Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC BÀI TOÁN THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ CỘNG, TRỪ PHÂN SỐ

THEO QUY LUẬT TOÁN 6

Mục lục

Trang

1.2.Mục đích nghiên cứu 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 22.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

II Ứng dụng cộng, trừ phân số theo quy luật vào giải các bài toán tìmx, bất đẳng thức…

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Toán học là một môn khoa học giữ vai trò rất quan trọng trong nền khoa học tự

nhiên Toán học giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo, có cái nhìntổng quát, chính xác, khoa học Hình thành kỹ năng học toán nói riêng là một quátrình phức tạp khó khăn, phải phối hợp , đan xen, lồng ghép các biện pháp sư phạmhài hoà Để có kỹ năng phải qua quá trình luyện tập Việc luyện tập có hiệu quả,nếu biết khai thác nội dung học tập từ kiến thức ban đầu sang một nội dung tươngtự, giúp học sinh lặp đi lặp lại nhiều lần trong nhiều tình huống khác nhau nhằmrèn luyện cũng cố, khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực tư duy và óc sáng tạo cho

học sinh

Để thực hiện được mục tiêu đào tạo học sinh trở thành người lao động tự chủ,năng động và sáng tạo, việc bồi dưỡng năng lực và sáng tạo cho học sinh là mộtnhiệm vụ quan trọng của nhà trường Từ việc học sinh giải các bài tập SGK, họcsinh có thể từng bước giải các bài tập nâng cao, những bài toán hay và khó Để từđó phát triển năng lực, tư duy, óc sáng tạo, óc phân tích tổng hợp….Từng bước bồidưỡng đào tạo nhân tài cho đất nước, thực hiện tốt mục tiêu giáo dục của Đảng tatrong thời kì công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước.

Là giáo viên dạy môn toán trong trường phổ thông, tôi ý thức được rằng Toánhọc là môn học tự nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển tưduy của con người, nó là chìa khoá để con người khám phá ra các lĩnh vực khácnhư tin học, vật lý, hoá học, y học

Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đãkhông ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, học hỏi đồng nghiệp và những người cókinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi Đặc biệt qua các kỳ thi học sinh giỏi dohuyện tổ chức thì hầu như đề thi học sinh giỏi toán 7; 8; 9 các năm đều có dạngtoán cộng, trừ phân số theo quy luật Mặc dù ở lớp 6 không tổ chức thi cấp huyện,nhưng dạng toán này lại có từ lớp 6, nếu các em được học, được bồi dưỡng thì đâylại là nền tảng quan trọng có ý nghĩa thiết thực trong việc dạy học môn toán, nhằmnâng cao chất lượng dạy học, tạo nguồn học sinh khá giỏi trong những năm tiếptheo Bản thân tôi nhận thấy các bài toán về cộng, trừ phân số viết theo quy luậtnội dung xuyên suốt chương trình toán THCS Đây là dạng bài toán tương đối khóđối với học sinh lớp 6 Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, họcsinh còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật củadãy số) Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vàibài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự

vận dụng kiến thức của mình Dạng toán “Dãy phân số viết theo quy luật” là

dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối vớihọc sinh phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật củadãy số.Đặc biệt là những bài tập nâng cao rất đa dạng, phong phú, mỗi bài có mộtsắc thái riêng Làm thế nào để học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, khai thácphát triển được những bài tập này là một việc làm không dễ chút nào, buộc học

sinh phải suy nghĩ, phát hiện vấn đề, nhưng làm thế nào để học sinh tự tìm tòi pháthiện vấn đề? Nếu giáo viên làm thay cho học sinh thì coi như không giải quyếtđược vấn đề gì, mà quan trọng nhất là tự học sinh định hướng đúng cách giải quamỗi bài tập khó.

Đây không chỉ là vấn đề trăn trở của riêng tôi mà còn là của tất cả đồng nghiệpđang mang trên mình trách nhiệm to lớn của người Thầy Qua thực tế nhiều nămgiảng dạy môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi đã đúc kết được nhiềukinh nghiệm, trong đó nổi trội là kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng khai thác bài toánthông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6 là nền tảng có ý nghĩavô cùng quan trọng trong việc dạy và học môn toán Vì vậy tôi đã mạnh dạn trình

bày kinh nghiệm của mình về “Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua

chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6”, để nâng cao chất lượng bồi

dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân sốtheo quy luật cho học sinh khá giỏi khối 6, nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinhgiỏi ở trường THCS.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Đúc kết kinh nghiệm qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi

đưa ra phương pháp nghiên cứu như sau.- Dự thảo nội dung nghiên cứu.- Xây dựng đề cương nghiên cứu.

- Thu thập xử lý thông tin: Đọc và nghiên cứu tài liệu.- Khảo sát thực tế.

- Tìm hiểu thái độ học sinh đối với việc học tập bộ môn.

- Hướng dẫn học sinh chủ động lĩnh hội và sử dụng tri thức toán học thôngqua chuyên đề “ Cộng, trừ phân số theo quy luật”.

- Học hỏi đồng nghiệp có kinh nghiệm.

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra conngười có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao Định hướngnày đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 24 mục II đã nêu ''Phương phápgiáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của họcsinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng

kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tậpcho học sinh"

“Phương pháp giải các bài toán cộng, trừ dãy phân số viết theo quy luật” vớimục đích định ra hướng giải quyết bài toán, phương pháp nhận biết, nhận dạng,phương pháp giải đối với một dãy số nhất định Đặc biệt còn đưa ra cho học sinhphương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật củadãy số nhanh nhất, hợp lí nhất Để bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả cao thìkhông chỉ kiến thức sách giáo khoa, mà học sinh cần được học các chuyên đề nângcao, ở nhiều dạng toán với mỗi loại, nếu chúng ta chỉ dạy mà không đi sâu khaithác phát triển bài toán thì chỉ sau một thời gian ngắn khi gặp lại đa số học sinhquên cách giải, như vậy việc học sẽ không mang lại kết quả cao Tuy nhiên trongquá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi với mỗi chuyên đề mà giáo viên đisâu hướng dẫn học sinh biết khai thác phát triển bài toán sẽ mang lại kết quả cao.Chính vì vậy cần phải khai thác phát triển bài toán đối với từng chuyên đề.

Nội dung đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năngphân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phươngpháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh góp phần nâng cao chấtlượng dạy và học, đào tạo nhân tài cho đất nước.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Là một giáo viên dạy môn Toán ở trường THCS, qua quá trình thực tế dạy toánvà nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy với những năm chưa áp dụng cáchkhai thác phát triển bài toán cho từng chuyên đề, thì kết quả thi học sinh giỏi cấphuyện rất thấp, năm học 2012 – 2013 trong đề thi học sinh giỏi cấp huyện toán 8 cómột bài về phân số theo quy luật thì học sinh trường tôi chưa làm được, kết quả thihọc sinh giỏi còn hạn chế Năm học 2014 – 2015 tôi được phân công dạy môn toán6, bản thân tôi nghỉ rằng mình cần phải đổi mới cách dạy môn toán để nâng cao chấtlượng bồi dưỡng học sinh giỏi, mà nền tảng là các em phải nắm chắc kiến thức từ lớp6 Thực tế đa số học sinh nhìn chung đều chưa khai thác được cách giải bài toáncộng, trừ phân số theo quy luật, nhất là chứng minh những bài toán hay và khó.Nhiều khi học sinh cứ mò mẫm, lúng túng, bế tắc trước các bài toán kể cả học sinhkhá giỏi Thầy giáo thường giải mẫu sẵn các bài toán từ dễ đến khó cho học sinhchứ chưa phân tích dẫn dắt học sinh phát hiện ra quy luật, hướng giải quyết bàitoán, không dẫn dắt các bước đi cần thiết, ngắn gọn, đơn giản mà có kết quả nhanhvà hấp dẫn Đây cũng là một câu hỏi còn bỡ ngỡ

Năm học 2014 – 2015 sau một một bài kiểm tra môn số học 6 (tiết 96 - kiểmtra chương III) trong bài kiểm tra tôi có ra một bài tập khó dành cho 10 học sinh khágiỏi của khối là

Tính tổng: a, 99.11003

b,  3 112

Kết quả bài kiểm tra thu được như sau:

Tổng số học sinh được kiểm tra: 10 học sinh.* Đối với bài a.

+ Có 4 học sinh (chiếm 40,0 %) biết cách trình bày lời giải bài toán

+ Có 3 học sinh (chiếm 30,0%) trình bày lời giải bài toán đó còn lúng túng + Có 3 học sinh (chiếm 30,0%) không định hướng được cách làm

* Đối với bài b.

+ Có 0 học sinh (chiếm 0,0 %) phát hiện và giải quyết bài toán tổng quát từ bàitoán cụ thể và biết cách trình bày lời giải bài toán đó.

+ Có 1 học sinh (chiếm 10,0%) biết tìm ra bài toán tổng quát từ bài toán cụ thểtrình bày lời giải bài toán đó còn lúng túng.

+ Có 2 học sinh (chiếm 20,0%) biết tìm ra bài toán tổng quát từ bài toán cụ thểnhưng không biết cách trình bày lời giải bài toán đó

+ Có 7 học sinh (chiếm 70,0%) không định hướng được cách làm.

Kết quả trên cho thấy kỹ năng phát hiện vấn đề, khai thác tổng quát hóa bài toántrong quá trình giải toán của học sinh còn rất hạn chế Nhưng nếu có kỹ năng tổngquát hóa bài toán sẽ giúp cho học sinh phát huy được tính tích cực, chủ động, sángtạo, năng lực tư duy của mình Đồng thời sau khi chứng minh được bài toán tổngquát, giúp học sinh có cái nhìn sâu rộng hơn, khái quát hơn và có phương pháp giảimột lớp các bài toán cùng dạng Đứng trước thực trạng trên tôi quyết định chọn

nghiên cứu đề tài : “Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề

cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6”, để củng cố thêm cho nghiệp vụ giảng

dạy của mình Cũng qua đề tài này tôi có thể tự học, tự vươn lên góp phần nhỏ bévề sức lực trong sự nghiệp trồng người.

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Khảo sát chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân và biện pháp nâng cao chất lượngdạy và học.

Ôn tập, củng cố các kiến thức cơ bản về thực hiện các phép tính và các kiếnthức bổ trợ.

Từ việc đưa ra những bài toán cụ thể, mang tính đơn lẻ, có tính chất dễ dànglĩnh hội giáo viên đặt học sinh vào tình huống bài toán tổng quát của những bàitoán đơn lẻ đó là gì Từ đó giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện bài toán, trongtrường hợp tổng quát hơn và có nhu cầu chứng minh bài toán tổng quát đó.

Người thầy phải tổ chức tốt các hoạt động dạy học trên lớp tạo cho học sinhhứng thú học tập, say mê nghiên cứu khám phá ra những điều mới lạ về kiến thức,giúp cho học sinh có niềm vui của sự khám phá.

Đề tài này trình bày đòi hỏi phải giải quyết một số vấn đề sau:

1 Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luậtcủa dãy số.

2 Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể.3 Đưa ra bài toán tổng quát.

4 Nêu ứng dụng của phương pháp

Trên cơ sở các bài toán cụ thể ở các dạng toán đó tôi hướng dẫn các em cáchgiải bài toán, từ đó hướng dẫn các em tìm ra bài toán tổng quát và cách giải tổngquát bài toán đó

Ở đề tài này chỉ đề cập đến một chuyên đề dạng cộng, trừ phân số theo quyluật gồm hai phần đó là tính tổng dãy số theo quy luật và ứng dụng tính tổng dãy sốtheo quy luật vào toán tìm x, chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức Đây lànhững bài toán hay và khó trong chương trình lớp 6 Ứng với 10 bài toán điển hìnhtừ đơn giản đến phức tạp làm dẫn chứng cho dạng toán nêu trên.

Với mỗi bài toán tôi đều hướng dẫn tạo ra các tình huống có vấn đề để học sinhsuy nghĩ tự tìm ra cách giải quyết bài toán và từ đó có thể tổng quát hóa bài toán vàkhắc sâu cách giải từ 1 đến 4 bài tập để học sinh tự luyện Thông qua các bài toáncó các bước phân tích lí do: "tại sao lại nghĩ ra quy luật bài toán đó?" Thậm chí cónhững bài toán phải tìm ra quy luật thì mới tìm ra lời giải bài toán Tuy nhiên vớimỗi bài toán có lời giải ngắn gọn và hay là một vấn đề phải đầu tư suy nghĩ.

Tuỳ từng bài toán cụ thể chúng ta có những cách hướng dẫn, gợi cho học sinhnghĩ đến quy luật nào, phải làm gì để tạo ra bài toán có quy luật, để có thể đưa đếnnhững cách giải hay và độc đáo Song công việc sáng tạo này không thể tuỳ tiện.Việc tìm ra quy luật, tạo ra quy luật phải luôn tuân theo các phép biến đổi đã học.Với những bài toán này thì việc phát hiện và giải quyết vấn đề cũng như khai thác,tổng quát bài toán là rất quan trọng và làm thế nào để học sinh tự làm được nhữngviệc này? Đó là những hướng nghiên cứu của đề tài này.

Sau đây tôi sẽ đưa ra một số dạng bài tập để khai thác phát triển bài toán như sau.

I Tính tổng các dãy số viết theo quy luật:

Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3 phânsố đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát Để làm dạngtoán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các mẫu) với nhau,giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết quy luật của phân số rồi dầndần tìm ra cách giải.

Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng.

1 Bài toán 1 : Tính tổng sau:

S = 1001.1014

* Phân tích bài toán: Khi gặp bài toán này chúng ta có thể quy đồng rồi thực

hiện phép tính được không ? Cách giải này vô cùng khó khăn Vậy có cách giải nàokhác chăng ? Chúng ta hãy quan sát tử và mẫu của bài toán Bài toán này là tổngcủa các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; .100.101.

Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp Cách giải bàitoán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tínhcộng thành dãy tính cộng và trừ.

Chẳng hạn: 11.2= 1  21 ; 21.3 .12 31; … ; 1001.101= 1001  1011

Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau Đây chính là chiếc chìa khóavàng để giải bài toán này đấy.

* Cách giải:

S = 1001.1014

= 1001 1011 11 1011 1011004

* Từ bài toán trên GV có thể hướng dẫn HS đưa ra bài toán tổng quát sau: Tính tổng: S = ( 1 1)

= 1 11 11 11 14

*Bài tập áp dụng

Bài 1: Tính tổng 491.5012

Với bài tập 1 thì 100% các em làm được.

Bài 2: Tính tổng ( 5 1)3

Với bài tập 2 này thì có 8 em làm tốt, 2 em còn lúng túng trong cách giải chưaphát hiện ra quy luật Vì vậy tôi đưa ra câu hỏi “làm thế nào để đưa bài toán 2 vềdạng bài toán 1” Lúc này các em đã phát hiện ra cách làm: Đặt thừa số chung là 5.Ngoài ra các em còn phát hiện ra cách làm khác là:

Bài 3: Tính tổng 90120

2 Bài toán 2: Tính tổng: 99.21017

* Phân tích bài toán :

Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tíchcủa 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó làhiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừcó tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.



+ Bài toán tổng quát:

=

*Bài tập áp dụngBµi 1: TÝnh tæng:

A =

1 +

1 +

+ +

1

Với bài 1 có 9 học sinh làm đúng còn 1 học sinh chưa nghĩ ra cách giải, cácem chưa phát hiện ra khoảng cách giữa 2 số ở mẫu là 2 nhưng tử là 1 Vì vậy muốnlàm được thì phải nhân tử và mẫu của mỗi số hạng của A với 2 rồi đặt 21 ra ngoài

Sau khi đã nắm được cách làm bài tập 1 rồi thì việc giải quyết các bài tập 2;3; 4; 5 rất đơn giản, dễ dàng và 100% các em đã làm tốt các bài tập sau.

Bµi 2: B = 156.18 + 186.21 + 216.24 + + 876.90

Bµi 3: C =

32 +

32 +

32 + +

=5 16

Đối với những bài toán chưa cho trước quy luật mẫu số mà cần yêu cầu tư duycao hơn mới tìm ra quy luật thì sao?

3 Bài toán 3: TÝnh tæng

M =

* Phân tích bài toán: Ta nhận thấy mẫu các số hạng trong tổng kia phân tích

thành tích thì không có quy luật nào cả nên không áp dụng được công thức Vậylàm thế nào đưa bài toán này về bài toán có quy luật Nếu nhân cả tử và mẫu củamỗi số hạng trong tổng với 2 (không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễdàng viết viết được các mẫu theo quy luật Đây chính là mấu chốt của bài toán.Nhân cả tử và mẫu của M với 2, khi đó.



=2 

= 2 2.163 8316

* Bài tập áp dụng:

Bài 1 Tính tổng 45710

Với bài tập này có 9 em làm tốt, còn 1 em chưa biết cách biến đổi và tìm raquy luật là đặt 21 ra ngoài (các mẫu đều chia hết cho 2) từ đó tìm ra quy luật dãysố.

Đối với những bài toán phức tạp hơn, việc đưa về bài toán có quy luật lại càngkhó Vậy khi gặp bài toán đó thì giáo viên phải hướng dẫn như thế nào để học sinhcó thể tự tìm ra quy luật bài toán.

4 Bài toán 4: Tính tổng

E = 11.664.22.313132.3155.4

* Phân tích bài toán: Đây là bài toán lạ, hay và khó, học sinh rất khó khăn trong

việc xác định quy luật Làm thế nào để đưa về bài toán có quy luật, đó chính làhướng đi của bài toán Học sinh biết nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổngvới 5 (không làm thay đổi giá trị của phân số ) thì sẽ dễ dàng đưa từ bài toán lạ vềbài toán quen thuộc Vậy là cánh cửa bài toán đã mở ra

Khi đó ta có.

E = 11.664.2 2.313132.3155.4 = 55(11.664.22.313132.3155.4)

= 5(51.66.410103.13132.15155.20) = 

16161515 = 5.203 43

Với những bài toán mà quy luật mẫu số là tích của 3 số liên tiếp ta làm như thếnào?