TOM TAT LA TIENGVIET sự hội tụ của dãy hàm tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶ VÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 Cơng trình hồn thành tại: Khoa Tốn - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Quang Diệu Phản biện 1: GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp - Viện Toán học Phản biện 2: GS TSKH Hà Huy Khoái - Đại học Thăng Long Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Xuân Thảo – Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vào lúc ngày tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc Gia, Hà Nội - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Mở đầu Lý chọn đề tài Các dạng hội tụ hàm hữu tỷ Cn phần quan trọng giải tích phức đại, lĩnh vực hay có nhiều ứng dụng thực tế làm tiền đề cho việc nghiên cứu vấn đề khác Một toán cổ điển đồng hành trình phát triển Giải tích tốn học tốn liên quan đến tính hội tụ dãy hàm Các vấn đề liên quan đến tính hội tụ dãy hàm đặt thường để trả lời câu hỏi: Các dãy hàm cho có hội tụ hội tụ hay không? hội tụ hay hội tụ đến hàm nào? hàm biết hay chưa biết? giả thiết dãy hàm hội tụ nhanh, nhanh đều? Hội tụ điểm hội tụ đều? v.v Trong lý thuyết Giải tích phức, tính hội tụ, hội tụ dãy hàm có liên quan chặt chẽ tới cực Những năm gần cách sử dụng số công cụ lý thuyết đa vị nhà toán học Việt Nam giới chứng minh nhiều kết quan trọng có tính ứng dụng cao Gonchar, T.Bloom, Z Blocki, Molzon, Alexander Việt Nam có NQ Dieu, LM Hai, NX Hong, PH.Hiep Tiếp tục hướng nghiên cứu đó, luận án này chúng tơi nghiên cứu Định lý hội tụ Vitali hàm chỉnh hình khơng bị chặn đều, hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Các kết liên quan đến đề tài tìm thấy cơng trình [1,24] Mục đích nghiên cứu Luận án Từ kết quan trọng có hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn nghiên cứu gần đây, đặt số mục đích nghiên cứu cho Luận án sau: - Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn - Đưa dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh hội tụ cần xét biên - Sự hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn - Sự hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Đối tượng nghiên cứu - Các tính chất kết hội tụ hàm chỉnh hình, hàm hữu tỷ, hàm đa điều hòa - Các tính chất chuỗi lũy thừa hình thức điều kiện cho hội tụ - Các hàm hữu tỉ điều kiện đủ cho hội tụ Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu tốn học với cơng cụ kỹ thuật truyền thống lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm Giải tích phức - Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố kết nghiên cứu theo tiến trình thực đề tài Luận án, nhằm thu nhận xác nhận tính xác khoa học kết nghiên cứu cộng đồng nhà khoa học chuyên ngành ngồi nước Những đóng góp Luận án Luận án đạt mục đích nghiên cứu đề Kết Luận án góp phần nhỏ vào hệ thống kết quả, phương pháp, công cụ kỹ thuật nghiên cứu liên quan đến hội tụ, hội tụ đều, hội tụ nhanh, hội tụ theo dung lượng hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới, hàm hữu tỷ hội tụ chuỗi lũy thừa hinh thức - Đưa số công cụ, kỹ thuật phương pháp nghiên cứu để đạt mục đích nghiên cứu đề - Đưa số hướng nghiên cứu đề tài Luận án Ý nghĩa khoa học thực tiễn Luận án Kết khoa học Luận án góp phần nhỏ vào việc hoàn thiện lý thuyết liên quan đến hội tụ hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới, hàm hữu tỷ Lý thuyết Giải tích phức Về mặt phương pháp, Luận án góp phần đó, làm đa dạng hóa hệ thống cơng cụ kỹ thuật nghiên cứu chuyên ngành, áp dụng cụ thể đề tài Luận án chủ đề tương tự Cấu trúc luận án Cấu trúc Luận án bao gồm phần: Mở đầu, Tổng quan, chương trình bày kết nghiên cứu, Kết luận, Danh mục cơng trình luận án, Tài liệu tham khảo Nội dung Luận án gồm bốn chương: Chương Tổng quan Luận án Chương Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn Chương Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn Chương Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn Chương Tổng quan Luận án Luận án nghiên cứu ba vấn đề xoay quanh hội tụ dãy hàm hữu tỷ chuỗi lũy thừa hình thức, ta trình bày tóm tắt vấn đề cho bạn đọc dễ theo dõi: 1.1 Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn Cho D miền Cn {fm }m≥1 dãy hàm chỉnh hình xác định D Một định lý cổ điển Vitali khẳng định {fm }m≥1 bị chặn địa phương hội tụ điểm tập X D không chứa siêu phẳng phức D {fm }m≥1 hội tụ tập compact D Ta ý giả thiết tính bị chặn {fm }m≥1 cần thiết Thật vậy, sử dụng định lý xấp xỉ Runge, ta xây dựng dãy đa thức C hội tụ điểm tới toàn miền C, ngoại trừ điểm gốc có giới hạn Vấn đề chúng tơi quan tâm việc tìm kết tương tự định lý Vitali nhắc đến cho trường hợp khơng cần đến tính bị chặn địa phương {fm }m≥1 Gonchar chứng minh kết đáng ý sau Định lý 1.1.1 Cho {rm }m≥1 dãy hàm hữu tỷ Cn (degrm ≤ m) hội tụ nhanh theo độ đo tập mở X tới hàm chỉnh hình f xác định miền bị chặn D (X ⊂ D) nghĩa là, với ε > lim λ2n (z ∈ X : |rm (z) − f (z)|1/m > ε) = 0, m→∞ λ2n độ đo Lebesgue Cn ∼ = R2n Khi {rm }m≥1 hội tụ nhanh theo độ đo tới f toàn miền D Sau đó, cách sử dụng kỹ thuật lý thuyết đa vị, Bloom chứng minh kết tương tự hội tụ nhanh theo dung lượng mà tập X đòi hỏi compact khơng-đa cực Chính xác hơn, ta có định lý sau Bloom Định lý 1.1.2 Cho f hàm chỉnh hình xác định miền bị chặn D ⊂ Cn Cho {rm }m≥ dãy hàm hữu tỷ (degrm ≤ m) hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập Borel không đa cực X D, theo nghĩa: với ε > ta có lim cap ({z ∈ X : |rm (z) − f (z)|1/m > ε}, D) = m→∞ Khi {rm }m≥1 hội tụ f nhanh theo dung lượng D nghĩa là, với tập Borel E D với ε > lim cap ({z ∈ E : |rm (z) − f (z)|1/m > ε}, D) = m→∞ Các kết Chương luận án là: Định lý 2.2.4, Định lý 2.2.6 Kết cuối chương đưa ví dụ mà Định lý 2.2.6 áp dụng (Mệnh đề 2.3.2) 1.2 Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn Kết chúng tơi Định lý 3.2.2, đưa điều kiện tập A Cn cho với dãy chuỗi lũy thừa hình thức {fm }m≥1 mà {fm |la }m≥1 (a ∈ A) dãy hội tụ đĩa có bán kính r0 với tâm ∈ C biểu diễn dãy hàm chỉnh hình hội tụ hình cầu Cn có bán kính r1 Hơn nữa, phương pháp chứng minh cho đánh giá r1 theo r0 A Điều xem xét kết tổng quát định lý Molzon-Levenberg Alexander nhắc đến Có thể nói cơng việc chúng tơi đặt móng từ kết cổ điển Hartogs mà chuỗi lũy thừa hình thức Cn hội tụ hội tụ tất đường thẳng qua điểm gốc, cụ thể Định lý 3.2.2 Hệ 3.2.4 1.3 Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Nội dung chương từ kết biết Gonchar Bloom, đưa kết tổng quát hơn, mà hội tụ nhanh thay hội tụ có trọng Chính xác hơn, với tập A hàm xác định [0, ∞) dãy hàm {fm } định nghĩa D, ta nói fm hội tụ tới f E ⊂ D A χ(|fm − f |2 ) hội tụ điểm tới E với χ ∈ A Bây chúng tơi quan tâm tới việc tìm điều kiện thích hợp A E cho fm hội tụ tới f E ⊂ D A dãy {fm } hội tụ tới f D Khái niệm sau mà đóng vai trò chìa khóa hướng tiếp cận chúng tơi Ta nói dãy hàm {χm }m≥1 nhận giá trị thực, liên tục định nghĩa [0, ∞) chấp nhận điều kiện sau thỏa mãn: (1.1) χm > (0, ∞), với dãy {am } ⊂ [0, ∞) inf χm (am ) = ⇒ inf am = m≥1 m≥1 (1.2) Với m ≥ 1, χm C −trơn (0, ∞) χm (t)(χm (t) + tχm (t)) ≥ t(χm (t))2 ∀t ∈ (0, ∞) (1.3) Tồn dãy hàm nhận giá trị thực, liên tục {χ˜m } xác định [0, ∞) thỏa mãn (1.1), (1.2) tính chất sau sup sup (χm ((x/y)m )χ(y ˜ m )) < ∞ ∀a > m≥1 0 (chỉ phụ thuộc vào r0 , A) cho {fm }m≥1 xác định dãy hàm chỉnh hình mà hội tụ tập compact ∆n (0, r1 ) Hệ 3.2.3 Cho f : Bn → C hàm trơn C ∞ − A ⊂ ∂Bn tập mở Giả sử hạn chế f la hàm nguyên C với a ∈ A Khi tồn hàm nguyên F Cn cho F = f Bn ∩ la với a ∈ A Hệ suy trực tiếp từ kết sau Hệ 3.2.4 Cho {fm }m≥1 dãy C ∞ − hàm trơn xác định hình cầu đơn vị Bn ⊂ Cn A ⊂ ∂Bn tập mở Giả sử với a ∈ A, hạn chế {fm }m≥1 la thác triển tới dãy hàm nguyên C hội tụ tập compact C Khi tồn dãy hàm nguyên {Fm }m≥1 Cn hội tụ tập compact Cn cho với m ≥ 1, Fm = fm Bn ∩ la với a ∈ A Chương Hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Trong chương trình bày điều kiện đủ để dãy hàm hữu tỷ hội tụ theo dung lượng miền dãy hàm hội tụ điểm đủ nhanh tập không nhỏ 4.1 Một số kết bổ trợ Bổ đề 4.1.2 Cho {χm }m≥1 {χ˜m }m≥1 dãy thỏa mãn (1.1), (1.2) (1.3) Khi ta có khẳng định sau: (a) χm (0) → m → ∞ (b) Các hàm t → tχm (t) χm (t) t → tχ ˜m (t) χ ˜m (t) tăng (0, ∞) với m (c) χm , χ˜m tăng ngặt (0, ∞) (d) supm≥1 (χm (am ) + χ˜m (am )) < ∞ với a > 17 18 4.2 Hội tụ có trọng hàm hữu tỉ Kết chương định lý sau Định lý 4.2.1 Cho {rm }m≥1 dãy hàm hữu tỉ xác định Cn , f hàm chỉnh hình xác định miền D ⊂ Cn A := {χm }m≥1 dãy chấp nhận Giả sử {rm }m≥1 A−hội tụ điểm tới f tập Borel khơng đa cực X D Khi ta có khẳng định sau: (a) {rm }m≥1 A−hội tụ theo dung lượng tới f D (b) Tồn tập đa cực E Cn với tính chất: Với z0 ∈ D \ E với không gian affine phức L Cn qua z0 , tồn dãy {rmj }j≥1 (chỉ phụ thuộc vào z0 ) cho rmj Dz0 A−hội tụ theo dung lượng (đối với Dz0 ) tới f |Dz0 , Dz0 thành phần liên thông D ∩ L chứa z0 (c) Giả sử với a > ta có inf χm (am ) > Khi dãy {rm }m≥1 m≥1 A−hội tụ tới f tập compact K D cho rm khơng có cực lân cận mở U (cố định) K với m Trong bổ đề sau hai tính chất dãy chấp nhận giữ vai trò quan trọng Bổ đề 4.2.2 Cho χ : [0, ∞) → [0, ∞) hàm giá trị thực, liên tục thỏa 19 mãn tính chất: (a) χ ∈ C (0, ∞) χ(t) > với t > (b) χ(t)(χ (t) + tχ (t)) ≥ tχ (t)2 (0, ∞) Khi với hàm chỉnh hình f xác định miền D ⊂ Cn , hàm u := log χ(|f |2 ) đa điều hòa D Định lý 4.2.1 (c) cho kết tương tự Định lý 4.2.1 dãy đa thức Mệnh đề 4.2.3 Cho {pm }m≥1 dãy đa thức Cn (1 ≤ degpm ≤ m) f hàm chỉnh hình xác định miền bị chặn D ⊂ Cn Giả sử A := {χm }m≥1 dãy hàm liện tục giá trị thực xác định [0, ∞) thỏa mãn (1.1), (1.2) điều kiện bổ sung sau đây: sup χm (am ) < ∞, ∀a > m≥1 Giả sử {pm }m≥1 A−hội tụ điểm f tập Borel không đa cực X D Khi {pm }m≥1 A−hội tụ tới f tập compact D Ta có kết tương tự dãy đa thức Rn Hệ 4.2.4 Cho f hàm giải tích thực xác định miền D ⊂ Rn(x1 ,··· ,xn ) {pm }m≥1 dãy đa thức (1 ≤ degpm ≤ m) Giả sử A := 20 {χm }m≥1 dãy hàm trơn không âm thuộc lớp C − Mệnh đề 4.2.3 Giả sử {pm }m≥1 A−hội tụ điểm tới f tập có độ đo dương X D Khi {pm }m≥1 A−hội tụ tới f tập compact D Kết tổng quát cho định lý Bloom nhắc đến phần giới thiệu Hệ 4.2.5 Cho f hàm chỉnh hình miền D ⊂ Cn {rm }m≥1 dãy hàm hữu tỉ hội tụ nhanh theo dung lượng tới f tập compact không đa cực K D Khi {rm }m≥1 hội tụ nhanh theo dung lượng tới f D Hệ 4.2.6 Cho {rm }m≥1 dãy hàm hữu tỉ Cn , f chỉnh hình hình cầu mở B A := {χm }m≥1 dãy chấp nhận Giả sử {rm }m≥1 A−hội tụ điểm tới f tập Borel không đa cực X B Khi miền tồn tự nhiên f , kí hiệu bới Wf , tập Cn {rm }m≥1 A−hội tụ theo dung lượng tới f Wf Để kết thúc chương ta đưa số ví dụ dãy chấp nhận thỏa mãn giả thiết Định lý 4.2.1 21 Mệnh đề 4.2.7 Cho {hm }m≥1 dãy hàm trơn giá trị thực C −xác định (0, ∞) cho thỏa mãn điều kiện sau: (a) hm dãy tăng (b) < hm (t) ≤ 2m ∀m ≥ 1, ∀t > Khi dãy {χm }m≥1 xác định χm (t) := e t hm (x) x dx ,t > chấp nhận thỏa mãn điều kiện cho Định lý 4.2.1 (c) Kết luận kiến nghị I Kết luận Luận án nghiên cứu hội tụ hàm hữu tỷ ứng dụng đạt kết sau đây: Chứng minh dạng cho định lý hội tụ Vitali cho dãy hàm hữu tỷ với điều kiện cực điểm dãy hàm hữu tỷ (Định lý 2.2.4) Chứng minh dạng mở rộng định lý Bloom (Định lý 2.2.6) hội tụ dãy hàm hữu tỷ xét biên miền bị chặn cho trước Đưa ví dụ hồn cảnh mà Định lý 2.2.6 áp dụng Định lý 3.2.2 đưa điều kiện tập A Cn cho với dãy chuỗi lũy thừa hình thức {fm }m≥1 với {fm |la }m≥1 (a ∈ A) dãy hội tụ hàm chỉnh hình định nghĩa đĩa có bán kính r0 với tâm ∈ C biểu diễn dãy hội tụ hàm chỉnh hình hình cầu (có thể nhỏ hơn) có bán kính r1 Định lý 4.2.1 tổng quát hóa Định lý 2.1 [?] hội tụ nhanh thay hội tụ điểm dãy trọng chấp nhận II Kiến nghị Từ kết thu luận án q trình nghiên cứu, 23 chúng tơi đề xuất số hướng nghiên cứu sau: Trong Định lý 3.2.2 hội tụ họ {fm |la }m≥1 tập compact ∆(0, r0 ) thay tính chuẩn tắc họ ∆(0, r0 ) hay không? Giả thiết phân bố cực điểm (ii) Định lý 2.2.4 chặt Chúng tơi muốn tìm ví dụ để thay điều kiện cần thiết chứng minh Định lý 2.2.4 mà khơng có điều kiện Khái niệm hội tụ theo dãy trọng chấp nhận áp dụng cho hàm không thiết chỉnh hình hàm hữu tỷ Liệu ta có định lý tương tự Định lý 4.2.1 cho dãy hàm đa điều hòa hay chí hàm khả vi hay khơng? Câu trả lời đòi hỏi tiếp tục nghiên cứu Cuối cùng, xin trân trọng tiếp thu thảo luận hướng nghiên cứu liên quan tới đề tài luận án Danh mục cơng trình sử dụng luận án [1] N.Q Dieu, P.V Manh, P.H Bang and L.T Hung(2016), "Vitali’s theorem without uniform boundedness", Publ Mat 60 , 311-334 [2] T.V Long, L.T Hung (2017), " Sequences of formal power series", J.Math.Anal.Appl 452 , 218-225 [3] D.H Hung, L.T Hung (2017), "Convergence of Sequences of Rational Functions on Cn ", Vietnam J.Math 45 , 669-679 Các kết luận án báo cáo tại: • Seminar Bộ mơn Tốn giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017; • Hội thảo nghiên cứu khoa học đào tạo Nghiên cứu sinh, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2017; • Đại hội Tốn học toàn quốc lần thứ Nha Trang, 2018 24 ... - Sự hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn - Sự hội tụ dãy hàm hữu tỷ Cn Đối tượng nghiên cứu - Các tính chất kết hội tụ hàm chỉnh hình, hàm hữu tỷ, hàm đa điều hòa - Các tính chất chuỗi lũy thừa. .. quan đến tính hội tụ dãy hàm Các vấn đề liên quan đến tính hội tụ dãy hàm đặt thường để trả lời câu hỏi: Các dãy hàm cho có hội tụ hội tụ hay không? hội tụ hay hội tụ đến hàm nào? hàm biết hay... Tổng quan Luận án Chương Định lý hội tụ kiểu Vitali dãy hàm chỉnh hình khơng bị chặn Chương Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn Chương Hội tụ chuỗi lũy thừa hình thức Cn Chương Tổng quan Luận án