PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU

1 PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu về không gian véctơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Cấu trúc của không gian véctơ chỉ lộ rõ khi chúng ta nghiên cứu chúng không phải như những đối tượng riêng rẽ, mà trái lại phải đặt chúng trong mối liên hệ qua lại với nhau. Công cụ để xác lập mối liên hệ giữa các không gian véctơ là các ánh xạ tuyến tính. Ngôn ngữ giúp cho việc mô tả các ánh xạ tuyến tính là các ma trận. Mỗi ánh xạ tuyến tính f: V → W giữa hai không gian véctơ được đặc trưng bởi một ma trận theo cặp cơ sở ( α, β) nào đó của V và W. Vì vậy, vấn đề đặt ra là tìm cho mỗi tự đồng cấu một cơ sở của không gian sao cho trong cơ sở đó tự đồng cấu có ma trận đơn giản, cụ thể là càng gần ma trận chéo càng tốt. Với mong muốn tìm hiểu về chéo hóa ma trận, tức là tìm một cơ sở của không gian sao cho ma trận của tự đồng cấu có dạng chéo và tìm dạng thu gọn Jordan của một tự đồng cấu. Chúng em chọn nghiên cứu đề tài: “ Phép thu gọn các tự đồng cấu” . 2. Mục tiêu của đề tài - Đề tài nghiên cứu khoa học hệ thống lại các kiến thức có liên quan đến phép thu gọn các tự đồng cấu. - Trình bày một số bài tập liên quan đến phép thu gọn các tự đồng cấu. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phép thu gọn các tự đồng cấu. - Nghiên cứu và giải các dạng bài tập về phép thu gọn các tự đồng cấu. 4. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc các tài liệu, giáo trình có liên quan đến giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu, không gian riêng, đa thức đặc trưng, những vấn đề liên quan đến phương pháp chéo hóa, tam giác hóa. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình sẽ làm sáng tỏ một số kiến thức liên quan đến dạng thu gọn Jordan của một tự đồng cấu. 3 5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phép thu gọn các tự đồng cấu. - Phạm vi nghiên cứu: Tìm hiểu về phép thu gọn các tự đồng cấu 6. Bố cục đè tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài “Phép thu gọn các tự đồng cấu” bao gồm ba chương: CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu và một ma trận 1.2. Không gian riêng 1.3. Đa thức đặc trưng 1.4. Đa thức tối tiểu CHƯƠNG 2: PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 2.1. Chéo hóa 2.1.1. Tự đồng cấu chéo hóa được, ma trận chéo hóa được 2.1.2. Đa thức tự đồng cấu, đa thức ma trận 2.1.3. Các bước chéo hóa ma trận A ∈ Mat(n, K) 2.1.4. Ứng dụng của việc chéo hóa ma trận 2.2. Tam giác hóa 2.2.1. Cơ sở lý thuyết 2.2.2. Cờ của một không gian véctơ 2.2.3. Cơ sở tương thích với cờ của một không gian véctơ 2.2.4. Các bước tam giác hóa ma trận A∈ Mat(n, K) 2.3. Phân tích Dunford – thu gọn Jodan 2.3.1. Tự đồng cấu lũy linh 2.3.2. Phân tích Dunford 2.3.3. Thu gọn Jordan 4 CHƯƠNG 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 3.1. Bài tập về chéo hóa. 3.2. Bài tập về tam giác hóa. 3.3. Bài tập về thu gọn Jordan. 8. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn - Sản phẩm khoa học: Đề tài nghiên cứu, tìm hiểu, tổng hợp về phép thu gọn các tự đồng cấu và giải một số bài tập về phép thu gọn các tự đồng cấu. - Sản phẩm thực tiễn: Đề tài là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên chuyên ngành Toán nói riêng và các sinh viên khác nói chung muốn tìm hiểu về phép thu gọn các tự đồng cấu. 5 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Giá trị riêng, véctơ riêng của một tự đồng cấu và một ma trận Cho V là K - không gian véctơ, kí hiệu: EndV là tập các tự đồng của V. 1.1.1. Định nghĩa Cho f ∈ EndV, λ∈ K, λ được gọi là giá trị riêng của f nếu ∃ x ∈ V( x ≠ 0 ) sao cho f( x ) = λ x . Khi đó x được gọi là véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ . Tập các giá trị riêng của f gọi là phổ của f, kí hiệu: Sp K (f). 1.1.2. Định nghĩa Cho n ∈ N * , A ∈ Mat(n, K), λ∈ K, λ được gọi là giá trị riêng của A nếu ∃ X ∈ Mat(n, K), X ≠ 0 sao cho AX = λ .X. Khi đó X được gọi là véctơ riêng ứng với giá trị riêng λ . Tập các giá trị riêng của A gọi là phổ của A, kí hiệu: Sp K (A). 1.1.3. Nhận xét Giả sử f là tự đồng cấu của V. Khi đó với mỗi cơ sở của V n tồn tại ma trận A (vuông cấp n) của f và f có biểu thức toạ độ: X ′ = AX (1) Do đó nếu x  là véctơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ thì f( x ) = λ x nên từ (1) ta có λX = AX. Khi đó X cũng là véctơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ. Hay nói cách khác giá trị riêng và véctơ riêng của một tự đồng cấu f chính là giá trị riêng và véctơ riêng của ma trận A của f đối với một cơ sở nào đó. 1.2. Không gian riêng 1.2.1. Định nghĩa Gi ả s ử λ là giá tr ị riêng c ủ a t ự đồ ng c ấ u f: V → V. Không gian véct ơ con 6 Ker (f - λ .id V ) c ủ a V g ồ m véct ơ 0 và các véct ơ riêng c ủ a f ứ ng v ớ i gi á tr ị riêng λ đượ c g ọ i là không gian con riêng c ủ a f liên k ế t v ớ i giá tr ị λ . Kí hi ệ u: P λ Nhận xét: Giả sử A là ma trận của tự đồng cấu f đối với cơ sở nào đó của V, theo 1.1.3 thì không gian riêng của A cũng được gọi là không gian riêng của f . 1.2.2. Các tính chất i) Cho V là K- không gian véct ơ , λ∈ K ta có: λ∈ Sp K (f) ⇔ Ker( f - λ .id V ) ≠ { 0 } ⇔ f - λ .id V không là đơ n ánh. ii) Cho n ∈ N * , A ∈ Mat(n, K), λ∈ K ta có: λ∈ Sp K (A) ⇔ Ker(A - λ .I n ) ≠ { 0 } ⇔ A - λ .I n ∉ GL(n, K) ⇔ hang(A - λ .I n ) < n 1.3. Đa thức đặc trưng 1.3.1. Định nghĩa i) Cho A ∈ Mat(n, K), X ∈ K, đ a th ứ c det(A - X.I n ) b ậ c n ẩ n X đượ c g ọ i là đ a th ứ c đặ c tr ư ng c ủ a A. Kí hi ệ u: P A (X). ii) Cho f ∈ EndV, A là ma tr ậ n c ủ a t ự đồ ng c ấ u f đố i v ớ i c ơ s ở nào đ ó c ủ a V. Khi đ ó đ a th ứ c đặ c tr ư ng c ủ a A đượ c g ọ i là đ a th ứ c đặ c tr ư ng c ủ a f. Kí hi ệ u: P f (X). Nhận xét: +) Nếu A, B là hai ma trận của cùng một tự đồng cấu f nào đó thì: P A (X) = P B (X). +) Hai ma trận A, B đồng dạng có cùng đa thức đặc trưng. Vì A ∼ B nên ∃P ∈ GL(n, K) , B = P -1 AP, khi đó: det(B - λ .I n ) = det P -1 (A - λ .I n )P =det(A - λ .I n ), vậy P A (X) = P B (X). 7 1.3.2. Tính chất i) Gi ả s ử n ∈ N\{0, 1}, A = (a ij ) ∈ Mat(n, K), khi đ ó ∀λ∈ K ta có: P A ( λ ) =(-1) n λ n + (-1) n-1 ∑ = n i ii a 1 . λ n-1 + + detA, đặ c bi ệ t deg P A ( λ ) = n. Chứng minh Kí hiệu A = (a ij ), giả sử λ∈K, ∀(i, j) ∈ {1,…, n} 2 , α ij =      ≠ =− )( )( jia jia ij ij λ Khi đó det(A - λI n ) = nnn n αα αα 1 111 ⋮⋮ ⋮⋮ = nn S n )(1)1( )sgn( σ σ σ αασ ∑ ∈ ∀σ∈ S n \ Id {1,…,n} , sgn(σ) α σ(1)1 …α σ(n)n là một đa thức với bậc ≤ n – 2 Mặt khác: α 11 α nn = (a 11 - λ) ( a nn - λ) = (-λ) n + ( a 11 + + a nn )(-λ) n + do đó deg(det(A - λI n )) = n và các hạng tử tại λ n và λ n-1 tương ứng là (-1) n λ n và (-1) n-1 ∑ = n i ii a 1 .λ n-1 khi đó hạng tử không đổi của det(A - λI n ) là detA. ii) + ∀ f ∈ EndV, Sp K (f) = [P f (X)] -1 ({0}) +) ∀ A ∈ Mat(n, K), Sp K (A) = [P A (X)] -1 ({0}) Chứng minh +) ∀ λ∈K, λ∈Sp K (f) ⇔ Ker( f - λ .Id V ) ≠ { 0 } ⇔ f - λ .Id V không là đơn ánh ⇔ det( f - λ .Id V ) = 0, vậy P f (λ) = 0. +) Tương tự λ ∈ Sp K (A) ⇔ Ker( A - λ .I n ) ≠ { 0 } ⇔ A - λ .I n không là đơn ánh ⇔ det( A - λ .I n ) = 0 hay P A (λ) = 0. iii) Gi ả s ử f ∈ EndV, λ 0 ∈ Sp K (f), s 0 là c ấ p b ộ i c ủ a λ 0 , d 0 = dim P λ . Khi đ ó ta có: 1 ≤ d 0 ≤ s 0 8 Chứng minh Vì P λ = Ker(f - λ 0 .id V ) ≠ { 0 } nên ta có: d 0 ≥ 1, P λ có ít nhất một cơ sở { } 0 , , 1 d ee , khi đó ∃ cơ sở { } nd ee , , 1 0 + ∈ V sao cho β = { } n ee , , 1 là một cơ sở của V. Khi đó ∃C ∈ Mat(d 0 ×(n - d 0 ), K), B∈ Mat(n - d 0 , K) sao cho ma trận A của f đối với cơ sở β có dạng: A=         B CI d 0 0 0 λ Khi đó ∀λ ∈K, ta có: P f (λ) = det         − − − 0 0 0 )( 0 dn d IB CI λ λλ = )det()( 0 0 0 dn d IB − −− λλλ = 0 )( 0 d λλ − P B (λ) Vì P B (λ) là một đa thức nên 0 )( 0 d λλ −  P f (λ), do vậy d 0 ≤ s 0 . 1.3.3. Định lý Cayley - Hamilton i). ∀ A ∈ M(n, K), P A (A) ii). ∀ f ∈ EndV, P f (f) = 0 Chứng minh i) Gọi B là ma trận phụ hợp của ma trận (A - λ.I n ). Vì phần bù tuyến tính của mọi phần tử trong ma trận (A - λ.I n ) đều là đa thức của X với bậc không quá n - 1 nên B(X) = B n - 1 .X n - 1 + … + B 0 , trong đó B 0 ,…, B n - 1 là các ma trận vuông cấp n với các phần tử trong K. Theo nhận xét ở (cuối Định lí 5 chương 3, tài liệu tham khảo [5] ) ta có: (A - λ.I n ). B(X) = det(A - λ.I n ).I n = P A (X).I n Thay A vào đẳng thức trên ta có: P A (λ).I n = (A - A.I n ).B(A) = 0. B(A) = 0, vậy P A (A) = 0. ii) Nếu A là ma trận của f∈ EndV thì P f (X) = P A (X) do đó P f (f) = P A (A) = 0 9 1.3.4. Định lý các hạt nhân Gi ả s ử f ∈ EndV, n ∈ N ∗ , P 1 ,P 2 , ,P n ∈ K[X] đ ôi m ộ t nguyên t ố cùng nhau khi đ ó: không gian véct ơ con Ker( P i (f) ) (1 ≤ i ≤ n) có t ổ ng tr ự c ti ế p và ))(( 1 fPKer i n i = ⊕ = = Ker [( ∏ = n i i P 1 )(f)] Chứng minh Kí hiệu: P = 1 n i i P = ∏ , ∀ i∈ {1, , n}, Q i = ∏ ≠ ≤≤ ij nj j P 1 Khi đó: ∀ i∈ {1, , n}, P i Q i = P, vì ∀ i∈ {1, , n}, P i (f).Q i (f) = P(f) nên ta có: Ker P i (f) ⊂ Ker P(f) do vậy ∑ = n i i fPKer 1 )(( ⊂ Ker P(f). Ta sẽ chứng minh Q 1 , , Q n nguyên tố cùng nhau Giả sử π là đa thức bất khả qui ∈ K[X] sao cho ∀ i∈ {1, , n}, π | Q i Vì π bất khả qui và π | Q 1 = P 2 P 3 P n nên ∃ i∈ {2, , n} thoả mãn π | P i và bởi vì π bất khả qui, π | Q i nên ∃ j ∈ {1, , n}\{i} thoả mãn π | P j . Khi đó π | P i , π | P j , i ≠ j điều này mâu thuẫn với giả thiết ( P i , P j ) = 1. Vậy Q 1 , ,Q n nguyên tố cùng nhau. Khi đó ∃ U 1 , U 2 , , U n ∈ K[X] sao cho ∑ = n i ii QU 1 = 1 ⇒ ∑ = n i ii fQfU 1 )()( = id V Giả sử x ∈ Ker P(f), kí hiệu: i x = Q i (f).U i (f)( x ), ∀ i∈{1, , n}, ta có: x = Id V ( x ) = ∑ = n i i x 1 ,∀i∈{1, , n}, P i (f)( x ) = [U i (P i Q i )](f)( x ) = (U i (f))[P(f)( x )] = 0 Do đó i x ∈ Ker P i (f),∀ i∈ {1, , n} vậy Ker P(f) = ∑ = n i i fPKer 1 )(( Cho ( 1 x , , n x ) ∈ V n sao cho      = ∈∈∀ ∑ = n i i ii x fKerPxni 1 0 )(},, ,1{ 10 Giả sử j ∈ {1, , n} ta có: 0 = Q i (f)( ∑ = n i i x 1 ) = ∑ = n i ii xfQ 1 ))(( ∀j∈ {1, , n}, P i | Q j , do vậy Q j (f)( j x ) = 0 ⇒ Q j (f)( j x ) = 0 Mà Id V = ∑ = n i ii fQfU 1 )()( ⇒ j x = Id V ( j x ) = ∑ = n i iii xfQfU 1 ))(()( = 0 Do đó tổng ∑ = n i i fPKer 1 )(( là tổng trực tiếp. 1.4. Đa thức tối tiểu 1.4.1. Mệnh đề Gi ả s ử f ∈ EndV, ∃ P 0 ∈ K[X] sao cho ∀ P ∈ K[X] ta có P(f) = 0 ⇔ P 0 | P. Chứng minh Xét I f = { P∈ K[X], P(f) = 0 }, I f là idean của vành giao hoán K[X] vì: + 0 ∈ I f + ∀ P, Q ∈ I f thì ( P + Q )(f) = P(f) + Q(f) = 0, ⇒ (P + Q) ∈ I f + ∀ P∈ I f , U∈ K[X] thì (UP)(f) = U(f).P(f) = U(f).0 = 0, ⇒ UP ∈ I f Vì K[X] là vành chính nên I f là Idean chính. Vậy ∃P 0 ∈K[X] sao cho I f = {UP 0 , U ∈K[X] } = P 0 K[X] ⇒ P 0 | P. 1.4.2. Định nghĩa Đ a th ứ c t ố i ti ể u c ủ a t ự đồ ng c ấ u f ( đượ c kí hi ệ u b ở i π f (X) ) là đ a th ứ c v ớ i h ệ s ố cao nh ấ t b ằ ng m ộ t và có b ậ c nh ỏ nh ấ t trong s ố nh ữ ng đ a th ứ c khác không nh ậ n f làm nghi ệ m. 1.4.3. Mệnh đề Giả sử A∈ Mat(n, K) khi đó tồn tại một đa thức duy nhất kí hiệu là π A (X) sao cho {P∈ K[X] , P(A) = 0 } = {π A (X) .Q, Q∈ K[X] }, π A (X) được gọi là đa thức tối tiểu của A. [...]...Chứng minh Vì Mat(n, K) hữu hạn chiều với số chiều n2 nên họ ( In , A, A2, , A n ) phụ 2 thu c tuyến tính.Vậy ∃P∈K[X] ( bậc ≤ n2) sao cho P ≠ 0 và P(A) = 0 hay A thừa nhận một đa thức tối tiểu 11 CHƯƠNG 2: PHÉP THU GỌN CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 2.1 Chéo hoá 2.1.1 Tự đồng cấu chéo hoá được – Ma trận chéo hoá được 2.1.1.1 Định nghĩa i) Cho f∈ EndV, f được gọi là chéo hoá được nếu tồn tại... toạ độ của V1, …,Vn + Tìm P -1 khi đó A = PTP -1 2.3 Phân tích Dunford – Thu gọn Jordan 2.3.1 .Tự đồng cấu luỹ linh 2.3.1.1 Định nghĩa i) Tự đồng cấu f của K – không gian véctơ V gọi là lũy linh nếu có một số nguyên dương q sao cho f q = 0, thêm vào đó nếu f q – 1 ≠ 0 thì q được gọi là bậc của lũy linh 28 ii) Giả sử f là tự đồng cấu lũy linh của V, mà V có cơ sở {ε , ε , ε }, 1 2 n f( ε j )= ε j + 1... J µ i (λ i )   ⋱     J 1 (λ i )    J 1 (λ i )    b) Tính duy nhất của thu gọn Jordan (sai khác trật tự các khối) Trong thu gọn Jordan người ta qui ước đặt các khối chéo Jordan theo một thứ tự nào đó tương ứng tăng hoặc giảm theo cấp của các khối, nếu có cùng giá trị riêng thì theo thứ tự giảm theo cấp của các khối Jordan Với mỗi giá trị riêng λi của f thì cấp tối đa của cấp Jordan tương... hay hg f j = n – j còn với j ≥ n thì Imf ( f j ) = { 0 } Vậy f là tự đồng cấu luỹ linh bậc n iii) Giả sử f là tự đồng cấu của K - không gian véctơ V, U là không gian véctơ con của V, U được gọi là không gian véctơ con xiclic đối với f nếu U là f - bất biến và U có một cơ sở xiclic đối với fU: U → U 2.3.1.2 Định lý Nếu f là tự đồng cấu luỹ linh của K - không gian véc tơ V (dimV = n) thì V là tổng trực... ∑ i !T i =0 i k 2.3.3 Thu gọn Jordan 2.3.3.1 Cấu trúc của các tự đồng cấu luỹ linh Giả sử f là tự đồng cấu luỹ linh của V, q là chỉ số của f tức là q là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho f q = 0, giả sử f ≠ 0 , q ≥ 2, ta có: 32 + Dãy các hạt nhân lặp: với k ∈ N, kí hiệu Fk = Ker fk khi đó ta có bao hàm thức: {0} = F0 ⊂ F1 ⊂ ⊂ Fq - 1⊂ Fq = V + Các không gian véctơ con của Fk luôn ∃ không gian véctơ con... β1′ ∪ β2′ ∪ ∪ βγ′, ma trận J của υ  Jq    Jq     J q −1     là ma trận chéo theo khối J = J q−1     ⋱   J1    J1    Ma trận J gọi là thu gọn Jordan của tự đồng cấu luỹ linh f 2.3.3.2 Thu gọn Jordan a) Sự tồn tại của thu gọn Jordan Giả sử f ∈ End V sao cho Pf (X) tách được trên K, {λ1, , λp} = Spk(f), si là bội của giá trị riêng λi trong Pf (X) và Ci = Rλ , i ∈{1, ,p}, Ci bất... véctơ riêng độc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của Rn Theo định lí 1, A chéo hóa được □ 2.1.2 Đa thức tự đồng cấu - Đa thức ma trận 2.1.2.1 Định nghĩa Cho P = a0 + a1 X+ + an X n ∈ K[X] +) Với f∈ EndV, khi đó P(f) = a0.idV + a1 f + + an.f n cũng là một tự đồng cấu của Vđược gọi là đa thức tự đồng cấu +) Với A∈ Mat(n, K), khi đó P(A) = a0In + a1A + + an An cũng là một ma trận được gọi là đa thức ma... Chứng minh tương tự 2.1.3 Các bước chéo hoá ma trận A ∈ Mat(n, K) Bước 1: Xác định đa thức đặc trưng PA(X) 18 Bước 2: Tìm các giá trị riêng và véctơ riêng Bước 3: + Xác định ma trận chéo D∈ Mat(n, K) (trong đó: D là ma trận mà các phần tử nằm trên đường chéo chính là các giá trị riêng) + Xác định ma trận P (trong đó P là ma trận mà mỗi cột của nó là tọa độ của véctơ riêng ứng với các giá trị riêng... được ii) Chứng minh tương tự 2.1.1.6 Điều kiện để chéo hóa ma trận a) Định lí 1: Một ma trận vuông chéo hóa được khi và chỉ khi nó là ma trận của một tự đồng cấu có một hệ véctơ riêng là cơ sở của không gian Chứng minh Coi A như ma trận của một tự đồng cấu f: V → V đối với cơ sở ( ε ) A là ma trận vuông chéo hóa được khi và chỉ khi có một ma trận T sao cho: 14  k1 0  k -1 T AT = B =  0 2 … …  0... được và có các nghiệm đơn ii) Giả sử A∈ Mat(n, K), A chéo hoá được ⇔ πA (X) tách được và có các nghiệm đơn Chứng minh i) Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại đa thức tách được và có các nghiệm đơn P∈ K[X] sao cho P(f) = 0 ( vì πf(X) | P nên πf (X) tách được và có các nghiệm đơn) Đảo lại: Giả sử πf(X) tách được và có các nghiệm đơn, vì πf (f) = 0 nên f chéo hoá được ii) Chứng minh tương tự 2.1.1.6