một số tính chất của vành giao hoán artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN … o0o… VŨ KIM HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN VŨ KIM HỒNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH GIAO HOÁN ARTIN Ngành: Sư phạm Toán MSSV: 34101028 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Trần Tuấn Nam, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ mặt nghiên cứu niềm tin để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin bày tỏ lòng cảm ơn đến quý thầy cô tổ môn Đại số nói riêng toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu cho suốt bốn năm học trường Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè hỗ trợ vật chất tinh thần để hoàn thành luận văn tốt nghiệp Vũ Kim Hồng MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU .5 Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN .7 1.1 Vành iđêan 1.2 Môđun .15 1.3 Sự phân tích nguyên sơ 20 Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH ARTIN 22 2.1 Điều kiện dây chuyền .22 2.2 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether 29 2.3 Một số tính chất vành Artin .32 KẾT LUẬN .38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Vành môđun ký hiệu chữ in hoa: A, B,…, M, N,… Iđêan ký hiệu chữ thường tiếng Đức: a , b, , m , , p, q, Phần tử vành, môđun iđêan ký hiệu chữ thường: a, b, …, x, y,… Kết thúc chứng minh (hoặc thiếu chứng minh) đánh dấu:  Sự bao hàm tập hợp ký hiệu bởi: ⊆ Sự bao hàm ngặt tập hợp ký hiệu bởi: ⊂ MỞ ĐẦU Điều kiện dây chuyền tăng điều kiện dây chuyền giảm tính chất hữu hạn thỏa mãn cấu trúc đại số đó, đặc biệt iđêan vành giao hoán Hai điều kiện đóng vai trò quan trọng phát triển lý thuyết cấu trúc vành giao hoán nghiên cứu David Hilbert, Emmy Noether Emil Artin Vành Artin vành Noether vành giao hoán thỏa điều kiện dây chuyền giảm điều kiện dây chuyền tăng tập không rỗng iđêan Trong đó, vành Artin tìm nhà toán học người Áo Emil Artin (1898 – 1962), loại vành đơn giản sau trường Và luận văn nhằm mục đích tìm hiểu số tính chất vành giao hoán Artin Bố cục luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Kiến thức Chương trình bày kiến thức liên quan đến đề tài: 1.1 Vành iđêan, 1.2 Môđun, 1.3 Sự phân tích nguyên sơ Các chứng minh chương bỏ qua • Chương 2: Một số tính chất vành Artin Đây chương luận văn gồm ba phần: 2.1 Điều kiện dây chuyền: Từ điều kiện dây chuyền xây dựng khái niệm môđun Artin (và Noether), vành Artin (và Noether), chứng minh số tính chất môđun Artin (và Noether) 2.2 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether: Phần cung cấp số định lý, mệnh đề nhằm phục vụ cho việc chứng minh tính chất vành Artin có liên quan đến vành Noether phần 2.3 Một số tính chất vành Artin: Phần sâu vào tìm hiểu tính chất vành Artin về: iđêan nguyên tố, lũy linh, vành Artin địa phương, mối quan hệ vành Artin vành Noether đặc biệt định lý cấu trúc vành Artin Vì khả thời gian hạn chế nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp để luận văn hoàn chỉnh Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Vành iđêan Định nghĩa 1.1.1 Một vành A tập hợp với hai phép toán hai (phép cộng phép nhân) thỏa: 1) A nhóm aben phép cộng, có phần tử trung hòa phần tử không (ký hiệu 0) 2) Phép nhân có tính kết hợp: ( ab ) c = a ( bc ) , phân phối phép cộng: a ( b + c ) = ab + ac , ( b + c ) a =ba + ca Ta xét vành có tính giao hoán: 3) ab = ba với a, b ∈ A , có phần tử đơn vị (ký hiệu 1): 4) = 1a= a với a ∈ A ∃1 ∈ A cho a1 Ghi chú: • Khái niệm “vành” dùng “vành giao hoán có đơn vị”, nghĩa vành thỏa tiên đề từ (1) đến (4) cho • Nếu vành A ta có = A có phần tử Ta gọi A vành không, ký hiệu Mệnh đề 1.1.2 Cho vành A Khi đó: • Phần tử đơn vị vành • 0a = với a ∈ A • a ( −b ) = − ( ab ) ( −a ) b = • ab với a, b ∈ A ( −a )( −b ) = • na ) b (= •  n  m  n m  ∑ a i   ∑ b j  = ∑∑ a i b j với a1 , ,a n , b1 , , b m ∈ A =i  =j  =i =j với a, b ∈ A a= ( nb ) n ( ab ) với a, b ∈ A , n ∈  • ( ab ) • (a + b) n = a n b n với a, b ∈ A , n ∈  n n = ∑ Cin a n −i bi với a, b ∈ A , n ∈   i =0 Định nghĩa 1.1.3 Một tập S vành A gọi vành A thỏa: i) a − b ∈ S với a, b ∈ S , ii) ab ∈ S với a, b ∈ S , iii) ∈ S Định nghĩa 1.1.4 Một đồng cấu vành ánh xạ f từ vành A vào vành B thỏa: i) f ( a + b )= f ( a ) + f ( b ) với a, b ∈ A , ii) f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) với a, b ∈ A , iii) f (1) = Ghi chú: • Đồng cấu vành f gọi đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu ánh xạ f tương ứng đơn ánh, toàn ánh hay song ánh • Nếu có đẳng cấu vành từ vành A đến vành B ta nói hai vành A B đẳng cấu nhau, ký hiệu A ≅ B Mệnh đề 1.1.5 Cho đồng cấu vành f : A → B Khi đó: • f ( 0) = • f ( −a ) = −f ( a ) với a ∈ A • f ( a − b )= f ( a ) − f ( b ) với a, b ∈ A  Mệnh đề 1.1.6 Nếu f : A → B , g : B → C hai đồng cấu vành tích (ánh xạ hợp) g  f : A → C đồng cấu vành  Định nghĩa 1.1.7 Một iđêan a vành A tập A thỏa: i) a ≠ ∅, ii) x − y ∈a với x, y ∈a , ax ∈a với a ∈ A x ∈a iii) Định nghĩa 1.1.8 Cho a iđêan vành A Quan hệ hai  xác định A: a  b ⇔ a − b ∈ a với a, b ∈ A quan hệ tương đương Tập thương A  ký hiệu A a , lớp tương đương với đại diện a ∈ A ký hiệu a + a Khi đó, tập thương A a có cấu trúc vành với hai phép toán: • Phép cộng: với x + a , y + a ∈ A a : ( x + a ) + ( y + a ) = ( x + y ) + a • Phép nhân: với x + a , y + a ∈ A a : ( x + a )( y + a )= ( xy ) + a Ta gọi vành thương vành A iđêan a Mệnh đề 1.1.9 Ánh xạ φ:A → A a x  x +a toàn cấu vành Ta gọi toàn cấu tắc từ A lên vành thương A a Hơn nữa, Kerφ =a  Mệnh đề 1.1.10 Nếu f : A → B đồng cấu vành Kerf = f −1 ( ) iđêan A, Im f = f ( A ) vành B f cảm sinh đẳng cấu vành: A Kerf ≅ Im f  Định nghĩa 1.1.11 • Một phần tử x vành A gọi ước không A tồn phần tử y ≠ cho xy = Nếu x ước không x ≠ x gọi ước thật không • Vành khác không ước thật không gọi miền nguyên Theo (2.1.6) A a A – môđun Artin nên thỏa điều kiện dây chuyền giảm, tức dãy giảm A – môđun M1 ⊇ M ⊇ A – môđun A a dừng Mà A – môđun M1 , M , A a – môđun Do đó, dãy giảm A a – môđun M1 ⊇ M ⊇ A a – môđun A a dừng Vậy A a A a – môđun Artin hay A a vành Artin Tương tự trường hợp vành Noether  Định nghĩa 2.1.10 • Xích môđun môđun M dãy M1 , , M n môđun M thỏa: M = M ⊃ M1 ⊃ ⊃ M n = (bao hàm ngặt) Độ dài xích n • Một dãy hợp thành M xích môđun môđun M mà môđun bổ sung thêm vào xích Mệnh đề 2.1.11 Xích M = M ⊃ M1 ⊃ ⊃ M n = dãy hợp thành M i −1 M i ( ≤ i ≤ n ) đơn (nghĩa môđun nó) Chứng minh: ⇒) Vì xích M = M ⊃ M1 ⊃ ⊃ M n = dãy hợp thành nên với i = 1, , n có hai môđun M i −1 chứa M i M i −1 M i Do theo (1.2.7) M i −1 M i có hai môđun M i −1 M i ⇐) Vì M i −1 M i có hai môđun M i −1 M i nên theo (1.2.7) M i −1 có hai môđun chứa M i M i −1 M i  Mệnh đề 2.1.12 Giả sử M có dãy hợp thành có độ dài n Khi đó, dãy hợp thành M có độ dài n xích M mở rộng thành dãy hợp thành Chứng minh: Đặt  ( M ) ký hiệu độ dài nhỏ dãy hợp thành môđun M (  ( M ) = +∞ M dãy hợp thành nào) i) Chứng minh: N ⊂ M  ( N ) <  ( M ) Gọi ( M i )i dãy hợp thành M có độ dài nhỏ Khi N= N ∩ M i môđun N Vì i N i −1 N i ⊆ M i −1 M i mà M i −1 M i môđun đơn nên N i −1 N i = M i −1 M i N i −1 = N i Do ( N i )i dãy hợp thành N thỏa  ( N ) ≤  ( M ) Nếu = ( N ) = ( M ) n Ni−1 Ni = M i−1 M i với i = 1, , n , suy M n −1 = N n −1 , M n − = N n − ,…, cuối M = N ii) Chứng minh: xích M có độ dài ≤  ( M ) Gọi M = M ⊃ M1 ⊃ ⊃ M k = xích có độ dài k Khi đó, theo i) ta có  ( M ) >  ( M1 ) > >  ( M k ) = , suy  ( M ) > k − hay  ( M ) ≥ k iii) Nếu dãy hợp thành M có độ dài k theo ii) ta có  ( M ) ≥ k , mặt khác theo định nghĩa  ( M )  ( M ) ≤ k , suy k =  ( M ) Do dãy hợp thành M có độ dài Nếu xích có độ dài  ( M ) dãy hợp thành Nếu xích có độ dài <  ( M ) dãy hợp thành, chèn thêm vào đến độ dài xích  ( M )  Mệnh đề 2.1.13 M có dãy hợp thành M thỏa hai điều kiện dây chuyền Chứng minh: ⇒) Khi M có dãy hợp thành tất xích M có độ dài bị chặn Do M thỏa hai điều kiện dây chuyền ⇐) Giả sử M thỏa hai điều kiện dây chuyền Ta xây dựng dãy hợp thành M sau Vì M = M thỏa điều kiện tối đại nên có môđun tối đại M1 ⊂ M Tương tự M1 có môđun tối đại M ⊂ M1 Tiếp tục ta thu xích nghiêm ngặt M = M ⊃ M1 ⊃ M ⊃ Theo điều kiện dây chuyền giảm xích phải dừng, tức độ dài hữu hạn Vậy ta có dãy hợp thành M  Định nghĩa 2.1.14 Một môđun thỏa hai điều kiện dây chuyền gọi môđun có độ dài hữu hạn Khi độ dài môđun M, ký hiệu  ( M ) , độ dài dãy hợp thành M Mệnh đề 2.1.15 Cho K – không gian vectơ V Những điều kiện sau tương đương: i) Chiều hữu hạn; ii) Độ dài hữu hạn; iii) Điều kiện dây chuyền tăng; iv) Điều kiện dây chuyền giảm Hơn nữa, điều kiện thỏa mãn độ dài chiều Chứng minh: i) ⇒ ii) Giả sử x1 , , x n sở K – không gian vectơ V Khi xích = V n n −1 ∑ Kx i ⊃ ∑ Kx i ⊃ ⊃ Kx1 + Kx ⊃ Kx1 ⊃ dãy hợp thành V Do =i =i V có độ dài hữu hạn n ii) ⇒ iii),ii) ⇒ iv) Vì K – không gian vectơ V có độ dài hữu hạn nên V có dãy hợp thành Theo (2.1.13) V thỏa điều kiện dây chuyền tăng điều kiện dây chuyền giảm iii) ⇒ i),iv) ⇒ i) Giả sử i) sai tồn dãy vô hạn ( x n )n phần tử độc lập tuyến tính V Gọi U n không gian vectơ sinh x1 , , x n Vn không gian vectơ sinh x n +1 , x n + , ( U n )n dãy tăng nghiêm ngặt vô hạn ( Vn )n dãy giảm nghiêm ngặt vô hạn Do V không thỏa điều kiện dây chuyền tăng điều kiện dây chuyền giảm Do iii) iv) sai  Hệ 2.1.16 Cho A vành mà iđêan tích m1 m n iđêan tối đại (không thiết phải phân biệt) Khi đó, A Artin A Noether Chứng minh: Xét dãy iđêan A ⊃ m1 ⊇ m1m ⊇ ⊇ m1 m n = Vì m i iđêan tối đại nên theo (1.1.15) A m i trường với i Do m1 m i −1 m1 m i không gian vectơ trường A m i Theo (2.1.15) điều kiện dây chuyền tăng tương đương điều kiện dây chuyền giảm với m1 m i −1 m1 m i Áp dụng (2.1.6) cho dãy khớp sau: → m1 m n −1 → m1 m n − → m1 m n −2 m1 m n −1 → m1 m n − → m1 m n −3 → m1 m n −3 m1 m n −2 … → m1m → m1 → m1 m1m → m1 → A → A m1 Ta được: điều kiện dây chuyền tăng (hoặc điều kiện dây chuyền giảm) với m1 m i −1 m1 m i tương đương điều kiện dây chuyền tăng (hoặc điều kiện dây chuyền giảm) với A Do đó, điều kiện dây chuyền tăng tương đương điều kiện dây chuyền giảm với A Vậy A Noether A Artin  2.2 Sự phân tích nguyên sơ vành Noether Bổ đề 2.2.1 Trong vành Noether A iđêan giao hữu hạn iđêan bất khả qui Chứng minh: Giả sử điều cần chứng minh sai, gọi Σ tập iđêan A mà không giao hữu hạn iđêan bất khả qui, Σ ≠ ∅ Do tồn phần tử tối đại a Dĩ nhiên a bất khả qui a ∈ Σ , tồn b, c cho a ⊂ b , a ⊂ c a= b ∩ c Do tính tối đại a nên b, c ∉ Σ , nghĩa b, c giao hữu hạn iđêan bất khả qui, suy a giao hữu hạn iđêan bất khả qui, vô lý Vậy Σ = ∅  Bổ đề 2.2.2 Trong vành Noether iđêan bất khả qui iđêan nguyên sơ Chứng minh: Giả sử iđêan vành Noether bất khả qui Ta chứng minh iđêan nguyên sơ Giả sử xy = y ≠ Xét Ann ( x ) ⊆ Ann ( x ) ⊆ Theo điều kiện dây chuyền tăng, dãy phải dừng, tức tồn n cho = = Ann ( x n ) Ann ( x n +1 ) Lấy z ∈ 〈 x n 〉 ∩ 〈 y〉 z ∈ 〈 x n 〉 z ∈ 〈 y〉 , suy n n +1 Ann ( x n ) , suy = z ax = by , suy = zx ax= byx = , suy a ∈ Ann ( x n +1 ) = ax n = , suy z = Do 〈 x n 〉 ∩ 〈 y〉 = iđêan bất khả qui 〈 y〉 ≠ nên 〈 x n 〉 =0 hay x n = Vậy nguyên sơ Xét iđêan bất khả qui a vành Noether Theo (2.1.9) A a vành Noether iđêan = a a bất khả qui A a Do theo chứng minh = a a nguyên sơ theo (1.3.2) a nguyên sơ  Định lý 2.2.3 Trong vành Noether iđêan có phân tích nguyên sơ Chứng minh: Theo (2.2.1) iđêan vành Noether giao hữu hạn iđêan bất khả qui, mà theo (2.2.2) iđêan bất khả qui iđêan nguyên sơ Do iđêan vành Noether có sư phân tích nguyên sơ  Mệnh đề 2.2.4 Trong vành Noether A iđêan a chứa lũy thừa rad ( a ) Chứng minh: Gọi x1 , , x k hệ sinh rad ( a ) : tồn n1 , , n k cho x ini ∈a với i Đặt= m k ∑n i =1 + Khi rad ( a ) sinh tích x1r1 x rkk với m i k ∑ r = m Từ định nghĩa m ta phải có r ≥ n i =1 i i i với số i, tích x1r1 x rkk thuộc a Vậy rad ( a ) ⊆ a  m Hệ 2.2.5 Cho A vành Noether, m iđêan tối đại q iđêan A Những phát biểu sau tương đương: i) q m – nguyên sơ; ii) rad ( q ) = m ; iii) m n ⊆ q ⊆ m với n > Chứng minh: i) ⇒ ii) Hiển nhiên ii) ⇒ i) Vì rad ( q ) = m iđêan tối đại nên theo (1.3.5) q iđêan nguyên sơ Vậy q m – nguyên sơ ii) ⇒ iii) Theo (2.2.4) rad ( q) ⊆ q với n > Mà rad ( q ) = m n iđêan tối đại nên m n ⊆ q ⊆ m iii) ⇐ ii) Lấy m n ⊆ q ⊆ m ta rad ( m n ) ⊆ rad ( q ) ⊆ rad ( m ) Mà rad ( m ) = m (vì m iđêan tối đại) nên rad = ( mn ) rad ( q ) = m  n = (m)  rad i =1 rad = ( m ) m Do 2.3 Một số tính chất vành Artin Mệnh đề 2.3.1 Trong vành Artin iđêan nguyên tố tối đại Chứng minh: Gọi p iđêan nguyên tố A Theo (1.1.15) (2.1.9) B = A p miền nguyên Artin Lấy x ∈ B , x ≠ Theo điều kiện dây chuyền giảm ta có 〈 x n 〉 = 〈 x n +1 〉 với n đó, x n = x n +1y với y ∈ B Vì B miền nguyên x ≠ nên ta đơn giản x n , suy xy = Do x có nghịch đảo B nên B trường Theo (1.1.15) p iđêan tối đại  Hệ 2.3.2 Trong vành Artin lũy linh Jacobson Chứng minh: Theo (1.1.16) iđêan tối đại iđêan nguyên tố Mặt khác, theo (2.3.1) vành Artin iđêan nguyên tố tối đại Mà N giao tất iđêan nguyên tố J giao tất iđêan tối đại nên ta có N = J  Mệnh đề 2.3.3 Một vành Artin có hữu hạn iđêan tối đại Chứng minh: Xét tập gồm tất giao hữu hạn m1 ∩ ∩ m r , với m i iđêan tối đại Vì vành Artin nên thỏa điều kiện tối tiểu, suy tập hợp có phần tử tối tiểu, gọi m1 ∩ ∩ m n Do với iđêan tối đại m ta có m ∩ m1 ∩ ∩ m n = m1 ∩ ∩ m n , nên m ⊇ m1 ∩ ∩ m n Theo (1.1.35) m ⊇ m i với i đó, mà m i iđêan tối đại, m = m i  Mệnh đề 2.3.4 Trong vành Artin lũy linh N lũy linh Chứng minh: Theo điều kiện dây chuyền giảm ta có N k= N k +1= = a với k > Giả sử a ≠ , gọi Σ tập tất iđêan b thỏa ab ≠ Do aa= a 2= a ≠ nên a ∈ Σ , suy Σ ≠ ∅ Gọi c phần tử tối tiểu Σ Khi tồn x ∈c thỏa a xa= xa ≠ nên xa ≠ Ta có 〈 x 〉 ⊆ c , mà c tối tiểu nên 〈 x 〉 =c Vì ( xa )= xa ∈ Σ xa ⊆ 〈 x 〉 nên xa =〈 x 〉 (vì c tối tiểu) Do tồn y ∈a cho x = xy , suy x= xy= xy 2= = xy n= Nhưng y ∈ a= N k ⊆ N , y lũy n linh đó= x xy = Điều mâu thuẫn với việc chọn x, a = Vậy N k= N k +1= = hay N lũy linh  Định nghĩa 2.3.5 Xích iđêan nguyên tố vành A dãy hữu hạn tăng ngặt • iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn Độ dài xích n Chiều A cận độ dài tất xích • iđêan nguyên tố A Đó số nguyên ≥ +∞ Định lý 2.3.6 A vành Artin A vành Noether dim A = Chứng minh: ⇒) Theo (2.3.1) ta có dim A = Theo (2.3.3) số iđêan tối đại A hữu hạn nên gọi m1 , , m n iđêan tối đại phân biệt A Theo (2.3.4) tồn k k  n  cho N = Theo (2.3.2) m m m ⊆   m i  = Jk = Nk = Do theo  i =1  k k k k n (2.1.16) A vành Noether n ⇐) Theo (2.2.3) iđêan có phân tích nguyên sơ =  qi Đặt i =1 pi = rad ( qi ) , i = 1, , n , theo (1.3.3) pi iđêan nguyên tố Vì dim A = nên pi iđêan tối đại Với m iđêan tối đại ta có n q i ⊆ m , lấy i =1  n  rad q = rad ( i)    qi  ⊆ rad ( m )= m Theo (1.1.35) pi ⊆ m =i =i = i  ta n  pi= n với i đó, mà pi iđêan tối đại nên m = pi Do A có hữu hạn iđêan tối đại Theo (2.2.5) tồn k1 , , k n thỏa piki ⊆ qi , i = 1, , n Đặt k = max ( k1 , , k n ) ta n pik ⊆ qi , i = 1, , n Suy p1k pnk ⊆ q1 qn ⊆  qi = Do theo (2.1.16) A i =1 vành Artin  Ghi chú: Nếu A vành Artin địa phương với iđêan tối đại m m iđêan nguyên tố A, suy m lũy linh A Do phần tử m lũy linh thân m lũy linh Mỗi phần tử A khả nghịch lũy linh Mệnh đề 2.3.7 Giả sử A vành Noether địa phương, m iđêan tối đại Khi đó, có hai phát biểu sau đúng: i) m n ≠ m n +1 với n; ii) m n = với n đó, trường hợp A vành Artin địa phương Chứng minh: Giả sử m n = m n +1 với n Theo bổ đề Nakayama (1.2.18) ta có m n = Gọi p iđêan nguyên tố A Khi m n ⊆ p , lấy suy m ⊆ rad ( m )= rad ( m n ) ⊆ rad ( p)= p , mà m iđêan tối đại nên m = p Do m iđêan nguyên tố A, suy dim A = Theo (2.3.6) A vành Artin địa phương  Định lý 2.3.8 (Định lý cấu trúc vành Artin) Một vành Artin A phân tích (sai khác đẳng cấu) thành tích trực tiếp hữu hạn vành Artin địa phương Chứng minh: • Chứng minh: A phân tích thành tích trực tiếp hữu hạn vành Artin địa phương Gọi m1 , , m n iđêan tối đại phân biệt A, đồng thời iđêan nguyên tố A Theo phần thuận chứng minh (2.3.6) ta có m1k m nk = với k > Vì rad ( m ik ) = m i iđêan m i nguyên tố đôi nên theo (1.1.37) iđêan rad ( m ik ) nguyên tố n k k đôi Theo (1.1.34)= Lại theo (1.1.34) ánh xạ tự nhiên  m ik m= m n i =1 A → ∏ ( A m ik ) phép đẳng cấu Theo (2.1.9) A m ik vành Artin n i =1 Ta có ảnh rad ( m ik ) = m i A m ik lũy linh A m ik , suy A m ik có iđêan nguyên tố đồng thời iđêan tối đại Do A m ik vành Artin địa phương • Chứng minh: tích trực tiếp (sai khác đẳng cấu) n Giả sử A ≅ ∏ A i với A i vành Artin địa phương Với i ta có i =1 a i Ker ( φi ) toàn cấu tự nhiên (phép chiếu phần tử thứ i) φi : A → A i Đặt= Theo (1.1.34) a i nguyên tố đôi n a i = Gọi qi iđêan i =1 nguyên tố A i qi iđêan tối đại A i đặt pi = φi−1 ( qi ) Theo (1.1.17) pi iđêan nguyên tố iđêan tối đại A Ta chứng minh a i pi – nguyên sơ Thật vậy, lấy x ∈ rad ( a i ) tồn m thỏa x m ∈a i , suy φi ( x m ) = ∈qi , suy x m ∈ pi , mà pi iđêan nguyên tố nên x ∈ pi Ngược lại, lấy x ∈ pi m φi ( x ) ∈qi , mà qi lũy linh nên tồn m cho φ  i ( x )  = φi ( x ) = , suy m x m ∈ Kerφi =a i , x ∈ rad ( a i ) Do rad ( a i ) = pi theo (1.3.5) a i pi – nguyên sơ Vì a i pi – nguyên sơ nên n a i = phân tích nguyên sơ iđêan i =1 A Vì a i nguyên tố đôi nên theo (1.1.37) pi Suy pi iđêan nguyên tố cô lập liên kết với Theo (1.3.10) tất thành phần nguyên sơ a i ứng với iđêan nguyên tố cô lập pi xác định A Do đó, vành A i ≅ A a i xác định cách A  Ghi chú: Nếu A vành địa phương, m iđêan tối đại nó, A – môđun m m linh hóa m có cấu trúc K – vectơ không gian với K = A m Nếu m hữu hạn sinh (nếu A vành Noether) ảnh tập phần tử sinh m m m mở rộng m m không gian vectơ dim K ( m m ) hữu hạn (xem (1.2.19)) Mệnh đề 2.3.9 Cho A vành Artin địa phương với m iđêan tối đại Khi mệnh đề sau tương đương: i) Mọi iđêan A iđêan chính; ii) Iđêan tối đại m iđêan chính; iii) dim K ( m m ) ≤ Chứng minh: i) ⇒ ii) ⇒ iii) rõ ràng iii) ⇒ i) : Nếu dim K ( m m ) = m = m , theo bổ đề Nakayama (1.2.18) m = Do A có iđêan 〈 0〉 〈1〉 (tức A trường theo (1.1.13)) Nếu dim K ( m m ) = , theo (1.2.19) m iđêan m =〈 x 〉 Gọi a iđêan A, khác A Ta có m = N , theo (2.3.4) m lũy linh; tồn số nguyên r thỏa a ⊆ m r , a ⊆ m r +1 ; tồn y ∈a thỏa y = ax r ( a ∈ A ), y ∉ 〈 x r +1 〉 ; a ∉ 〈 x 〉 = m theo (1.1.19) a khả nghịch r A Do = x r a −1ax = a −1y ∈a , suy m r = 〈 x r 〉 ⊆ a mà a ⊆ m r = 〈 x r 〉 nên a =m r =〈x r 〉 Vậy a iđêan  KẾT LUẬN Luận văn trình bày điều kiện dây chuyền, từ định nghĩa môđun Artin (và Noether), định nghĩa vành Artin (và Noether), chứng minh số tính chất môđun Artin (và Noether) Đồng thời, luận văn chứng minh số định lý, mệnh đề phân tích nguyên sơ vành Noether để tiện sử dụng chứng minh tính chất vành Artin có liên quan đến vành Noether Đóng góp luận văn gồm: • Tìm hiểu chứng minh số tính chất vành Artin như: − Trong vành Artin iđêan nguyên tố tối đại − Trong vành Artin lũy linh Jacobson − Một vành Artin có hữu hạn iđêan tối đại − Trong vành Artin lũy linh lũy linh • Chứng minh vành Artin tất nhiên vành Noether vành Noether có thêm tính chất đặc biệt trở thành vành Artin: − A vành Artin A vành Noether dim A = − Cho A vành mà iđêan tích m1 m n iđêan tối đại (không thiết phải phân biệt) Khi đó, A Artin A Noether − Giả sử A vành Noether địa phương, m iđêan tối đại Khi đó, có hai phát biểu sau đúng: i) m n ≠ m n +1 với n; ii) m n = với n đó, trường hợp A vành Artin địa phương • Tìm hiểu chứng minh số tính chất vành Artin địa phương như: − Cho A vành Artin địa phương với m iđêan tối đại Khi mệnh đề sau tương đương: i) Mọi iđêan A iđêan chính; ii) Iđêan tối đại m iđêan chính; iii) dim K ( m m ) ≤ • Chứng minh định lý cấu trúc vành Artin: − Một vành Artin A phân tích (sai khác đẳng cấu) thành tích trực tiếp hữu hạn vành Artin địa phương TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Tự Cường (2007), Giáo trình đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Hoàng Xuân Sính (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh: [3] Atiyah M F., Macdonald I G (1969), Introduction to commutative algebra, Addison – Wesley Publishing Company [4] Matsumura H (1890), Commutative algebra, The Benjamin/Cummings Publishing Company [5] Matsumura H (1989), Commutative ring theory, Cambridge University Press [...]... được gọi là vành địa phương Mệnh đề 1.1.21 Tập N gồm tất cả lũy linh của vành A là một iđêan và A N không chứa lũy linh nào khác 0  Định nghĩa 1.1.22 Iđêan N được gọi là căn lũy linh của vành A Mệnh đề 1.1.23 Căn lũy linh của vành A là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của A  Định nghĩa 1.1.24 Căn Jacobson J của vành A là giao của tất cả iđêan tối đại của A Mệnh đề 1.1.25 Giao a i∈I i của một họ iđêan... A → B là một đồng cấu vành và q là một iđêan nguyên tố của B thì f −1 ( q ) là một iđêan nguyên tố của A  Định lý 1.1.18 Mọi vành A khác không đều chứa ít nhất một iđêan tối đại  Hệ quả 1.1.19 • Nếu a ≠ 〈1〉 là một iđêan của vành A thì tồn tại một iđêan tối đại của A chứa a • Mỗi phần tử không khả nghịch của vành A luôn được chứa trong một iđêan tối đại  Định nghĩa 1.1.20 Vành A chỉ có một iđêan... môđun con của M, Im f = f ( M ) là một môđun con của N và f cảm sinh một đẳng cấu A – môđun: M Kerf ≅ Im f  Mệnh đề 1.2.9 Cho f : M → N là một đồng cấu A – môđun Khi đó : • Nếu M ' là môđun con của M thì f ( M ') là môđun con của N • Nếu N ' là môđun con của N thì f −1 ( N ') là môđun con của M  Mệnh đề 1.2.10 Giao M i∈I i của một họ môđun con ( M i )i∈I của A – môđun M là một môđun con của M  Định... 1.3.11 Một iđêan a của vành A được gọi là bất khả qui nếu nó không phải là giao của hai iđêan chứa nó thật sự Nói cách khác, iđêan a của vành A là bất khả qui khi và chỉ khi a ≠ A và với mọi iđêan b, c nếu a= b ∩ c thì a = b hoặc a = c Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH ARTIN 2.1 Điều kiện dây chuyền Mệnh đề 2.1.1 Những điều kiện sau đây là tương đương: i) Mọi dãy giảm các môđun con M1 ⊇ M 2 ⊇ của. .. (m)  rad i =1 rad = ( m ) m Do 2.3 Một số tính chất của vành Artin Mệnh đề 2.3.1 Trong một vành Artin mọi iđêan nguyên tố là tối đại Chứng minh: Gọi p là một iđêan nguyên tố của A Theo (1.1.15) và (2.1.9) B = A p là một miền nguyên Artin Lấy x ∈ B , x ≠ 0 Theo điều kiện dây chuyền giảm ta có 〈 x n 〉 = 〈 x n +1 〉 với n nào đó, do đó x n = x n +1y với y ∈ B Vì B là một miền nguyên và x ≠ 0 nên ta có... nguyên tố của vành A là một dãy hữu hạn tăng ngặt các • iđêan nguyên tố p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn Độ dài của xích là n Chiều của A là cận trên đúng của những độ dài của tất cả những xích • các iđêan nguyên tố trong A Đó là một số nguyên ≥ 0 hoặc +∞ Định lý 2.3.6 A là vành Artin khi và chỉ khi A là vành Noether và dim A = 0 Chứng minh: ⇒) Theo (2.3.1) ta có dim A = 0 Theo (2.3.3) số iđêan tối đại của A là... cấu trúc của vành Artin) Một vành Artin A được phân tích duy nhất (sai khác một đẳng cấu) thành tích trực tiếp của hữu hạn những vành Artin địa phương Chứng minh: • Chứng minh: A được phân tích thành tích trực tiếp hữu hạn của những vành Artin địa phương Gọi m1 , , m n là những iđêan tối đại phân biệt của A, đồng thời cũng là những iđêan nguyên tố của A Theo phần thuận chứng minh của (2.3.6) ta có...• Một phần tử x của vành A được gọi là lũy linh nếu có một số nguyên dương n sao cho x n = 0 • Một phần tử x của vành A được gọi là phần tử khả nghịch nếu trong A tồn tại phần tử y sao cho xy = 1 Phần tử y được xác định duy nhất bởi x và được viết là x −1 • Những bội số ax của phần tử x thuộc vành A lập thành một iđêan chính, ký hiệu Ax hoặc 〈 x 〉 Iđêan không 〈 0〉 thường được ký hiệu 0 • Vành. .. trong B nên B là một trường Theo (1.1.15) p là iđêan tối đại  Hệ quả 2.3.2 Trong một vành Artin căn lũy linh bằng căn Jacobson Chứng minh: Theo (1.1.16) mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố Mặt khác, theo (2.3.1) trong vành Artin mọi iđêan nguyên tố là tối đại Mà N là giao của tất cả iđêan nguyên tố còn J là giao của tất cả iđêan tối đại nên ta có N = J  Mệnh đề 2.3.3 Một vành Artin chỉ có hữu... là một iđêan của A Khi đó, M1 + M 2 , aM là hai môđun con của M và ( M1 : M 2 ) là một iđêan của A  Mệnh đề 1.2.13 Nếu x là một phần tử của A – môđun M thì tập tất cả các bội số ax với a ∈ A là một môđun con của M, ký hiệu Ax hoặc 〈 x 〉 và gọi là môđun con của M sinh bởi x  Định nghĩa 1.2.14 Cho A – môđun M • Nếu M = ∑ Ax i thì ( x i )i∈I được gọi là hệ sinh của M, có nghĩa là mọi i∈I phần tử của ... chứng minh tính chất vành Artin có liên quan đến vành Noether phần 2.3 Một số tính chất vành Artin: Phần sâu vào tìm hiểu tính chất vành Artin về: iđêan nguyên tố, lũy linh, vành Artin địa phương,... minh tính chất vành Artin có liên quan đến vành Noether Đóng góp luận văn gồm: • Tìm hiểu chứng minh số tính chất vành Artin như: − Trong vành Artin iđêan nguyên tố tối đại − Trong vành Artin. .. Một vành Artin có hữu hạn iđêan tối đại − Trong vành Artin lũy linh lũy linh • Chứng minh vành Artin tất nhiên vành Noether vành Noether có thêm tính chất đặc biệt trở thành vành Artin: − A vành