Dạng chuẩn tắc jordan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Tốn học Cán hướng dẫn: TS ĐÀO THỊ THANH HÀ Sinh viên thực hiện: HOÀNG THỊ THU Lớp: 49A - Toán NGHỆ AN – 2012 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương I: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.3 Giá trị riêng vectơ riêng ma trận 1.4 Giá trị riêng vector riêng tự đồng cấu 1.5 Chéo hóa ma trận 1.6 Tự đồng cấu chéo hóa 11 Chương II: Dạng chuẩn tắc Jordan 17 2.1 Tự đồng cấu lũy linh 17 2.2 Dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu 21 2.3 Ví dụ 29 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….40 Lời nói đầu Việc nghiên cứu đồng cấu đặc biệt tự đồng cấu đóng vai trị quan trọng việc làm rõ cấu trúc không gian vectơ Để việc nghiên cứu tự đồng cấu dễ dàng ta cần tìm ma trận biểu diễn đơn giản tự đồng cấu Ma trận dạng chéo ma trận đơn giản, tự đồng cấu có ma trận với sở ma trận dạng chéo gọi tự đồng cấu chéo hóa Nhưng khơng phải tự đồng cấu chéo hóa ta cần tìm ma trận có dạng gần với ma trận dạng chéo Ma trận dạng chuẩn tắc Jordan ma trận đặc biệt, gồm khối khác khơng đường chéo chính, khối ma trận có phần tử khác khơng đường chéo phần tử nằm (trên) đường kề với đường chéo phần tử cịn lại khơng Đối với tự đồng cấu xác định ma trận dạng chuẩn tắc Jordan sai khác thứ tự khối Jordan đường chéo Dạng chuẩn tắc Jordan coi dạng ma trận biểu diễn đơn giản tự đồng cấu Dựa vào tài liệu [1] số tài liệu khác khóa luận xin trình bày cụ thể dạng chuẩn tắc Jordan sau: Khóa luận gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị trình bày vấn đề giá trị riêng vector riêng đồng cấu tuyến tính, vấn đề chéo hóa ma trận, tự đồng cấu chéo hóa Chương 2: Trình bày kiến thức dạng chuẩn tắc Jordan, dẫn dắt chứng minh tồn ma trận dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu đưa số ví dụ cụ thể tìm dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu tuyến tính Để hồn thành khóa luận này, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Cô giáo TS Đào Thị Thanh Hà, tận tình hướng dẫn, bảo tơi suốt q trình làm khóa luận tốt nghiệp Tơi xin cảm ơn gia đình, thầy tổ Đại số, bạn sinh viên động viên, giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian có hạn nên khóa luận chắn cịn có nhiều thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa Cho V không gian vectơ trường K, tập W   , W  V gọi không gian vectơ của V W khép kín với hai phép toán V Nghĩa nếu: (   ) W với  ,  W Và a W với  W , a  K Nhận xét: W với hai phép toán hạn chế hai phép toán V không gian vectơ K 1.1.2 Mệnh đề Nếu W một không gian vectơ của V thì dimW  dimV Đẳng thức dimW = dimV xảy chỉ W = V 1.1.3 Tổng tổng trực tiếp Giả sử W1, , Wm không gian vectơ V, tập hợp: W1   Wm  1    m / i Wi , i  1, , m lập nên không gian vectơ V i) Không gian vectơ W1   Wm  1    m / i Wi , i  1, , m gọi tổng của không gian W1, , Wm kí hiệu m W i 1 i Mỗi vectơ W1, , Wm viết dạng :   1    m , i Wi , i  1, , m ii) Nếu vectơ tổng W1   Wm viết dạng   1    m , i Wi , i  1, , m W1   Wm gọi tổng trực tiếp của không gian W1, , Wm kí hiệu W1   Wm 1.1.4 Định lý Tổng W1   Wm tổng trực tiếp của W1, , Wm nếu chỉ nếu một hai điều kiện tương đương sau được thỏa mãn: i) Wi  (W j )  0 , (i  1, , m) ii) Wi  (W j )  0 , (i  1, , m  1) i j j i 1.1.5 Định lý Giả sử U W không gian vector của một không gian vectơ hữu hạn chiều V đó: dimU + dimW =dim(U + W) + dim(U  W ) 1.1.6 Hệ quả: dim(U  W )  dimU  dimW 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.2.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính Giả sử V, W không gian vectơ trường K với sở tương ứng là: (1, , n) (1, ., m ) ánh xạ tuyến tính f : V  W xác định vectơ f(1), ., f(n) Biểu thị tuyến tính vectơ với sở (1, ., m ) ta được: m f(j) =  a  i 1 ij i với j = 1, .,n aij  K Như ánh xạ tuyến tính f : V  W xác định hệ thống vô hướng {aij |  i  n ,  j  m} xếp thành ma trận sau:  a11 a12 a a22 A   21    am1 am a1n  a2 n    (a ) ij mn   amn  A gọi ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V  W cặp sở (1, ,n) (1, ., m ) 1.2.2 Định nghĩa (Tự đồng cấu) Mỗi đồng cấu f từ không gian vector V vào gọi tự đờng cấu của V 1.2.3 Định nghĩa (ma trận đồng dạng) Giả sử A B hai ma trận vuông cấp n, ta nói ma trận B đờng dạng với ma trận A tồn ma trận P không suy biến (khả nghịch) cấp n cho: B  P1 AP 1.2.4 Định lý Hai ma trận vuông đồng dạng với nếu nếu chỉ nếu chúng ma trận của cùng một tự đồng cấu của một không gian vectơ sở đó của không gian 1.3 Giá trị riêng vectơ riêng của ma trận 1.3.1 Định nghĩa Cho A ma trận vuông cấp n trường K Một số   K gọi giá trị riêng ma trận A tồn vectơ khác không u  K n , cho A(u)  u Khi vectơ u gọi vectơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng 1.3.2 Định lý Cho A một ma trận vuông cấp n trường K Giả sử 1 , , r vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1, 2 , , r của ma trận A, đó tập 1, , r  độc lập tuyến tính 1.3.3 Định nghĩa (đa thức đặc trưng) : Cho A  (aij ) ma trận vuông cấp n K Xét ma trận vuông  a11  X  a A  XI n   21    an1 a12 a22  X an      ann  X  a1n a2 n Đa thức PA ( X )  det( A  XI n )  K[ X ] gọi đa thức đặc trưng ma trận A Phương trình PA ( X )  gọi phương trình đặc trưng ma trận A 1.3.4 Định lý Cho A một ma trận vuông cấp n trường K Khi đó số   K giá trị riêng của A nếu chỉ nếu  nghiệm của phương trình đặc trưng PA ( X )  1.3.5 Định lý Hai ma trận đồng dạng có cùng một đa thức đặc trưng nghĩa có giá trị riêng 1.4 Vectơ riêng – Giá trị riêng của tự đồng cấu 1.4.1 Định nghĩa Cho f tự đồng cấu không gian vectơ V trường K Một phần tử   K gọi giá trị riêng f tồn vectơ khác không  V cho f ( )   Khi vectơ  gọi vectơ riêng f ứng với giá trị riêng  1.4.2 Định nghĩa Giả sử  giá trị riêng tự đồng cấu f khơng gian vectơ ker(f - idv) gồm vectơ tất vectơ riêng f ứng với giá trị riêng  gọi không gian riêng của f ứng với giá trị riêng  1.4.3 Đa thức đặc trưng của tự đồng cấu Cho V không gian vectơ n chiều K tự đồng cấu f : V  V có ma trận A sở V Khi đồng cấu (f - Xidv) có ma trận là: (A – XIn) sở nên ta có: det  f  Xidv   det  A – XIn  Nếu A = (aij)nn thì: det  f  Xidv   det  A – XI n   a11  X a21 a12 a22  X an1 an a1n a2 n ann  X đa thức bậc n ẩn X Đa thức bậc n ẩn X với hệ số K: Pf(X) = det(f - Xidv) gọi đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f 1.4.4 Mệnh đề Vô hướng  K một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V  V chỉ  một nghiệm của đa thức đặc trưng của f: det  f – Xidv   det  A – XI n  1.4.5 Định nghĩa Cho f đồng cấu không gian vector V trường K Một không gian vectơ U V không gian ổn định đồng cấu f f (U )  U , hay f (u ) U với u U 1.4.6 Mệnh đề Giả sử U một không gian vectơ ổn định tự đồng cấu f : V  V gọi f : V/U  V/U, f () = (f()) đồng cấu cảm sinh bởi f Khi đó đa thức đặc trưng của f bằng tích đa thức đặc trưng của f|U của f 1.4.7 Định lý Không gian riêng của f ứng với giá trị riêng : Ker(f - idv) không gian ổn định của V f Chứng minh Ta có ker(f - idv) khơng gian vector V Với v  ker(f - idv) ta có f (v)   f (v)   (v) , suy ra: v  ker( f  idv) Vậy với vector v ker(f - idv), ta ln có f (v)  v  ker( f  idv) Do ker(f - idv) khơng gian bất biến V 1.5 Chéo hóa ma trận 1.5.1 Định nghĩa Cho A ma trận vuông cấp n K Ma trận A gọi chéo hóa được A đồng dạng với ma trận đường chéo hay tồn ma trận khả nghịch P ma trận đường chéo D để A  PDP1 1.5.2 Định lý Cho A ma trận vuông cấp n trường K Khi đó A chéo hóa được nếu chỉ nếu A có n vector riêng độc lập tuyến tính Hơn nữa, nếu A  PDP1 với D ma trận chéo thì phần tử đường chéo chính của D giá trị riêng của ma trận A cột của ma trận P vectơ riêng tương ứng Chứng minh i) Giả sử A chéo hóa ta chứng minh A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính: Vì A chéo hóa nên tồn ma trận khả nghịch P: P1 AP  D 1 ma trận vng D       ma trận đường chéo  n  Từ P1 AP  D nhân vế với ma trận P ta được: AP = PD (*) Gọi p1, p2, …, pn vector cột liên tiếp P ta có: AP ma trận có cột Ap1, …, Apn PD ma trận có cột 1 p1, , n pn Kết hợp với (*) ta suy Ap1  1 p1, , Apn  n pn Mà ma trận P khả nghịch nên vectơ cột P khác vector không nghĩa pi   với i  1, , n hệ  p1 , , pn  độc lập tuyến tính 10 trận J xác định f sai khác xếp khối Jordan đường chéo Ta chứng minh: i) Do đồng cấu ( f  idv) ( f  idv) giao hoán với nên ( f  idv) |R : R  R đồng cấu Ta có ( f  idv) |R : R  R đơn ánh thật vậy: Giả sử ( f  idv) |R : R  R đơn ánh suy tồn vectơ   R | 0 cho ( f  idv)( )  Lại có ( f  idv) |R nên m  cho: ( f  idv)m1 ( )  ( f  idv)m ( )  Đặt   ( f  idv)m1 ( )  ( f  idv)( )  Vì ( f  idv) ( f  idv) giao hoán với suy ra: ( f  idv)(  )  ( f  idv)(( f  idv) m1( ))  ( f  idv)m1 (( f  idv)( ))  ( f  idv)m1 (0)  ( f  idv)(  )   f (  )   Kết hợp hai đẳng thức  vơ lí     ( f   idv )(  )  f (  )     Suy ( f  idv) |R : R  R đơn ánh Mà dimR   sm hữu hạn nên ( f  idv) |R : R  R đẳng cấu ii) Để chứng minh R1   Rm tổng trực tiếp V tương đương với việc chứng minh với vectơ i  Ri / 0 , hệ vector (1, , m ) độc lập tuyến tính Với m = khẳng định hiển nhiển Giả sử quy nạp khẳng định với m – 1, khơng tính tổng qt ta giả sử với m – vectơ (1, ,  m1 ) 27 Ta phải chứng minh khẳng định với m Xét ràng buộc tuyến tính: m a i 1 i i  với  K  m  R chọn số nguyên dương k cho ( f  midv)k ( m )  m Tác động ( f  midv)k vào hai vế ràng buộc tuyến tính suy ra: m1  a ( f   idv) ( )  k i i 1 m i Lại có ( f  midv) : Ri  Ri với i = 1, , m – đẳng cấu theo i),  i vectơ riêng nên i  0, i  1, , m  suy ( f  midv)(i )  m1 Suy  a ( f   idv) ( )   a k i 1 i m i Thay giá trị vào m a i 1 Như m a i 1 i i i i   am1   suy am m   am  (vì  m  )  a1   am1  am  hay hệ vector (1, , m ) độc lập tuyến tính iii) Chứng minh V  R1   Rm Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.4 dim Ri  si Do đó: m dim( R1   Rm )   si  n  dimV suy điều phải chứng minh i 1 iv) Theo chứng minh Mệnh đề 2.2.4 với giá trị k ma trận J k f |R sở V có dạng chéo khối với khối đường chéo có dạng: 28 J s ,k k 1  0   0  0 k 0 k 0 0 0 k 0 0  0  khối Jordan cấp s . 0  k  Mà V  R1   Vm suy J  J 1   J m suy ma trận J f sở V tổng trực tiếp khối Jordan Vậy f có ma trận dạng chuẩn tắc Jordan sở V v) Ta có ( f  k idv) đồng cấu lũy linh, V  R1   Rm nên áp dụng Định lý 2.2.3 ta có : Số khối Jordan cấp s với phần tử k đường chéo bằng: rank ( f  k idv)s1  2rank ( f  k idv) s  rank ( f  k idv) s1 Mà theo bước 1, với k  i , đồng cấu ( f  idv) |R : Ri  Ri i đẳng cấu ta có: Rank (( f  k idv) |R ) s1  2rank (( f  k idv) |R ) s  rank (( f  k idv) |R ) s1  k k k Suy số khối Jordan cấp s với phần tử k đường chéo bằng: Rank (( f  k idv) |R )  2rank (( f  k idv) |R )  rank (( f  k idv) |R ) k k k Vì số với ma trận dạng chuẩn tắc Jordan f, hai ma trận khác thứ tự khối Jordan đường chéo 2.2.5 Hệ Nếu K một trường đóng đại số (chẳng hạn K = C), thì mọi tự đồng cấu của một K –không gian vector đều có ma trận dạng chuẩn tắc Jordan một sở đó của không gian 29 2.2.6 Nhận xét Nếu ma trận A M (n  n, K ) có đủ giá trị riêng kể cả bội trường K thì nó đồng dạng K với một ma trận dạng chuẩn tắc Jordan, được gọi dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận A 2.3 Ví dụ 2.3.1 Ví dụ (Tìm ma trận chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu lũy linh) R4 Cho f :  (a, b, c, d) R4 (0, a, d, 0) tìm ma trận chuẩn tắc Jordan của f Lời giải Ta có với (a, b, c, d )  R f (a, b, c, d )  (0, a, d ,0) f (a, b, c, d )  f ( f (a, b, c, d ))  f (0, a, d ,0)  (0,0,0,0)   Như tồn k = > cho f = nên f đồng cấu lũy linh Suy f có giá trị riêng   khối Jordan có phần tử nằm đường chéo có cấp tối đa Trong R chọn sở tắc : e1 (1,0,0,0); e2 (0,1,0,0); e3(0,0,1,0); e4(0,0,0,1) suy f (e1 )  f (1,0,0,0)  (0,1,0,0)  0e1  e2  0e3  0e4 f (e2 )  f (0,1,0,0)  (0,0,0,0)  0e1  0e2  0e3  0e4 f (e3 )  f (0,0,1,0)  (0,0,0,0)  0e1  0e2  0e3  0e4 f (e4 )  f (0,0,0,1)  (0,0,1,0)  0e1  0e2  e3  0e4 0 1  A 0  0 0 0 0 0  ma trận f với sở tắc 0 1  0 0  Rankf  rankA  Vì f  nên rankf  , rankf  30  số khối Jordan cấp ma trận Jordan f : rankf  2rankf  Rankf   2.2   số khối Jordan cấp ma trận Jordan f : rankf  2rankf  Rankf   2.0   Vậy ma trận chuẩn tắc Jordan f ma trận có khối Jordan cấp đường chéo chính: 0 1 J  0  0 0 0 0 0  0 0  0 1 0 Ở Ví dụ 1.6.9 chương thì ma trận A   1  khơng chéo hóa    1 1 được ma trận A lại đồng dạng với một ma trận chuẩn tắc Jordan cụ thể : 2.3.2 Ví dụ Tìm dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận sau: 1 0 A   1     1 1 Lời giải Đa thức đặc trưng A là: 1  X PA ( X )  det( A  XI )   1   1 3 X    ( X  1)( X  2)  1  X  Đa thức có nghiệm thực 1  1, 2  3  theo nhận xét suy A đồng dạng với ma trận Jordan J Các khối Jordan ma trận J có phần tử đường chéo – 31 Với 1  1 khối Jordan có cấp tối đa Vì dim R1 = nên có khối Jordan cấp có phần tử tên đường chéo -1 Với 2  3  khối Jordan có cấp tối đa Ta có:  1  Rank ( A  I )  Rank  1      1 3  1  0 0   Rank ( A  I )  rank 1  rank  0        1 3  3 9 9   số khối Jordan cấp với phần tử đường chéo là: Rank ( A  2I )0  2rank ( A  2I )1  rank ( A  2I )   2.2   Vì   nghiệm kép đa thức đặc trưng nên có khối Jordan cấp với phần tử đường chéo Vậy dạng chuẩn tắc tắc Jordan ma trận A là:  1 0  J   0     2.3.3 Ví dụ (trong không gian chiều) Tìm dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận sau:  1 1 A 3   1 0 0  3  1 0 Lời giải Đa thức đặc trưng A là: 32 1 3  X  1 X PA ( X )  det( A  XI )     1  0     ( X  2) 3   1  X  0 5 X Đa thức có nghiệm thực 1  2  3  4  theo nhận xét suy A đồng dạng với ma trận Jordan J Các khối Jordan ma trận J có phần tử đường chéo có cấp tối đa Ta có: 1 1 1 1 rank ( A  I )  rank  3   1 1 1 1 1 rank ( A  I )  rank  3   1 0 0 2 3  3 0 0 0 0 0   rank  0 3   3 0 0 0 0 0 0 0 0  0 0 rank ( A  I )3  rank ( A  I )4   số khối Jordan cấp 1với phần tử đường chéo là: rank ( A  2I )0  2rank ( A  2I )1  rank ( A  2I )   2.2   số khối Jordan cấp với phần tử đường chéo là: rank ( A  2I )1  2rank ( A  2I )  rank ( A  2I )3   2.0   Vậy dạng chuẩn tắc Jordan ma trận A ma trận có khối Jordan cấp với phần tử đường chéo chình 2: 33 2 1 J  0  0 0 0 0  0  2 2.3.4 Ví dụ (trong không gian chiều) Tìm dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận sau: 2 0  A  0  1 0 1 0 0    1  1 1 1 Lời giải Đa thức đặc trưng A là: 2  X   PA ( X )  det( A  XI )      2 X 1 0 2 X 1 X 1 1 1        X   ( X  1)3 ( X  2)2 Đa thức có nghiệm thực 1  2  3  1, 4  5  suy A đồng dạng với ma trận Jordan J Các khối Jordan ma trận J có phần tử đường chéo Với 1  2  3  khối Jordan có cấp tối đa 3, ta có: 1 0  Rank ( A  I )  rank   0  0 0  1 04  0 1 1 1 1 1 1 1 34 1 0  Rank ( A  I )  rank   0  0 1 0 0 0   1 0 0   0 1 0 1 1 1 1  1 0  Rank ( A  I )3  rank   0  0    1   0  1 1 1 1  1 0   rank   0  1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0  1  3  1 1 1 1 0 0  2 1 0  1 1  1 1 1 1 0 0  2 1 0  2  0   số khối Jordan cấp 1với phần tử đường chéo là: rank ( A  I )0  2rank ( A  I )1  rank ( A  I )   2.4    số khối Jordan cấp với phần tử đường chéo là: rank ( A  I )1  2rank ( A  I )2  rank ( A  I )3   2.3   Vì   nghiệm bội số đa thức đặc trưng nên có khối Jordan cấp với phần tử đường chéo Với 4  5  khối Jordan có cấp tối đa 2, ta có:    Rank ( A  I )  rank     0 0 0 0  0 0 3  0 1 1 1 1 2  1 35    Rank ( A  I )  rank         rank     0 0 0 0 0 0 0  0 0  0 1 1 1 1 2  1 1 0  0 0  3  1 1 1 2  2 3 0 0 0  số khối Jordan cấp với phần tử đường chéo là: rank ( A  2I )0  2rank ( A  2I )1  rank ( A  I )   2.3   Vì   nghiệm kép phương trình đặc trưng dim R2 = nên có hai khối Jordan cấp có phần tử tên đường chéo Vậy dạng chuẩn tắc Jordan ma trận A là: 1 1  J  0  0  0 0 0 0 0  1 0  0 0 0  Ngồi phương pháp tìm dạng chuẩn tắc Jordan trình bày ta tìm dạng chuẩn tắc Jordan cách tìm cụ thể cở sở V để ma trận f với cở sở ma trận dạng chuẩn tắc Jordan Theo Mệnh đề 2.2.3 ta tìm sở tự đồng cấu lũy linh ( f  idv) |R cho ma trận với sở có dạng chéo khối với khối đường chéo có dạng:  0 0   0 0     0       0 0     0  36 Khi f có ma trận dạng chuẩn tắc Jordan Cách tìm sở của tự đồng cấu lũy linh thỏa mãn điều kiện trên: Giả sử f tự đồng cấu lũy linh bậc k Khi ta có kết sau: i) 0V   ker f  ker f   ker f k 1  ker f k  V ii) Cho v1 , v2 , , vs  sở ker f i mở rông thành v1, , vs , w1, , w t  sở ker f i 1 S   f (w1 ), , f (w t ) hệ vectơ độc lập tuyến tính ker f i với i  1, , k  Bây ta gọi B1 sở W1, đặt T2  W2/W1 mở rộng B1 thành B2 = B1  T2 sở W2, đặt T3  W3/W2 mở rộng B2 thành B3 = B2  T3 sở W3, tiếp tục trình tới đặt Tk  Wk/Wk-1 mở rộng Bk-1 thành Bk = Bk 1  Tk  B1  T2   Tk Bây làm theo hướng ngược lại gọi B1, …, Bk sở W1, …, Wk Theo i) B1  B2   Bk nên ta đặt Ti = Bi / Bi 1 Giả sử Tk =  x1 , , x  theo ii) hệ  f ( x1 ), , f ( x ) hệ vectơ độc lập tuyến tính Wk-1, ta bổ sung  y1 , , y  Wk-1 cho Bk-1 = Bk 2   f ( x1 ), , f ( x )   y1, , y  sở Wk-1 ta có Tk 1   f ( x1 ), , f ( x )   y1, , y    f ( x1 ), , f ( x ), y1, , y  làm tương tự Tk Tk-1 ta có: Tk 2   f ( x1 ), , f ( x ), f ( y1 ), , f ( y ), z1, , z  trình tiếp tục ta dãy xếp sau: Tk : x1 , , x , Tk-1: f ( x1 ), , f ( x ), y1, , y , Tk-2: f ( x1 ), , f ( x ), f ( y1 ), , f ( y ), z1, , z , … 37 B1 : f k 1 ( x1 ), , f k 1 ( x ), f k 2 ( y1 ), , f k 2 ( y ), , q1, , q , Khi Bk = B1  T2   Tk sở cần tìm ta xếp dãy sau: f k 1 ( x1 ), , f ( x1 ), f ( x1 ), f k 1 ( x2 ), , f ( x2 ), f ( x2 ), Trở lại Ví dụ 2.3.1 ta làm theo cách vừa trình bày: R4 Cho f : (a, b, c, d)  R4 (0, a, d, 0) tìm ma trận chuẩn tắc Jordan của f Lời giải Theo lời giải trước f tự đồng cấu lũy linh cấp Ta có W1  ker f  x  (a, b, c, d ) : f (a, b, c, d )  0  x  (a, b, c, d ) : (0, a, d ,0)  0  ( a, b, c, d ) : a  d  0  x  (0, b, c,0), b, c  R Với x  ker f ta có x = b(0, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) mà vector (0, 1, 0, 0) ; (0, 0, 1, 0) độc lập tuyến tính nên : B1  (0,1,0,0);(0,0,1,0) sở W1 Ta có W2 = R4 f có bậc Bổ sung T2  W2 / W1 cho B2 = B1  T2 sở W2 T2 = (1,0,0,0); (0,0,0,1) Ta có f (1,0,0,0)  (0,1,0,0); f (0,0,0,1)  (0,0,1,0) Ta có dãy : (1,0,0,0); (0,0,0,1) (0,1,0,0); (0,0,1,0) Cơ sở cần tìm B = (0,1,0,0); (1,0,0,0); (0,0,1,0); (0,0,0,1)  e1, e2 , e3 , e4 Ma trận f với sở B : f (e1 )  f (0,1,0,0)  (0,0,0,0)  0e1  0e2  0e3  0e4 f (e2 )  f (1,0,0,0)  (0,1,0,0)  e1  0e2  0e3  0e4 38 f (e3 )  f (0,0,1,0)  (0,0,0,0)  0e1  0e2  0e3  0e4 f (e4 )  f (0,0,0,1)  (0,0,1,0)  0e1  0e2  e3  0e4 0 1  A 0  0 0 0 0 0  ma trận dạng chuẩn tắc Jordan 0 0  0 39 KẾT LUẬN Khóa luận trình bày số vấn đề sau: - Tóm tắt định lý, tính chất, quan trọng Vector riêng giá trị riêng ma trận, tự đồng cấu ; vấn đề chéo hóa ma trận tự đồng cấu chéo hóa - Trình bày chứng minh đầy đủ tồn ma trận dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu với ma trận tương ứng - Trình bày cách tìm ma trận dạng chuẩn tắc Jordan đưa ví dụ cụ thể 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, NXB ĐHQGHN [2] L.W.Johnson, R.D.Riess, J.T.Arnold, Introduction to linear algeboa, Pearson Education, Inc 2002 [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, NXB ĐHQGHN 2000 [4] Ngô Việt Trung, Đại số tuyến tính, NXBĐHQGHN 2002 [5] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp tập1 Đại số hình học giải tích, NXB Giáo Dục 2007 [6] Richardkaye – Robertwilson, Đại số tuyến tính, Chi đoàn cán khoa toán dịch 2004 41 ... hóa Chương 2: Trình bày kiến thức dạng chuẩn tắc Jordan, dẫn dắt chứng minh tồn ma trận dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu đưa số ví dụ cụ thể tìm dạng chuẩn tắc Jordan tự đồng cấu tuyến tính Để... đường chéo Vậy dạng chuẩn tắc Jordan ma trận A là: 1 1  J  0  0  0 0 0 0 0  1 0  0 0 0  Ngoài phương pháp tìm dạng chuẩn tắc Jordan trình bày ta tìm dạng chuẩn tắc Jordan cách... trường K thì nó đồng dạng K với một ma trận dạng chuẩn tắc Jordan, được gọi dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận A 2.3 Ví dụ 2.3.1 Ví dụ (Tìm ma trận chuẩn tắc Jordan của tự đồng cấu