PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU

Lý do chọn đề tài Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian véctơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng.. Vì vậy, vấn đề đặt ra l

PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian véctơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng Cấu trúc của không gian véctơ chỉ lộ rõ khi chúng ta nghiên cứu chúng không phải như những đối tượng riêng rẽ, mà trái lại phải đặt chúng trong mối liên hệ qua lại với nhau Công cụ để xác lập mối liên hệ giữa các không gian véctơ là các ánh xạ tuyến tính Ngôn ngữ giúp cho việc mô tả các ánh xạ tuyến tính là các ma trận

Mỗi ánh xạ tuyến tính f: V → W giữa hai không gian véctơ được đặc trưng bởi một ma trận theo cặp cơ sở ( α, β) nào đó của V và W Vì vậy, vấn đề đặt ra là tìm cho mỗi tự đồng cấu một cơ sở của không gian sao cho trong cơ sở đó tự đồng cấu

có ma trận đơn giản, cụ thể là càng gần ma trận chéo càng tốt Với mong muốn tìm hiểu về chéo hóa ma trận, tức là tìm một cơ sở của không gian sao cho ma trận của

tự đồng cấu có dạng chéo và tìm dạng thu gọn Jordan của một tự đồng cấu Chúng

em chọn nghiên cứu đề tài: “ Phép thu gọn các tự đồng cấu”

2 Mục tiêu của đề tài

- Đề tài nghiên cứu khoa học hệ thống lại các kiến thức có liên quan đến phép

thu gọn các tự đồng cấu

- Trình bày một số bài tập liên quan đến phép thu gọn các tự đồng cấu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu phép thu gọn các tự đồng cấu

- Nghiên cứu và giải các dạng bài tập về phép thu gọn các tự đồng cấu

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc các tài liệu, giáo trình có liên quan

đến giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu, không gian riêng, đa thức đặc trưng, những vấn đề liên quan đến phương pháp chéo hóa, tam giác hóa

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình sẽ

làm sáng tỏ một số kiến thức liên quan đến dạng thu gọn Jordan của một tự đồng cấu

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phép thu gọn các tự đồng cấu

- Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu về phép thu gọn các tự đồng cấu

6 Bố cục đè tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài “Phép thu gọn các

tự đồng cấu” bao gồm ba chương:

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu và một ma trận

1.2 Không gian riêng

1.3 Đa thức đặc trưng

1.4 Đa thức tối tiểu

CHƯƠNG 2: PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU

2.1 Chéo hóa

2.1.1 Tự đồng cấu chéo hóa được, ma trận chéo hóa được

2.1.2 Đa thức tự đồng cấu, đa thức ma trận

2.1.3 Các bước chéo hóa ma trận A ∈ Mat(n, K)

2.1.4 Ứng dụng của việc chéo hóa ma trận

2.2 Tam giác hóa

2.2.1 Cơ sở lý thuyết

2.2.2 Cờ của một không gian véctơ

2.2.3 Cơ sở tương thích với cờ của một không gian véctơ

2.2.4 Các bước tam giác hóa ma trận A∈ Mat(n, K)

2.3 Phân tích Dunford – thu gọn Jodan

2.3.1 Tự đồng cấu lũy linh

2.3.2 Phân tích Dunford

2.3.3 Thu gọn Jordan

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG

3.1 Bài tập về chéo hóa

3.2 Bài tập về tam giác hóa

3.3 Bài tập về thu gọn Jordan

8 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

- Sản phẩm khoa học: Đề tài nghiên cứu, tìm hiểu, tổng hợp về phép thu gọn

các tự đồng cấu và giải một số bài tập về phép thu gọn các tự đồng cấu

- Sản phẩm thực tiễn: Đề tài là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên chuyên

ngành Toán nói riêng và các sinh viên khác nói chung muốn tìm hiểu về phép thu

gọn các tự đồng cấu

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu và một ma trận

Cho V là K - không gian véctơ, kí hiệu: EndV là tập các tự đồng của V

Cho n∈N * , A∈ Mat(n, K), λ∈ K, λ được gọi là giá trị riêng của A nếu

∃ X∈ Mat(n, K), X ≠ 0 sao cho AX = λ.X Khi đó X được gọi là véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ

Tập các giá trị riêng của A gọi là phổ của A, kí hiệu: Sp K (A)

1.2 Không gian riêng

1.2.1 Định nghĩa

Gi ả s ử λ là giá tr ị riêng c ủ a t ự đồ ng c ấ u f: V → V Không gian véct ơ con

Ker (f - λ.id V ) c ủ a V gồm véct ơ 0 và các véct ơ riêng c ủ a f ứ ng v ớ i giá tr ị riêng λ

đượ c g ọ i là không gian con riêng c ủ a f liên k ế t v ớ i giá tr ị λ

Kí hi ệ u: Pλ

Nhận xét: Giả sử A là ma trận của tự đồng cấu f đối với cơ sở nào đó của V,

theo 1.1.3 thì không gian riêng của A cũng được gọi là không gian riêng của f

1.2.2 Các tính chất

i) Cho V là K- không gian véct ơ , λ∈K ta có:

λ∈ SpK (f) ⇔ Ker( f - λ.id V ) ≠ {0} ⇔ f - λ.id V không là đơ n ánh.

ii) Cho n∈N * , A∈ Mat(n, K), λ∈K ta có:

λ∈ Sp K (A) ⇔ Ker(A - λ.I n ) ≠ {0} ⇔ A - λ.I n ∉ GL(n, K) ⇔ hang(A - λ.I n ) < n

+) Hai ma trận A, B đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng Vì A ∼ B

nên ∃P ∈GL(n, K), B = P -1AP, khi đó:

det(B - λ.I n) = det P -1(A - λ.I n)P =det(A - λ.I n), vậy PA (X) = PB (X)

1

.λ n-1 + + detA, đặ c bi ệ t deg P A (λ) = n

) (

j i a

j i a

ij

ij λ

Khi đó det(A - λIn) =

nn n

n

α α

α α

)

α α σ

+) ∀ λ∈K, λ∈SpK(f) ⇔ Ker(f -λ.Id V) ≠ {0} ⇔ f -λ.Id V không là đơn ánh

⇔ det(f - λ.Id V) = 0, vậy Pf (λ) = 0

+) Tương tự λ ∈ SpK(A) ⇔ Ker(A - λ.I n) ≠ {0} ⇔ A - λ.I n không là đơn ánh

⇔ det(A -λ.I n) = 0 hay PA(λ) = 0

iii) Gi ả s ử f∈ EndV, λ 0∈ SpK (f), s 0 là c ấ p b ộ i c ủ a λ 0 , d 0 = dim P λ

Khi đ ó ta có: 1≤ d 0 ≤ s 0

Chứng minh

Vì Pλ = Ker(f - λ0.idV) ≠ {0} nên ta có: d0 ≥ 1, Pλ có ít nhất một cơ sở

{e1, ,e d0 }, khi đó ∃ cơ sở {e d 1, ,e n}

0 + ∈ V sao cho β = {e1, ,e n } là một cơ sở

của V Khi đó ∃C ∈ Mat(d0×(n - d0), K), B∈ Mat(n - d0, K) sao cho ma trận A của f đối với cơ sở β có dạng: A= 

d n

d

I B

C I

λ

λ λ

0 0

Theo nhận xét ở (cuối Định lí 5 chương 3, tài liệu tham khảo [5] ) ta có:

(A - λ.In ) B(X) = det(A - λ.In ).In= PA (X).In

Thay A vào đẳng thức trên ta có:

PA(λ).In = (A - A.In ).B(A) = 0 B(A) = 0, vậyPA (A) = 0

ii) Nếu A là ma trận của f∈ EndV thì Pf (X) = PA(X) do đó Pf (f) = PA(A) = 0

1.3.4 Định lý các hạt nhân

Gi ả s ử f∈ EndV, n∈ N∗

, P 1 ,P 2 , ,P n ∈ K[X] đ ôi m ộ t nguyên t ố cùng nhau khi

đ ó: không gian véct ơ con Ker( P i (f) ) (1 ≤ i ≤ n) có t ổ ng tr ự c ti ế p và ( ( ))

1Ker P i f n

n j j

P

1

Khi đó: ∀ i∈ {1, , n}, PiQi = P, vì ∀ i∈ {1, , n}, Pi (f).Qi(f) = P(f) nên ta có:

Ker Pi (f) ⊂ Ker P(f) do vậy ∑

=

n

i

i f P Ker

1

) ( ( ⊂ Ker P(f)

Ta sẽ chứng minh Q1, , Qn nguyên tố cùng nhau

Giả sử π là đa thức bất khả qui ∈ K[X] sao cho ∀ i∈ {1, , n}, π | Qi

Vì π bất khả qui và π | Q1 = P2P3 Pn nên ∃ i∈ {2, , n} thoả mãn π | Pi và bởi vì π bất khả qui, π | Qi nên ∃ j ∈ {1, , n}\{i} thoả mãn π | Pj Khi đó π | Pi, π | Pj, i ≠ j điều này mâu thuẫn với giả thiết ( Pi , Pj ) = 1

Vậy Q1, ,Qn nguyên tố cùng nhau

Khi đó ∃ U1, U2, , Un ∈ K[X] sao cho ∑

1

) ( (

i i

x

f KerP x

n i

1

0

) ( },

, , 1

Giả sử j ∈ {1, , n} ta có: 0 = Qi(f)( ∑

=

i i x

=

n

i

i i

U

1

) )(

( ) ( = 0

1

) ( ( là tổng trực tiếp

1.4 Đa thức tối tiểu

+ ∀ P∈ If, U∈ K[X] thì (UP)(f) = U(f).P(f) = U(f).0 = 0, ⇒ UP ∈ If

Vì K[X] là vành chính nên If là Idean chính Vậy ∃P0∈K[X] sao cho

Giả sử A∈ Mat(n, K) khi đó tồn tại một đa thức duy nhất kí hiệu là πA (X)

sao cho {P∈ K[X] , P(A) = 0 } = {πA (X).Q, Q∈ K[X] }, πA (X) được gọi là đa thức tối tiểu của A

Chứng minh

Vì Mat(n, K) hữu hạn chiều với số chiều n2 nên họ ( In , A, A2, , n2

A ) phụ thuộc tuyến tính.Vậy ∃P∈K[X] ( bậc ≤ n2) sao cho P ≠ 0 và P(A) = 0 hay A thừa nhận một đa thức tối tiểu

CHƯƠNG 2: PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU

ii) Cho A∈ Mat(n, K), A đượ c g ọ i là chéo hoá đượ c n ế u ∃ P∈ GL(n, K), ma

tr ậ n chéo D∈ Mat(n, K) sao cho A = PDP -1

Nhận xét: Nếu A là ma trận của một tự đồng cấu f của Vthì A chéo hoá được

⇔ f chéo hoá được

s

X X

Chứng minh

Với mỗi giá trị riêng λ của f, kí hiệu d(λ) = dim Pλ và s(λ) là bội của λ

trong Pf (X). Giả sử f chéo hoá được, ta có:

∀λ∈SpK(f), d(λ) ≤ s(λ), n = ∑

∈ ( )

)(

Mặt khác vì PA (X) = Pf (X), không gian riêng của A cũng là không gian riêng của f nên A chéo hoá được nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

Chứng minh

Giả sử λ1,…, λn là n giá trị riêng phân biệt của f và x1,…, x n là các véctơ riêng

ứng với các riêng λ1,…, λn Khi đó {x1,…, x n } là hệ véctơ độc lập tuyến tính trong không gian véctơ V nên nó là cơ sở của V Vậy f chéo hoá được

Nhận xét: Giả sử A∈ Mat(n, K) là ma trận của f đối với một cơ sở nào đó của

V, vì SpK(A) = SpK(f) nên nếu A có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hoá được

2.1.1.5 Định lý

i) Gi ả s ử V là K - không gian véct ơ n chi ề u (n ≥ 1), f∈ EndV, f chéo hoá đượ c

⇔ πf (X) tách đượ c và có các nghi ệ m đơ n

ii) Gi ả s ử A∈ Mat(n, K), A chéo hoá đượ c ⇔ πA (X) tách đượ c và có các nghi ệ m đơ n

Chứng minh

i) Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại đa thức tách được và có các nghiệm

đơn P∈ K[X] sao cho P(f) = 0 ( vì πf(X) | P nên πf (X) tách được và có các nghiệm

đơn)

Đảo lại: Giả sử πf(X) tách được và có các nghiệm đơn, vì πf (f) = 0 nên f chéo hoá

được

ii) Chứng minh tương tự

2.1.1.6 Điều kiện để chéo hóa ma trận

a) Định lí 1: Một ma trận vuông chéo hóa được khi và chỉ khi nó là ma trận của

một tự đồng cấu có một hệ véctơ riêng là cơ sở của không gian

Chứng minh

Coi A như ma trận của một tự đồng cấu f: V→V đối với cơ sở (ε )

A là ma trận vuông chéo hóa được khi và chỉ khi có một ma trận T sao cho:

T-1AT = B =

1 2

k k

1 2 p 0

α α + + + α = (3)

Vì αi ∈ Wi nên nó là véctơ riêng ứng với giá trị riêng ki Nhưng các hệ ki là những

giá trị riêng đôi một phân biệt của f Hệ véctơ {α α1, 2, , αp } độc lập tuyến tính Từ

riêng độc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của Rn

Theo định lí 1, A chéo hóa

+) Giả sử f∈ EndV, P∈ K[X] được gọi là đa th ứ c tri ệ t tiêu c ủ a f nếu P(f) = 0

+) Giả sử A∈ Mat(n, K), ∈ K[X] được gọi là đa th ứ c tri ệ t tiêu c ủ a A nếu

i) Gi ả s ử V là K – không gian véct ơ n chi ề u, f∈ EndV, f chéo hoá đượ c khi và

ch ỉ khi ∃ P∈ K[X] tách đượ c trên K và có các nghi ệ m đơ n sao cho P(f) = 0

ii) Gi ả s ử n ∈ N* , A∈ Mat(n, K), A chéo hoá đượ c khi và ch ỉ khi ∃ P∈K[X]

tách đượ c trên K và có các nghi ệ m đơ n sao cho P(A) = 0

1

) ( λ

1

) ( λ =

d

I

I

) (

) (

λ λ

) (

2 1

2 1

⋱

d m

d m

I

I

λ λ

λ λ

= 0

Vậy ∃P∈ K[X] tách được trên K, có các nghiệm đơn thoả mãn P(f) = 0

Đảo lại: Giả sử ∃P∈ K[X] tách được trên K, có các nghiệm đơn thoả mãn P(f) = 0 Khi đó ∃α∈ K\{0}, p ∈N∗, λ1, λ2, , λp∈ K đôi một phân biệt:

) ( λ , xét Ak =

p j

j k

1

)(λ λ ≠ 0

Kí hiệu: uk =

) (

1

k k

A λ ∈ K, khi đó với ∀k∈ {1, , p} đa thức 1 - ∑

=

p

k k

i A u

i A u

i A u

i A f u

1

) ( ,

Giả sử x∈ V ta có: x = Idv(x) = (∑

=

k

k k

i A f u

1

) ( )(x) = ∑

( [

Ker

1

) ( λ

Ker

1

) ( λ

Vậy f chéo hoá được

ii) Chứng minh tương tự

2.1.3 Các bước chéo hoá ma trận A ∈ Mat(n, K)

Bước 1: Xác định đa thức đặc trưng PA(X)

Bước 2: Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng

Bước 3: + Xác định ma trận chéo D∈ Mat(n, K) (trong đó: D là ma trận mà các

phần tử nằm trên đường chéo chính là các giá trị riêng)

+ Xác định ma trận P (trong đó P là ma trận mà mỗi cột của nó là tọa

độ của véctơ riêng ứng với các giá trị riêng của ma trận D)

Bước 4: Tính P -1, khi đó A = PDP -1 , trong đó: P∈ GL(n, K)

7 8 1

6 8 0

, chứng minh ma trận A chéo hóa được và hãy

chéo hoá A

Chứng minh

PA(λ) =

λ λ

7 8

1

6 8

−

= +

−

−

= +

−

0 13 14

0 7 6

0 6 8 2

z y x

z y x

z y x

−

= +

−

−

= +

−

−

0 9 14

0 7 10

0 6 8 2

z y x

z y x

z y x

x y

2 3 2

−

= +

−

−

= +

−

−

0 8 14

0 7 11

0 6 8 3

z y x

z y x

z y x

z y

2 3 3 5

0 2 0

0 0 2

3 2 1

2 1 1

1 3 2

1 1 1

2.1.4 Ứng dụng của việc chéo hoá ma trận

2.1.4.1 Tính các luỹ thừa của một ma trận vuông

Giả sử A∈Mat(n, K), A chéo hoá được thì ∃ P∈GL(n, K), ma trận chéo

D∈Mat(n, K) sao cho A= PDP -1 Khi đó Ak = PDkP -1, ∀k∈ N (1)

7 8 1

6 8 0

7 8

1

6 8

= (2 - λ)(λ + 2)(λ - 3)

Vì A có 3 giá trị riêng phân biệt nên A chéo hoá được, A = P-1DP trong đó

3 2

1

2 1

0 2 0

0 0 2

1 3 2

1 1 1

− +

− +

− +

−

−

k k

k k

k k

k k

k

k k

k k

k k

k k

k

k k

k k

k k

k k

k

3 5 2 3 ) 2 ( 3 10 2 9 ) 2 ( 3 5 2 6 ) 2 (

3 3 2 2 ) 2 ( 3

6 2 6 ) 2 ( 3 3 2 4 ) 2 (

3 2 2 1 ) 2 ( 3

4 2 3 ) 2 ( 3 2 2 2 ) 2 (

2.1.4.2 Dãy các truy hồi tuyến tính đồng thời cấp 1 với hệ số không đổi

Giả sử n∈N*, A=(aij) ∈Mat(n, K), (α1, , αn) ∈ Kn, xét dãy các truy hồi tuyến

n i

ik ji k

j

j j

x a x

N k n j

x n j

0 1 ,

0 ,

,},

, ,1

},, ,

=

+ +

=

+ +

) 2 (

4 1

) (

3 1

) 2

( 4 1

22 ,

22 ,

0

1 1 1

0 0

0

n n n n

n n n n

n n n n

w v u w

w v u v

w v u u

N

k

w v

u

Tính un, v n, wn

1 4 1

3

1 3

1 3 1

4

1 4

1 2 1

w v

1 4

1

3

1 3

1 3

1

4

1 4

1 2

P ,

12 1

P là các không gian con một chiều có cơ sở tương ứng là:

3 1 1

0 4

1 0

0 0 1

11 0 1

8 6 8

3 1 1

12 0 0

0 4 0

0 0 1

11 0 1

8 6 8

n n

n n

n

w v u

12 3 4 11 14

12 8 14

12 3 4 11 14

1 1

0 1

1 1

0

,

) , , , (

p

i

p n p n

i n i n

p p

u a u

a u

a u

N n

K u

u u

1 0

p

a a

, Xn = 1

1

n n

n p

u u

n n

n p

u u

u

+ +

1 0

p

a a

1

1

n n

n p

u u

2 1

0

11 39

45 ,

22 ,

22 ,

1

n n

n

u N n

u u

0 1 0

, PA(λ) =

λ λ

1 0

0 1

1 3

x z

x y

5 1 3

1 0 1

0 3 0

0 1 3

2 16 30

1 6 5

n n

n

5 0 0

0 3

0

0 3

−

+ +

−

+

−

+ + +

−

2 1 1 1

5 3 ).

2 ( 4

5 3 ) 1 ( 4

5 3 4

n n

n n

n n

n n n

2.2 Tam giác hoá

Nhận xét: Cho f ∈ EndV có ma trận A đối với cơ sở nào đó của V, khi đó: f tam

giác hoá được ⇔ A tam giác hoá được

2.2.1.2 Định lý

i) Giả sử A∈ Mat(n, K), khi đó hai tính chất sau tương đương:

+) A tam giác hoá

+) P A (X) tách được trên K

ii) Giả sử f∈EndV, khi đó hai tính chất sau tương đương:

+) f tam giác hoá +) P f (X) tách được trên K

∈ Mat(n, K)sao cho A ∼T

Vậy ∀λ ∈K, PA(λ) = Pf (λ) = ∏(tii - λ) do đó PA (X) tách được trên K

Ta chứng minh quy nạp theo n

Với n = 1 tính chất đúng

Giả sử tính chất đúng với n ∈N∗và A∈ Mat(n+1, K) sao cho PA(X) tách được

trên K Khi đó A có ít nhất một giá trị riêng λ1 và một véctơ riêng V1

L

λ

λ λ

P (X)tách được trên K nên theo giả thiết quy nạp

∃Q∈GL(n, K), T∈ Mat(n, K)sao cho A2 = QTQ-1

ta có:

Vậy A tam giác hoá được

(ii)⇔(i) Giả sử f∈EndV, gọi A là ma trận của f đối với cơ sở β nào đó của V ta có:

f tam giác hoá được ⇔ A tam giác hoá được ⇔ PA(X) tách được ⇔ Pf (X) tách được

2.2.1.3 Hệ quả

i) Giả sử V là C − không gian véctơ n chiều (n ≥ 1), mọi tự đồng cấu đều tam giác hoá được

ii) ∀A∈Mat(n, C) ( n ≥ 1) đều tam giác hoá được

2.2.2 Cờ của một không gian véc tơ

2.2.2.1 Định nghĩa

Họ { V 1 , , V n } các không gian vétơ con của V (dimV = n) thoả mãn

∀i ∈{1,2, , n}, dim V i = i và V i ⊂ V i+1 ,∀i ∈ {1, 2, , n-1} được gọi là cờ của V

2.2.2.2 Tính chất

Giả sử V 1 , ,V n là các không gian véctơ con của V, {V 1 , , V n } là cờ của V khi

và chỉ khi ∃ cơ sở {e1, ,e n } của V sao cho ∀i ∈ {1, 2, , n}, V i = < e1, ,e i >

Giả sử {V 1 , , V n } là cờ của V, {e1, ,e n} là cơ sở của V ta nói rằng

{e1, ,e n } tương thích với cờ {V 1 , , V n } nếu ∀i∈ {1, 2, , n }, V i = <e1, ,e i >

2.2.3.1 Tính chất

i) Giả sử f∈ End(V), {V 1 , , V n } là cờ của V, ta có:

V 1 , , V n là các không gian véctơ con bất biến đối với f ⇔ tồn tại cơ sở β của V tương thích với cờ {V 1 , , V n } sao cho ma trận của f đối với cơ sở β là ma trận tam

giác

Chứng minh

Giả sử V1, , Vn là các không gian véctơ con bất biến đối với f, vì {V 1 , , V n }

là cờ của V nên ∃ cơ sở β = {e1, ,e n }của V tương thích với cờ {V 1 , , V n }

in e a

1

Do đó ma trận A của f đối với cơ sở β có dạng: A =

11 1 22

Vậy f tam giác hoá được

Bước 1: Xác định đa thức đặc trưng PA(X)

Bước 2: Xác định các giá trị riêng và véctơ riêng, giả sử:

m

s m

s

i

i s

a ,…, f(V ) = λ s m mVn + ∑−

= 1 1 ,

n

i

i n

a

Bước 4: + Lập ma trận P mà mỗi cột của nó là toạ độ của V1, …,Vn

+ Tìm P -1 khi đó A = PTP -1

2.3 Phân tích Dunford – Thu gọn Jordan

2.3.1.Tự đồng cấu luỹ linh

2.3.1.1 Định nghĩa

i) Tự đồng cấu f của K – không gian véctơ V gọi là lũy linh nếu có một số

nguyên dương q sao cho f q = 0, thêm vào đó nếu f q – 1 ≠ 0 thì q được gọi là bậc của lũy linh

ii) Giả sử f là tự đồng cấu lũy linh của V, mà V có cơ sở {ε1, ε2 , εn },

f(εj )=εj+ 1 ( j ∈ {1,…,n}) và f(εn ) = 0 cơ sở như thế gọi là cơ sở xiclic đối với f,

trong cơ sở đó ma trận A của f có dạng: A =

0 1 0

⋱

⋱

Rõ ràng Imf ( f j ) =< εj+1, ,e n > với 1< j < n hay hg f j = n – j còn với j ≥ n

thì Imf ( f j ) = {0} Vậy f là tự đồng cấu luỹ linh bậc n

iii) Giả sử f là tự đồng cấu của K - không gian véctơ V, U là không gian véctơ con của V, U được gọi là không gian véctơ con xiclic đối với f nếu U là f - bất biến

và U có một cơ sở xiclic đối với fU : U → U