HÀM LỒI (a, E1, E2) - LỒI TRÊN TẬP (a, E1, E2)- LỒI

Header Page of 16 MỤC LỤC Trang Mục lục…………………………………………………………… Lời nói đầu………………………………………………………… Chương I Tập  , E1, E2  -lồi…………………………………… 1.1 Tập  , E1, E2  -lồi……………………………………………… 1.2 Các ví dụ 1.3 Các tính chất tập  , E1, E2  -lồi…………………………… 12 Chương II Hàm  , E1, E3  -lồi………………………………… 30 2.1 Hàm  , E1, E3  -lồi…………………………………………… 30 2.1.1 Định nghĩa hàm  , E1, E3  -lồi……………………………… 30 2.1.2 Các ví dụ……………………………………………………… 33 2.1.3 Các tính chất hình học-đại số hàm  , E1, E2  -lồi……… 36 2.2 Hàm  , E1, E3  -tựa lồi……………………………………… 49 Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi…………………………………… 58 3.1 Bài toán tối ưu mục tiêu với hàm E -lồi…………………… 58 3.2 Một số kết cho toán  PE  ………………… .… 59 3.3 Một số kết cho toán  PE  ………………… .… 63 Kết luận…………………………………………………………… 69 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 70 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 LỜI NÓI ĐẦU Sau lý thuyết qui hoạch tuyến tính hoàn thiện vào năm 50 kỉ trước, với nội dung thuật toán đơn hình G B Dantzig, giải tích lồi xây dựng đóng vai trò quan trọng giải toán tối ưu lồi nói riêng tối ưu phi tuyến nói chung Mặc dù nay, nhiều nghiên cứu giải tích lồi tiến hành, nói giải tích lồi trở thành lí thuyết hoàn chỉnh vào năm 70 kỉ trước với sách kinh điển Convex Analysis R T Rockafellar (1970) Nonlinear Programming O L Mangasarian (1967), Mặc dù công cụ mạnh để giải toán tối ưu phi tuyến, nhiều toán thực tế mô tả hàm lồi tập lồi Vì vậy, giải tích lồi, nhà toán học cố gắng mở rộng khái niệm hàm lồi Bằng cách giữ lại tính chất hàm lồi làm định nghĩa tính chất bản, lớp hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm lồi bất biến,…) nghiên cứu sâu mặt toán học áp dụng hiệu toán thực tế Một suy rộng hàm lồi số nhà nghiên cứu quan tâm khoảng mười năm trở lại lớp hàm E -lồi Ebrahim A Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]) Khái niệm hàm E -lồi mở rộng tự nhiên lớp hàm lồi Trong luận văn bước đầu nghiên cứu lớp hàm lớp hàm  , E1, E3  -lồi tập  , E1, E2  -lồi Khái niệm  , E1, E2  -lồi cho phép thống số khái niệm giải tích E -lồi (tập E -lồi, tập E -lồi mạnh, hàm E -lồi, hàm E -lồi mạnh, hàm semi hàm E -lồi,…) Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương Tài liệu tham khảo Chương 1: Tập  , E1, E2  -lồi Chương 2: Hàm  , E1, E3  -lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi Mặc dù nghiên cứu luận văn dạng phác thảo, theo cảm nhận chúng tôi, số kết luận văn cho phép nhìn lại số nghiên cứu lớp hàm E -lồi, khái niệm  , E1, E2  -lồi có lẽ đáng quan tâm Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng, em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy Em xin cảm ơn thầy cô Đại học Thái Nguyên Viện Toán học tận tình giảng dạy em suốt trình học cao học Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyên trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho thực kế hoạch học tập Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè cổ vũ động viên suốt trình làm luận văn Thái Nguyên, ngày 19.8.2010 Ngô Thị Thu Trang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chương I TẬP  , E1 , E2  – LỒI 1.1 Tập  , E1, E2  -lồi Ta biết, tập M   n gọi lồi  x  (1   ) y  M với x, y  M  0,1 Nhằm mở rộng khái niệm tập lồi hàm lồi với mục đích áp dụng giải toán tối ưu, Youness lần (1999, [14]) đưa khái niệm tập E -lồi Ta có Định nghĩa 1.1 Cho tập M   n ánh xạ E :  n  n Tập M gọi E -lồi tập E -lồi M (tương ứng với ánh xạ E ) với x, y  M  0,1 ta có  E ( x)  (1   ) E ( y )  M (1.1) Rõ ràng, tập lồi tập E -lồi với E  I ánh xạ đồng ( I ( x )  x với x  n ) Do đó, khái niệm E -lồi mở rộng khái niệm tập lồi Ta có Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2) Nếu M tập E -lồi E ( M )  M Ta có số nhận xét sau Nhận xét 1.1 Tập M lồi (theo nghĩa thông thường) không lồi tương ứng với ánh xạ E Nói cách khác, ánh xạ E làm biến dạng tập M (làm tính chất đẹp tập E ) Ví dụ 1.1 Tập M hình vuông ABCD cho bởi: M   x   x1 , x2  : 1  x1  1; 1  x2  1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Ánh xạ E :  n  n   cho công thức E  x   E  x1 , x2    x1 , x2    Khi E  M  hợp hai tam giác AOB COD nên không tập lồi (Hình 1.1) Tuy nhiên, M tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm với x, y  M  0,1 Do M tập E -lồi Hình 1.1 Nhận xét 1.2 Tập M ánh xạ E đẹp, (1.1) không thỏa mãn Nói cách khác, M E -lồi Ví dụ 1.2 Tập M hình tròn đơn vị B (0,1) tâm gốc M   x   x1 , x2  : x12  x22  1 Ánh xạ E :  n  n cho công thức E  x   E  x1, x2    x1,2 x2  Khi E  M  hình tròn B (0, 2) tâm gốc bán kính (Hình 1.2) Do E  M   M nên M E -lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Hình 1.2 E A Youness Tarek Emam đưa khái niệm tập E -lồi mạnh sau Định nghĩa 1.2 (Youness-Emam, 2005, [17]) Tập M   n gọi E -lồi mạnh (tương ứng với ánh xạ E :  n  n ) với x, y  M ,  0;1  0,1 ta có   x  E( x)   (1   )  y  E( y)   M (1.2) Nhằm thống cách hợp lí khái niệm E -lồi E -lồi mạnh (tương ứng, khái niệm hàm E -lồi hàm E -lồi mạnh Chương 2), đưa khái niệm tập  , E1, E2  -lồi sau Định nghĩa 1.3 ([9]) Cho trước tập M   n , hai ánh xạ E1,2 :  n  n số    Tập M gọi  , E1, E2  -lồi với x, y  M  0,1 ta có   x  E1 ( x)   (1   )  y  E1 ( y)   E2  M  (1.3) Nếu bất đẳng thức (1.3) với  0;1 ta nói M tập  E1, E2  lồi mạnh Nếu bất đẳng thức (1.3) với   ta nói M tập  E1, E2  -lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Nhận xét 1.3 Nếu E1  E2  I   (1.3) có dạng  x  (1   ) y  M với x, y  M  0,1 Vậy tập M lồi theo nghĩa thông thường  0, I , I  -lồi Nói cách khác, khái niệm tập  , E1, E2  -lồi mở rộng khái niệm tập lồi thông thường Nhận xét 1.4 Nếu E2  I , E1  E với E :  n  n ánh xạ   (1.3) có dạng  E ( x)  (1   ) E ( y )  M với x, y  M  0,1 Khi M tập  0, E, I  -lồi tập E -lồi theo Định nghĩa 1.1 Như vậy, khái niệm tập  , E1, E2  -lồi mở rộng khái niệm E -lồi Youness [14] Nhận xét 1.5 Mọi tập  0, E10 , E20  -lồi với E10  x   E20  x   x0 với x  M , x0 điểm M Nhận xét 1.6 Youness [14] định nghĩa tập E -lồi sau Định nghĩa 1.4 (Definition 2.1, [14]) A set M   n is said to be E -convex iff there is a map E :  n  n such that 1    E( x)   E ( y)  M , for each x, y  M and    Theo Nhận xét 1.5, rõ ràng luôn tồn ánh xạ E :  n  n ( E  x   x0 với x  M , x0 điểm M ), để ta có 1    E( x)   E( y)  M với x, y  M    Do đó, theo Nhận xét 1.5 tập M E -lồi (với E  E ) theo Định nghĩa 1.4 Vì vậy, Định nghĩa Youness [14] cần sửa lại Định nghĩa 1.1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Nhận xét 1.7 Nếu tập M  n  E1, E2  -lồi mạnh (  , E1, E2  -lồi với    ), với E1  E E2  I M E -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2 Như vậy, tập  E1, E2  -lồi mạnh M tập E -lồi mạnh (theo Định nghĩa 1.2) E2  I 1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.3 Cho M   x1; x2   2 :1  x1  4;1  x2  4 hình vuông  E1,2 :    xác định theo công thức E1  x    0, x2  ; Cho E2  x    x1  2, x2  với (vuông góc) từ  x   x1 , x2   ; nghĩa E1 phép chiếu xuống trục tung, E2 ánh xạ tuyến tính giữ nguyên tọa độ x2 , tọa độ x1 chuyển dịch sang trái đơn vị ( E2  x    z1, z2  với z1  x1  2; z2  x2 ) Ta có E1  M    x1; x2    2: x1  0;1  x2  4 E2  M    x1; x2    2: 1  x1  2;1  x2  4 Vậy E1  M  E2  M  tập lồi theo nghĩa thông thường E1  M   E2  M  hay  E1 ( x)  (1   ) E1 ( y)  E2  M  với x, y  M  0,1 Vậy M tập  0, E1, E2  -lồi Tuy nhiên, M tập 1, E1, E2  -lồi Thật vậy, ta chọn x   4,1  M y   4,4   M Khi E1  x    0,1 ; E1  y    0,4 Chọn  (và   chọn) ta   x  E1  x    1     y  E1  y     4,5   E2  M  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 16 Chứng tỏ M tập 1, E1, E2  -lồi Chọn     , x   4,1  M y   4,4   M ta   5   x  E1  x    1     y  E1  y     0,   M  Chứng tỏ M tập  0, E1, I  -lồi, tức M tập E1 -lồi (khái niệm  0, E1, I  -lồi trùng với khái niệm E1 -lồi) Do M tập E1 -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2 Ví dụ 1.4 Cho   M   x, y     x, y   1  0,0   2  2,1  3  0,3 ; 1, 2 , 3  0,  i  1 i 1       x, y     x, y   1  0,0   2  0, 3  3  2, 1 , 1, 2 , 3  0;  i  1 i 1   Khi tập M hợp hai miền tam giác AOB COD M tập lồi (Hình 1.3),  0, E1, I  -lồi (hay M E1 -lồi) Cho E1 :    , E1  x    0, x2  với x   x1, x2  hay E1 phép chiếu (vuông góc) từ  xuống trục tung, E2  I với I  x   x x   Thật vậy, ta có E1  M    x, y    , x  0, 3  y  3  M tập lồi Với x, y  M ta có E1  x   E1  M  E1  y   E1  M  Chứng tỏ với  0,1   x  E1 ( x)   (1   )  y  E1 ( y)   E1(M )  M hay M tập  0, E1, I  -lồi (hay E1 -lồi) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page of 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 16 Hình 1.3 Ví dụ 1.5 x2  x1 x1  x2  ;  ; E2  x1, x2    x1  2, x2  3   Cho E1,2 :    ; E1  x1 , x2    Nhận xét E1,2 ánh xạ tuyến tính Tập M cho Ví dụ 1.4 Khi ta có E2  M  hợp hai miền tam giác ABC ADE (Hình 1.4) Hình 1.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 10 of 16 10 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 55 of 16 Với  0;1 x, y  M ta có   f   E1  x   1    E1  y   : sup fi   E1  x   1    E1  y   iI    supmax fi  E3  x   ; fi  E3  y   iI      max sup fi  E3  x   ;sup fi  E3  y    max f  E3  x   ; f  E3  y   iI iI Vậy f : M    E1, E3  -tựa lồi Khi   , E1  E3  E E2  I ta có Hệ 2.10 (Theorem 3.7, [11]) Giả sử fi : M   hàm E -tựa lồi bị chặn tập E -lồi M sup  f i ( x) tồn với x  M , I tập số Khi hàm iI f ( x) : sup  f i ( x) với x  M hàm E -tựa lồi tập E -lồi M iI Kết luận chương Một số nghiên cứu ban đầu cho thấy, khái niệm hàm  , E1, E3  -lồi cho phép thống số lớp hàm E -lồi E -lồi suy rộng Hy vọng số kết khác [18] hàm quasi semi E -lồi mạnh, mở rộng cho lớp hàm  , E1, E3  -lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 55 of 16 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 56 of 16 Chương 3: TỐI ƯU HÀM E -LỒI Giải tích lồi (tập lồi hàm lồi) công cụ quan trọng để giải toán tối ưu, đặc biệt lớp toán tối ưu với hàm mục tiêu hàm tham gia tập hạn chế hàm lồi Giải tích E -lồi giải tích  , E1, E2  lồi sử dụng để nghiên cứu lớp toán tối ưu rộng hơn, lớp toán tối ưu với hàm mục tiêu ràng buộc E -lồi  , E1, E3  -lồi Chương trình bày số kết tối ưu hàm E -lồi 3.1 Phát biểu toán tối ưu mục tiêu với hàm E -lồi Bài toán quy hoạch toán học ( P) thường phát biểu sau : f ( x)  Bài toán ( P) : tập hạn chế   M : x  n : gi ( x)  0; i  1, m , f , g : n   hàm Để giải toán (chứng minh tồn tại, nghiệm; tìm (chính xác gần đúng) tất nghiệm; nghiên cứu tính chất nghiệm tính ổn định, tính liên thông,… tập nghiệm;…), ta cần có thông tin hàm f g Nếu hàm f g hàm lồi (lồi suy rộng) toán qui hoạch lồi nghiên cứu kĩ lưỡng (xem, thí dụ, [1], [8], [10], ) Trong chương cố gắng mở rộng kết tối ưu lồi (Bài toán ( P) với hàm f g lồi lồi suy rộng) cho lớp toán tối ưu E -lồi Để làm điều ta xét toán tối ưu  PE  liên quan với toán ( P) sau Ta giả thiết E :  n   n có tính chất E   n  tập lồi  n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 56 of 16 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 16 Bài toán  PE  : Cực tiểu hàm f ( x ) tập hạn chế   x  x  E  n  : g j ( x )  b j , j  1, , m , x  n ; f :  n   ; gi :  n   ; i  1, m hàm E -tựa lồi bi  , i  1, m 3.2 Một số kết cho toán  PE  Kí hiệu tập chấp nhận toán  PE    X   X i   x  E  n  : gi ( x )  bi m m i 1 i 1 Mệnh đề 3.1 [11] m m i 1 i 1    Tập X   X i   x  E n : gi ( x )  bi  tập lồi nằm E   n  Chứng minh    Với i  1, m cố định, ta dễ dàng kiểm tra X i : x  E  n  : gi ( x )  bi  tập lồi Thật vậy, giả sử x1, x2  X i , tức x1 , x2  E  n  gi  x1   bi , gi  x2   bi Do x1 , x2  E  n  nên tồn x1, x2  n cho E  x1   x1 E  x2   x2 Ta phải chứng minh x :  x1  1    x2  X i (là điểm chấp nhận được), hay x :  x1  1    x2   E  x1   1    E  x2   E  n  (3.1) gi   x1  1    x2   bi (3.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 57 of 16 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 16 Bao hàm thức (3.2) thỏa mãn giả thiết E   n  tập lồi Do g i hàm E -tựa lồi nên gi   x1  1    x2   gi   E  x1   1    E  x2      max gi  E  x1   ; gi  E  x2    max  gi  x1  ; gi  x2   bi Vậy bất đẳng thức (3.2) thỏa mãn Chứng tỏ x   x1  1    x2  X i với  0,1 hay X i tập lồi Vì X i tập lồi với i 1, , m mà giao họ tập lồi tập   lồi nên X   X i   x  E  n  : gi ( x )  bi tập lồi E   n  m m i 1 i 1 Nhận xét 3.1 Cũng chứng minh Mệnh đề 3.1 nhờ Hệ 2.9’ Chương II sau Xét hàm g i : E ( n )   hạn chế gi :  n   tập lồi E   n  , tức g i ( x )  gi ( x ) với x  E  n    Tập Lbi  g i  : x  E  n  : g i ( x )  gi ( x )  bi tập bi -mức hàm g i (cũng tập hạn chế X i ) Theo giả thiết, E   n  tập lồi với i  1, m hàm gi :  n   E - tựa lồi nên Lbi  g i  (hay X i ) tập lồi (Hệ 2.4’ Chương II) Vì giao tập lồi tập lồi nên X tập lồi Mệnh đề 3.2 [11] Cho f g i hàm E -tựa lồi  n Khi tập nghiệm S E toán  PE  lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 58 of 16 60 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 16 Chứng minh Giả sử x1, x2  S E hai nghiệm toán  PE  Do x1, x2 hai nghiệm toán  PE  nên phải thỏa mãn hạn chế (là điểm chấp nhận toán  PE  ), tức x1, x2  X , mà X lồi (theo Mệnh đề 3.1) nên x :  x1  1    x2  X với  0,1 Hơn nữa, f  x1   f  x2   f  x   xX Ta phải chứng minh với  0,1 x   x1  1    x2  SE Kí hiệu f hạn chế f tập lồi X Vì điểm x1, x2  X x :  x1  1    x2  X nên ta có f  x1   f  x1  , f  x2   f  x2  , f  x   f  x  Do f  x1   f  x2   f  x1   f  x2   f  x   xX Vì f hàm E -tựa lồi, mà X tập lồi E   n  nên theo Mệnh đề 2.10’ Chương II ta có hàm f tựa lồi X Do ta có   min f  x   f   x1  1    x2   max f  x1  ; f  x2  xX hay f  x   f   x1  1    x2   max  f  x1  ; f  x2   f  x    xX xX Chứng tỏ f   x1  1    x2   f  x  hay  x1  1    x2  SE Do S E  xX tập lồi Định nghĩa 3.1 Điểm x* cực tiểu địa phương toán  PE  tồn số   cho f  x*   f  x  với x  X  B  x* ,   , B  x* ,   hình cầu tâm x* bán kính  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 59 of 16 61 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 16 Ta biết  : n   hàm lồi liên tục tập lồi X  n Khi cực tiểu địa phương  cực tiểu toàn cục  X Ta có Mệnh đề 3.3 (Syau- Lee, 2005, [11]) Giả sử 1) Hàm f :  n   hàm liên tục E - lồi  n 2) Điểm x* cực tiểu địa phương toán  PE  Khi x* cực tiểu toàn cục toán  PE  Chứng minh Vì f hàm E -lồi  n nên theo Mệnh đề 2.12’ ta có f hàm lồi X Theo giả thiết 2), điểm x* cực tiểu địa phương toán  PE  , tức x* cực tiểu địa phương hàm lồi f tập lồi X Do f hàm liên tục  n nên x* cực tiểu toàn cục f X , mà f  x   f  x  với x  X nên x* cực tiểu toàn cục hàm f X , hay x* cực tiểu toàn cục toán  PE  Mệnh đề 3.4 (Syau- Lee, 2005, [11]) Giả sử f :  n   hàm E -tựa lồi chặt  n Khi 1) Nếu x* cực tiểu địa phương toán  PE  x* cực tiểu toàn cục toán  PE  2) Hàm f đạt cực tiểu X không điểm Chứng minh Vì f hàm E -tựa lồi chặt  n nên theo Mệnh đề 2.10’ ta có f hàm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 60 of 16 62 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 61 of 16 tựa lồi chặt tập lồi X Theo giả thiết 1) x* cực tiểu địa phương toán  PE  tức x* cực tiểu địa phương hàm tựa lồi chặt, x* cực tiểu toàn cục toán  PE  Giả sử x1 x2 hai điểm cực tiểu f X , tức x1  X , x2  X f  x1   f  x2   f  x   xX 1 Do X tập lồi nên x  x1  x2  X Do f hàm E -tựa lồi chặt 2  n nên f hàm tựa lồi chặt X , tức  1 f  x   f  x1  x2   max  f  x1  , f  x2   f  x1   f  x2   2 Vô lí Vậy điểm cực tiểu hàm f có 3.2 Một số kết cho toán  P  Trong [14] Youness xét toán tối ưu sau ( P) : f ( x)  tập hạn chế   M : x : gi ( x)  0; i  1, m , f g i hàm E - lồi  n Youness người đưa khái niệm hàm E -lồi áp dụng cho toán tối ưu (xem [14]) Tuy nhiên, phản ví dụ Yang (2001, [13] cho thấy định lí phát biểu [14] chưa xác Dưới trước tiên giới thiệu Định lí trình bày phản ví dụ Yang [13] “Định lí” 3.1 (Youness, 1999, [14], Theorem 4.1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 61 of 16 63 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 62 of 16 Tập hạn chế M toán  P  tập E - lồi Phản ví dụ 3.1 (Yang, 2001, [13], Counterexample 2.1) Cho E :    xác định x5 x 8  x  x   x 3 x  E  x   2 x3 x 4  x  x   x 1 x Cho m  , g1 :    xác định  3  x  x  g1  x    3  x x    x5 4 x5 3 x  2 x3 1 x  x 1 Ta có  tập E - lồi, g1 hàm E -lồi  Tuy nhiên, tập M : x : g1 ( x)  0  4,5  1,2 không tập E -lồi “Định lí” 3.2 (Youness, 1999, [14], Theorem 4.3) Giả sử E  M  tập lồi x  E  z   E  M  nghiệm địa phương toán (P) M x nghiệm toàn cục toán (P) M Phản ví dụ 3.2 (Yang, 2001, [13], Counterexample 2.4) Cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 62 of 16 64 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 63 of 16   M   x, y   2 : ( x, y )  1  0,0   2  2,1  3  0,3 , 1, 2 , 3  0,  i  1 i 1       x, y   2 : ( x, y )  1  0,0   2  0, 3  3  2, 1 , 1, 2 , 3  0,  i  1 i 1   2 Cho hàm E :    xác định E  x, y    0, y  với  x, y   M Hàm f :    xác định  x3  f  x, y    xy   xy  x, y   M ; y   x, y   M ; 1  y   x, y   M ; y  1 Ta có E ( M )   0, y  : 3  y  3 f  E  x    0; x  M Vậy E ( M ) tập lồi f hàm  0, E, I  -lồi M Mặt khác,  x , y    0,0  E  x , y   E(M ) nghiệm địa phương  P  Tuy nhiên lấy  x* , y*    1, 1 ta thấy  x* , y*   M f  x* , y*   f  1, 1  1   f (0,0)  f  x , y  Vậy  x , y  nghiệm toàn cục toán  P  M Xét toán  PE  :  f  E  x  tập hạn chế x  M “Định lí” 3.3 (Youness, 1999, [14], Theorem 4.2) Giả sử E  M  tập lồi x nghiệm toán  PE  :  f  E  x   tập hạn chế x  M Khi E  x  nghiệm toán (P) Phản ví dụ 3.3 (Yang, 2001, [13], Counterexample 2.2) Cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 63 of 16 65 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 64 of 16   M   x, y   2 : ( x, y )  1  0,0   2  2,1  3  0,3 , 1, 2 , 3  0,  i  1 i 1       x, y   2 : ( x, y )  1  0,0   2  0, 3  3  2, 1 , 1, 2 , 3  0,  i  1 i 1   Cho hàm E :    xác định E  x, y    0, y  với  x, y   M  x3 Hàm f :    xác định f  x, y     xy  x, y   M ; y   x, y   M ; y  Ta thấy E ( M )   0, y  : 3  y  3 f  E  x    với x  M Vậy E ( M ) tập lồi f hàm E -lồi M Mặt khác ta có  x , y    0,0 nghiệm toán  PE  Tuy nhiên lấy  x* , y*    1, 1  x* , y*   M f  x* , y*   f  1, 1  1   f (0,0)  f  x , y   f  E  x , y   Vậy E  x , y  nghiệm toán  P  “Định lí” 3.4 (Youness, 1999, [14], Theorem 4.6) Tập nghiệm tối ưu toán  P  tập lồi Phản ví dụ 3.4 (Yang, 2001, [13], Counterexample 2.5) Cho   M   x, y    : ( x, y )  1  0,0   2  2,3  3  0,3 , 1, 2 , 3  0,  i  1 i 1       x, y    : ( x, y )  1  0,0   2  0, 3  3  2, 3 , 1, 2 , 3  0,  i  1 i 1   2 Cho hàm E :    xác định E  x, y    0, y  với  x, y   M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 64 of 16 66 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 65 of 16  x3 2 y3   x y  y  2 Hàm f :    xác định f  x, y    1  y   xy  xy   y  1  Ta thấy E ( M )   0, y  : 3  y  3 f  E  x    với x  M Vậy E ( M ) tập lồi f hàm E -lồi M Ta có  2,3  2, 3 nghiệm tối ưu toán  P  , nhiên  2,3 ,  2, 3 tập lồi “Định lí” 3.5 (Youness, 1999, [14], Theorem 4.5) Cho E  M  tập E - lồi f  E ; gi  E i  1, m  hàm khả vi M Giả sử  x* ; y*  nghiệm toán đây:  x  f  E  x*  y*  gi  E  x*   y *  g i  E  x*   gi  E  x*  0; y*  Khi E  x*  nghiệm tối ưu toán  P  Phản ví dụ 3.5 (Yang, 2001, [13], Counterexample 2.3) Giả sử g ( x, y )  với  x, y   M Khi dễ dàng thấy điều kiện “Định lí” 3.5 thỏa mãn x*   0;0  Tuy nhiên, áp dụng Phản ví dụ 3.3 ta thấy, x*  E ( x* ) nghiệm tối ưu toán  P  Do “Định lí” 3.5 sai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 65 of 16 67 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 66 of 16 Nhận xét 3.2 Do tính “tự do” hàm E , mối quan hệ toán  P  toán  PE  lỏng lẻo Dưới trình bày kết gần toán  P  Mệnh đề 3.5 (Chen, 2009, [3], Theorem 3.1) Giả sử x0  M điểm cố định ánh xạ E : n  n (nghĩa E ( x0 )  x0 ) x0 cực tiểu địa phương toán  P tập E -lồi M , f : n   semi E -lồi tập M Khi x0 cực tiểu toàn cục toán  P  M Kết luận chương Lớp hàm E -lồi áp dụng vào toán tối ưu Tuy nhiên, nghiên cứu tối ưu hàm E -lồi chưa nhiều tản mạn, chí nhiều thiếu sót Hy vọng lớp hàm  , E1, E3  có ứng dụng giải toán tối ưu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 66 of 16 68 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 67 of 16 KẾT LUẬN Mặc dù phác thảo nghiên cứu ban đầu lớp hàm  , E1, E3  -lồi, kết luận văn rằng, lớp hàm cho phép hợp hầu hết lớp hàm E -lồi E -lồi suy rộng Lớp hàm E -lồi E -lồi suy rộng có liên quan mật thiết với lớp hàm lồi suy rộng khác (hàm lồi bất biến (xem [14]), hàm BI-  ,  -lồi (xem [5]), hàm lồi suy rộng tương thích (relatively generalized convex function, xem [12]) Rất nhiều kết bản, sâu sắc chất giải tích lồi chưa chuyển hóa cho lớp hàm E -lồi Mặc dù có nghiên cứu tối ưu hàm E -lồi: toán tối ưu hai cấp hàm E -lồi (xem [19]), ổn định toán tối ưu E -lồi (xem [16]), bất đẳng thức biến phân với hàm E -lồi (xem [12]), , theo chúng tôi, nhiều vấn đề cần làm sáng tỏ nhiều toán cần phải giải Hy vọng nghiên cứu làm phong phú sáng tỏ chất lớp hàm  , E1, E3  -lồi, có lớp hàm E -lồi, ứng dụng hiệu lớp hàm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 67 of 16 69 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 68 of 16 TÀI IỆU THAM KHẢO Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật, Hà Nội, 2000 Chen, X S (2002), Some Properties of Semi- E -convex function, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol 275, pp 251-262 Xiusu Chen (2009) Some Properties of Semi- E -convex function and Semi- E -convex programming, The Eighth International Symposium on Operations Reseach and Its Applications (ISORA’09), Zhangjiajie, China, September, 20-22, 2009, Copyright 2009 ORSC & APORC, pp 33-39 Duca D I and Lupsa L (2006), On the E -epigraph of an E -convex function, Journal Optimization Theory Applications (JOTA) 129, No.2, 341–348 Duca D I and Lupsa L (2003), BI-  ,  Convex Sets, Mathematica Pannonica 14/2, 193–203 J Sheiba Grace and P Thangavelu (2009), Properties of E -convex sets, E -convex functions, and E -convex programming, Tamsui Oxford Journal of Mathematical Science, 25, pp 1-7, Alethea University J Sheiba Grace and P Thangavelu (2009), E -convex programming, Journal of Mathematics, Statistics and Allied Fieds, Vol 3, Issue 1, pp 1-4 O L Mangasarian (1967), Nonlinear Programming, Tạ Duy Phượng Ngô Thị Thu Trang (1010), Giải tích  , E1, E2  -lồi (bản thảo), 50 trang Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 68 of 16 70 http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 69 of 16 10 R.Tyrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, 1970 11 Yu-Ru Syau, E Stanlay Lee (2005), Some Properties of E -convex functions, Applied Mathematics Letter, 18, 1074-1080 12 M A Tawhid (2009), On Various Types of Ralatively Generalized Monotonicity and Convexity, Advanced Modeling and Optimizzation, Vol 11, No3, 321-335 13 X M Yang (2001), On E -convex sets, E -convex functions, and E convex programming, JOTA, 109, No3, pp 699–704 14 E A Youness (1999), E -convex sets, E -convex functions, and E convex programming, Journal Optimization Theory Applications (JOTA) Vol 102, No2, 439–450 15 E A Youness (2001), Quasi and Strictly Quasi E -convex functions, Journal Statistics and Management Systems, 4: 201-210 16 E A Youness (2001), Stability in E -convex programming, IJMMS, 26:10, 643-648 17 Youness, E A and Emam T (2005), Strongly E -convex sets and Strongly E -convex functions, Journal of Interdisciplinary Mathematics, Vol 8, No 1, pp 107-117 18 E A Youness and Tarek Emam (2005), Semi Strongly E -convex functions, Journal of Mathematics and Statistics (1): 51-57, 2005 19 E A Youness and O M Abo Al-Olaa (2005), On Quasi E -convex Bilevel Programming Problem, Americal Journal of Applied Mathematics (2): 565-568 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Footer Page 69 of 16 71 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... nói hàm f  E1, E3  -lồi mạnh tập  E1, E2  -lồi mạnh M Hiển nhiên hàm  E1, E3  -lồi mạnh hàm  E1, E3  -lồi với  0;1 Để ngắn gọn, f hàm  0, E1, E3  -lồi ta nói hàm  E1, E3  -lồi, ... tích E -lồi (tập E -lồi, tập E -lồi mạnh, hàm E -lồi, hàm E -lồi mạnh, hàm semi hàm E -lồi, …) Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương Tài liệu tham khảo Chương 1: Tập  , E1, E2  -lồi Chương... suy rộng cho lớp hàm  , E1, E3  -lồi lớp hàm E -lồi Khái niệm hàm  , E1, E3  -lồi lần nêu luận văn cho phép thống số lớp hàm E -lồi ( E -lồi, E -lồi mạnh, semi E lồi, tựa E -lồi, ) nghiên