BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ THANH HÀ HÀM GG LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN H[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ THANH HÀ HÀM GG-LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ THANH HÀ HÀM GG-LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS NGUYỄN VĂN THÀNH LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn hướng dẫn Thầy TS Nguyễn Văn Thành Luận văn không chép luận án, luận văn hay tài liệu có trước Các kết sử dụng luận văn tơi trích dẫn rõ ràng, trung thực tuân thủ theo quy định Bình Định, tháng năm 2022 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Văn Thành Học viên Huỳnh Thị Thanh Hà Mục lục Mở đầu 1 Hàm lồi tính chất 1.1 Kiến thức sở hàm lồi 1.2 Bất đẳng thức Jensen số hệ 1.2.1 Bất đẳng thức Jensen 1.2.2 Một số hệ 10 Các tính chất hàm lồi 15 1.3.1 Tính trơn 15 1.3.2 Đạo hàm cấp hai 21 1.3.3 Dưới vi phân 22 1.3 1.4 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard Bất đẳng thức Karamata 24 1.4.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 24 1.4.2 Bất đẳng thức Karamata 25 Hàm GG-lồi tính chất 2.1 29 Định nghĩa hàm GG-lồi mối quan hệ hàm GG-lồi với hàm lồi 29 2.1.1 Định nghĩa hàm GG-lồi 29 2.1.2 Mối quan hệ hàm GG-lồi với hàm lồi 29 2.2 Các tính chất chung hàm GG-lồi 30 2.3 Tính lồi nhân tính hàm đặc biệt 34 2.4 Tính lồi nhân tính liên quan đến dãy số 36 2.5 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard Bất đẳng thức Karamata 42 2.5.1 Các vấn đề liên quan đến Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 42 2.5.2 Bất đẳng thức Karamata Ứng dụng hàm GG-lồi 48 50 3.1 Nhắc lại số hàm GG-lồi 50 3.2 Một số toán áp dụng 52 3.2.1 Một số bất đẳng thức toán phổ thông 52 3.2.2 Một số bất đẳng thức dãy số 55 3.2.3 Một số bất đẳng thức liên quan đến biến thể Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 64 Kết luận Tài liệu tham khảo 67 Mở đầu Trong chương trình giảng dạy học tập mơn tốn phổ thơng, bất đẳng thức chiếm vị trí quan trọng Các tốn bất đẳng thức ln thú vị niềm say mê với người yêu toán Trong năm gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm đến việc mở rộng số bất đẳng thức khác thông qua việc nghiên cứu hàm AG-lồi, hàm GG-lồi hàm GA-lồi Trong đó, hàm GG-lồi mở rộng chủ đề hấp dẫn với nhiều kết phong phú thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Các toán bất đẳng thức phong phú đa dạng, có nhiều phương pháp giải khác nhau, phương pháp ứng dụng hàm GG-lồi vào chứng minh lớp bất đẳng thức coi phương pháp hay độc đáo; lạ giáo viên học sinh phổ thông Việc nghiên cứu phương pháp giải toán liên quan đến ứng dụng hàm GG-lồi vấn đề thời có nhiều nghiên cứu lĩnh vực Trong thời gian gần đây, trang web ScienceDirect xuất nhiều báo khoa học liên quan đến hàm GG-lồi Chẳng hạn báo mang tên"Multiplicative convexity and its applications" Kaizhong Guan viết vào năm 2010 đăng tạp chí Journal of Mathematical Analysis and Applcations đưa nhiều kết mở rộng liên quan đến hàm GG-lồi Bài báo năm 2019 S.S.Dragomir viết nội dung "Inequalities of Hermite-Hadamard Type for GG-Convex Functions" dựa báo "Convexity according to the goemetric mean" năm 2000 C.P.Niculescu, S.S.Dragomir giới thiệu nhiều hàm GG-lồi, từ rút số kết liên quan đến bất đẳng thức hàm GG-lồi Xuất phát từ ý tưởng đam mê thân giúp đỡ tận tình Thầy TS Nguyễn Văn Thành, tơi thấy cần tìm hiểu thêm muốn tiếp cận Đó lí mà chúng tơi chọn đề tài:"Hàm GG-lồi ứng dụng toán sơ cấp" Luận văn đề cập đến hàm GG-lồi tính chất Sau đó, chúng tơi tìm hiểu trình bày số ứng dụng hàm GG-lồi vào việc chứng minh bất đẳng thức Nội dung luận văn trình bày cách chặt chẽ mặt toán học, chia thành ba chương Chương Hàm lồi tính chất Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm hàm lồi ví dụ; Bất đẳng thức Jensen số hệ quả; số tính chất hàm lồi; Bất đẳng thức Hermite-Hadamard Bất đẳng thức Karamata Chương Hàm GG-lồi tính chất Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm hàm GG-lồi; mối liên quan hàm GG-lồi hàm lồi; tính chất liên quan đến hàm GG-lồi; tính lồi nhân tính hàm đặc biệt; tính lồi nhân tính liên quan đến dãy số; biến thể Bất đẳng thức Hermite-Hadamard Bất đẳng thức Karamata cho hàm GG-lồi Chương Ứng dụng hàm GG-lồi Trong chương này, chúng tơi trình bày tốn chứng minh Bất đẳng thức dựa vào sử dụng kết liên quan đến hàm GG-lồi Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn Thầy TS Nguyễn Văn Thành Nhân tơi xin bày tỏ kính trọng lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy TS Nguyễn Văn Thành tận tình hướng dẫn tơi thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tơi xin phép gởi lời biết ơn tất Thầy Cơ giảng dạy lớp Phương pháp tốn sơ cấp, trường Đại học Quy Nhơn toàn thể q Thầy Cơ Khoa tốn Thống kê cho kiến thức quan tâm suốt hai năm học Thạc sĩ Cuối xin phép gởi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù chúng tơi cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn trách khỏi thiếu sót Rất mong q Thầy Cơ bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Bịnh Định, tháng năm 2022 Học viên Huỳnh Thị Thanh Hà Chương Hàm lồi tính chất Phép chứng minh định lí chương tham khảo [9] [10] Ở đây, xét hàm lồi biến I khoảng cho trước R 1.1 Kiến thức sở hàm lồi Định nghĩa 1.1 ([9]) Hàm f : I Ñ R gọi hàm lồi @x, y P I, @λ P r0, 1s ta có f pp1 ´ λqx ` λy q ď p1 ´ λqf pxq ` λf py q (1.1) Ta gọi f hàm lồi ngặt (1.1) bất đẳng thức thực x ‰ y, @λ P p0, 1q Hàm f gọi hàm lõm (lõm ngặt) ´f hàm lồi (lồi ngặt) Hàm f gọi hàm affine f vừa hàm lồi vừa hàm lõm Ví dụ 1.2 Các hàm sau hàm lồi: hàm phần dương f pxq “ x` “ max tx, 0u; hàm phần âm f pxq “ x´ “ max t´x, 0u; hàm trị tuyệt đối f pxq “ |x| “ max t´x, xu Hàm f pxq “ x2 hàm lồi ngặt R Hàm f pxq “ ? x hàm lõm ngặt R` Nhận xét 1.3 ([9]) Xét ý nghĩa hình học: từ (1.1) ta có f pxq ď f puq ` f pv q ´ f puq px ´ uq v´u với x P ru, v s , @u, v P I, u ă v Điều thể đồ thị hàm lồi f nằm đoạn thẳng nối hai điểm pu, f puqq pv, f pv qq ru, v s Hình 1.1.1 Nhận xét 1.4 ([9]) Mọi hàm lồi f xác định ru, v s bị chặn ru, v s, tức f pxq ď max tf puq, f pv qu, @x P ru, v s Định lí 1.1 ([9]) Giả sử f : I Ñ R hàm lồi Khi đó, f liên tục điểm thuộc phần I Chứng minh Giả sử @a P intI, @ ą cho ´ , a ` s Ă I Khi đó, với t P r0, 1s ta có a ˘ t “ p1 ´ tqa ` tpa ˘ q, theo định nghĩa hàm lồi f ta f pa ˘ tq ď p1 ´ tqf paq ` tf pa ˘ q Suy tpf pa ˘ q ´ f paqq ě f pa ˘ tq ´ f paq Hơn nữa, @t P r0, 1s ta có a “ t`1 pa ˘ tq ` t t`1 pa ¯ q Theo định nghĩa hàm lồi f ta f paq ď t`1 f pa ˘ tq ` t t`1 (1.2) f pa ¯ q ... chúng tơi chọn đề tài: "Hàm GG- lồi ứng dụng toán sơ cấp" Luận văn đề cập đến hàm GG- lồi tính chất Sau đó, chúng tơi tìm hiểu trình bày số ứng dụng hàm GG- lồi vào việc chứng minh bất đẳng thức... đẳng thức Karamata cho hàm GG- lồi Chương Ứng dụng hàm GG- lồi Trong chương này, chúng tơi trình bày toán chứng minh Bất đẳng thức dựa vào sử dụng kết liên quan đến hàm GG- lồi Luận văn thực hoàn...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HUỲNH THỊ THANH HÀ HÀM GG- LỒI VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐN SƠ CẤP Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI