Một số tính chất của vành iđêan hóa

LÊ NHƯ HẢOMỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014... LÊ NHƯ HẢOMỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46

LÊ NHƯ HẢO

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2014

LÊ NHƯ HẢO

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2014

MỤC LỤC

1.1 Vành Noether và vành Artin 7

1.2 Vành và môđun địa phương hóa 8

1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic 11

1.4 Vành và môđun phân bậc 12

2 Một số tính chất của vành iđêan hóa 14 2.1 Khái niệm vành iđêan hóa 14

2.2 Địa phương hóa 16

2.3 Iđêan hóa của môđun phân bậc 21

2.4 Tính Artin và tính Noether 23

Tài liệu tham khảo 27

MỞ ĐẦU

Trong toàn bộ luận văn, luôn ký hiệu R là một vành giao hoán, có đơn vị

là 1 và M là một R−môđun Khái niệm iđêan hóa được M Nagata đưa ranăm 1962 trong [8] như sau: trên tích Đêcac R × M, trang bị hai phép toáncộng và nhân xác định bởi:

(r1, m1) + (r2, m2) = (r1 + r2, m1 + m2),(r1, m1)(r2, m2) = (r1r2, r1m2 + r2m1)

với mọi (r1, m1), (r2, m2) ∈ R × M; R × M cùng với hai phép toán nói trên

là một vành giao hoán có đơn vị (1, 0) và hơn nữa nó là một R−đại số Vành

R × M được gọi là iđêan hóa của M hoặc mở rộng tầm thường của R bởi M

và được ký hiệu là RnM Nếu R là vành địa phương với iđêan cực đại duynhất m thì RnM cũng là một vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất

m× M Chú ý rằng 0 × M là một iđêan của RnM và RnM/0 × M ∼= R

Phép chiếu chính tắc ρ : RnM → R xác định bởi ρ((r, m)) = r và phépnhúng chính tắc σ : R → RnM xác định bởi σ(r) = (r, 0) là các đồng cấuđịa phương Do đó chúng ta có thể xem mỗiR-môđun như một RnM-môđun

và mỗi RnM-môđun như một R-môđun bởi các đồng cấu σ và ρ Ngoài ra,cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi đồng cấu hợp thành ρσ chính là cấu trúcban đầu

Theo một nghĩa nào đó, iđêan hóa môđun M nghĩa là đặt M vào vànhgiao hoán RnM sao cho cấu trúc của M như một R-môđun cơ bản là giốngnhư một RnM-môđun, nghĩa là, giống như một iđêan của vành RnM Mục

đích ban đầu của M Nagata là sử dụng iđêan hóa để chứng minh một sốkết quả cho môđun, khi biết điều đó đúng cho các iđêan, bằng cách xem mỗimôđun là một iđêan của vành iđêan hóa Kỹ thuật này được M Nagata sửdụng rất nhiều lần trong [8] Chẳng hạn, ông chứng minh Bổ đề Artin Ress,Định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan sau đó mở rộng cho môđun bằng kỹthuật iđêan hóa Về sau, khái niệm iđêan hóa đã được một số nhà toán họcquan tâm, nghiên cứu Các kết quả đạt được cho thấy iđêan hóa cũng cónhiều ứng dụng, đặc biệt là trong các bài toán xác định cấu trúc vành Ngoài

ra trong rất nhiều công trình, iđêan hóa được sử dụng để làm ví dụ minhhọa cho các vấn đề trong vành, nếu điều này thực hiện trên các vành thôngthường thì rất khó khăn Đặc biệt, N T Cuong - L T Nhan - M Morales[6] đã sử dụng iđêan hóa như là một công cụ hữu hiệu để trả lời cho một câuhỏi mở của Sharp

Nội dung của luận văn dựa vào tài liệu tham khảo chính là bài báo [3] của

D D Anderson- A Winders và một số tài liệu khác liên quan đến iđêan hóa

để trình bày về các tính chất của vành iđêan hóa như: iđêan hóa, bao đầy đủtheo tôpô m× M-adic, điều kiện để vành RnM là Noether, Artin,

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận vănđược chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chươngnày, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán nhằmlàm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương sau.Chương 2: Một số tính chất của vành iđêan hóa Trong chương này chúng tôitrình bày một số tính chất của vành iđêan hóa dựa vào tài liệu tham khảochính là [3] và một số tài liệu liên quan khác, gồm những nội dung sau.2.1 Vành iđêan hóa

2.2 Địa phương hóa

2.3 Iđêan hóa của môđun phân bậc

2.4 Tính Artin và tính Noether

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫntận tình, chu đáo của cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tác giả xin đượcbày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô giáo TS Nguyễn Thị Hồng Loan đãtận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trongsuốt quá trình học tập và làm đề tài.

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộmôn Đại Số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao họcĐại Số; Tác giả cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa, các thầy cô giáo trongKhoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh

Tác giả xin gửi lởi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, tổ Toán - Tin cùng toànthể giáo viên trường THPT Diễn Châu 4 và lớp cao học khóa 20 đã luôn độngviên, và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học

Nghệ An, tháng 06 năm 2014

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số kiếnthức về Đại số giao hoán như: vành Artin, vành Noether, vành và môđun địaphương hóa, vành địa phương đầy đủ m - adic, vành và môđun phân bậc,nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ởChương 2 Các kết quả viết trong chương này được tham khảo trong [2] và[5] Trong toàn bộ luận văn vành R luôn được giả thiết là giao hoán, có đơnvị; M là một R-môđun

là một dãy giảm) các iđêan của R thì ∃k ∈ N sao cho In = Ik với mọi n ≥ k

1.1.2 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương:

(i) R là vành Noether;

(ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theoquan hệ bao hàm;

(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh.

1.1.3 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương:

1.2 Vành và môđun địa phương hóa

Cho S là tập nhân đóng của vành R Trên tích Đề-các

là tập thương của R × S theo quan hệ tương đương ∼

Trên RS trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.) như sau:

r/s + r0/s0 = (rs0+ sr0)/(ss0)

và

r/s.r0/s0 = (rr0)/(ss0)

với mọi r/s, r0/s0 ∈ RS; chú ý rằng hai phép toán này không phụ thuộc vàoviệc chọn phần tử đại diện Khi đóRS trở thành một vành và gọi là vành cácthương của R theo tập nhân đóng S Chú ý rằng vành các thương RS cũngthường được ký hiệu là S−1R.

Mỗi iđêan của vành các thương RS đều có dạng S−1I, trong đó I là iđêancủa vành R Ta có S−1I = S−1R ⇔ I ∩ S 6= φ Do đó S−1I là iđêan thực sựcủa RS khi và chỉ khi I ∩ S = φ

Cho p ∈ SpecR Khi đóS = R\p là một tập nhân đóng của vành R Vành

RS trong trường hợp này là vành địa phương, kí hiệu là Rp, với iđêan cực đạiduy nhất là pRp = {a/s | a ∈ p, s ∈ R\p} nên được gọi là vành địa phươnghóa của vành R tại iđêan nguyên tố p

Giả sử S là tập tất cả các phần tử không là ước của không của vành R

Khi đó S là một tập nhân đóng của vành R Trong trường hợp này vành cácthương RS được gọi là vành thương toàn thể của R (total quotient ring of R)

và ký hiệu là T (R) NếuR là một miền nguyên thì vành thương toàn thể của

R là một trường và được gọi là trường các thương của R Chú ý rằng, do S

không chứa ước của không nên ánh xạ tự nhiên R → T (R) là đơn cấu Vìthế vành thương toàn thể T (R) là một mở rộng của vành R

Cho S là một tập nhân đóng của vành R Khi đó tập hợp

S = {a ∈ R | ∃b ∈ R, ab ∈ S}

được gọi là bão hòa của S (saturation of S) Chú ý rằng S cũng là một tậpnhân đóng của vành R Do ước của một phần tử khả nghịch là một phần tửkhả nghịch nên từ định nghĩa của vành các thương ta suy ra RS = RS và S

là cực đại trong số các tập T để cho RS = RT Dễ thấy rằng

S = {a ∈ R | a/1 khả nghịch trong RS}

Cho M là một R-môđun Trên tích Đề-các M × S ta xét quan hệ hai ngôi

(m, s) ∼ (m0, s0) ⇔ ∃t ∈ S : t(s0m − sm0) = 0

Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S Khi đó M × S đượcchia thành các lớp tương đương Với mỗi phần tử (m, s) ∈ M × S, kí hiệu

m/s là lớp tương đương chứa (m, s), tức là

0/1 = 0M/s, ∀s ∈ S Chú ý rằng môđun các thương MS cũng thường được

Cho p ∈ SpecR Đối với tập nhân đóng S = R\p ta viết Rp thay cho RS

và viết Mp thay cho MS Môđun Mp được gọi là môđun địa phương hóa của

M tại iđêan nguyên tố p

1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic

Cho (R,m) là một vành địa phương Ta xétR như một vành tôpô với cơ sởlân cận của phần tử 0 là các iđêan mt, với t = 0, 1, 2, Chú ý rằng cơ sở lâncận của một phần tử tùy ý r ∈ R gồm các lớp ghép r +mt với t = 0, 1, 2, Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R được kí hiệu bởi bR được địnhnghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãyCauchy trong R là một dãy (rn) các phần tử của R sao cho với mọi t > 0,tồn tại số tự nhiên n0 để rn − rm ∈ mt với mọi n, m > n0

Dãy (rn) được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tựnhiên n0 để rn− 0 = rn ∈ mt với mọi n > n0

Hai dãy Cauchy (rn) và (sn) được gọi là hai dãy tương đương, kí hiệu là

(rn) ∼ (sn) nếu dãy (rn − sn) là dãy không Khi đó quan hệ ∼ trên tập cácdãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta kí hiệu bR là tập các lớp tương đươngcủa các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu (rn) và (sn) là các dãy Cauchy thì các dãy (rn+ sn), (rnsn)cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (rn + sn), (rnsn) làkhông phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tương đương của cácdãy (rn) và (sn), tức là nếu(rn) ∼ (rn0) và(sn) ∼ (s0n) thì(rn+sn) ∼ (rn0 +s0n)

và (rnsn) ∼ (r0ns0n) Vì thế bR được trang bị hai phép toán hai ngôi + và

đồng thời cùng với hai phép toàn này, bR lập thành một vành Mỗi phần tử

r ∈ R có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà tất cả cácphần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa các vành

R −→ Rb

r 7−→ (r),trong đó (r) là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r Đồng cấu tự nhiênnày là một đồng cấu hoàn toàn phẳng

Chú ý rằng từ định nghĩa trên ta thấy bR = lim

← (R/mn)

1.4 Vành và môđun phân bậc

1.4.1 Định nghĩa (i) Một vành R được gọi là phân bậc nếu

R = R0 ⊕ R1 ⊕ R2 ⊕

là một tổng trực tiếp các nhóm aben với RiRj ⊆ Ri+j

(ii) Một môđun M trên vành phân bậcR được gọi là môđun phân bậc nếu

1.4.2 Định nghĩa Cho M là một môđun phân bậc trên vành phân bậc R

và N là một môđun con của M Khi đó N được gọi là môđun con thuần nhấthay môđun con phân bậc nếu nó thỏa mãn một trong những điều kiện tươngđương sau đây

(i) N được sinh bởi các phần tử thuần nhất

(ii) Với mỗi x ∈ N, mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc N

(iii) N = ⊕∞

i=0(N ∩ Mi)

Nếu I là iđêan thuần nhất của vành phân bậc R thì vành thương R/I làcũng là vành phân bậc Cũng vậy, nếu N là môđun con thuần nhất của M

thì M/N là R-môđun phân bậc

1.4.3 Ví dụ Vành phân bậc hay gặp nhất là vành đa thức R = A[x], trong

đó A là một vành giao hoán có đơn vị, với Ri là tổ hợp tuyến tính của cácđơn thức có bậc tổng thể là i và hệ số thuộc A Như vậy, đa thức thuần nhất

là tổng của các từ có bậc tổng thể bằng nhau

I là iđêan thuần nhất củaRnếu nó sinh bởi các đa thức thuần nhất Chẳnghạn, mọi đơn thức là đa thức thuần nhất; (x3 − y2z, x4yz − y5z + 6y2z4) làiđêan thuần nhất của vành R[x, y, z]

Cho S là một vành con của vành R (không nhất thiết phân bậc) Khi đóngười ta còn gọi R là một S-đại số Nếu a1, , an ∈ R, ký hiệu S[a1, , an]

là tập các tổ hợp tuyến tính trênS của các phần tửap1

1 apn

n , pi ∈ N.Tập này

rõ ràng là là vành con của R Có thể xem nó như là vành các đa thức, nhưng

a1, , an ở đây không phải là các biến độc lập Nếu tồn tại a1, , an ∈ R

sao cho R = S[a1, , an] thì R được gọi là S-đại số hữu hạn sinh

1.4.4 Định lí Vành phân bậc R = ∞⊕

i=0

Ri là vành Noether khi và chỉ khi R0

là vành Noether và R là một R0-đại số hữu hạn sinh

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA

Trong chương này, dựa vào bài báo [3] của D D Anderson and M Winders,chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của vành iđêan hóa RnM, với R làmột vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun

2.1 Khái niệm vành iđêan hóa

2.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị là 1 và M làmột R−môđun Trên tích Đêcac R × M,trang bị hai phép toán cộng và nhânnhư sau:

(r1, m1) + (r2, m2) = (r1 + r2, m1 + m2),(r1, m1)(r2, m2) = (r1r2, r1m2 + r2m1)

với mọi (r1, m1), (r2, m2) ∈ R × M Khi đó R × M cùng với hai phép toánnói trên là một vành giao hoán có đơn vị là (1, 0) Vành R × M được gọi làiđêan hóa của M hoặc mở rộng tầm thường của R bởi M và được ký hiệu là

RnM

2.1.2 Chú ý (1) Chú ý rằng RnM cũng là một R−đại số Giả sử R làmột vành giao hoán cố định Khi đó iđêan hóa cảm sinh một hàm tử IR :

R − mod →R Alg từ phạm trù các R-môđun R − mod đến phạm trù các

R-đại số RAlg, với IR(M ) = RnM và nếu f : M → N là một R-đồngcấu thì IR(f ) : IR(M ) → IR(N ) là một đồng cấu R- đại số xác định bởi

IR(f )(r, m) = (r, f (m))

(3) Phép chiếu chính tắc ρ : RnM → R xác định bởi ρ((r, m)) = r vàphép nhúng chính tắc σ : R → RnM xác định bởi σ(r) = (r, 0) là các đồngcấu địa phương Do đó chúng ta có thể xem mỗi R-môđun như một RnM-môđun và mỗi RnM-môđun như một R-môđun bởi các đồng cấu σ và ρ.Ngoài ra, cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi đồng cấu hợp thành ρσ chính làcấu trúc ban đầu.

(ii) Tập các phần tử lũy đẳng của vành RnM là Id(RnM ) = Id(R) × 0,

trong đó Id(R) là tập các phần tử lũy đẳng của vành R

Chứng minh (i) giả sử (r, m) ∈ U (RnM ).Khi đó tồn tại (s, n) ∈ RnM saocho (r, m)(s, n) = (1, 0) Do đó rs = 1, tức là r ∈ U (R) Suy ra (r, m) ∈

U (R) × M Ngược lại, giả sử (r, m) ∈ U (R) × M Khi đó, do r ∈ U (R)

nên tồn tại s ∈ R sao cho rs = 1 Suy ra (r, 0)(s, 0) = (1, 0), tức (r, 0) khảnghịch Mặt khác, do (r, m) = (r, 0) + (0, m) mà (0, m) lũy linh nên suy ra

(r, m) khả nghịch (chú ý rằng nếu u là một phần tử khả nghịch và x là mộtphần tử lũy linh của vành R thì u + x là phần tử khả nghịch của R Thậtvậy, do x lũy linh nên x ∈ n(R) ⊆ J (R) Suy ra 1 − xy khả nghịch với mọi

y ∈ R Do đó u(1 − xy) khả nghịch với mọi y ∈ R Chọn y = −u−1 ta có

u + x khả nghịch) Vậy ta đã chứng minh được U (RnM ) = U (R) × M

(ii) Rõ ràng rằng nếu e ∈ R là lũy đẳng thì (e, 0) là lũy đẳng Do đó

Id(R) × 0 ⊆ Id(RnM ) Ngược lại, giả sử (r, m) ∈ Id(RnM ) Khi đó ta

có (r, m) = (r, m)2 = (r2, 2rm) Suy ra r = r2 hay r ∈ Id(R) Mặt khác,

ta cũng có m = 2rm nên rm = 2r2m = 2rm Suy ra rm = 0 Vì thế

m = 2rm = 0 Suy ra Id(RnM ) ⊆ Id(R) × 0 Như vậy ta đã chứng minhđược Id(RnM ) = Id(R) × 0

2.1.4 Nhận xét Theo mệnh đề trên tập các phần tử khả nghịch của vành

RnM là U (RnM ) = U (R) × M nên tập các phần tử không khả nghịch của

RnM là (R \ U (R)) × M ⊇ 0 × M Suy ra khi M 6= 0, tồn tại phần tử kháckhông mà không khả nghịch Vì thế vành iđêan hóa RnM, trong trường hợp

M 6= 0 không bao giờ là một trường

2.2 Địa phương hóa

Ký hiệu Z(R) và Z(M ) tương ứng là tập các ước của không của R và M

Mệnh đề sau xác định tập các ước của không Z(RnM ) của vành RnM

2.2.1 Mệnh đề Cho R là một vành giao hoán và M là một R−môđun Khi

Z(RnM ) = {(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M ), m ∈ M }

Chứng minh Cho r ∈ Z(R) ∪ Z(M ) Nếu r ∈ Z(R) thì tồn tại 0 6= s ∈ R

sao cho rs = 0 Vì thế (r, 0)(s, 0) = (0, 0) Do đó (r, 0) ∈ Z(RnM ) Nếu

r ∈ Z(M ) thì tồn tại 0 6= x ∈ M sao cho rx = 0 Vì thế (r, 0)(0, x) = (0, 0)

Do đó (r, 0) ∈ Z(RnM )

Chú ý rằng Z(RnM )là hợp của các iđêan nguyên tố liên kết mà n(RnM )

là giao của tất cả các iđêan nguyên tố nên n(RnM ) ⊆ Z(RnM ) Bây giờgiả sử m ∈ M Khi đó (0, m) ∈ n(RnM ) nên (0, m) ∈ Z(RnM ) Do đó

(r, m) = (r, 0) + (0, m) ∈ Z(RnM ) Như vậy ta đã chứng minh được

{(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M ), m ∈ M } ⊆ Z(RnM )

Ngược lại, giả sử(r, m) ∈ Z(RnM ).Khi đó tồn tại(0, 0) 6= (s, n) ∈ RnM

sao cho (0, 0) = (r, m)(s, n) = (rs, rn + sm) Nếu s 6= 0, do rs = 0 suy ra

r ∈ Z(R) Nếu s = 0 thì n 6= 0, do sm = 0 nên rn = 0 suy ra r ∈ Z(M )

Trong cả hai trường hợp ta đều có r ∈ Z(R) ∪ Z(M ) Do đó

Z(RnM ) ⊆ {(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M ), m ∈ M }

Vậy từ những chứng minh trên ta nhận được

Z(RnM ) = {(r, m) | r ∈ Z(R) ∪ Z(M ), m ∈ M }

Từ mệnh đề trên ta có ngay hệ quả sau đây

2.2.2 Hệ quả Tập các phần tử chính qui (không là ước của không) của vành

RnM là S × M, trong đó S = R \ (Z(R) ∪ Z(M ))

2.2.3 Nhận xét Giả sửM 6= 0 Theo Mệnh đề 2.2.1, tập các ước của khôngcủa vành RnM là Z(RnM ) = (Z(R) ∪ Z(M )) × M ⊇ 0 × M 6= 0 Do đókhi M 6= 0 thì vành iđêan hóa RnM không bao giờ là miền nguyên