vành tự đồng cấu địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN NGỌC HUYỀN VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN NGỌC HUYỀN VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mục lục Ký hiệu Mở đầu Vành tự đồng cấu 1.1 Các phần tử đặc biệt vành 1.2 Vành tự đồng cấu môđun 1.3 Vành tự đồng cấu môđun Noether Artin Vành tự đồng cấu địa phương 10 14 2.1 Vành địa phương 14 2.2 Điều kiện để vành chuỗi lũy thừa hình thức vành địa phương 19 2.3 Định lí phân tích vành tổng quát 21 2.4 Tính chất điều kiện vành tự đồng cấu địa phương 24 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Luận văn sử dụng ký hiệu Toán học với ý nghĩa xác định bảng đây: N: Tập hợp số tự nhiên N∗ : Tập hợp số tự nhiên khác Z: Tập hợp số nguyên Q: Tập hợp số hữu tỉ R: Tập hợp số thực A ⊆ M : A môđun M A M : A môđun thực M A ⊆⊕ B : A hạng tử trực tiếp B A∼ = B : A đẳng cấu với B I R: Iđêan hai phía ∩ Ai : Giao tất tập Ai , với i ∈ I I ∪ Ai : Hợp tất tập Ai , với i ∈ I I ⊕ Ai : Tổng trực tiếp môđun Ai , với i ∈ I I : Tổng , với i ∈ I I End(M ): Vành tự đồng cấu môđun M Kerf, Imf : Hạt nhân, ảnh đồng cấu f MỞ ĐẦU Có hai hướng để nghiên cứu lý thuyết vành Hướng thứ sử dụng nội tính chất thơng qua lớp iđêan, hướng thứ hai đặc trưng vành qua tính chất lớp xác định mơđun chúng Về mặt lịch sử hướng thứ phát triển sớm đưa định nghĩa đặc trưng ban đầu lớp vành quen thuộc như: vành nửa đơn, vành tựa Frobenius, vành Artin, vành Noether, vành nửa nguyên tố, vành nửa nguyên sơ, Hướng thứ hai xuất muộn tỏ hiệu Kết hoàn chỉnh đặc trưng vành khác lớp vành thoả mãn điều kiện hữu hạn Bên cạnh người ta nghiên cứu môđun thông qua vành tự đồng cấu nó, đặt biệt mối quan hệ tính chất khơng phân tích mơđun tính chất địa phương vành tự đồng cấu môđun Những nghiên cứu theo nội dung phải kể đến R.Wase (1971),F.W.AndersonK.R.Fuller (1971), G.Hauger (1980) Luận văn chúng tơi dựa vào tài liệu [1], [4] để tìm hiểu, nghiên cứu hệ thống số nội dung liên quan đến môđun vành tự đồng cấu mơđun vành địa phương Cụ thể chúng tơi chọn đề tài "Vành tự đồng cấu địa phương" Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng làm việc nghiêm túc thân Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc kính trọng đến Thầy, người ln động viên, hướng dẫn tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy cô giáo Khoa sư phạm Toán học trực tiếp giảng dạy lớp Cao học khóa 23 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Sài Gòn, với Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học ĐH Vinh ĐH Sài Gòn, Ban Giám hiệu- Trường ĐH Vinh ĐH Sài Gòn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Trường Nhân dịp xin cảm ơn gia đình cho tơi điều kiện để tơi học tập hồn thành khóa học này, với anh chị học viên người bạn giúp đỡ, động viên suốt thời gian qua Dù cố gắng hết nỗ lực song kiến thức cịn nhiều hạn hẹp nên cịn nhiều thiếu sót Kính mong nhận góp ý thầy cô bạn học viên để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 08 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU Trong suốt Luận văn giả thiết vành có đơn vị, ký hiệu tất môđun môđun phải unita vành R (nếu khơng nói thêm) Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức liên quan đến vành định nghĩa tính chất phần tử đặc biệt vành cụ thể phần tử lũy linh, lũy đẳng, khả nghịch trái, khả nghịch phải, khả nghịch; định nghĩa tính chất vành tự đồng cấu mơđun nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung Luận văn Chương 1.1 Các phần tử đặc biệt vành 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R, e ∈ R gọi phần tử lũy đẳng e2 = e 1.1.2 Hệ Cho vành R e ∈ R Khi (i) e lũy đẳng en = e, ∀n ≥ (ii) e lũy đẳng (1 − e) lũy đẳng 1.1.3 Ví dụ a) phần tử lũy đẳng vành R b) Trong vành M2 (R), ma trận 0 lũy đẳng 1.1.4 Định nghĩa Cho vành R Phần tử x ∈ R gọi phần tử lũy linh tồn số tự nhiên n ≥ cho xn =    1.1.5 Ví dụ Trong vành M4 (R), ma trận    0 0 0 1 0     phần tử lũy   linh 1.1.6 Định nghĩa Cho vành R u ∈ R Khi đó: i) u gọi khả nghịch phải ∃v ∈ R cho uv = ii) u gọi khả nghịch trái ∃v ∈ R cho v u = iii) u gọi khả nghịch ∃u ∈ R cho u u = uu = 1.1.7 Hệ Cho vành R r ∈ R (1) Nếu r lũy linh r khơng khả nghịch − r khả nghịch (2) Nếu r vừa lũy đẳng vừa khả nghịch r = Chứng minh: (1) Giả sử rs = Gọi n số tự nhiên bé mà rn = 0, rn−1 = Ta có = rn−1 rs = rn−1 = rn−1 = (vô lý) Vậy r không khả nghịch Ta lại có (1 − r)(1 + r + + rn−1 ) = (1 + r + + rn−1 )(1 − r) = =⇒ − r khả nghịch (2) r2 = r rr = =⇒ r = r.rr = r2 r = rr = 1.2 Vành tự đồng cấu môđun 1.2.1 Định nghĩa Cho M môđun vành R Gọi End(M ) = đồng cấu f : M −→ M Khi End(M ) vành với phép toán sau gọi vành tự đồng cấu môđun: (f + g)(x) = f (x) + g(x), ∀x ∈ M (f.g)(x) = f (g(x)), ∀x ∈ M 1.2.2 Định nghĩa M gọi môđun không phân tích khơng biểu diễn thành tổng trực tiếp hai môđun thực (môđun khác khác M ) 1.2.3 Hệ Cho vành R, điều kiện sau tương đương: (1) RR khơng phân tích thành tổng trực tiếp (2) R R khơng phân tích thành tổng trực tiếp (3) R có hai lũy đẳng Chứng minh: (1) =⇒ (3) Cho e lũy đẳng, e, 1−e lũy đẳng trực giao với = e+(1−e) Từ ta suy R = eR ⊕ (1 − e)R Do (1), eR = 0, nên suy e = eR = R Xét trường hợp: eR = R =⇒ (1 − e)R = (1 − e)eR = (vì (1 − e)e = 0) =⇒ (1 − e)1 = − e = ⇒ e = Vậy R có hai lũy đẳng (3) =⇒ (1) Giả sử RR = A ⊕ B , e lũy đẳng với A = eR Từ (3) suy e = e = 0, A = R A = Vậy R R khơng phân tích (2) =⇒ (3) Giả sử e ∈ R lũy đẳng có hệ {e, − e}; thỏa (2): · Trực giao e(1 − e) = e − e2 = · e + (1 − e) = Khi đó, R R = Re ⊕ R(1 − e) Do (2) R R khơng phân tích được, suy Re = R Re = 0, suy e = e = (3) =⇒ (2) Giả sử R R = A ⊕ B với A, B iđêan trái R Theo chiều thuận, tồn lũy đẳng e, f ∈ R mà e + f = 1, ef = để A = Re, B = Rf Do (3) ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: e = 1, f = =⇒ A = R, B = Trường hợp 2: e = 0, f = =⇒ A = 0, B = R Cả hai trường hợp dẫn đến RR khơng phân tích Vậy hệ chứng minh 1.2.4 Định lí Cho MR S := End(MR ), điều kiện sau tương đương: (1) M khơng phân tích thành tổng trực tiếp (2) SS khơng phân tích thành tổng trực tiếp (3) S S Khơng phân tích thành tổng trực tiếp (4) S có hai luỹ đẳng Chứng minh: Từ Hệ 1.2.3 ta có (2), (3), (4) Ta chứng minh : (1) =⇒ (4) 16 (2) =⇒ (3) Cho A iđêan hai phía R ta cần chứng minh A iđêan phải thực lớn R Thật vậy, · Vì A iđêan hai phía R =⇒ A iđêan phải R · phần tử khả nghịch =⇒ ∈ / A =⇒ A thực · Ta chứng minh A lớn Lấy B iđêan thực hai phía R Ta chứng minh B ⊆ A Xét b ∈ B =⇒ bR ⊆ B R, Rb R =⇒ b không khả nghịch =⇒ b ∈ A =⇒ B ⊆ A Vậy A lớn (3) =⇒ (4) Hiển nhiên (4) =⇒ (5) Gọi C iđêan phải thực lớn =⇒ ∀r ∈ R, r − r khả nghịch phải Thật vậy, Với C iđêan phải thực lớn Lấy r ∈ R Giả sử r − r không khả nghịch phải Khi  rR R R (1 − r)R R R  rR ⊆ C =⇒ r ∈ C =⇒ (1 − r)R ⊆ C =⇒ − r ∈ C Vì C kép kín với phép cộng, suy r + (1 − r) = ∈ C =⇒ C = R (vô lý) Vậy − r khả nghịch phải (5) =⇒ (6) Ta chứng minh phần tử khả nghịch phải khả nghịch Giả sử bb = ta có hai trường hợp: 17 Trường hợp 1: Nếu bb khả nghịch phải, ∃s ∈ R với − bb s Chính ta có b = bb bs = bs = b b Trường hợp 2: Nếu − b b khả nghịch phải, ∃s ∈ R với = (1 − b b)s Vì b = b(1 − b b)s = bs − bb bs = =⇒ Trái với giả thiết bb = (6) =⇒ (1) Đầu tiên ta chứng minh: Nếu a ∈ A, r ∈ R ar ∈ A Thật vậy, ar ∈ / A ar khả nghịch Suy ars = =⇒ a(rs) = =⇒ a khả nghịch phải Chứng minh tương tự a khả nghịch trái Vậy a khả nghịch, suy a ∈ / A (mẫu thuẫn a ∈ A) Bây giả sử a1 , a2 ∈ A : a1 + a2 khả nghịch Với s ∈ R =⇒ (a1 + a2 )s = =⇒ a1 s = − a2 s Do ta được:  a s ∈ A a s ∈ A Vì a1 s ∈ A nên − a2 s ∈ A Nhưng theo (6) ta có a2 s ∈ A nên suy a1 s = − a2 s ∈ / A (vô lý) Suy a1 + a2 ∈ A Vậy định lí chứng minh 2.1.4 Hệ Cho R vành địa phương A iđêan gồm tất phần tử không khả nghịch R Khi 1) R A thể 2) Mọi phần tử khả nghịch phải (trái) R khả nghịch 3) Mọi vành khác không ảnh vành địa phương qua toàn cấu 18 vành vành địa phương Đặc biệt: Ảnh đồng cấu vành địa phương địa phương Chứng minh: 1) Điều đồng nghĩa với phần tử không thuộc A khả nghịch 2) Đã chứng minh Định lí 2.1.3 3) Lấy σ : R −→ S ánh xạ đồng cấu vành Như trình bày (6) Định lí 2.1.3 Lấy s ∈ S , ∃r ∈ R cho σ(r) = s =⇒ σ(1 − r) = σ(1) − σ(r) = − s Vì R vành địa phương nên ta có r − r khả nghịch Nếu r khả nghịch ⇔ rr−1 = r−1 r = ⇔ σ(rr−1 ) = σ(r−1 r) = σ(1) = ⇔ σ(r).σ(r−1 ) = σ(r−1 ).σ(r) = ⇔ s.σ(r−1 ) = σ(r−1 ).s = ⇔ s khả nghịch Nếu − r khả nghịch ⇔ (1 − r)(1 − r)−1 = (1 − r)−1 (1 − r) = ⇔ σ((1 − r)(1 − r)−1 ) = σ((1 − r)−1 (1 − r)) = σ(1) = ⇔ σ(1 − r).σ((1 − r)−1 ) = σ((1 − r)−1 ).σ(1 − r) = ⇔ (1 − s).σ((1 − r)−1 ) = σ((1 − r)−1 )(1 − s) = ⇔ − s khả nghịch Vậy ta chứng minh được: ∀s ∈ S s khả nghịch − s khả nghịch Suy S vành địa phương 2.1.5 Ví dụ Giả sử R vành giao hoán, P iđêan nguyên tố R S = R\P xét tập hợp F = R × S Trên F xác định quan hệ hai ” ∼ ” sau: (a, r) ∼ (b, s) Khi tồn t ∈ s cho tsa = trb Dễ thấy ∼ quan hệ tương đương Tập thương F/ ∼ ký hiệu RP hay S −1 R Mỗi phần a tử RP kí hiệu Như vậy, r 19 a |a ∈ R, r ∈ S r Trên RP xác định phép cộng phép nhân sau: as + br a b ab a b + = ; = r s as r s as Có thể kiểm tra thấy với hai phép toán RP vành địa phương x Tập hợp: A = ∈ S −1 R, x ∈ P gồm phần tử khơng khả nghịch A r đóng kín phép cộng x y Thật vậy, với , ∈ A, ta có: r s x y sx + ry x y + = với sx + ry ∈ P ; nghĩa + ∈ A r s rs y s Vậy RP vành địa phương RP = S −1 R = 2.2 Điều kiện để vành chuỗi lũy thừa hình thức vành địa phương 2.2.1 Định nghĩa Cho R vành Đặt ∞ xi , ∈ R R[[x]] = i=0 ∞ Khi ∀f = xi , ∀g = i=0 ∞ bi xi ∈ R[[x]] i=0 ∞ Phép toán cộng: f + g = (ai + bi )xi i=0 ∞ ci xi với ck = Phép toán nhân: f.g = i=0 b j i+j=k Suy R[[x]] vành có đơn vị chuỗi f0 = Vành R[[x]] gọi vành chuỗi biến x 2.2.2 Tính chất 20 ∞ i) Mọi f = xi ∈ R[[x]] f khả nghịch R[[x]] a0 i=0 khả nghịch R ii) R[[x]] vành địa phương R vành địa phương Từ suy R trường R[[x]] vành địa phương Chứng minh: i) f khả nghịch a0 khả nghịch ∞ (=⇒) Nếu f khả nghịch tồn g = ∞ Mà f.g = bi xi cho f.g = i=0 ci xi , ck = i=0 bj nên = c0 = a0 b0 Vậy a0 khả nghịch i+j=k (⇐=) a0 khả nghịch a0 b0 = suy b0 = a−1 ∞ Từ việc tìm g = bi xi , bk xác định: i=0 c1 = a0 b1 + b0 a1 ⇒ b1 = −(a1 b0 )a−1 c2 = a0 b2 + b2 a0 + a1 b1 ⇒ b2 = a−1 (−a1 b1 − a0 b2 ) Tiếp tục trình ta xác định bk f khả nghịch ii) R[[x]] địa phương R địa phương Nhúng R −→ R[[x]], a → a + 0xi đơn cấu, lúc R[[x]] mở rộng R ∞ Nếu R địa phương f = xi ∈ R[[x]] i=0 Giả sử f khơng khả nghịch theo i) a0 khơng khả nghịch Khi ∞ − a0 khả nghịch − f = − a0 + xi khả nghịch i=0 Vậy R[[x]] vành địa phương Ngược lại, tương tự với chứng minh R[[x]] địa phương R địa phương Khi R trường, f (x) ∈ R[[x]], f (x) không khả nghịch a0 = Do tập phần tử khơng khả nghịch đóng kín phép cộng, R[[x]] vành địa phương 21 2.3 Định lí phân tích vành tổng quát 2.3.1 Định lí Cho R vành RR = ⊕ Ai phân tích thành tổng i∈I trực tiếp iđêan phải Ai , i ∈ I Khi đó, Tập I hữu hạn chẳng hạn |I| = n với số nguyên dương n ∃ei ∈ R, i = 1, n cho Ai = ei R, ∀i = 1, n, (i) ei lũy đẳng ∀i = 1, n (ii) ei ej = 0, ∀i = j ∈ {1, 2, 3, , n} (iii) e1 + e2 + + en = Họ {e1 , , en } thỏa mãn ba điều kiện (i), (ii), (iii) gọi họ lũy đẳng trực giao đầy đủ Ngược lại R, tồn họ lũy đẳng trực giao đầy đủ {e1 , e2 , , en } RR = ⊕ ei R i=1,n Chứng minh: Ta có ∈ RR = ⊕Ai =⇒ = a1 + a2 + + an (*), ∈ Ai Đặt R môđun Ai sinh , i = 1, n Ta chứng minh R = Ai RR = a1 R ⊕ a2 R ⊕ ⊕ an R Thật vậy, Ta có: R ⊆ Ai Lấy ∈ Ai ta có = 1.ai ⇔ = a1 + a2 + + an Do tính chất tổng trực tiếp nên biểu diễn dạng = ai Suy a1 = = an = ai = =⇒ = ai ∈ R ⇒ Ai ⊆ R Suy R = Ai Vâỵ R = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An Mặt khác, ∀r ∈ R 22 r = a1 R + a2 R + + an R = A1 ⊕ ⊕ An , suy |I| = n Đặt ei = , i = 1, n Từ (*) nên ta có ei = e1 ei + e2 ei + + en ei Do phân tích nên e1 ei = = en ei = ei = ei ei ⇒ ei = e2i ⇒ ei lũy đẳng, nên ta có (i) Cũng e1 ei = = en ei = ei = ei ei nên ej ei = 0, ∀i = j , nên ta có (ii) = a1 + a2 + + an = e1 + e2 + + en , nên ta có (iii) Ta chứng minh RR = e1 R ⊕ e2 R ⊕ ⊕ en R Thật ∀r ∈ R ta có r = e1 r + e2 r + + en r e1 + e2 + + en = Suy r ∈ e1 R + e2 R + + en R =⇒ R = e1 R + e2 R + + en R (1) ∀k ∈ 1, n, ta chứng minh ek R ∩ ei R = k=i,i=1,n Lấy x ∈ ek R ∩ ei R k=i,i=1,n Khi  x ∈ e r k ⇔ x ∈ e r + e r + + e r n  x = e r k ⇔ x = e r + e r + + e r n Vì e2k = ek (do ek lũy đẳng) nên ek x = e2k r = ek r = x ⇒ ek x = x =⇒ ek r = ek (e1 r + e2 r + + en r) ⇔ ek r = ek e1 r + ek e2 r + + ek en r Vì ek ei = (k = i) nên ek r = Suy x = =⇒ ek R ∩ ei R = (2) k=i,i=1,n Từ (1) (2) ta có RR = ⊕ ei R i=1,n 2.3.2 Hệ Nếu e ∈ R, e lũy đẳng R = eR ⊕ (1 − e)R 23 Chứng minh: Ta có: · e2 = e (do e lũy đẳng) · (1 − e)2 = (1 − e)(1 − e) = − e − e + e2 = − e ⇒ − e lũy đẳng · e(1 − e) = e − e2 = e − e = · e + − e = =⇒ e, − e lũy đẳng trực giao đầy đủ Theo Định lí 2.1.3 suy R = eR ⊕ (1 − e)R 2.3.3 Hệ Các mệnh đề sau vành R tương đương: (1) RR khơng phân tích bên phải, tức R = A ⊕ B với A, B iđêan phải R A = 0, B = R A = R, B = (2) R R, khơng phân tích bên trái, tức R = A ⊕ B với A, B iđêan trái R A = 0, B = R A = R, B = (3) R có hai luỹ đẳng Chứng minh: Chứng minh (1) =⇒ (3) Giả sử e luỹ đẳng R Khi − e luỹ đẳng R e(1 − e) = Do đó, họ e, − e luỹ đẳng trực giao = e + (1 + e) Do theo Định lý phân tích vành tổng qt Suy R = eR ⊕ (1 − e)R Do RR khơng phân tích từ giả thiết (1), suy eR = R, (1 − e)R = =⇒ e = eR = 0, (1 − e)R = R =⇒ e = Do ta có (3) Trường hợp (3) =⇒ (1) 24 Giả sử RR = A ⊕ B Theo Định lí phân tích vành tổng quát, ta có A = eR, B = f R mà họ e, f họ trực giao = e + f giả thiết (3) nên e = 1, f = =⇒ A = R, B = f = 1, e = =⇒ A = 0, B = R Suy R khơng phân tích Các trường hợp (1) =⇒ (2), (2) =⇒ (3) chứng minh tương tự 2.4 Tính chất điều kiện vành tự đồng cấu địa phương 2.4.1 Định lí Cho mơđun M S := End(M ) vành địa phương kéo theo M mơđun khơng phân tích Chứng minh: Từ Định lí 1.2.4 ta cần chứng minh S có hai lũy đẳng Thật giả sử e ∈ S lũy đẳng mà e = e = Khi đó, − e lũy đẳng − e = 0, − e = Do lũy đẳng khả nghịch có 1, mà e = 1, − e = =⇒ e − e không khả nghịch Lại do, S địa phương nên đóng kín khơng khả nghịch Suy ra, = e + (1 − e) không khả nghịch Điều dẫn đến vô lý Vậy, e = e = 2.4.2 Định lí Cho mơđun M = Nếu M khơng phân tích có độ dài hữu hạn vành tự đồng cấu M vành địa phương phần 25 tử khơng khả nghịch luỹ linh Chứng minh: Do M có độ dài hữu hạn nên theo 1.3.3 1.3.5 ta có: ∃n ∈ N : M = Imϕn ⊕ Kerϕn Thật vây, theo giả thuyết định lý M có độ dài hữu hạn nên theo mệnh đề ta có: ∃n ∈ N : M = Imϕn ⊕ Kerϕn ], ϕ ∈ End(MR ) Vì M khơng phân tích nên Ker(ϕn ) = Im(ϕn ) = Xét trường hợp 1: Kerϕn = =⇒ Kerϕ = =⇒ ϕ đơn cấu M Artin (do M có độ dài hữu hạn) suy ϕ đẳng cấu, suy ϕ khả nghịch Trường hợp 2: Imϕn = =⇒ ϕn = =⇒ ϕ luỹ linh, suy − ϕ khả nghịch Vậy, End(M ) vành địa phương Nếu ϕ ∈ End(M ) khơng khả nghịch suy Imϕn = =⇒ n = =⇒ ϕ luỹ linh Ngược lại ϕ lũy linh ϕ khơng khả nghịch 2.4.3 Định lí Cho QR = mơđun nội xạ khơng phân tích S := End(QR ) vành địa phương Chứng minh: 26 Cho ϕ ∈ S ϕ đơn cấu Khi đó, QR nôị xạ, mà ϕ ∈ S nên suy Imϕ nội xạ Suy Imϕ ⊂⊕ QR , QR khơng phân tích nên Imϕ = QR =⇒ ϕ đẳng cấu, suy ϕ khả nghịch Ta có nhận xét: Với giả thiết QR ϕ ∈ S khả nghịch ϕ đơn cấu hay Kerϕ = 0, suy ϕ ∈ S không khả nghịch Kerϕ = Với ϕ1 , ϕ2 khả nghịch thuộc S , Kerϕ1 , Kerϕ2 = Mặt khác QR mơđun nội xạ khơng phân tích nên QR bất khả quy Suy = Kerϕ1 ∩ Kerϕ2 ⊂ Ker(ϕ1 + ϕ2 ) =⇒ ϕ1 + ϕ2 không khả nghịch Theo khái niệm vành địa phương tập phần tử khơng khả nghịch S đóng kín với phép cộng nên S địa phương 2.4.4 Định lí Với MR = (a) Cho M Artin Noether Khi M = ⊕ Mi Trong Mi i=1,n mơđun khơng phân tích (b) Cho M mơđun Artin Noether có độ dài hữu hạn Nếu Mi mơđun khơng phân tích được, với M = ⊕ Mi End(Mi ) địa i=1,n phương với i = 1, n Chứng minh: (a) Ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Cho M Artin Lấy Γ số hạng trực tiếp B = M Với M = M = M ⊕ có M ∈ Γ, Γ = ∅ Lấy B0 tối tiểu Γ, B0 khơng phân tích thành tổng trực tiếp (vì khơng B0 khơng tối tiểu Γ) Bây ta lấy môđun C ⊆ M , tồn mơđun 27 hữu hạn khơng phân tích thành tổng trực tiếp môđun B1 = 0, , Bl = với: M = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bl ⊕ C Do tồn hạng tử khơng phân tích B0 nên tiểu = Ta lấy C0 tối M = M1 ⊕ M2 ⊕ ⊕ Mn ⊕ C0 Và rõ ràng ta có C0 = 0, C0 = mà C0 Artin môđun môđun Artin nên C0 tách số hạng khác khơng phân tích thành tổng trực tiếp dẫn đến mâu thuẫn với C0 tối tiểu Trường hợp 2: M Noether Gọi Γ số hạng trực tiếp A = M M Vì ∈ Γ, có Γ = ∅ Lấy A0 tối đại Γ giả sử có M = A0 ⊕ B0 Từ A0 tối đại, kéo theo B0 khơng phân tích thành tổng trực tiếp A0 = M B0 = Gọi tập môđun C M mà mơđun khơng phân tích thành tổng trực tiếp Chọn ∈ , có = ∅ Lấy B1 + B2 + + Bk = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bk Vì M mơđun Noether nên tồn phần tử tối đại , với Bi Lấy thêm M = B1 ⊕ B2 ⊕ ⊕ Bk ⊕ C0 Giả sử C0 = 0, cách xét môđun Noether C0 phải chứa hạng tử trực tiếp khơng phân tích khác Điều mâu thuẫn với giả thiết tối đại B1 ⊕ ⊕Bk Do đó, C0 = MR = M = ⊕ Mi , với Mi môđun i=1,n không phân tích (b) Nếu M mơđun có độ dài hữu hạn, M môđun Artin M lại phân tích (a) Vì Mi mơđun có độ dài hữu hạn khơng 28 phân tích Do Định lí 2.4.2 suy End(Mi ) vành địa phương 29 KẾT LUẬN Nội dung luận văn tìm hiểu vành tự đồng cấu địa phương, điều kiện để vành tự đồng cấu địa phương số tính chất đặc trưng vành địa phương Cụ thể luận văn nghiên cứu vấn đề sau: Tìm hiểu định nghĩa tính chất vành tự đồng cấu mơđun, vành tự đồng cấu môđun Noether Artin Cụ thể trình bày mục 1.2 1.3 Trình bày vành địa phương số tính chất đặc trưng vành địa phương Cụ thể trình bày mục 2.1, 2.2 Tìm hiểu trình bày vành tự đồng cấu địa phương, tính chất điều kiện để vành tự đồng cấu địa phương Cụ thể trình bày mục 2.3, 2.4 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS- mơđun, luận án Phó Tiến sĩ Toán- Lý, Trường đại học sư phạm Vinh Tiếng Anh [2] Le Van An, Nguyen Hai An, Ngo Sy Tung (2017), On the (1 − C2 ) condition, Math.J of Okayama Uni., 37, 141- 147 [3] F.W.Anderson and K.R.Fuller (1974),Rings and Categories of Modules, springer- Verlag, New York- Heidelberg- Berlin [4] F.Kasch (1982), Modules and Rings, No 17, Academic Press, LondonNew York ... hiệu Mở đầu Vành tự đồng cấu 1.1 Các phần tử đặc biệt vành 1.2 Vành tự đồng cấu môđun 1.3 Vành tự đồng cấu môđun Noether Artin Vành tự đồng cấu địa phương ... 2.4.2 suy End(Mi ) vành địa phương 29 KẾT LUẬN Nội dung luận văn tìm hiểu vành tự đồng cấu địa phương, điều kiện để vành tự đồng cấu địa phương số tính chất đặc trưng vành địa phương Cụ thể luận... định nghĩa tính chất vành tự đồng cấu mơđun, vành tự đồng cấu môđun Noether Artin Cụ thể trình bày mục 1.2 1.3 Trình bày vành địa phương số tính chất đặc trưng vành địa phương Cụ thể trình bày