Vành địa phương và vành các tự đồng cấu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ TẤN PHƯỚC VÀNH ĐỊA PHƯƠNG VÀ VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 1 MỤC LỤC Trang Mục lục 1 Mở đầu………………………………………………………… ……… 2 Ký hiệu…………………………………………………………………… 4 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Các phần tử đặc biệt trong vành………………………….………….5 1.2. Vành các tự đồng cấu của môđun….……………………………… 7 Chương 2: VÀNH ĐỊA PHƯƠNG 2.1. Định nghĩa vành địa phương…………………………………… … 10 2.2. Đặc trưng của vành địa phương… … …………………………… 10 2.3 Ví dụ………………………………………………………………… 15 Chương 3 : VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 3.1. Vành các tự đồng cấu của môđun không phân tích được… …….… 17 3.2. Vành các tự đồng cấu của môđun nội xạ…………………………… 24 Kết luận… …………………………………………………………….29 Tài liệu tham khảo…………………………………………………….…30 MỞ ĐẦU 2 Cho R là vành, A là tập tất cả các phần tử không khả nghịch của R. Vành R được gọi là vành địa phương nếu A đóng kín đối với phép cộng. Ký hiệu End(M) là vành các tự đồng cấu của môđun M. Trong tài liệu [1] người ta đã chứng minh được kết quả sau: Nếu End(M) là vành địa phương thì M không phân tích được. Từ đó một câu hỏi đặt ra là điều ngược lại có đúng không? Cụ thể: Nếu M không phân tích được thì End(M) có là vành địa phương không? Để trả lời cho câu hỏi này ta cần chỉ ra một phản ví dụ để chứng tỏ điều này không đúng: ¢ môđun ¢ là không phân tích được nhưng End( ¢ ) không là vành địa phương. Vậy khi nào End(M) là vành địa phương? Câu trả lời của câu hỏi này được trình bày cụ thể trong luận văn : Nếu 0M ≠ là một môđun không phân tích được và có độ dài hữu hạn thì End(M) là địa phương và các phần tử không khả nghịch của End(M) là lũy linh. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu vành địa phương và vành các tự đồng cấu, đặc biệt là vành tự đồng cấu của môđun không phân tích được và vành tự đồng cấu của môđun nội xạ. Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội dung luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị như các phần tử đặc biệt trong vành và vành các tự đồng cấu của môđun. Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ vành địa phương và các đặc trưng của vành địa phương. Chương 3: Trình bày vành tự đồng cấu của môđun không phân tích được và vành tự đồng cấu của môđun nội xạ. Luận văn đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng, các thầy cô giáo trong bộ môn Đại số và Lý thuyết số, cùng các thầy cô giáo phản biện 3 đã quan tâm dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu, tạo mọi điều kiện để giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn mặc dù đã cố gắng nổ lực. Song vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý chân thành của thầy cô và các bạn để luận văn hoàn thiện hơn. Nghệ An, tháng 09 năm 2014 LÊ TẤN PHƯỚC 4 CÁC KÝ HIỆU ¥ : tập hợp các số tự nhiên. * ¥ : tập hợp các số tự nhiên khác 0. ¢ : tập hợp các số nguyên. * ¢ : tập hợp các số nguyên khác 0. ¤ : tập hợp các số hữu tỉ. * ¤ : tập hợp các số hữu tỉ khác 0. ¡ : tập hợp các số thực. * ¡ : tập hợp các số thực khác 0. £ : tập hợp các số phức. * £ : tập hợp các số phức khác 0. 5 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn bộ luận văn, vành luôn được hiểu là vành có đơn vị, ký hiệu 1 và các môđun là môđun phải unita. 1.1 CÁC PHẦN TỬ ĐẶC BIỆT TRONG VÀNH. 1.1.1 Các phần tử đặc biệt trong vành. a. Định nghĩa 1. Cho vành R và r R ∈ Phần tử r được gọi là nghịch đảo trái nếu tồn tại 'r R∈ để ' 1r r = . Phần tử r được gọi là nghịch đảo phải nếu tồn tại ''r R ∈ để '' 1rr = . Phần tử r được gọi là khả nghịch nếu tồn tại u R∈ để 1ur ru= = . Cho vành R , ký hiệu ( )U ¡ là tập tất cả các phần tử khả nghịch của ¡ . Khi đó: Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành số nguyên ¢ là { } ( ) 1;1U = −¢ . Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành các số hữu tỉ ¤ là * ( )U =¤ ¤ . Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành các số thực ¡ là * ( )U =¡ ¡ . Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành các số phức £ là * ( )U =£ £ . Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành đa thức [ ]x¢ là { } ( [ ]) 1;1U x = −¢ . Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành đa thức [ ]K x với K là trường là * ( [ ])U K x K= . b. Định nghĩa 2. Phần tử r được gọi là luỹ linh nếu tồn tại * n∈¥ để 0 n r = 6 Ví dụ: Trong vành 8 ¢ các phần tử 2, 4, 6 là luỹ linh. c. Định nghĩa 3. Phần tử r được gọi là luỹ đẳng nếu 2 r r= . Ví dụ: Tập hợp các số nguyên ¢ cùng với phép cộng các số thông thường có tập hợp các luỹ đẳng là: { } 0 ( , ) E = +¢ . Tập hợp các số tự nhiên ¢ cùng với phép nhân thông thường có tập hợp các luỹ đẳng là: { } 0;1 ( , ) E = •¢ . 1.1.2 Một số tính chất của các phần tử đặc biệt. Cho vành R và r R∈ 1. r vừa khả nghịch trái, r vừa khả nghịch phải ⇔ r khả nghịch. 2. Nếu r luỹ linh ⇒ r không khả nghịch và 1 r− khả nghịch. 3. Nếu r luỹ đẳng ⇒ 1 r − luỹ đẳng. 4. Nếu r luỹ đẳng và r khả nghịch 1r⇒ = . Chứng minh 1. ( )⇒ Với mọi r R ∈ . Giả sử r khả nghịch trái và khả nghịch phải. Khi đó tồn tại duy nhất ' : ' 1r R r r∈ = và tồn tại duy nhất '' : '' 1r R rr∈ = . Ta chứng minh ' "r r= . Thật vậy, ta có ' '.1 '( ") ( ' ) " " ' ".r r r rr r r r r r r= = = = ⇒ = ( ) ⇐ Hiển nhiên (Theo định nghĩa về phần tử khả nghịch, phần tử r khả nghịch thì r khả nghịch trái và r khả nghịch phải). W Chứng minh 2. Giả sử r khả nghịch khi đó u R∃ ∈ sao cho: 1ur ru = = (1). Do r luỹ linh nên đó tồn tại số tự nhiên n để 0. n r = Nhân 2 vế của (1) cho 1n r − ta được 1 1 1 1 n n n n urr r ur r − − − = ⇒ = 1 0 n r − ⇒ = . 7 Tip tc nhõn 2 v ca (1) cho 2n r ta c: 2 0 n r = . Tip tc thc hin cho n khi 0r = (vụ lý). Mt khỏc, do 0 n r = nờn 2 1 1 1 (1 )(1 ) n n r r r r r = = + + + + 1 r kh nghch phi. Tng t ta cú 1 r kh nghch trỏi. Vy 1 r kh nghch. W Chng minh 3. Gi s r lu ng 2 r r = .Ta cú: 2 (1 )(1 ) 1 1 1r r r r r r r r r = + = + = 1 r lu ng. W Chng minh 4. Gi s r va l lu ng va kh nghch. Khi ú: 2 r r= v tn ti ' : ' 1r R rr = . Khi ú ta cú: 2 1 . ' ' ' 1.r r r rr r r rr= = = = = Vy 1.r = W 1.2 VNH CC T NG CU CA MễUN. 1.2.1 B : Cho M l mt mụun trờn vnh R , ta nh ngha ( ) : { : }End M f M M f = la ứ tửù ủong caỏu , ( );f g End M x M ta xỏc nh phộp toỏn cng +, v nhõn . nh sau: Phộp c ng " ": + : f g M M + ( )( ) ( ) ( )x f g x f x g x + = + a Phộp toỏn nhõn .: : fg M M ( )( ) [ ( )]x fg x f g x = a . Khi ú End(M) l mt vnh. Chng minh : 8 Ta chứng minh ( )f g End M + ∈ nghĩa là chứng minh f + g là tự đồng cấu. Thật vậy, , ( ), , , R.f g End M x y M r ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ • Ta có: ( )( ) ( ) ( )f g x y f x y g x y + + = + + + do f và g là các tự đồng cấu nên ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x y f x f y g x g y ⇒ + + = + + + ( )( ) ( )( ) ( )( )f g x y f g x f g y ⇒ + + = + + + • Mặt khác ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]f g xr f xr g xr f x r g x r f x g x r + = + = + = + ( )( ) [( )( )] [( )( )].f g xr f g x r r f g x ⇒ + = + = + d( )f g En M ⇒ + ∈ Dễ dàng kiểm tra được ( ( ), )End M + là một nhóm Abel. • Phần tử không của ( ( ), )End M + là đồng cấu 0 được xác định như sau: 0: M M → 0x M a • Phần tử đối của ( ( ), )f End M ∈ + là đồng cấu –f được xác định như sau: : f M M − → ( )( ) ( )x f x f x − = − a Ta chứng minh ( )fg End M ∈ nghĩa là chứng minh fg là tự đồng cấu. Thật vậy, , ( ), , .f g End M x y M ∀ ∈ ∀ ∈ • Ta có: ( )( ) [ ( )]fg x y f g x y + = + do g là tự đồng cấu nên ( )( ) [ ( ) ( )]= [ ( )] [ ( )]fg x y f g x g y f g x f g y ⇒ + = + + (do f là đồng cấu vành) ( )( ) ( )( ) ( )( )fg x y fg x fg y ⇒ + = + • Mặt khác ( ) [ ( )] [ ( ) ] [ ( )] [ ( )]fg xr f g xr f g x r f g x r fg x r ⇒ = = = = d( ).fg En M⇒ ∈ Dễ dàng kiểm tra được ( ( ),.)End M là một nửa nhóm. • Phần tử đơn vị của ( ( ),.)End M là đồng cấu đồng nhất 1 : M M M → 9 x xa Phộp nhõn phõn phi i vi phộp cng: , , ( ), .f g h End M x M Ta chng minh ( ) .f g h fg fh + = + Tht vy, [ ( )]( ) [( )( )]f g h x f g h x + = + [ ( ) ( )]f g x h x = + [ ( )] [ ( )]f g x f h x = + ( )( ) ( )( )fg x fh x = + ( )( )fg fh x = + ( ) .f g h fg fh + = + Ta chng minh ( )f g h fh gh + = + hon ton tng t. W Kt lun: ( ) : { : }End M f M M f = la ứ tửù ủong caỏu cựng vi hai phộp toỏn cng v nhõn c xỏc nh nh trờn l mt vnh cú n v. 1.2.2 nh ngha. Vnh ( ) : { : }End M f M M f = la ứ R - tửù ủong caỏu vi cỏc phộp toỏn nh trong b 1.2.1 c gi l vnh cỏc t ng cu ca mụun M. 10 [...]... các đặc trưng của vành địa phương, các tính chất của vành địa phương và tìm hiểu vành các tự đồng cấu của mơđun M khi nào là vành địa phương Cụ thể chúng tơi đã hồn thành những nội dung chính sau: 1 Khái niệm vành các tự đồng cấu của một mơđun và một số tính chất 2 Trình bày điều kiện để vành tự đồng cấu là vành địa phương 3 Tìm hiểu vành tự đồng cấu của mơđun khơng phân tích được và vành tự đồng cấu. .. (6) ta có a1s = 1 − a2 s ∉ A Tương tự ta nhận được điều còn lại 13 2.2.3 Hệ quả Ảnh tồn cấu của một vành địa phương là một vành địa phương Chứng minh Giả sử f : R → S là một tồn cấu vành với R là một vành địa s ∈ S Vì phương và f là một tồn cấu nên tồn tại một r ∈ R sao cho s = f (r ) Nhưng do r là một vành địa phương nên r hoặc 1 – r khả nghịch Nếu r khả nghịch thì tồn tại r ' ∈ R sao cho rr ' =1...CHƯƠNG 2 VÀNH ĐỊA PHƯƠNG 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀNH ĐỊA PHƯƠNG Cho R là một vành Đặt A = {r ∈ R r khơng khả nghịch} Khi đó vành R được gọi là vành địa phương nếu A đóng kín đối với phép cộng, tức là: ∀ a , a ∈ A thì a + a ∈ A 1 2 1 2 2.2 ĐẶC TRƯNG CỦA VÀNH ĐỊA PHƯƠNG 2.2.1 Bổ đề Nếu R địa phương, khi đó phần tử khả nghịch một phía thì khả nghịch Chứng... đó R là vành địa phương (⇐) Cho R là vành địa phương, ta cần chứng minh R § x ¨ địa phương Lấy bất kỳ ∞ α = ∑ ai xi ∈R[[x]] i =0 Giả sử α khơng khả nghịch ta chứng minh 1 − α khả nghịch Do α khơng khả nghịch nên a0 khơng khả nghịch trong R ⇒ 1 − a0 khả nghịch trong R (do R địa phương) Suy ra 1 − α = (1 − a0 ) + a1x + a2 x 2 + + an x n + là khả nghịch trong R[[x]] Do đó R[[x]] là vành địa phương W... vành địa phương vì A = {phần tử khơng khả nghịch của trường} = {0} mà 0 + 0 = 0 đóng kín 2 Vành các số ngun ¢ khơng địa phương 16 vì 2, (-3) khơng khả nghịch nhưng 2 + (-3) = - 1 là khả nghịch ⇒ A khơng đóng kín 3 Vành đa thức ¡ [ x] (hệ số thực) khơng địa phương vì f ( x ) = 1 − x, g ( x ) = x là khơng khả nghịch (tức thuộc A) mà f ( x) + g ( x) = 1 khả nghịch ∉ A Do đó A khơng đóng kín CHƯƠNG 3 VÀNH... End ( M ) là vành địa phương (theo Định lý 7.1.1 trong [1]) • ∀ϕ ∈ End ( M ) giả sử ϕ khơng khả nghịch ⇒ ϕ lũy linh (trường hợp 2) Ngược lại nếu ϕ lũy linh thì (theo Hệ quả 7.2.2 trong [1]) ϕ khơng khả nghịch 3.2 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MƠĐUN NỘI XẠ 3.2.1 Định nghĩa Mơđun ¤ được gọi là mơđun nội xạ nếu với mọi mơđun M, với mọi mơđun X con M, với mọi đồng cấu f : X → ¤ ln tồn tại đồng cấu f ∗ : M →... = ∑ aib j để αβ = 1 thì c0 = 1 và i + j =k k =0 các ck = 0 với k = 1,2,3, từ đây ta có: c0 = a0b0 = 1 − c1 = a0b1 + a1b0 = 0 ⇒ b1 = − a0 1 (a1b0 ) − c2 = a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0 ⇒ b2 = −a0 1 (a1b1 + a2b0 ) …… − ck = a0bk + a1bk −1 + + ak b0 = 0 ⇒ bk = −a0 1 (a1bk −1 + + ak b0 ) …… ⇒ α khả nghịch W d Mệnh đề Vành R[[x]] là vành địa phương khi và chỉ khi R là vành địa phương 15 Chứng minh + Ta đã biết... nghịch trong R § x ¨ ⇔ a0 khả nghịch trong R 0 + R là vành địa phương ⇔ ∀r ∈ R hoặc r hoặc 1 – r khả nghịch (⇒) Cho R[[x]] là vành địa phương ta chứng minh R địa phương Thật vậy, lấy bất kỳ r ∈ R , giả sử r khơng khả nghịch, ta chứng minh 1 – r khả nghịch Do r khơng khả nghịch nên α = r + x + x 2 + + ∈ R § x ¨ khơng khả nghịch trong R § x ¨ Do R[[x]] địa phương nên 1 − α khả nghịch trong R § x ¨ mà 1 −... thuộc A) mà f ( x) + g ( x) = 1 khả nghịch ∉ A Do đó A khơng đóng kín CHƯƠNG 3 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 3.1 VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU CỦA MƠĐUN KHƠNG PHÂN TÍCH ĐƯỢC 17 3.1.1 Định lý Cho RR = ⊕Ai là sự phân tích R_mơđun phải R theo các i∈I iđêan phải Ai , ∀i ∈ I (a) Khi đó ta có: (1) Tồn tại I 0 hữu hạn I 0 ⊂ I để ∀i ∈ I 0 , Ai ≠ 0 và RR = ⊕Ai trong i∈I 0 đó I 0 = { 1, , n} (2) Tồn tại họ luỹ đẳng trực giao { ei... là một mơđun có độ dài hữu hạn và khơng phân tích được, khi đó End ( M ) là vành địa phương và các phần tử khơng khả nghịch trong End ( M ) là lũy linh Chứng minh ∀ϕ ∈ End ( M ) khi đó tồn tại số tự nhiên n sao cho: M = imϕ n ⊕ kerϕ n (do M hữu hạn), vì M khơng phân tích được nên kerϕ n = 0 hoặc imϕ n = 0 Trường hợp 1: kerϕ n = 0 ⇒ kerϕ = 0 ⇒ ϕ là đơn cấu ⇒ ϕ tự đẳng cấu ⇒ ϕ khả nghịch Trường hợp 2: . như các phần tử đặc biệt trong vành và vành các tự đồng cấu của môđun. Chương 2: Trình bày định nghĩa, ví dụ vành địa phương và các đặc trưng của vành địa phương. Chương 3: Trình bày vành tự đồng. của vành địa phương … …………………………… 10 2.3 Ví dụ………………………………………………………………… 15 Chương 3 : VÀNH CÁC TỰ ĐỒNG CẤU 3.1. Vành các tự đồng cấu của môđun không phân tích được… …….… 17 3.2. Vành các tự đồng. End(M) là địa phương và các phần tử không khả nghịch của End(M) là lũy linh. Mục đích của luận văn này là tìm hiểu vành địa phương và vành các tự đồng cấu, đặc biệt là vành tự đồng cấu của môđun