Về vành chuỗi lũy thừa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THÀNH HUÂN VỀ VÀNH CHUỖI LŨY THỪA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THÀNH HUÂN VỀ VÀNH CHUỖI LŨY THỪA Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS NGÔ SỸ TÙNG Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các phần tử đặc biệt 1.2 Định lý phân tích vành Các tính chất vành chuỗi lũy thừa 10 2.1 Vành chuỗi lũy thừa 10 2.2 Một số tính chất vành chuỗi lũy thừa 2.3 Điều kiện để vành chuỗi vành địa phương 12 15 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 MỞ ĐẦU Các lớp iđêan phép toán iđêan vành sử dụng nhiều việc mô tả cấu trúc vành Dựa lớp iđêan nguyên tố, iđêan cực đại phần tử lũy linh vành người ta định nghĩa khái niệm nguyên tố, Jacoson, lũy linh vành Những khái niệm có vai trị quan trọng việc phản ánh tính chất vành Với vành cho trước người ta định nghĩa khái niệm vành đa thức, vành chuỗi lũy thừa, vành chuỗi Laurent nhiều tính chất vành liên hệ mật thiết với vành sở cho Trong năm gần có nhiều cơng trình nghiên cứu ngun tố lũy linh vành chuỗi lũy thừa, vành đa thức, Jacoson vành chuỗi lũy thừa Những cơng trình nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ tính chất lớp vành Luận văn có mục đích hệ thống hóa, tìm hiểu tính chất lớp vành chuỗi lũy thừa vành Laurent Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo Bộ môn Đại số, thầy cô giáo Khoa Sư phạm Toán học trực tiếp giảng dạy lớp Cao học 22 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Trường Trong trình học tập, nghiên cứu viết luận văn, cố gắng nỗ lực song thời gian kiến thức cịn hạn chế nên có nhiều thiếu sót Kính mong góp ý thầy bạn học viên đề luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 06 năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn vành ln giả thiết vành có đơn vị ký hiệu khơng thiết giao hốn, mơđun hiểu R−môđun phải unita 1.1 Các phần tử đặc biệt 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R, e ∈ R gọi phần tử lũy đẳng e2 = e 1.1.2 Hệ Cho vành R phần tử e ∈ R (i) e lũy đẳng en = e, ∀n (ii) e lũy đẳng (1 − e) lũy đẳng 1.1.3 Ví dụ a) Trong vành R phần tử lũy đẳng b) Trong vành M2 (R), ma trận 0 lũy đẳng c) Cho môđun M , kí hiệu End(M ) = {f : M −→ M, f tự đồng cấu môđun} Trên tập End (M ) ta định nghĩa phép cộng phép nhân sau: phép cộng: (f + g)(x) = f (x) + g(x) phép nhân: (f.g)(x) = f (x).g(x) Khi End(M ) vành Giả sử M = A ⊕ B f ∈ End(M ) mà f (a + b) = a, ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, f phần tử lũy đẳng vành End(M ) 7 1.1.4 Định nghĩa Cho vành R Phần tử x ∈ R gọi phần tử lũy linh tồn số tự nhiên n ≥ cho xn = 1.1.5 Ví dụ Trong vành M2 (R), ma trận 0 phần tử lũy linh 1.1.6 Định nghĩa Cho vành R u ∈ R Khi đó: i) u gọi khả nghịch phải ∃v ∈ R : uv = 1; ii) u gọi khả nghịch trái ∃v ∈ R : v u = 1; iii) u gọi khả nghịch ∃u ∈ R : u u = uu = 1.1.7 Hệ Cho vành R u ∈ R (i) Nếu u có nghịch đảo phải v nghịch đảo trái v v = v u khả nghịch (ii) Nếu x lũy linh (1 − x) có nghịch đảo Chứng minh (i) u có nghịch đảo phải v uv = 1; u có nghịch đảo trái v v u = Xét tích v uv = (v u)v = v v uv = v (uv) = v Vì v uv nên suy v = v Khi lấy u = v = v uu = u u = Suy u có nghịch đảo hai phía u (ii) Giả sử x lũy linh Khi tồn n ≥ cho xn = Từ ta có = − xn = (1 − x)(xn−1 + xn−2 + + 1) = (xn−1 + xn−2 + + 1)(1 − x) Suy (1 − x) khả nghịch 1.2 Định lý phân tích vành 1.2.1 Định lí Cho vành R a) Nếu R có phận tích thành tổng trực tiếp môđun trái, nghĩa R = ⊕Ai , Ai iđêan trái vành R với i ∈ I , I tập số thì: i) |I| = n, với n số tự nhiên 8 ii) Tồn hệ lũy đẳng trực giao {e1 , e2 , e3 , en } R tức là: e2i = ei , ∀i = 1, n; ei ej = 0, ∀i = j, (i, j = 1, n) e1 + e2 + e3 + + en = Ai = Rei , ∀i = 1, n b) Ngược lại, tồn hệ lũy đẳng trực giao {e1 , e2 , e3 , en } R mà e1 + e2 + e3 + + en = R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren Chứng minh a) Do ∈ R nên = a1 + a2 + + an , ∈ Ai (∗) i) Với r ∈ R ta có r = ra1 + ra2 + + ran , suy R = Ra1 + Ra2 + + Ran mà ∈ Ai nên Rai ⊆ RAi tồn A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An R = Ra1 ⊕ Ra2 ⊕ ⊕ Ran Ta chứng minh Ai ⊆ Rai , lấy bi ∈ Ai từ (∗) suy bi = b1 a1 + b2 a2 + + bi an Do biểu thị (vì tổng trực tiếp) Suy bi = bi Khi bi ∈ Rai Ai ⊆ Rai ∗)Rai ⊆ Ai hiển nhiên Vậy Ai = Rai , từ ta có R = A1 ⊕ A2 ⊕ ⊕ An suy |I| = n ii) Đặt = ei , ∀i = 1, n Do (∗) ta có e1 + e2 + + en = Suy ei e1 + ei e2 + + ei ei + + ei en = ei (∗∗) Mặt khác e2i = ei , ∀i = 1, n (giả thiết) Từ (∗∗) biểu thị nên ei e1 = = ei en = ei ej = với i = j (i, j = 1, n) b) Với r ∈ R ta có r = re1 + ren + ren ∈ Re1 + Re2 + + Ren , n suy R = Re1 + Re2 + + Ren Hơn nữa, Rek ∩ n (i = k) Thật vậy, giả sử lấy tùy ý x ∈ Rek ∩ n x ∈ Rek x = Rek ∩ Rei = với i=1 Rei = 0, (i = k), i=1 Rei = 0, (i = k) Suy x = Rek , r ∈ R i=1 x = Re1 +Re2 + +Ren (khơng có phần tử Rek ), suy xk = re2k = rek = x, mặt khác xek = Re1 ek + Re2 ek + + Ren kn , suy xek = Do x = Vậy R = Re1 ⊕ Re2 ⊕ ⊕ Ren 1.2.2 Hệ Nếu e ∈ R, e lũy đẳng R = Re ⊕ R(1 − e) Chứng minh Do e (1 − e) hệ lũy đẳng trực giao nên e2 = e; (1 − e)2 = − e e(1 − e) = 0; (1 − e)e = Mặt khác e + (1 − e) = 1, theo ý b) Định lý 1.2.1 ta có điều cần chứng minh Nghĩa R = Re ⊕ R(1 − e) 1.2.3 Hệ Cho r phần tử thuộc R Khi ta có (i) Nếu r lũy linh r khơng khả nghịch − r khả nghịch; (ii) Nếu r lũy đẳng − r lũy đẳng; (iii) Nếu r lũy đẳng r khả nghịch r = Chứng minh (i) Giả sử r ∈ R r lũy linh ta cần chứng minh r không khả nghịch Thật vậy, giả sử r khả nghịch Khi tồn r ∈ R : rr = r r = Suy (rr )n = (r r)n = 1n , ∀n ∈ N Suy rn r n = r n rn = 1n , ∀n ∈ N (mâu thuẫn) r lũy linh Vậy r khơng khả nghịch (ii) Giả sử r lũy đẳng ta cần chứng minh − r lũy đẳng Thật vậy, (1 − r)2 = − 2r + r2 = − r (vì r lũy đẳng), suy (1 − r) lũy đẳng (iii) Giả sử r lũy đẳng r khả nghịch Khi tồn r cho rr = r r = r2 = r Suy r2 r = r r2 = Điều tương đương với r(rr ) = (r r)r = ⇔ r.1 = 1.r = Do r = 10 CHƯƠNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA VÀNH CHUỖI LŨY THỪA 2.1 Vành chuỗi lũy thừa 2.1.1 Định nghĩa Cho R vành tùy ý x biến tùy ý mà phần tử R Xét tập tất chuỗi lũy thừa hình thức có dạng ∞ k ak xk f = a0 + a1 x + a2 x + + ak x + = (2.1) k=0 x với hệ số R Đặt ∞ bk xk g= (2.2) k=0 biểu thị chuỗi lũy thừa khác x với hệ số R Chúng ta định nghĩa đẳng thức, tổng tích f g bởi: i) f = g ⇔ ak = bk (k = 0, 1, 2, ) ii) f + g = iii) f g = ∞ k=0 (ak ∞ k k=0 ck x + bk )xk , với ck = i+j=k bj (k = 0, 1, 2, ) Bằng cách ta suy tập tất chuỗi lũy thừa hình thức x với hệ số R vành, vành gọi vành chuỗi lũy thừa biến x R kí hiệu R[[x]] Phần tử khơng R[[x]] chuỗi lũy thừa mà tất hệ số (thuộc R) Nếu R vành với phần tử đồng e R[[x]] có phần 11 tử đồng nhất, cụ thể, chuỗi lũy thừa ∞ ak xk a0 = e; a1 = a2 = = k=0 phần tử đồng R[[x]] kí hiệu đơn giản e Tương tự, chuỗi lũy thừa ∞ ak xk fa = với a1 = a2 = = k=0 kí hiệu a0 Từ ánh xạ a0 → fa0 (a0 ∈ R) hiển nhiên đơn ánh từ R vào R[[x]] Nếu R có phần tử đồng e, x xét phần tử R[[x]]; cụ thể, chuỗi lũy thừa ∞ ak xk (a0 = a2 = a3 = = 0; a1 = e) k=0 đồng với x Cho {x1 , , xn } tập hữu hạn cặp biến riêng biệt (n > 1) Vành R[[x1 , , xn ]] chuỗi lũy thừa x1 , , xn với hệ số R định nghĩa vành biến xn với hệ số R[[x1 , , xn−1 ]], R[[x1 , , xn ]] = (R[[x1 , , xn−1 ]])[[xn ]] Rõ ràng, vành R[[x1 , , xn ]] định nghĩa theo kiểu không phụ thuộc vào thứ tự biến x1 , , xn Bây giờ, cho X tập tùy ý biến (không thiết phải tập hữu hạn) Ta định nghĩa R[[X]] tập hợp theo lý thuyết tất vành R[[Y ]], Y lấy tập hữu hạn X làm giá trị Khi Y1 Y2 (Y1 , Y2 hữu hạn chứa X), có đơn ánh tự nhiên từ vành R[[Y1 ]] vào vành R[[Y2 ]] Chúng ta nhấn mạnh rằng, chuỗi lũy thừa R[[X]] có hữu hạn biến 12 2.1.2 Ví dụ Một số ví dụ vành chuỗi lũy thừa Z[[x]] vành chuỗi hệ số nguyên R[[x]] vành chuỗi hệ số thực 2.2 Một số tính chất vành chuỗi lũy thừa Trong mục chúng tơi trình bày phần tử khả nghịch vành chuỗi lũy thừa Đầu tiên ta có định lý sau 2.2.1 Định lí Cho R vành với phần tử đơn vị e f phần tử R[[x]] Khi f khả nghịch R[[x]] a0 khả nghịch R Chứng minh Nếu g có dạng (2.2) f g = gf = e (2.3) thỏa mãn, theo định nghĩa phép nhân hai chuỗi luỹ thừa ta có quan hệ a0 b0 = b0 a0 = e b0 ∈ R nghịch đảo a0 Bây ta giả sử a−1 nghịch đảo a0 R Đầu tiên, ta chứng minh f có nghịch đảo phải R[[x]] Với mục đích này, ta giải phương trình cho b0 , b1 , , bn , sau  a0 b =e    =0   a0 b + a1 b a0 b + a1 b + a2 b =0      a0 bn + a1 bn−1 + + an b0 = (2.4) Điều thực a0 có nghịch đảo phần tử b0 , b1 , , bn , xác định, từ phương trình thứ (n + 1) (2.4), ta có bn = −a−1 (a1 bn−1 + + an b0 ) 13 Như vậy, ta nhận phần tử g = ∞ k k=0 bk x , rõ ràng g nghịch đảo phải f Tương tự, ta f có nghịch đảo trái, mà thiết trùng với g Do (2.3) đúng, định lý chứng minh 2.2.2 Định lí Cho K vành chia (thể) với phần tử đơn vị e Các iđêan phải (iđêan trái) K[[x]] iđêan (0), (x0 ) = K[[x]], (x), (x2 ), Đặc biệt, iđêan K[[x]] iđêan chính, có (x) iđêan phải (iđêan trái) tối đại Chứng minh Gọi A iđêan phải khác không tùy ý K[[x]], xét phép biểu diễn phần tử khác không A Trong số lũy thừa x xuất phép biểu diễn với hệ số khác khơng, có lũy thừa nhỏ mà kí hiệu xk (k số nguyên khơng âm) Với phần tử f ∈ A thích hợp, ta thu f = xk t, t (∈ K[[x]]) có dạng ∞ xi t= i=0 với a0 = Theo Định lý 2.2.1, có chuỗi lũy thừa g ∈ K[[x]] cho tg = e Do f g = xk tg = xk ∈ A, A = xk K[[x]] = (xk ) Sự khẳng định iđêan trái chứng minh theo cách tương tự Bây ta chứng minh (x) tối đại Thật vậy, (x) = R[[x]] ∈ / (x) Mặt khác iđêan thực K[[x]] có dạng (xk ) ⊆ (x) 2.2.3 Hệ Nếu K vành chia được, K[[x]]/(x) ∼ = K 14 Chứng minh Hiển nhiên, (x) iđêan tối đại K[[x]] Cho vành R tùy ý, ta xây dựng mở rộng vành R[[x]] Xét tập hợp gọi chuỗi Laurent (hình thức) có dạng am xm + am+1 xm+1 + (am , am+1 , ∈ R) với số nguyên hợp lý m với hệ số R Một chuỗi Laurent bao gồm hữu hạn số hạng có số mũ âm, vơ hạn số hạng có số mũ dương, số hạng có số mũ Tương tự định nghĩa R[[x]], ta định nghĩa phép cộng phép nhân cho chuỗi Laurent Từ ta thu vành chuỗi Laurent với hệ số R; vành kí hiệu Rx Với hữu hạn biến x1 , x2 , , xn (n > 1) cho, ta định nghĩa R x1 , , xn = (R x1 , , xn−1 ) xn R x1 , , xn gọi vành chuỗi Laurent biến x1 , , xn với hệ số vành R Cho tập X không thiết hữu hạn biến, vành R X chuỗi Laurent với biến từ X hệ số R định nghĩa tập hợp theo lý thuyết tất R Y , Y khắp tất tập hữu hạn X Chú ý rằng, chuỗi Laurent R X xuất hữu hạn biến từ X 2.2.4 Định lí Nếu K vành chia được, K X vành chia Chứng minh Lấy f = am xm + am+1 xm+1 + phần tử khác không K x Khi đó, có số nguyên hợp lý j cho aj = = với i < j Ta có x−j f ∈ K[[x]] theo Định lý 2.2.1, phần tử x−j f có nghịch đảo g K[[x]] Khi đó, x−j g nghịch đảo f K x 15 Một lần nữa, cho R vành tùy ý Tập tất phần tử f ∈ R[[x]] có dạng (2.1) với ak = (hầu hết trừ số hữu hạn) vành R[[x]] Vành kí hiệu R[x] gọi vành đa thức biến x R R[x] vành R[[x]] tạo R x Các phần tử R[x] gọi đa thức viết dạng m m ak xk f = f (x) = a0 + a1 x + + am x = (ak ∈ R; m ≥ 0), k=0 ak gọi hệ số đa thức f Nếu am = f đa thức bậc m Đa thức mà có tất hệ số (∈ R) gọi đa thức không, ta không định nghĩa bậc đa thức Cho X tập biến Xét tập tất phần tử R[[x]] mà có nhiều hữu hạn hệ số khác không Tập vành R[[X]] Nó kí hiệu R[X] gọi vành đa thức biến X với hệ số R Đặc biệt, X = {x1 , , xn } tập hữu hạn (n > 1), R[x1 , , xn ] rõ ràng vành đa thức biến xn với hệ số R[x1 , , xn−1 ] 2.3 Điều kiện để vành chuỗi vành địa phương 2.3.1 Định nghĩa Cho vành R A tập phần tử không khả nghịch R R gọi vành địa phương A đóng kín với phép cộng, tức a1 , a2 ∈ A a1 + a2 ∈ A 2.3.2 Định lí (Đặc trưng vành địa phương.) Cho R vành có đơn vị e A tập hợp phần tử không khả nghịch vành R Khi mệnh đề sau tương đương: (1) R vành địa phương; (2) A R RR (iđêan hai phía); (3) A iđêan phải thực lớn nhất; 16 (3 ) A iđêan trái thực lớn nhất; (4).Trong R tồn iđêan phải thực lớn nhất; (4 ) Trong R tồn iđêan trái thực lớn nhất; (5) ∀r ∈ R r − r khả nghịch phải; (5 ) ∀r ∈ R r − r khả nghịch trái; (6) ∀r ∈ R r − r khả nghịch Chứng minh Ta chứng minh định lý cho trường hợp “bên phải” Trường hợp “bên trái” chứng minh tương tự Trình tự bước chứng minh sơ đồ kéo theo sau (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (5) ⇒ (6) ⇒ (1) Xét bổ đề: "Với giả thiết (1) phần tử khả nghịch phía suy khả nghịch hai phía." Chứng minh bổ đề: Lấy b khả nghịch suy bb = ta chứng minh b khả nghịch trái Tức chứng minh b b = Trường hợp 1: bb ∈ / A suy b b khả nghịch Suy tồn s cho sb b = ⇒ sb bb = b ⇒ sb = b ⇒ bb = Trường hợp 2: bb ∈ A ⇒ − bb ∈ / A Vì − bb ∈ A suy b b + (1 − b b) = ∈ A (vơ lý), − bb khả nghịch nên s(1−b b) = ⇒ s(1−b b)b = b ⇒ sb −sb bb = b ⇒ sb −sb = b suy b = (vô lý b b = 1) Suy trường hợp không xảy Vậy bổ đề chứng minh (1) ⇒ (2): Để chứng minh A R ta cần chứng minh ∀a ∈ A, ∀r ∈ R ar ∈ A ∈ A Ta chứng minh ar ∈ A Nếu ar ∈ / A, tồn s cho ars = ⇒ a(rs) = suy a khả nghịch phải, theo bổ đề ta có a khả nghịch Suy a ∈ / A vô lý Vậy ar ∈ A (2) ⇒ (3): +) A thực sự, ∈ /A 17 +) A lớn Lấy B R (thực hai phía) b ∈ B ⇒ bR ⊆ B ⊂ = R ⇒ bR = R Suy b khả nghịch, suy b ∈ A (3) ⇒ (4): Hiển nhiên (4) ⇒ (5): Gọi C iđêan thực lớn Lấy r ∈ R giả sử r − r không khả nghịch phải, suy rR RR (1 − r) RR ⇒ Do C rR ⊆ C ⇒ r ∈ C (1 − r)R ⊆ C ⇒ − r ∈ C R đóng kín với phép cộng, suy r + (1 − r) = ∈ C ⇒ C = R (vô lý) Suy r − r khả nghịch phải (5) ⇒ (6): Ta cần chứng minh r khả nghịch bên phải r khả nghịch bên trái Giả sử tồn s ∈ R cho rs = (*) Xét phần tử sr Nếu sr không khả nghịch bên phải theo (5), 1−sr khả nghịch bên phải Do tồn t ∈ R cho = (1 − sr)t (**) Nhân hai vế (**) với r kết hợp với (*), ta được: r = r(1 − sr)t = (r − rsr)t = (r − r)t = Trái với giả thiết rs = Vì sr khả nghịch bên phải, tức tồn u ∈ R cho sru = Nhân hai vế đẳng thức với sr kết hợp với (*), ta được: sr = sr(sru) = s(rs)ru = sru = Nghĩa r khả nghịch bên trái Vậy r khả nghịch (6) ⇒ (1): Trước hết chứng minh a ∈ R, r ∈ R suy ar ∈ A Nếu ar ∈ / A suy ar khả nghịch Do ars = ⇒ a(rs) = suy a khả nghịch phải Tương tự ta chứng minh a khả nghịch trái Suy a khả nghịch Suy a ∈ / A (vô lý) Nếu a1 , a2 ∈ A Giả sử a1 + a2 ∈ / A ⇒ (a1 + a2 )s = ⇒ a1 s = − a2 s Theo ta có a1 s ∈ A a2 s ∈ A suy a1 s khơng khả nghịch Theo (6) ta có − a1 s = a2 s khả nghịch nên a2 s ∈ / A Suy a1 + a2 ∈ A 2.3.3 Ví dụ (về vành địa phương.) 18 Ví dụ 1: Nếu K trường K vành địa phương Ví dụ 2: Nếu K trường vành chuỗi K[[x]] vành địa phương Chứng minh ∞ Lấy f = x i , g = ∞ bi xi phần tử không khả nghịch vành i=0 i=0 K[[x]] Khi theo Định lý 2.2.1 a0 , b0 khơng khả nghịch K , nghĩa a0 = 0, b0 = (Do K trường nên phần tử không khả nghịch) Do a0 + b0 = + = suy f + g = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + hay f + g = + (a1 + b1 )x + (a2 + b2 )x2 + Do theo Định lý 2.2.1 f + g không khả nghịch K[[x]] Vậy K[[x]] vành địa phương Tổng quát Ví dụ ta có định lý sau 2.3.4 Định lí R[[x]] vành địa phương ⇔ R vành địa phương Chứng minh Lấy r ∈ R, ta cần chứng minh r khả nghịch (1 − r) khả nghịch Giả sử r không khả nghịch suy chuỗi α = r + a1 x + với hệ số thuộc R không khả nghịch R[[x]] Do R[[x]] vành địa phương nên (1 − α) khả nghịch Mà (1 − α) = (1 − r) + a1 x + nên theo Định lý 2.2.1 suy (1 − r) khả nghịch R suy R vành địa phương Ngược lại cho R vành địa phương Ta chứng minh R[[x]] địa phương Lấy α ∈ R[[x]], α = a0 + a1 x + , ∈ R ta cần chứng minh α khả nghịch − α khả nghịch 19 Giả sử α không khả nghịch suy a0 không khả nghịch R Mà R vành địa phương nên − a0 khả nghịch R, mặt khác − α = (1 − a0 ) + a1 x + − α khả nghịch R[[x]] Vậy R[[x]] vành địa phương 2.3.5 Hệ (i) Vành chuỗi lũy thừa hệ số thực R[[x]] địa phương vành đa thức R[x] hệ số thực không địa phương (ii) Vành chuỗi lũy thừa hệ số nguyên Z[[x]] không địa phương Chứng minh (i) Do R trường nên R vành địa phương Do theo Định lý 2.3.4 vành chuỗi lũy thừa R[[x]] địa phương Còn vành vành đa thức R[x] hệ số thực khơng địa phương tập phần tử khơng khả nghịch khơng khép kín phép cộng Chẳng hạn, x − x hai phần tử không khả nghịch R[x] tổng x + (1 − x) = lại phần tử khả nghịch (ii) Do vành Z vành địa phương vành Z có nhiều iđêan tối đại pZ, với p số nguyên tố Vậy theo Định lý 2.3.4, Z[[x]] vành địa phương 2.3.6 Định lí (Về tính lũy linh phần tử vành chuỗi lũy thừa.) Cho R vành giao hoán R[[x]] vành chuỗi lũy thừa hệ số ∞ R f = an xn phần tử R[[x]] Khi f lũy linh R[[x]] n=0 an lũy linh R với n Chứng minh Giả sử f k = (∀k ∈ N), tức (a0 + a1 x + + an xn + )k = R[[x]] Theo định nghĩa phép nhân R[[x]] ta có: k−1 k−2 2 k k−1 f k = ak0 + (kak−1 + )xk a1 )x + (ka0 a2 + ka0 a1 )x + + (a1 + ka0 a1 20 Do f k = ta có a0 k = 0, nghĩa a0 lũy linh Tương tự cho hệ số f k = dùng đẳng thức liên hệ đẳng thức 0, tức là: kak−1 a1 = k−2 kak−1 a2 + ka0 a1 = ak1 + ka2 a1 k−2 + ka1 ak−1 = Từ với phép biến đổi (ta nhân vế với a0 ), thích hợp ta qui nạp nhận a1 , a2 , lũy linh 21 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu tham khảo [4] luận văn trình bày vấn đề sau: Khái niệm vành chuỗi lũy thừa Một số tính chất vành chuỗi lũy thừa tính địa phương (Định lý 2.3.4), điều kiện để vành chuỗi khả nghịch (Định lý 2.2.1) tính chất lũy linh phần tử vành chuỗi 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Lương Nhẫn (2013),Định lý phân tích vành ứng dụng, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [2] Nguyễn Đức Việt (2013), Vành địa phương Vành tự đồng cấu địa phương, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh [3] F.Kasch (1982), Modules and rings, Academic press, London - New York [4] A.Kertész (1966), Lectures Artinian Rings, Akadémiai Kiadó, Budapest, Hungary  ... tích vành Các tính chất vành chuỗi lũy thừa 10 2.1 Vành chuỗi lũy thừa 10 2.2 Một số tính chất vành chuỗi lũy thừa 2.3 Điều kiện để vành chuỗi vành. .. dụ vành chuỗi lũy thừa Z[[x]] vành chuỗi hệ số nguyên R[[x]] vành chuỗi hệ số thực 2.2 Một số tính chất vành chuỗi lũy thừa Trong mục chúng tơi trình bày phần tử khả nghịch vành chuỗi lũy thừa. .. ta suy tập tất chuỗi lũy thừa hình thức x với hệ số R vành, vành gọi vành chuỗi lũy thừa biến x R kí hiệu R[[x]] Phần tử khơng R[[x]] chuỗi lũy thừa mà tất hệ số (thuộc R) Nếu R vành với phần