Vành địa phương và vành các tự đồng cấu

Ký hiệu EndM là vành các tự đồng cấu của môđun M.. Trong tài liệu [1] người ta đã chứng minh được kết quả sau: Nếu EndM là vành địa phương thì M không phân tích được.. Cụ thể: Nếu M khôn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Mở đầu……… ……… 2

Ký hiệu……… 4

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Các phần tử đặc biệt trong vành……….………….5

1.2 Vành các tự đồng cấu của môđun….……… 7

Chương 2: VÀNH ĐỊA PHƯƠNG

2.1 Định nghĩa vành địa phương……… … 10

2.2 Đặc trưng của vành địa phương… … ……… 10

2.3 Ví dụ……… 15

Chương 3 : VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 3.1 Vành các tự đồng cấu của môđun không phân tích được… …….… 17

3.2 Vành các tự đồng cấu của môđun nội xạ……… 24

Kết luận… ……….29

Tài liệu tham khảo……….…30

MỞ ĐẦU

Cho R là vành, A là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R Vành R được gọi là vành địa phương nếu A đóng kín đối với phép cộng.

Ký hiệu End(M) là vành các tự đồng cấu của môđun M Trong tài liệu [1] người ta đã chứng minh được kết quả sau: Nếu End(M) là vành địa

phương thì M không phân tích được Từ đó một câu hỏi đặt ra là điều

ngược lại có đúng không? Cụ thể: Nếu M không phân tích được thì End(M)

có là vành địa phương không? Để trả lời cho câu hỏi này ta cần chỉ ra một

Vậy khi nào End(M) là vành địa phương? Câu trả lời của câu hỏi này được

được và có độ dài hữu hạn thì End(M) là địa phương và các phần tử không khả nghịch của End(M) là lũy linh.

Mục đích của luận văn này là tìm hiểu vành địa phương và vành các

tự đồng cấu, đặc biệt là vành tự đồng cấu của môđun không phân tích được

và vành tự đồng cấu của môđun nội xạ

Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nộidung luận văn được trình bày trong ba chương

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị như các phần tử đặc biệt trongvành và vành các tự đồng cấu của môđun

Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ vành địa phương và các đặc trưngcủa vành địa phương

Chương 3: Trình bày vành tự đồng cấu của môđun không phân tích được

và vành tự đồng cấu của môđun nội xạ

Luận văn đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn giúp đỡ tận tìnhcủa PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành và sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, các thầy côgiáo trong bộ môn Đại số và Lý thuyết số, cùng các thầy cô giáo phản biện

đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo mọiđiều kiện để giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn mặc dù đã cốgắng nổ lực Song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luậnvăn còn nhiều thiếu sót Kính mong sự góp ý chân thành của thầy cô và cácbạn để luận văn hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 09 năm 2014

LÊ TẤN PHƯỚC

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được hiểu là vành có đơn vị, ký hiệu 1 và các môđun là môđun phải unita

1.1 CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH.

1.1.1 Các phần tử đặc biệt trong vành.

a Định nghĩa 1.

Phần tử r được gọi là nghịch đảo trái nếu tồn tại ' r ∈R để 'r r =1

Phần tử r được gọi là nghịch đảo phải nếu tồn tại r''∈R để rr'' 1=

Ví dụ: Trong vành ¢ các phần tử 2, 4, 6 là luỹ linh.8

c Định nghĩa 3 Phần tử r được gọi là luỹ đẳng nếu r2 =r

Ví dụ:

hợp các luỹ đẳng là:

{ }0 ( , )

các luỹ đẳng là:

{ }0;1 ( , )

1.1.2 Một số tính chất của các phần tử đặc biệt.

Cho vành R và r R∈

1 r vừa khả nghịch trái, r vừa khả nghịch phải ⇔ r khả nghịch.

2 Nếu r luỹ linh ⇒ r không khả nghịch và 1 r− khả nghịch.

3 Nếu r luỹ đẳng ⇒ 1 r− luỹ đẳng.

4 Nếu r luỹ đẳng và r khả nghịch ⇒ =r 1.

Chứng minh 1.

tồn tại duy nhất 'r ∈R r r: ' =1 và tồn tại duy nhất ''r ∈R rr: '' 1= Ta chứngminh 'r =r" Thật vậy, ta có r' =r'.1 =r rr'( ") ( ' ) " = r r r = ⇒ =r" r' r".

Tiếp tục nhân 2 vế của (1) cho r n−2 ta được:

1.2 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN.

1.2.1 Bổ đề: Cho M là một môđun trên vành R , ta định nghĩa

Ta chứng minh f + ∈g End M( ) nghĩa là chứng minh f + g là tự đồng cấu Thật vậy, ∀f g End M, ∈ ( ), ∀x y M, ∈ ,∀ ∈r R.

⇒ + ∈f g En Md( )

Kết luận: End M( ) : { := f M →M f la ø tự đồng cấu} cùng với hai phép

tốn cộng và nhân được xác định như trên là một vành cĩ đơn vị

1.2.2 Định nghĩa Vành End M( ) : { := f M →M f la ø R - tự đồng cấu} với

các phép tốn như trong bổ đề 1.2.1 được gọi là vành các tự đồng cấu của

mơđun M.

CHƯƠNG 2 VÀNH ĐỊA PHƯƠNG 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀNH ĐỊA PHƯƠNG.

2.2 ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH ĐỊA PHƯƠNG.

2.2.1 Bổ đề Nếu Rđịa phương, khi đó phần tử khả nghịch một phía thì khả nghịch.

Chứng minh: Cho b khả nghịch phải tức ∃b bb': ' 1=

Do đó chỉ có trường hợp 1 xảy ra ⇒ b b ' = 1 W

2.2.2 Định lí Cho vành R và A={các phần tử không khả nghịch của R }

Các phát biểu sau là tương đương:

(1) Rlà địa phương (đóng kín với phép cộng).

(2) Alà một iđêan 2 phía.

(3) Alà iđêan phải thực sự lớn nhất.

(3’) Alà iđêan trái thực sự lớn nhất.

(4) Trong Rtồn tại 1 iđêan phải thực sự lớn nhất.

(4’) Trong Rtồn tại 1 iđêan trái thực sự lớn nhất.

(5) ∀ ∈r R hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch phải.

(5’) ∀ ∈r R hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch trái.

b A∈ , b ⊂ A

Khi đó R[[x]] là vành có đơn vị evới e = 1 x0 + 0 x + = 1

a x R x

α ∞

=

=∑ ∈ khả nghịch khi và chỉ khi thành phần đầu a khả nghịch.0

Chứng minh

0

i i i

0

k

c x k k

Chứng minh

+ Ta đã biết phần tử

§ ¨0

i

a x i R x

α = ∑∞

vì A = {phần tử không khả nghịch của trường}

= {0}

mà 0 + 0 = 0 đóng kín

2 Vành các số nguyên ¢ không địa phương

KHÔNG PHÂN TÍCH ĐƯỢC.

=∑

và A i =e R i ∀ =i 1,n

(3) Nếu Ai , i I∈ 0là iđêan hai phía của R thì e thuộc tâm của R i

(b) Ngược lại: Nếu R có một họ luỹ đẳng trực giao { }1

n i

e và

1

1

n i i

e

2 1,0

k

n

i i

+) Hiển nhiên ta có: nhóm con e R i ( )+ ⊆ +R( )

Các mệnh đề sau tương đương đối với vành R :

(1) R không phân tích được R

(2) R R không phân tích được.

(1) M không phân tích được R

(2) S không phân tích được.

(3) S S không phân tích được.

Suy ra :

• e là đồng cấu M →M ⇒ ∈e End M( )

• e2 =e vì e a b2( + =) (e e a b( + )) =e a( )= =a e a b( + )

3.1.5 Hệ quả Nếu vành End M là vành địa phương thì ( R) M không phân R

Suy ra 1 không khả nghịch (điều này vô lý)

3.1.6 Định lý Cho M ≠0 là một môđun có độ dài hữu hạn và không phân tích được, khi đó End M là vành địa phương và các phần tử không khả( )nghịch trong End M là lũy linh.( )

vì M không phân tích được nên

End M là vành địa phương (theo Định lý 7.1.1 trong [1])

• ∀ ∈ϕ End M( ) giả sử ϕ không khả nghịch ⇒ϕlũy linh (trường hợp 2).

3.2 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MÔĐUN NỘI XẠ.

3.2.1 Định nghĩa Môđun ¤ được gọi là môđun nội xạ nếu với mọi môđun

Môđun Q nội xạ khi và chỉ khi với mọi iđêan phải I của R, với mọi đồng cấu f I : → Q luôn tồn tại a Q∈ để ( ) f x =ax với mọi x I ∈

3.2.3 Hệ quả Q là nội xạ khi và chỉ khi Q là R - nội xạ, tức là với mọi iđêan phải I của R, với mọi đồng cấu f I: →Q tồn tại đồng cấu

:

f∗ R→Q để biểu đồ sau giao hoán

i R

3.2.5 Định lí Nhóm thương của nhóm Abel chia được là nhóm chia được.

Vậy phương trình (*) có nghiệm x x = 0 + ∈ H A H W

3.2.6 Định lí Tổng trực tiếp của các nhóm Abel chia được là chia được.

trên ta có ⊕i I∈ Ai là nhóm chia được

3.2.7 Định lí Trên vành các số nguyên ¢ thì ¢-môđun nội xạ khi và chỉ khi ¢-môđun chia được.

Chứng minh.

( )⇒ Cho A là ¢-môđun nội xạ (Nhóm Abel A là nội xạ), ta chứng minh A

( )⇐ Ngược lại cho A chia được ta chứng minh A nội xạ Ta dùng tiêu

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày một số nội dung về các đặc trưng của vành địaphương, các tính chất của vành địa phương và tìm hiểu vành các tự đồngcấu của môđun M khi nào là vành địa phương Cụ thể chúng tôi đã hoànthành những nội dung chính sau:

vành tự đồng cấu của môđun nội xạ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

-NewYork

[2] Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết

vành và môđun, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội

[3] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng bởi các điều kiện liên

tục và lớp CS-môđun, Luận án PTS Toán Lý, ĐH Vinh.