Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.
1 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x 1 , x 2 ,… x n ) (x i ∈ R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R n . R n = {x = (x 1 , x 2 ,… x n ): x i ∈ R, i = 1, n} Trong đó x i là toạ độ thứ i của điểm x. 2 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x 1 ,x 2 ,… x n ), y = (y 1 ,y 2 ,… y n ) ∈ R n : ∑ = −= n 1i 2 ii )yx()y,x(d Một số tính chất của d: a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0 x i = y i , ∀I x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y) 3 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điểm biên: Điểm x 0 ∈ R n được gọi là điểm biên của D ⊂ R n nếu mọi lân cận của x 0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Lân cận: Cho x 0 ∈R n và số r > 0. Tập S(x 0 , r) = {x ∈ R n : d(x,x 0 ) < r} được gọi là một lân cận của x 0 . Điểm trong: Điểm x 0 ∈R n được gọi là điểm trong của D ⊂ R n nếu D chứa một lân cận của x 0 . Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 4 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D ⊂ R 2 , một ánh xạ f: D → R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: )y,x(fz)y,x(:f = • D: miền xác định • f(D) = {z∈D: z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) 22 yx1z −−= Hàm n biến: D ⊂ R n , một ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: )x, .x,x(fz)x, .x,x(:f n21n21 = 5 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M 0 (x 0 ,y 0 ), có thể không xác định tại M 0 . Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0 (x 0 ,y 0 ), nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0: d(M,M 0 ) < δ => |f(M) – L| < ε 2 0 2 00 )y-(y)x-(x)Md(M, += L)M(flim 0 MM = → L)y,x(flim )y,x()y,x( 00 = → L)y,x(flim 0 0 yy xx = → → 6 C3. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: 22 )0,0()y,x( yx xy lim + → 22 22 )0,0()y,x( yx )yxsin( lim + + → 7 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x 0 ,y 0 ) nếu )y,x(f)y,x(flim 00 )y,x()y,x( 00 = → Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D ⊂ R 2 thì: • Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 8 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ D. Nếu cho y = y 0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y 0 ) có đạo hàm tại x = x 0 , được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M 0 . Ký hiệu: )y,x( x z ),y,x( x f ,)y,x(f 000000 ' x ∂ ∂ ∂ ∂ Đặt ∆ x f = f(x 0 + ∆x, y 0 )-f(x 0 ,y 0 ): Số gia riêng của f tại M 0 . x f limf x 0x ' x ∆ ∆ = →∆ 9 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. y f limf y 0y ' y ∆ ∆ = →∆ Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4234 y2yx5xz +−= y xu = 10 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. )y,x(f x f x f x '' xx 2 2 = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f xy f x f y '' yx 2 = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f yx f y f x '' xy 2 = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f yy f y f y '' yy 2 = ∂∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… . 3y +5 z = ln(x + y -1) 22 yx1z −−= Hàm n biến: D ⊂ R n , một ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: )x, .x,x(fz)x, .x,x(:f n21n21 = 5 C3 riêng đối với hàm n biến số (n≥3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4234 y2yx5xz +−= y xu = 10 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y).