Một số tính chất của vành iđêan hóa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ NHƯ HẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ NHƯ HẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN Nghệ An - 2014 3 MỤC LỤC Mục lục 3 Mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1. Vành Noether và vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Vành và môđun địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m-adic . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Vành và môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Một số tính chất của vành iđêan hóa 14 2.1. Khái niệm vành iđêan hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Iđêan hóa của môđun phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Tính Artin và tính Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Kết luận 26 Tài liệu tham khảo 27 4 MỞ ĐẦU Trong toàn bộ luận văn, luôn ký hiệu R là một vành giao hoán, có đơn vị là 1 và M là một R−môđun. Khái niệm iđêan hóa được M. Nagata đưa ra năm 1962 trong [8] như sau: trên tích Đêcac R × M, trang bị hai phép toán cộng và nhân xác định bởi: (r 1 , m 1 ) + (r 2 , m 2 ) = (r 1 + r 2 , m 1 + m 2 ), (r 1 , m 1 )(r 2 , m 2 ) = (r 1 r 2 , r 1 m 2 + r 2 m 1 ) với mọi (r 1 , m 1 ), (r 2 , m 2 ) ∈ R × M; R × M cùng với hai phép toán nói trên là một vành giao hoán có đơn vị (1, 0) và hơn nữa nó là một R−đại số. Vành R × M được gọi là iđêan hóa của M hoặc mở rộng tầm thường của R bởi M và được ký hiệu là RM. Nếu R là vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m thì RM cũng là một vành địa phương với iđêan cực đại duy nhất m × M. Chú ý rằng 0 × M là một iđêan của RM và RM/0 × M ∼ = R. Phép chiếu chính tắc ρ : RM → R xác định bởi ρ((r, m)) = r và phép nhúng chính tắc σ : R → RM xác định bởi σ(r) = (r, 0) là các đồng cấu địa phương. Do đó chúng ta có thể xem mỗi R-môđun như một RM-môđun và mỗi RM-môđun như một R-môđun bởi các đồng cấu σ và ρ. Ngoài ra, cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi đồng cấu hợp thành ρσ chính là cấu trúc ban đầu. Theo một nghĩa nào đó, iđêan hóa môđun M nghĩa là đặt M vào vành giao hoán RM sao cho cấu trúc của M như một R-môđun cơ bản là giống như một RM-môđun, nghĩa là, giống như một iđêan của vành RM. Mục 5 đích ban đầu của M. Nagata là sử dụng iđêan hóa để chứng minh một số kết quả cho môđun, khi biết điều đó đúng cho các iđêan, bằng cách xem mỗi môđun là một iđêan của vành iđêan hóa. Kỹ thuật này được M. Nagata sử dụng rất nhiều lần trong [8]. Chẳng hạn, ông chứng minh Bổ đề Artin Ress, Định lý phân tích nguyên sơ cho iđêan sau đó mở rộng cho môđun bằng kỹ thuật iđêan hóa. Về sau, khái niệm iđêan hóa đã được một số nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Các kết quả đạt được cho thấy iđêan hóa cũng có nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong các bài toán xác định cấu trúc vành. Ngoài ra trong rất nhiều công trình, iđêan hóa được sử dụng để làm ví dụ minh họa cho các vấn đề trong vành, nếu điều này thực hiện trên các vành thông thường thì rất khó khăn. Đặc biệt, N. T. Cuong - L. T. Nhan - M. Morales [6] đã sử dụng iđêan hóa như là một công cụ hữu hiệu để trả lời cho một câu hỏi mở của Sharp. Nội dung của luận văn dựa vào tài liệu tham khảo chính là bài báo [3] của D. D. Anderson- A. Winders và một số tài liệu khác liên quan đến iđêan hóa để trình bày về các tính chất của vành iđêan hóa như: iđêan hóa, bao đầy đủ theo tôpô m × M-adic, điều kiện để vành RM là Noether, Artin, Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của luận văn được chia thành hai chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của Đại số giao hoán nhằm làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương sau. Chương 2: Một số tính chất của vành iđêan hóa. Trong chương này chúng tôi trình bày một số tính chất của vành iđêan hóa dựa vào tài liệu tham khảo chính là [3] và một số tài liệu liên quan khác, gồm những nội dung sau. 2.1. Vành iđêan hóa 2.2. Địa phương hóa 2.3. Iđêan hóa của môđun phân bậc. 2.4. Tính Artin và tính Noether 6 Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và làm đề tài. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Bộ môn Đại Số, các thầy cô giáo Khoa Toán đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Đại Số; Tác giả cũng xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa, các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh. Tác giả xin gửi lởi cảm ơn sâu sắc tới gia đình, tổ Toán - Tin cùng toàn thể giáo viên trường THPT Diễn Châu 4 và lớp cao học khóa 20 đã luôn động viên, và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học. Nghệ An, tháng 06 năm 2014 Tác giả 7 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số kiến thức về Đại số giao hoán như: vành Artin, vành Noether, vành và môđun địa phương hóa, vành địa phương đầy đủ m - adic, vành và môđun phân bậc, nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận văn ở Chương 2. Các kết quả viết trong chương này được tham khảo trong [2] và [5] . Trong toàn bộ luận văn vành R luôn được giả thiết là giao hoán, có đơn vị; M là một R-môđun. 1.1 Vành Noether và vành Artin 1.1.1 Định nghĩa. Vành R được gọi là vành Noether (tương ứng vành Artin) nếu mọi dãy tăng (tương ứng giảm) các iđêan của R đều dừng, nghĩa là nếu 0 = I 0 ⊂ I 1 ⊂ I 2 ⊂ . . . là một dãy tăng (tương ứng R = I 0 ⊃ I 1 ⊃ I 2 ⊃ . . . là một dãy giảm) các iđêan của R thì ∃k ∈ N sao cho I n = I k với mọi n ≥ k. 1.1.2 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành Noether; (ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm; 8 (iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh. 1.1.3 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là vành Artin; (ii) Mọi tập hợp khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm; 1.1.4 Định lí. (Định lý cơ sở Hilbert) Nếu R là vành Noether thì vành đa thức n biến R[x 1 , . . . , x n ] cũng là vành Noether. 1.2 Vành và môđun địa phương hóa Cho S là tập nhân đóng của vành R. Trên tích Đề-các R × S = {(r, s) | r ∈ R, s ∈ S} xét quan hệ hai ngôi ∼ như sau: (r, s) ∼ (r  , s  ) ⇔ ∃t ∈ S : t(rs  − r  s) = 0. Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên R × S. Khi đó R × S được chia thành các lớp tương đương (r, s) = {(r  , s  ) ∈ R × S | (r  , s  ) ∼ (r, s)}. Kí hiệu r/s thay cho (r, s) và R S = {r/s | r ∈ R, s ∈ S} là tập thương của R × S theo quan hệ tương đương ∼ . Trên R S trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.) như sau: r/s + r  /s  = (rs  + sr  )/(ss  ) và r/s.r  /s  = (rr  )/(ss  ) 9 với mọi r/s, r  /s  ∈ R S ; chú ý rằng hai phép toán này không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện. Khi đó R S trở thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S. Chú ý rằng vành các thương R S cũng thường được ký hiệu là S −1 R. Mỗi iđêan của vành các thương R S đều có dạng S −1 I, trong đó I là iđêan của vành R. Ta có S −1 I = S −1 R ⇔ I ∩ S = φ. Do đó S −1 I là iđêan thực sự của R S khi và chỉ khi I ∩ S = φ. Cho p ∈ SpecR. Khi đó S = R\p là một tập nhân đóng của vành R. Vành R S trong trường hợp này là vành địa phương, kí hiệu là R p , với iđêan cực đại duy nhất là pRp = {a/s | a ∈ p, s ∈ R\p} nên được gọi là vành địa phương hóa của vành R tại iđêan nguyên tố p. Giả sử S là tập tất cả các phần tử không là ước của không của vành R. Khi đó S là một tập nhân đóng của vành R. Trong trường hợp này vành các thương R S được gọi là vành thương toàn thể của R (total quotient ring of R) và ký hiệu là T(R). Nếu R là một miền nguyên thì vành thương toàn thể của R là một trường và được gọi là trường các thương của R. Chú ý rằng, do S không chứa ước của không nên ánh xạ tự nhiên R → T (R) là đơn cấu. Vì thế vành thương toàn thể T (R) là một mở rộng của vành R. Cho S là một tập nhân đóng của vành R. Khi đó tập hợp S = {a ∈ R | ∃b ∈ R, ab ∈ S} được gọi là bão hòa của S (saturation of S). Chú ý rằng S cũng là một tập nhân đóng của vành R. Do ước của một phần tử khả nghịch là một phần tử khả nghịch nên từ định nghĩa của vành các thương ta suy ra R S = R S và S là cực đại trong số các tập T để cho R S = R T . Dễ thấy rằng S = {a ∈ R | a/1 khả nghịch trong R S } Cho M là một R-môđun. Trên tích Đề-các M × S ta xét quan hệ hai ngôi (m, s) ∼ (m  , s  ) ⇔ ∃t ∈ S : t(s  m − sm  ) = 0. 10 Dễ thấy ∼ là một quan hệ tương đương trên M × S. Khi đó M × S được chia thành các lớp tương đương. Với mỗi phần tử (m, s) ∈ M × S, kí hiệu m/s là lớp tương đương chứa (m, s), tức là (m/s) = {(m  , s  ) ∈ M × S | (m  , s  ) ∼ (m, s)}. = {(m  , s  ) ∈ M × S | ∃t ∈ S : t(s  m − sm  ) = 0}. Kí hiệu M S là tập thương của M × S theo quan hệ tương đương ∼, tức là: M S = {m/s | m ∈ M, s ∈ S}. Chú ý rằng trong M S : m/s = m  /s  ⇔ ∃t ∈ S : t(s  m − sm  ) = 0. Trên M S trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân với vô hướng (.) như sau: m/s + m  /s  = (ms  + sm  )/(ss  ) và r/t.m/s = (rm)/(ts) với mọi m/s, m  /s  ∈ M S , r/t ∈ R S ; chú ý rằng hai phép toán này không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện. . Khi đó M S là một R S -môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S, với phần tử không là 0/1 = 0 M /s, ∀s ∈ S. Chú ý rằng môđun các thương M S cũng thường được ký hiệu là S −1 M. M S cũng có cấu trúc là một R-môđun với phép nhân với vô hướng xác định như sau: rm/s = r/1.m/s = rm/s, trong đó r ∈ R và m/s ∈ M S . Cho p ∈ SpecR. Đối với tập nhân đóng S = R\p ta viết R p thay cho R S và viết M p thay cho M S . Môđun M p được gọi là môđun địa phương hóa của M tại iđêan nguyên tố p. [...]... bày một số tính chất của vành iđêan hóa R M, với R là một vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun Cụ thể là luận văn đã trình bày những vấn đề sau: 1 Một số kiến thức cơ sở về Đại số giao hoán để dễ theo dõi nội dung chính của luận văn (Chương 1); 2 Mô tả các phần tử khả nghịch, lũy đẳng, ước của không trong vành iđêan iđêan hóa (Mệnh đề 2.1.3, Mệnh đề 2.2.1); 3 Mô tả địa phương hóa của vành iđêan. .. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA Trong chương này, dựa vào bài báo [3] của D D Anderson and M Winders, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của vành iđêan hóa R M, với R là một vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun 2.1 Khái niệm vành iđêan hóa 2.1.1 Định nghĩa Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị là 1 và M là một R−môđun Trên tích Đêcac R × M, trang bị hai phép toán cộng và nhân như... trong vành R M 2.2.4 Mệnh đề Cho R là vành giao hoán và M là một R-môđun (i) Có một tương ứng 1-1 giữa các tập nhân đóng bão hòa của vành R và các tập nhân đóng bão hòa của vành R M, xác định bởi S ↔ S × M (ii) Nếu S là một tập nhân đóng của vành R và N là một môđun con của M thì S × N là tập nhân đóng của vành R M với S × N = S × M Chứng minh (i) Vì tập nhân đóng bão hòa là phần bù của hợp các iđêan. .. ràng là là vành con của R Có thể xem nó như là vành các đa thức, nhưng a1 , , an ở đây không phải là các biến độc lập Nếu tồn tại a1 , , an ∈ R sao cho R = S[a1 , , an ] thì R được gọi là S -đại số hữu hạn sinh ∞ 1.4.4 Định lí Vành phân bậc R = ⊕ Ri là vành Noether khi và chỉ khi R0 i=0 là vành Noether và R là một R0 -đại số hữu hạn sinh 14 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA Trong... × M là một iđêan của vành Noether R M nên 0 × M là iđêan hữu hạn sinh Mặt khác, (0, m1 ), , (0, mn ) là một hệ sinh của iđêan 0 × M khi và chỉ khi m1 , , mn là hệ sinh của R-môđun M Do đó M là R-môđun hữu hạn sinh Nếu (R M ) là vành Artin, do R là ảnh đồng cấu của vành Artin R M nên R cũng là vành Artin Mặt khác mọi vành Artin đều là vành Noether nên theo chứng minh trên ta có M cũng là một R-môđun... trên là một vành giao hoán có đơn vị là (1, 0) Vành R × M được gọi là iđêan hóa của M hoặc mở rộng tầm thường của R bởi M và được ký hiệu là R M 2.1.2 Chú ý (1) Chú ý rằng R M cũng là một R−đại số Giả sử R là một vành giao hoán cố định Khi đó iđêan hóa cảm sinh một hàm tử IR : R − mod →R Alg từ phạm trù các R-môđun R − mod đến phạm trù các R-đại số R Alg, với IR (M ) = R M và nếu f : M → N là một R-đồng... đóng nguyên của A trong B Nếu C = A thì A được gọi là đóng nguyên trong B Nếu C = B thì vành B được gọi là nguyên trên A (như vậy B là nguyên trên A nếu mọi phần tử của B đều nguyên trên A) Như đã trình bày trong Chương 1, vành thương toàn thể của một vành là một mở rộng của vành đó Mệnh đề sau sẽ xác định bao đóng nguyên của R M trong vành thương toàn thể T (R M ) 2.2.6 Mệnh đề Cho R là một vành giao... Nếu I là iđêan thuần nhất của vành phân bậc R thì vành thương R/I là cũng là vành phân bậc Cũng vậy, nếu N là môđun con thuần nhất của M thì M/N là R-môđun phân bậc 1.4.3 Ví dụ Vành phân bậc hay gặp nhất là vành đa thức R = A[x], trong đó A là một vành giao hoán có đơn vị, với Ri là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức có bậc tổng thể là i và hệ số thuộc A Như vậy, đa thức thuần nhất là tổng của các từ... xạ R \ ∪pα ↔ (R \ ∪pα ) M = R M \ ∪(pα M ) sẽ xác định một tương ứng 1-1 giữa các tập nhân đóng bão hòa của vành R và các tập nhân đóng bão hòa của vành R M (ii) Dễ kiểm tra thấy rằng nếu S là một tập nhân đóng của vành R và N là một môđun con của M thì S N là tập nhân đóng của vành R M Giả sử S × N = T × M với T là một tập nhân đóng bão hòa của R Khi đó S ⊆ T Do đó S ⊆ T Do đó S × N ⊆ S × M ⊆ T ×... Mệnh đề 2.2.1); 3 Mô tả địa phương hóa của vành iđêan hóa (Định lý 2.2.5); 4 Cấu trúc vành iđêan hóa của môđun phân bậc (Định lý 2.3.2); 5 Tính Artin và tính Noether của vành iđêan hóa (Định lý 2.4.4) 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính và cơ sở Grobner, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội . của luận văn ở chương sau. Chương 2: Một số tính chất của vành iđêan hóa. Trong chương này chúng tôi trình bày một số tính chất của vành iđêan hóa dựa vào tài liệu tham khảo chính là [3] và một. HẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ NHƯ HẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH IĐÊAN HÓA Chuyên ngành: ĐẠI SỐ. Một số tính chất của vành iđêan hóa 14 2.1. Khái niệm vành iđêan hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Địa phương hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. Iđêan