Tính nguyên tố của môđun trong vành tự đồng cấu

Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Vành môđun Artin Môđun nguyên tố nửa nguyên tố 2.1 Khái niệm số tính chất 2.2 Môđun nguyên tố 2.3 Mối quan hệ môđun nguyên tố vành tự đồng cấu 2.4 Tính chất mơđun nửa nguyên tố 3 6 10 12 13 LỜI GIỚI THIỆU Trong này, nghiên cứu khái niệm môđun nguyên tố R-môđun phải mô tả thuộc tính chúng tổng quát iđêan nguyên tố vành tự đồng cấu xem [11] Môđun nguyên tố môđun nguyên tố nhiều tác giả nghiên cứu Để chuyển cấu trúc iđêan nguyên tố sang môđun nhiều tác giả chuyển khái niệm từ môđun phải sang môđun trái vành liên kết tương ứng Bởi tương ứng thuộc tính iđêan nguyên tố, số tác giả giới thiệu khái niệm môđun nguyên tố môđun nguyên tố, nghiên cứu cấu trúc chúng Tuy nhiên, khái niệm có giá trị vài trường hợp môđun vành giao hốn Trong số trường hợp vành khơng giao hốn, ta khơng thể tìm cấu trúc tương tự iđêan nguyên tố Để làm rõ vấn đề chọn tên đề tài là: "Tính ngun tố mơđun vành tự đồng cấu" Ngồi phần giới thiệu kết luận đề tài chia thành hai chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Đưa khái niệm môđun như: môđun, môđun con, môđun trung thành, nhắc lại số khái niệm có sử dụng báo cáo Chương 2: Môđun nguyên tố nửa nguyên tố Trong chương đưa tính chất mơđun ngun tố, nửa nguyên tố, môđun nguyên tố, vành tự đồng cấu Một số tính chất liên quan mơđun ngun tố iđêan ngun tố Ngồi ra, tính chất vành R nửa đơn thơng qua tính nửa nguyên tố môđun xét đến Chương Kiến thức chuẩn bị Trong đề tài này, vành R cho ln vành kết hợp có đơn vị = (không thiết vành giao hoán) 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 (Môđun) Cho vành R M gọi R-môđun phải M nhóm cộng aben với phép tốn nhân (ngồi) Ánh xạ: M × R → M thỏa mãn điều kiện sau: (m, r) → mr (i) quy tắc kết hợp: m(rr ) = (mr)r (ii) quy tắc phân phối: (m + m )r = mr + mr m(r + r ) = mr + mr (iii) quy tắc Unita: m1 = m ∀m, m ∈ M, ∀r, r ∈ R Một R-môđun phải thường kí hiệu MR Tương tự, ta có khái niệm R-mơđun trái Kí hiệu: RM Định nghĩa 1.1.2 (Môđun con) Cho MR A nhóm M A gọi mơđun M Nếu A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân hạn chế A Ký hiệu: A ≤ M Ngoài ta viết, A < M A hiểu mơđun thực M Định nghĩa 1.1.3 (Iđêan trái) Cho R vành ∅ = I ⊂ R I gọi iđêan phải vành R nếu: i) ∀x, y ∈ I ⇒ x − y ∈ I ii) ∀x ∈ I, ∀r ∈ R ⇒ rx ∈ I Tương tự, ta có định nghĩa iđêan phải Định nghĩa 1.1.4 (Môđun bất biến đầy) Cho M R-môđun phải S = EndR (M) vành tự đồng cấu Một môđun X M gọi môđun bất biến đầy M với s ∈ S, ta có s(X) ≤ X Để thuận tiện cho việc chứng minh kí hiệu mơđun bất biến hồn tồn X M X ≤fi M Định nghĩa 1.1.5 (Môđun đơn) Môđun M gọi đơn M = ∀A ≤ M (A = A = M), nghĩa M = M có hai mơđun M Đặc biệt, M gọi nửa đơn môđun hạng tử trực tiếp, tương đương M tổng trực tiếp môđun đơn Định nghĩa 1.1.6 (Môđun trung thành) Cho M R-môđun phải Khi M gọi trung thành nếu rR (M) = 0, với rR (M) = {x ∈ R|mx = 0, ∀m ∈ M} Định nghĩa 1.1.7 (Môđun nội xạ) Môđun Q gọi nội xạ đơn cấu f : K → M đồng cấu g: K → U tồn đồng cấu p: M → U cho: pf = g, nghĩa biểu đồ sau giao hoán: U ♣ ✻ ■♣ ♣ p ♣♣ ♣♣ ♣ f ✲ K ✲ M g Khi đó, ta gọi p mở rộng g theo đơn cấu f Định nghĩa 1.1.8 (Đồng cấu môđun) Cho M, N hai R - môđun phải Đồng cấu α từ M vào N ánh xạ α: M → N thỏa: ∀a1 , a2 ∈ M, ∀r1 , r2 ∈ R: [α(a1 r1 + a2 r2 )] = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 Lúc đó, ta viết α: MR → NR Đặc biệt, f : M → M gọi tự đồng cấu M Kí hiệu: End(M) = {tự đồng cấu M} : Vành tự đồng cấu M Định nghĩa 1.1.9 (Toàn cấu tắc) Cho A ≤ M Ánh xạ p : M → M/A m → p(m) = m + A Khi đó, p đồng cấu gọi tồn cấu tắc Kerp = {∀m ∈ M|p(m) = 0} = {∀m ∈ M|m + A = + A} = {∀m ∈ M|m ∈ A} = A Bổ đề 1.1.10 (Bổ đề Zorn’s) Cho tập hợp S = ∅ Trên S người ta trang bị quan hệ thứ tự "≤" Nếu với ∅ = Γ ∈ S thứ tự toàn phần (hai phần tử ln so sánh với nhau) có cận lớn nhất, S có phần tử cực đại 1.2 Vành môđun Artin Định nghĩa 1.2.1 (Định nghĩa dãy DCC) Tập J iđêan phải R gọi thỏa mãn điều kiện dãy giảm (descending chain condition, thường viết tắt DCC) với dãy L1 ≥ L2 ≥ ≥ Ln ≥ J , tồn n ∈ N Ln+i = Ln , (∀i = 1, 2, ) Tương tự ta có định nghĩa điều kiện dây chuyền tăng, kí hiệu ACC Định nghĩa 1.2.2 (Môđun Artin) Một môđun M gọi môđun Artin M thỏa điều kiện DCC môđun M Vành R gọi Artin phải RR môđun Artin Định lý 1.2.3 Các điều kiện sau tương đương: (1) R vành Artin phải (2) Mọi tập khác rỗng iđêan phải R có phần tử cực tiểu (3)Cho {Ai , i ∈ I} iđêan phải R, tồn tập hữu hạn I0 ⊆ I cho ∩i∈I Ai = ∩i∈I0 Ai Chương Môđun nguyên tố nửa nguyên tố Toàn kết lấy từ báo [11] Tuy nhiên, định lý chứng minh vắn tắt đề tài tơi trình bày lại chi tiết, rõ ràng 2.1 Khái niệm số tính chất Theo định nghĩa mơđun bất biến đầy ta thấy lớp tất môđun bất biến đầy M khơng rỗng đóng tổng tích Đặc biệt, iđêan phải R môđun bất biến đầy RR iđêan hai phía R Cho I, J ⊂ S X ≤ M Quy ước: I(X) = f (X) f∈I Ker(I) = Kerf f∈I xi yi | xi ∈ I, yi ∈ I, ≤ i ≤ n, n ∈ N} I.J = { 1≤i≤n Với quy ước ta thấy R-mơđun phải M iđêan I ≤ R, tập MI môđun bất biến đầy M Định nghĩa 2.1.1 Cho M R-môđun phải X ≤fi M, X = M X gọi mơđun ngun tố M (ta nói X ngun tố M) với I(U ) ≤ X I(M) ≤ X U ≤ X iđêan I ≤ S, ∀U ≤fi M: Đặc biệt, iđêan P ≤ R iđêan nguyên tố với iđêan I, J ≤ R: I.J ≤ R I ≤ P J ≤ P Một R-môđun phải M gọi môđun nguyên tố nguyên tố M Định lý 2.1.2 Cho X < M môđun bất biến đầy Các điều kiện sau tương đương: (1) X môđun nguyên tố M; (2) ∀ iđêan phải I ≤ S,∀ môđun U ≤ M, I(U ) ≤ X I(M) ≤ X U ≤ X (3) ∀ϕ ∈ S, ∀U ≤fi M ϕ(U ) ≤ X ϕ(M) ≤ X U ≤ X (4) ∀I iđêan trái S, ∀A ⊂ M, IS(A) ⊂ X I(M) ≤ X A ⊂ X (5) ∀ϕ ∈ S, ∀m ∈ M, ϕ(S(m)) ⊂ X ϕ(M) ≤ X m ∈ X Hơn nữa, M tự xạ ảnh điều kiện tương đương: (6) M/X môđun nguyên tố Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử X môđun nguyên tố M I iđêan phải S Khi đó, I = IS SI iđêan S Với U môđun M ta có S(U ) ≤fi M Do S = End(M), với ϕ ∈ S, e ∈ S, u ∈ U ta có ϕ(e(u)) = ϕ(e)(u) ∈ S(U ) suy S(U ) ≤fi M (vì X ≤fi M) Nếu I(U ) ≤ X (SI)(S(U )) = SIS(U ) = S(I(U )) ≤ X Vì X môđun nguyên tố M nên ta có SI(M) ≤ X U ≤ X Suy I(M) ≤ X U ≤ X (2) =⇒ (3) Cho ϕ ∈ S U ≤fi M cho ϕ(U ) ≤ X Suy ϕ(U ) = ϕ(S(U )) = ϕS(U ) Theo (2) ta có ϕS(M) ≤ X U ≤ X Suy ϕ(M) ≤ X U ≤ X (3) =⇒ (5) Cho ϕ ∈ S, m ∈ M suy ϕ(S(m)) ⊂ X Ta có ϕ(S(m))R ≤ X suy ϕ(S(mR)) ≤ X Theo (3) ta có ϕ(S(M) ≤ X S(mR) ≤ X Vậy suy ϕ(M) ≤ X m ∈ X (2) =⇒ (4) Cho I iđêan trái S A ⊂ M cho IS(A) ⊂ X Ta có IS(A)R ≤ X suy IS(AR) ≤ X Theo (2) ta có IS(M) ≤ X AR ≤ X Vậy I(M) ≤ X A ⊆ X (4) =⇒ (5) X ≤fi M Giả sử ϕS(m) ⊂ X kéo theo S(ϕ(S(m))) ⊂ X (do X ≤fi M) Suy (Sϕ)(S(m)) ⊂ X Theo (4) ta có Sϕ(M) ≤ X m ∈ X Vậy ϕ(M) ≤ X m ∈ X (5) =⇒ (1) Cho I iđêan S U ≤fi M với IU ≤ X Giả sử I(M) ≤ X U ≤ X Khi đó, tồn ϕ ∈ I cho ϕ(M) ≤ X m ∈ U \X Theo (5) ta có ϕS(m) ⊂ X (1) =⇒ (6) Cho U môđun bất biến đầy M = M/X ψ ∈ EndR (M) cho ϕ(U ) = ψ = Do M tự xạ ảnh nên tồn tự đồng cấu f ∈ S M cho υf = ψυ, với υ toàn cấu tắc từ M → M Giả sử f (M) ≤ X Đặt V = υ −1(U ) ta có υf (V ) = suy f (V ) ≤ X Vậy V môđun bất biến đầy M Mà X ≤fi M nên f (V ) ≤ X V ≤ X suy U = Từ ta có nguyên tố M hay M môđun nguyên tố (6) =⇒ (1) Cho ϕ ∈ S U môđun bất biến đầy M cho ϕ(U ) ≤ X ϕ(M) ⊂ X Vì X ≤fi M nên tồn tự đồng cấu ψ M cho υϕ = ψυ Mà υϕ(U ) = ψυ(U ) = suy ψ = Theo giả thiết υ(U ) = =⇒ U ≤ X Hệ 2.1.3 Cho P iđêan riêng vành R Các điều kiện sau tương đương: (1) P iđêan nguyên tố (2) I, J hai iđêan phải R Nếu IJ ≤ P I ≤ P J ≤ P (3) Với a ∈ R, I iđêan R Nếu aI ≤ P aR ≤ P I ≤ P (4) I, J hai iđêan trái R Nếu IJ ≤ P I ≤ P J ≤ P (5) Cho x, y ∈ R Nếu xRy ≤ P x ∈ P y ∈ P (6) R/P vành nguyên tố Ví dụ 2.1.4 (1) Cho Z4 = {0, 1, 2, 3} nhóm cộng tính số nguyên môđun X =< > môđun nguyên tố Z-môđun Z4 (2) Cho M môđun nửa đơn M= Ci i∈I với Ci thành phần đơn M Đặt M= Ci i∈I,i=j Mj mơđun ngun tố M (3) Nếu M mơđun nửa đơn có thành phần cấu thành môđun nguyên tố Đặc biệt, M đơn mơđun ngun tố Chú ý 2.1.5 Một môđun N môđun M vành giao hốn R mơđun ngun tố M ∀n ∈ R, m ∈ M: mr ∈ N Mr ∈ N m ∈ N Khi R vành giao hoán, ánh xạ ϕ : M → M xác định ϕ(m) = mr tự đồng cấu M Mệnh đề 2.1.6 Cho M R-môđun phải, X môđun bất biến đầy M Nếu X cực đại lớp mơđun bất biến đầy M X môđun nguyên tố M Đặc biệt, iđêan cực đại vành R iđêan nguyên tố Chứng minh Cho U môđun bất biến đầy M ϕ ∈ S = End(MR) Giả sử U ≤ X ϕ(U ) ≤ X Theo tính cực đại X ta có U + X = M Do ϕ(M) = ϕ(U ) + ϕ(X) ⊂ X (vì X ≤ M) Vậy theo Định lý 2.1.2 (3) ta chứng minh X môđun nguyên tố M Định nghĩa 2.1.7 Một môđun nguyên tố X R-môđun phải M gọi môđun nguyên tố cực tiểu nhỏ lớp mơđun ngun tố M Mệnh đề kéo theo cho ta tính chất tương tự vành: iđêan nguyên tố chứa iđêan nguyên tố cực tiểu Mệnh đề 2.1.8 Nếu P môđun nguyên tố R-mơđun phải M P chứa mơđun nguyên tố cực tiểu M Chứng minh Cho F tập tất môđun nguyên tố M nằm P Khi đó, P ∈ F , F khác rỗng Áp dụng bổ đề Zorn’s chứng tỏ F có phần tử cực tiểu với quan hệ thứ tự bao hàm Chúng ta Ø = G ⊂ F (sắp thứ tự tồn phần) có cận F Đặt Q = ∩N ∈GN Dễ dàng Q môđun bất biến đầy M Tiếp theo ta chứng minh Q môđun nguyên tố M Q ⊂ P Giả sử ϕ ∈ S m ∈ M\Q cho ϕ(S(m)) ⊂ Q Từ m ∈ / Q = ∩N ∈GN , suy tồn N ∈ G cho m ∈ / N Mà theo tính chất nguyên tố N ta có ϕ(M) ≤ N ∀U ∈ G U ≤ N N ≤ U Nếu U ≤ N ta thấy m ∈ / U suy ϕ(M) ≤ U (do tính chất nguyên tố U ) Trường hợp N ≤ U ta có: ϕ(M) ≤ N ≤ U Vậy ϕ(M) ⊂ U , ∀U ⊂ G Tóm lại ϕ(M) ⊂ Q điều chứng tỏ Q môđun nguyên tố M Q cận G Theo bổ đề Zorn’s, tồn môđun P ∗ môđun nguyên tố nhỏ F Vậy P ∗ môđun nguyên tố nhỏ M chứa P Bổ đề 2.1.9 Cho M R-môđun phải S = End(MR ) Giả sử X môđun bất biến đầy M Khi tập IX = {f ∈ S|f (M) ≤ X} iđêan hai phía S Chứng minh Cho ϕ ∈ S f ∈ IX Khi đó, ϕf (M) ≤ ϕ(X) ≤ X f ϕ(M) ⊂ f (M) ⊂ X Từ đây, rõ ràng (IX , +) nhóm aben hay IX iđêan hai phía S Định lý 2.1.10 Cho M R-môđun phải, S = End(MR ) X môđun bất biến đầy M Nếu X môđun nguyên tố M IX iđêan nguyên tố S Ngược lại, M tự sinh IX iđêan nguyên tố S X môđun nguyên tố M Chứng minh Lấy J, K iđêan hai phía S cho J K ≤ IX suy J K(M) ≤ IX (M) ≤ X Giả sử J ≤ IX J (M) ≤ X theo tính ngun tố X ta có K(M) ≤ X Suy ra, K ≤ IX Điều chứng tỏ IX iđêan nguyên tố S Giả sử M tự sinh, X môđun bất biến đầy M IX iđêan nguyên tố S Với ϕ ∈ S U môđun bất biến đầy M cho ϕ(U ) ≤ X Nếu ϕ(M) ≤ X ϕ ∈ / IX Do M tự sinh nên ta có U = f (M), f∈H cho H ⊂ End(M) Khi f (M) ≤ U , ∀f ∈ H Lấy ψ ∈ S,∀f ∈ I ta có ψf (M) ≤ ψ(U ) ≤ U (vì U ≤fi M) nên Sfi (M) ⊂ U Suy I ⊂ S suy ϕ(Sf (M)) ≤ X nên ϕSf ≤ IX , ∀f ∈ H Từ ϕ ∈ / IX , theo Hệ 2.1.3(5) ta cófX ∈ IX hay fX (M) ≤ X, với ∀f ∈ H Điều suy U ≤ X Vậy X môđun nguyên tố M Tiếp theo phần làm rõ khái niệm, đặc trưng môđun nguyên tố 2.2 Mơđun ngun tố Định nghĩa 2.2.1 Một mơđun bất biến đầy X R-môđun phải M gọi mơđun nửa ngun tố giao môđun nguyên tố M Một R-môđun phải M gọi môđun nguyên tố môđun nửa nguyên tố M Một vành R gọi vành nguyên tố RR môđun nguyên tố Một R-môđun phải M gọi môđun nửa nguyên tố môđun nửa nguyên tố M Do đó, vành R vành nửa nguyên tố RR nửa nguyên tố Theo tính chất đối xứng, vành R vành nguyên tố R R R-mơđun trái nửa ngun tố Ví dụ 2.2.2 (1) Mọi môđun nửa đơn với thành phần cấu thành môđun nguyên tố Đặc biệt, môđun đơn nguyên tố (2) Mọi môđun nửa đơn nửa nguyên tố (3) Z coi môđun, Z4 môđun nửa nguyên tố Định lý 2.2.3 Cho M môđun nguyên tố Khi vành tự đồng cấu S vành nguyên tố Ngược lại, M tự sinh S vành nguyên tố M môđun nguyên tố Chứng minh Do M môđun nguyên tố, môđun nguyên tố M Theo Định lý 2.1.10 ta có tập I0 = iđêan nguyên tố S, suy S vành 10 nguyên tố Ngược lại, theo Định lý 2.1.10 ta thấy, môđun nguyên tố M suy I0 = iđêan nguyên tố S Bổ đề 2.2.4 Cho M môđun tự xạ ảnh, P môđun nguyên tố M, A ≤ P môđun bất biến đầy M Khi P/A mơđun nguyên tố M/A Chứng minh Cho S = EndR (M/A) Lấy ϕ ∈ S X/A môđun bất biến đầy M/A với A ≤ X ϕ(X/A) ≤ (P/A) Do M tự xạ ảnh nên tồn f ∈ S cho ϕυ = υf , υ : M → M/A phép chiếu tắc Ta có ϕ(X/A) = ϕυ(X) = υf (X) = (f (X) + A)/A ≤ P/A suy f (X) ≤ P Do A môđun bất biến đầy M X/A môđun bất biến đầy M/A nên X mơđun bất biến đầy M Theo tính ngun tố P ta có f (M) ≤ P X ≤ P Từ đó, (f (M) + A)/A ≤ P/A X/A ≤ P/A Suy ϕ(M/A) = (f (M) + A)/A ≤ P/A X/A ≤ P/A Vậy P/A môđun nguyên tố M/A Bổ đề 2.2.5 Cho M môđun tự xạ ảnh A môđun bất biến đầy M Nếu P ≤ M/A môđun nguyên tố M/A υ −1 (P ) mơđun ngun tố M Chứng minh Đặt M = M/A P = υ −1(P ) với υ : M → M/A tồn cấu tắc Giả sử f ∈ S = End(M) X môđun bất biến đầy M với f (X) ≤ P Do A môđun bất biến đầy M nên tồn f ∈ S cho f υ = υf Ta có f (X) ≤ P nên υf (X) ≤ υ(P ) = P f υ(X) ≤ P Mà M môđun tự xạ ảnh nên υ(X) môđun bất biến đầy M/A Theo giả thiết ta có f (M) ≤ P υ(X) ≤ P Nếu f (M) ≤ P f υ(M) ≤ P υf (M) ≤ P suy f (M) ≤ P Nếu υ(X) ≤ P , X ≤ P Vậy P mơđun nguyên tố M Với R-môđun phải M Kí hiệu P (M) giao tất môđun nguyên tố M Theo định nghĩa M mơđun nửa ngun tố P (M) = Định lý 2.2.6 Cho M mơđun tự xạ ảnh Khi M/P (M) môđun nửa nguyên tố nghĩa P (M/P (M)) = Chứng minh Đặt M = M/P (M) Theo Bổ đề 2.2.4 2.2.5 ta có P (M) = X= X≤M ,Xnguyên tố X/P (M) = ( X≤M,Xnguyên tố 11 X≤M,Xnguyên tố X)/P (M) = P (M)/P (M) = Suy M/P (M) môđun nửa nguyên tố 2.3 Mối quan hệ môđun nguyên tố vành tự đồng cấu Bây giờ, nghiên cứu mối quan hệ môđun nửa nguyên tố vành tự dồng cấu Trước hết có Bổ đề sau Bổ đề 2.3.1 Cho M R-môđun phải {Pi , i ∈ I} họ môđun bất biến đầy M đặt P0 = ∩i∈I Pi Ii = {f ∈ S|f (M) ⊂ Pi }, i = i ∈ I Khi ∩i∈I Ii = I0 Chứng minh Cho f ∈ S Và f ∈ i∈I Ii f (M) ≤ Pi , ∀i ∈ I hay f (M) ≤ i∈I Pi nghĩa f ∈ I0 Điều ngược lại rõ ràng Suy i∈I Ii = I0 Vậy bổ đề chứng minh Định lý 2.3.2 Nếu M môđun nửa nguyên tố S vành nửa nguyên tố Chứng minh Giả sử M môđun nửa nguyên tố, ta có = ∩i∈I Pi với {Pi , ∀i ∈ I} họ môđun nguyên tố M Theo Định lý 2.1.10 ta có Ii = {∀f ∈ S|f (M) ⊂ Pi } iđêan nguyên tố S với i ∈ I Vì ∩i∈I Pi = nên ta có = I0 = ∩i∈I Ii Vậy S nửa nguyên tố Định lý 2.3.3 (1) Nếu M mơđun ngun tố, M n môđun nguyên tố ∀n ∈ N (2) Nếu M mơđun nửa ngun tố M n môđun nửa nguyên tố ∀n ∈ N Chứng minh Xét trường hợp n = Ta chứng minh X môđun nguyên tố M, sau chứng minh X mơđun ngun tố M Dễ thấy X môđun bất biến đầy M Đặt S = EndR (M 2), ∀ϕ ∈ S biểu diễn ϕ11 ϕ12 S S ϕ= S = Với ∀m = (m1 , m2 ) giả sử ϕSm ⊂ X 2, với S S ϕ21 ϕ22 2 ϕ(M ) ⊂ X Ta có ϕSm = [ϕ11 S(m1 ) + ϕ21 S(m1 ) + ϕ11 S(m2 ) + ϕ21 S(m2 )] ⊕ [ϕ12 Sm1 + ϕ22 Sm1 + ϕ12 Sm2 + ϕ22 Sm2 ] ⊂ X Vì ϕ(M ) ⊂ X 2, có phần tử ϕij (M) không nằm X, suy m = (m1 , m2 ) Vậy X môđun nguyên tố M (1) Giả sử M môđun nguyên tố Khi đó, mơđun ngun tố M M môđun nguyên tố (2) Giả sử M môđun nửa nguyên tố Theo định nghĩa = ∩i∈Ω Pi , với Pi môđun nguyên tố M Rõ ràng ta có ∩i∈Ω Pi, ⊕∩i∈Ω Pi, = ∩i∈Ω (Pi ⊕Pi = 0) 12 Theo chứng minh ta thấy M môđun nửa nguyên tố Vậy định lý chứng minh Cho Matn (R) vành tất ma trận cấp n có hệ số R Theo Định lý 2.2.3, 2.3.2 2.3.3 ta có hệ sau: Hệ 2.3.4 Nếu R vành nguyên tố (tương tự cho vành nửa nguyên tố ), Rn R-môđun nguyên tố (nửa nguyên tố ) Matn (R) vành nguyên tố (nửa nguyên tố) Bây nghiên cứu đặc trưng môđun nửa ngun tố 2.4 Tính chất mơđun nửa ngun tố Định lý 2.4.1 Cho X môđun nguyên tố R-môđun M Nếu M tự sinh hay R vành giao hốn tập (X : M) = {r ∈ R|Mr ⊂ X} iđêan nguyên tố R Chứng minh Đặt P = (X : M) S = End(M) Ta có P iđêan hai phía R Giả sử M tự sinh, cho I, J iđêan hai phía R cho J I ≤ P J ≤ P MJ I ≤ X MJ ≤ X Với MI MJ môđun bất biến đầy M Do M tự sinh MJ ⊂ X nên tồn ϕ ∈ S cho ϕ(M) ≤ X ϕ(M) ≤ MJ Khi đó, ϕ(MI) = ϕ(M)I ≤ MJ I ≤ X Theo tính nguyên tố X ta có M I ≤ X hay I ≤ P Suy P iđêan nguyên tố R Bây giờ, giả sử R vành giao hoán Đặt r, s ∈ R với rs ∈ P s ∈ / P Khi đó, Mrs ≤ X Ms ≤ X Do R giao hoán nên f : M → M xác định f (m) = ms tự đồng cấu M Mà f (Mr) = Mrs ≤ X suy f S(Mr) ≤ X Mặt khác X môđun nguyên tố M f (M) = Ms ≤ X nên S(Mr) ≤ X Suy Mr ≤ X r ∈ P Vậy P iđêan nguyên tố R Hệ 2.4.2 Cho M R-môđun Nếu M tự sinh R vành giao hốn linh hóa tử phải rR (M) = (0 : M) iđêan nguyên tố R Chứng minh Do M môđun nguyên tố, môđun nguyên tố M Theo Định lý 2.4.1 rR (M) = (0 : M) iđêan nguyên tố R Hệ 2.4.3 Mỗi linh hóa tử phải môđun phải đơn R iđêan nguyên tố iđêan phải (trái) cực đại chứa đựng iđêan ngun tố Chứng minh Ta có mơđun đơn mơđun ngun tố Hơn nữa, tự sinh Áp dụng Hệ 2.4.2, linh hóa tử R-môđun phải đơn iđêan nguyên tố Điều suy iđêan phải cực đại chứa đựng iđêan nguyên tố Tương tự, iđêan trái cực đại chứa đựng iđêan ngun tố Theo chúng tơi đề xuất kết vành nửa đơn bổ đề 13 Bổ đề 2.4.4 Trong vành R, điều kiện sau tương đương (1) R nửa đơn (2) R nửa nguyên tố vành Artin phải (3) R nửa nguyên tố thỏa mãn tính chất DCC iđêan phải Chứng minh Xem [7], định lý 10.24 Định lý sau suy từ bổ đề Định lý 2.4.5 Cho M tự xạ ảnh, hữu hạn sinh tự sinh Các điều kiện sau tương đương (1) M nửa đơn (2) M vành Artin nửa nguyên tố (3) M nửa nguyên tố thỏa mãn điều kiện DCC môđun xyclic M Chứng minh Dễ dàng chứng minh (1)=⇒(2) (2)=⇒(3) Ta chứng minh (3)=⇒(1) Theo định lý 2.3.2, ta thấy S vành nửa nguyên tố Do M tập sinh hữu hạn, tự xạ ảnh tự sinh nên theo [10], 43.10 S thỏa mãn điều kiện DCC iđêan phải Theo Hệ 2.4.4, vành S nửa đơn nên suy M R-môđun phải nửa đơn 14 KẾT LUẬN Đề tài bao gồm ba phần: Lời giới thiệu, nội dung kết luận Phần nội dung đề tài trình bày hai chương Trong chương một, chúng tơi trình bày nội dung, khái niệm sử dụng chương sau Trong chương hai, chúng tơi nghiên cứu tính chất, đặc điểm môđun nguyên tố, nửa nguyên tố, môđun nửa đơn, số tính chất liên quan mơđun ngun tố iđêan nguyên tố Các tính chất chúng tơi trình bày chứng minh rõ ràng đề tài Do khả thời gian có hạn nên em khơng thể trình bày hết nội dung đề cập đến đề tài không tránh khỏi thiếu sót mong Q Thầy Cơ đọc bổ sung cho đề tài hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn 15 Tài liệu tham khảo [1] R Ameri,On the prime submodules of multiplication modules, Int J Math Math Sci 27 (2003) 1715-1724 [2] F W Anderson and K R Fuller, Rings and Categories of Modules , Graduate Text in Math, No 13, Springer-Verlag, New York- Heidelberg- Berlin, 1992 [3] A W Chatters, C R Hajarnavis, Rings with chain conditions, Pitman Advanced Publishing Program, 1980 [4] A Gaur, A Kumar Maloo and A Parkash, Prime submodules in multiplication modules, Int J Algebra 1(8) (2007) 375-380 [5] A Gaur and A Kumar Maloo, Milimal prime submodules, Int J Algebra 2(20) (2008) 953-956 [6] K R Goodearl and R B Warfield, An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1989 [7] T Y Lam, A first course in noncommutative rings, Springer-Verlag, New York, 1991 [8] C P Lu, Prime submodules of modules, Comment Math Univ St Pal 33(1984) no 61-69 [9] B Stenstrom, Rings of quotients, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1975 [10] R Wisbauer, Foundations of Modules and Ring Theory, Gordon and Breach, Tokyo, 1991 [11] N V Sanh, N A Vu, K F U Ahmed, S Asawasamrit and L P Thao, Primeness In Module Category, Asian-European Journal of Math, 3(1)(2010), 145-154 16 ... nguyên tố M Một R -môđun phải M gọi môđun nguyên tố môđun nửa nguyên tố M Một vành R gọi vành nguyên tố RR môđun nguyên tố Một R -môđun phải M gọi môđun nửa nguyên tố môđun nửa nguyên tố M Do đó, vành. .. biệt, môđun đơn nguyên tố (2) Mọi môđun nửa đơn nửa nguyên tố (3) Z coi môđun, Z4 môđun nửa nguyên tố Định lý 2.2.3 Cho M mơđun ngun tố Khi vành tự đồng cấu S vành nguyên tố Ngược lại, M tự sinh...LỜI GIỚI THIỆU Trong này, nghiên cứu khái niệm môđun nguyên tố R -môđun phải mơ tả thuộc tính chúng tổng quát iđêan nguyên tố vành tự đồng cấu xem [11] Môđun nguyên tố môđun nguyên tố nhiều tác