdy Vi phân 2/ tổng, hiệu, tích, thương: d  u v  du dv d  uv  vdu  udv u  vdu  udv  d   v2 v VI PHÂN HÀM HP - độc lập  phân  y  f  x  , x : bieán   dy  y ' dx  y  f  x  , x  x t  : hàm hợp   cấp 1:  Vi phân cấp 1: Vi bất biến! VD: Tính dy a/ y = sinx b/ y = sinx, = cost Gia x b / dy cos xdx  cos x sin tdt hoaëc y sin cos t   dy  ûi: Vi phân x : Biến độc lập  d y  f ' ' dx , d y  caáp cao: y  f  x  , x  x t   d y  f ' ' dx  f ' d x  d x  x' ' dt  VD: Tính d2y: a/ y = arctgx arctgx, = sint 2x ÑS a / d 2x y  dx 2 1  x  : b/ y = sin t b / d y  y ' ' dx  dt 1 x 2 ... giác!): Khtriển MacLaurint y = KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VỀ KTR ML -0 Khai trieån Taylor f(x) quanh x = x : Đổi biến t... f(u(x)): Khai triển bước Đầu tiên khai triển MacLaurint u(x), sau khai triển f(u) & cắt luỹ thừa yêu cầutra (Có Chúđến ý quan trọng:được Luôn kiểm thể thứ tự) điềổi kiện u(0) = 0! VD: Khai trieån... Đổi biến t = x – x0 sử dụng khai triển Mac Laurint Cách 2: f(t) Biến đổi để (x – x0) xuất cho hàm trực tiếp hàm số! VD: Khai triển Taylor f  x  1 quanh x 2 đến cấp x hàm Giải: Cách 1: t =