phương
2.4.1 Định lí. Cho mơđun M và S := End(M) là vành địa phương thì kéo theo M là mơđun khơng phân tích được.
Chứng minh:
Từ Định lí 1.2.4 ta chỉ cần chứng minh S có hai lũy đẳng 0 và 1.
Thật vậy giả sử e ∈ S là lũy đẳng mà e 6= 0 và e 6= 1.
Khi đó, 1−e là lũy đẳng 1−e6= 0,1−e 6= 1.
Do lũy đẳng và khả nghịch chỉ có 1, mà e 6= 1, 1− e 6= 1 =⇒ e và 1 −e không khả nghịch.
Lại do, S là địa phương nên đóng kín và khơng khả nghịch.
Suy ra, 1 = e+ (1−e) không khả nghịch. Điều này dẫn đến vô lý. Vậy, e= 0 hoặc e = 1.
2.4.2 Định lí. Cho mơđun M 6= 0. Nếu M khơng phân tích được và có độ dài hữu hạn thì các vành tự đồng cấu của M là vành địa phương và các phần
tử khơng khả nghịch của nó là luỹ linh. Chứng minh:
Do M có độ dài hữu hạn nên theo 1.3.3 và 1.3.5 ta có:
∃n ∈ N : M = Imϕn ⊕Kerϕn
.
Thật vây, theo giả thuyết của định lý thì M có độ dài hữu hạn nên theo mệnh đề trên ta có:
∃n ∈ N : M = Imϕn ⊕Kerϕn], ϕ ∈ End(MR)
.
Vì M khơng phân tích nên hoặc là Ker(ϕn) = 0 hoặc là Im(ϕn) = 0.
Xét trường hợp 1:
Kerϕn = 0 =⇒ Kerϕ = 0 =⇒ ϕ đơn cấu và M là Artin (do M có độ dài hữu hạn) suy ra ϕ là đẳng cấu, suy ra ϕ khả nghịch.
Trường hợp 2:
Imϕn = 0 =⇒ϕn = 0 =⇒ ϕ luỹ linh, suy ra 1−ϕ khả nghịch. Vậy, End(M) là vành địa phương.
Nếu ϕ ∈ End(M) khơng khả nghịch thì suy ra Imϕn = 0 =⇒ n = 0 =⇒ ϕ luỹ linh.
Ngược lại nếu ϕ lũy linh thì ϕ khơng khả nghịch.
2.4.3 Định lí. Cho QR 6= 0 là mơđun nội xạ khơng phân tích được thì S := End(QR) là vành địa phương.
Cho ϕ ∈ S và ϕ là một đơn cấu.
Khi đó, do QR là nơị xạ, mà ϕ∈ S nên suy ra Imϕ cũng là nội xạ.
Suy ra Imϕ ⊂⊕ QR, QR khơng phân tích được nên Imϕ = QR =⇒ ϕ là đẳng cấu, suy ra ϕ khả nghịch.
Ta có nhận xét:
Với giả thiết của QR thì ϕ ∈ S khả nghịch khi và chỉ khiϕ là đơn cấu hay Kerϕ = 0, suy ra ϕ ∈ S không khả nghịch và chỉ khi Kerϕ 6= 0. Với ϕ1, ϕ2 khả nghịch thuộc S, thì Kerϕ1, Kerϕ2 6= 0.
Mặt khác QR là mơđun nội xạ khơng phân tích được nên QR bất khả quy. Suy ra 0 6= Kerϕ1∩Kerϕ2 ⊂Ker(ϕ1+ϕ2) =⇒ϕ1+ϕ2 khơng khả nghịch. Theo khái niệm của vành địa phương thì tập các phần tử khơng khả nghịch của S đóng kín với phép cộng nên S là địa phương.
2.4.4 Định lí. Với MR 6= 0
(a) Cho M là Artin hoặc Noether. Khi đó M = ⊕
i=1,n
Mi. Trong đó Mi là các mơđun con khơng phân tích được.
(b) Cho M là mơđun Artin và Noether có độ dài hữu hạn. Nếu Mi là các mơđun con khơng phân tích được, với M = ⊕
i=1,n
Mi thì End(Mi) là địa phương với i = 1, n.
Chứng minh:
(a) Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Cho M là Artin.
Lấy Γ là bộ của số hạng trực tiếp B 6= 0 của M. Với M 6= 0 và M = M ⊕0
chúng ta có M ∈ Γ, do đó Γ 6= ∅.
Lấy B0 tối tiểu trong Γ, khi đó B0 khơng phân tích được thành tổng trực tiếp (vì nếu khơng thì B0 sẽ khơng tối tiểu trong Γ).
Bây giờ ta lấy V
hữu hạn khơng phân tích được thành tổng trực tiếp các môđun con B1 6= 0, ..., Bl 6= 0 với: M = B1 ⊕B2 ⊕...⊕Bl ⊕C.
Do sự tồn tại hạng tử khơng phân tích được B0 nên V
6= 0. Ta lấy C0 tối tiểu trong V
và
M = M1 ⊕M2 ⊕...⊕Mn ⊕C0.
Và rõ ràng ta có C0 = 0, vì nếu C0 6= 0 mà C0 là Artin như một môđun con của môđun Artin nên C0 sẽ tách ra một số hạng khác 0 khơng phân tích được thành tổng trực tiếp dẫn đến mâu thuẫn với C0 tối tiểu.
Trường hợp 2: M là Noether.
Gọi Γ là bộ các số hạng trực tiếp A 6= M của M.
Vì 0 ∈ Γ, chúng ta có Γ 6= ∅. Lấy A0 là tối đại trong Γ và giả sử chúng ta có M = A0 ⊕B0.
Từ A0 là tối đại, kéo theo B0 khơng phân tích được thành tổng trực tiếp và A0 6= M và B0 6= 0.
Gọi V
là tập các môđun conC củaM mà những mơđun con này khơng phân tích được thành tổng trực tiếp. Chọn 0 ∈ V
, chúng ta có V
6= ∅. Lấy B1 +B2 + ...+Bk = B1 ⊕B2 ⊕...⊕Bk.
Vì M là môđun Noether nên tồn tại phần tử tối đại trong V
, với Bi. Lấy thêm
M = B1 ⊕B2 ⊕...⊕Bk ⊕C0.
Giả sử C0 6= 0, khi đó bằng cách xét mơđun Noether C0 phải chứa hạng tử trực tiếp khơng phân tích được khác 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết tối đại củaB1⊕...⊕Bk. Do đó,C0 = 0vàMR = M = ⊕
i=1,n
Mi, với Mi là mơđun khơng phân tích được.
(b) Nếu M là mơđun có độ dài hữu hạn, M là mơđun Artin. M sẽ lại được phân tích như trong (a). Vì Mi là mơđun có độ dài hữu hạn và khơng
KẾT LUẬN
Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu về vành tự đồng cấu địa phương, điều kiện để vành tự đồng cấu là địa phương và một số tính chất đặc trưng của vành địa phương. Cụ thể luận văn đã nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Tìm hiểu định nghĩa cùng các tính chất của vành tự đồng cấu mơđun, vành tự đồng cấu của môđun Noether và Artin. Cụ thể đã trình bày ở các mục 1.2 và 1.3.
2. Trình bày về vành địa phương cùng một số tính chất đặc trưng của vành địa phương. Cụ thể đã trình bày ở các mục 2.1, 2.2.
3. Tìm hiểu và trình bày về vành tự đồng cấu địa phương, tính chất và các điều kiện để vành các tự đồng cấu là địa phương. Cụ thể đã trình bày ở các mục 2.3, 2.4.
TÀI LIỆU THAM KHẢO