BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐÀO NGUYÊN THẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành Phương pháp toán sơ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN ĐÀO NGUYÊN THẢO LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Bình Định - 2022 Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Cực trị hàm số 1.1 Cực trị hàm biến 1.2 Cực trị hàm nhiều biến 1.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm nhiều biến 11 Chương Một số phương pháp tìm cực trị hàm nhiều biến 2.1 2.2 2.3 23 Phương pháp nhân tử Lagrange 23 2.1.1 Phương pháp nhân tử Lagrange với điều kiện 25 2.1.2 Phương pháp nhân tử Lagrange với hai điều kiện 29 2.1.3 Một số toán cực trị giải phương pháp nhân tử Lagrange 31 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển 34 2.2.1 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức AM-GM 34 2.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 42 Phương pháp đạo hàm 44 2.3.1 Sử dụng phương pháp đạo hàm cho toán cực trị hai biến số 44 2.3.2 Sử dụng phương pháp đạo hàm cho toán cực trị ba biến số 52 2.3.3 Một số toán cực trị giải phương pháp đạo hàm 57 Chương Một số toán thi học sinh giỏi Olympic Toán học 63 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 Mở đầu Các tốn tìm cực trị hàm số vấn đề quan trọng tốn cao cấp lẫn tốn sơ cấp Chúng có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học nhiều ngành khoa học khác Vật lý, Kỹ thuật, Kinh tế, Y học, Ở Tốn phổ thơng, dễ bắt gặp tốn kì thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng mơn Tốn học, kì thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế, kì thi Olympic tốn học Để giải tốn này, có nhiều phương pháp khác Trong đề tài này, tơi tìm hiểu, tổng hợp hệ thống lại cách đầy đủ, rõ ràng số phương pháp tìm cực trị hàm số nhiều biến số Bên cạnh đó, luận văn tập trung tìm hiểu ứng dụng phương pháp tìm cực trị hàm số nhiều biến số vào giải số dạng toán sơ cấp THPT, đề thi tuyển sinh đại học, đề thi học sinh giỏi Olympic Tốn học cấp Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn “Một số phương pháp tìm cực trị hàm nhiều biến ứng dụng tốn sơ cấp” gồm có chương Chương 1: Cực trị hàm số Chương giới thiệu số định nghĩa định lý cực trị hàm số biến số, cực trị hàm số nhiều biến số, điểm tới hạn, điểm yên ngựa, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số nhiều biến số Chương 2: Một số phương pháp tìm cực trị hàm số nhiều biến số Chương tập trung trình bày cách hệ thống, chi tiết phương pháp tìm cực trị hàm số nhiều biến số 2.1 Phương pháp nhân tử Lagrange 2.2 Phương pháp bất đẳng thức 2.3 Phương pháp đạo hàm Chương 3: Một số toán thi học sinh giỏi, thi Đại học Olympic Tốn học Chương tập trung trình bày ứng dụng phương pháp tìm cực trị hàm số nhiều biến số vào giải số dạng toán THPT, đề thi tuyển sinh đại học, đề thi học sinh giỏi Olympic Toán học cấp Chương Cực trị hàm số 1.1 Cực trị hàm biến Cho I “ pa, bq khoảng, a ´8 b `8 Định nghĩa 1.1 (Cực trị địa phương) Cho hàm số y “ f pxq liên tục I Xét điểm x0 P I Ta nói hàm số f pxq đạt cực đại x0 tồn lân cận Vε px0 q điểm x0 cho f pxq ă f px0 q @x P Vε px0 qztx0 u đạt cực tiểu x0 tồn lân cận Vε px0 q điểm x0 cho f pxq ą f px0 q @x P Vε px0 qztx0 u Nếu hàm số f pxq đạt cực đại (cực tiểu) x0 ta nói x0 điểm cực đại (điểm cực tiểu) hàm số f pxq, f px0 q gọi giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hàm số f pxq, điểm M px0 ; f px0 qq gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) đồ thị hàm số y “ f pxq Các điểm cực đại cực tiểu hàm số f pxq gọi chung điểm cực trị hàm số f pxq Định lý 1.1 (Định lí Fermat) Nếu hàm số f đạt cực trị điểm x0 có đạo hàm điểm x0 f px0 q “ Định lý 1.2 (Điều kiện đủ loại I) Giả sử hàm số f pxq liên tục khoảng K “ px0 ´ h; x0 ` hq, với h ą 0, có đạo hàm K K z tx0 u Nếu f pxq ą px0 ´ hq f pxq ă px0 ` hq x0 điểm cực đại hàm số f pxq; Nếu f pxq ă px0 ´ hq f pxq ą px0 ` hq x0 điểm cực tiểu hàm số f pxq Áp dụng Định lí 1.2, ta có quy tắc tìm cực trị hàm số f pxq sau Quy tắc I (dùng điều kiện đủ loại I) Tìm tập xác định Tính f pxq Tìm điểm f pxq f pxq không xác định Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy điểm cực trị Định lý 1.3 (Điều kiện đủ loại II) Giả sử hàm số f pxq có đạo hàm cấp hai khoảng px0 ´ h; x0 ` hq, với h ą Khi Nếu f px0 q “ f px0 q ą x0 điểm cực tiểu hàm số f pxq; Nếu f px0 q “ f px0 q ă x0 điểm cực đại hàm số f pxq Áp dụng Định lí 1.3 , ta có quy tắc sau để tìm điểm cực trị hàm số Quy tắc II: Tìm tập xác định Tính f pxq Giải phương trình f pxq “ kí hiệu xi pi “ 1, 2, , N q nghiệm Tính f pxq f pxi q Dựa vào dấu f pxi q suy tính chất cực trị điểm xi Định nghĩa 1.2 (Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) Cho hàm số f pxq xác định tập D Ă R Hàm số f pxq gọi đạt giá trị lớn D tồn x0 P D cho f pxq ď f px0 q @x P D đạt giá trị nhỏ D tồn x1 P D cho f pxq ě f px1 q @x P D Khi ta ký hiệu M “ f px0 q “ max f pxq, D m “ f px1 q “ f pxq D Định lý 1.4 (Weierstrass) Nếu hàm số f pxq liên tục đoạn ra; bs f pxq đạt giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số liên tục đoạn: Tìm điểm x1 , x2 , , xn khoảng pa; bq, f pxq f pxq khơng xác định Tính f paq, f px1 q , f px2 q , , f pxn q , f pbq Tìm số lớn M số nhỏ m số Ta có M “ max f pxq, m “ f pxq ra;bs ra,bs Chú ý 1.1 Hàm số liên tục khoảng khơng có giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng Chẳng hạn, hàm số f pxq “ khơng có giá trị lớn x nhất, giá trị nhỏ khoảng p0; 1q 1.2 Cực trị hàm nhiều biến Đạo hàm thường dùng để xác định cực trị hàm số Trong phần này, ta tìm hiểu cách sử dụng đạo hàm riêng xác định cực trị hàm hai biến Nhìn vào đồ thị Hình 1, ta thấy hàm f có cực đại địa phương hai điểm Giá trị lớn hai cực đại gọi giá trị lớn Tương tự, f có cực tiểu địa phương hai điểm Giá trị nhỏ hai cực tiểu gọi giá trị nhỏ Định nghĩa 1.3 (Cực trị địa phương) Cho hàm z “ f px, y q liên tục tập D Ă R2 Xét điểm M0 px0 ; y0 q P D Ta nói hàm số f px, y q đạt cực đại M0 tồn lân cận Vε pM0 q điểm M0 cho f pM q ă f pM0 q @M px; y q P Vε pM0 qztM0 u đạt cực tiểu M0 tồn lân cận Vε pM0 q điểm M0 cho f pM q ą f pM0 q @M px; y q P Vε pM0 qztM0 u Điểm cực đại, điểm cực tiểu ta gọi chung điểm cực trị; giá trị cực đại, giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Định lý 1.5 ([2], Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị) Nếu hàm số z “ f px, y q có đạo hàm riêng cấp điểm M0 px0 ; y0 q đạt cực trị tại điểm fx1 pM0 q “ fy1 pM0 q “ Chứng minh Cho g pxq “ f px, y0 q Nếu hàm f có cực trị M0 px0 ; y0 q g có cực trị x0 , suy g px0 q “ (theo định lý Fermat) Mà g px0 q “ fx1 pM0 q, nên fx1 pM0 q “ Tương tự, áp dụng định lí Fermat cho hàm Gpy q “ f px0 , y q, ta có fy1 pM0 q “ Định nghĩa 1.4 ([1]) Điểm M0 px0 ; y0 q gọi điểm tới hạn (hoặc điểm dừng) hàm số f fx1 pM0 q “ fy1 pM0 q “ không tồn hai đạo hàm riêng fx1 pM0 q, fy1 pM0 q Định lí 1.5 nói f có cực trị M0 px0 ; y0 q M0 px0 ; y0 q điểm tới hạn hàm f Tuy nhiên, điểm tới hạn cực trị Tại điểm tới hạn, hàm số có cực đại cực tiểu khơng có hai Ví dụ 1.1 ([2]) Cho hàm số f px, y q “ x2 ` y ´ 2x ´ 6y ` 14 Giải hệ phương trình fx1 px, y q “ fy1 px, y q “ 0, ta tìm điểm tới hạn hàm số f M0 p1; 3q Ta có f px, y q “ ` px ´ 1q2 ` py ´ 3q2 ě “ f pM0 q @px, y q P R2 Do M0 p1; 3q điểm cực tiểu hàm số f Hơn f px, y q “ f pM0 q “ R Hình 1.1: Đồ thị hàm số z “ f px, y q “ x2 ` y ´ 2x ´ 6y ` 14 Ví dụ 1.2 ([2]) Tìm cực trị hàm số f px, y q “ y ´ x2 Lời giải Ta có p0, 0q điểm tới hạn hàm số f Ta có • f px, 0q “ ´x2 ă “ f p0, 0q • f p0, y q “ @x ‰ 0; y ą “ f p0, 0q @y ‰ Do điểm p0; 0q điểm cực trị hàm số f Hình 1.2: Đồ thị hàm số z “ f px, y q “ y ´ x2 ... văn ? ?Một số phương pháp tìm cực trị hàm nhiều biến ứng dụng tốn sơ cấp? ?? gồm có chương Chương 1: Cực trị hàm số Chương giới thiệu số định nghĩa định lý cực trị hàm số biến số, cực trị hàm số nhiều. .. ứng dụng phương pháp tìm cực trị hàm số nhiều biến số vào giải số dạng toán THPT, đề thi tuyển sinh đại học, đề thi học sinh giỏi Olympic Toán học cấp Chương Cực trị hàm số 1.1 Cực trị hàm biến. .. Chương Cực trị hàm số 1.1 Cực trị hàm biến 1.2 Cực trị hàm nhiều biến 1.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm nhiều biến 11 Chương Một số phương pháp tìm