Về vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH Lê Đăng Bản Về vành cấu xạ vành tựa cấu xạ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số MÃ số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ng-êi h-íng dÉn khoa häc PGS.TS Ng« Sü Tïng NGHỆ AN - 2011 MỤC LỤC Trang Mục lục Danh mục ký hiệu Lời nói đầu CHƢƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ .6 1.1 Các phần tử đặc biệt vành .6 1.2 Định lý phân tích vành 1.3 Một số định nghĩa tính chất 1.4 Linh hóa tử .8 1.5 Vành P – nội xạ 1.6 Điều kiện chuỗi vành 10 1.7 Vành tựa Frobenius (QF – vành) 11 CHƢƠNG VÀNH CẤU XẠ VÀ TỰA CẤU XẠ 12 2.1 Vành cấu xạ 12 2.2 Vành tựa cấu xạ .25 KẾT LUẬN .33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R R - môđun trái R R: R - môđun phải R RR : A R R: A iđêan trái vành R : Tổng trực tiếp : Kết thúc chứng minh LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết vành lý thuyết phát triển mạnh mẽ giai đoạn Trong lý thuyết vành, vấn đề đặc trưng lớp vành nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu đạt nhiều kết sâu sắc Chúng ta biết vành R bất kỳ, theo định lý đồng cấu vành có Rl(a) @ Ra,a  R (trong l(a) linh hóa tử trái phần tử a) Tuy nhiên tính đối ngẫu RRa @ l(a) khơng phải Năm 1976, G.Erlich đưa số lớp vành thỏa mãn điều kiện RRa @ l(a), lớp vành gọi vành cấu xạ Năm 2004, Nicholson Campos đưa điều kiện tương đương vành cấu xạ với tính chất linh hóa tử phần tử [8] Nhờ sử dụng điều kiện việc nghiên cứu vành tựa cấu xạ tỏ hiệu đạt nhiều kết Vào năm 2007, V.Camillo Nicholson mở rộng điều kiện đưa lớp vành tựa cấu xạ [3] Mục đích luận văn dựa hai báo [3], [8] hệ thống lại số tính chất vành cấu xạ tựa cấu xạ tính chất phần tử hai lớp vành Luận văn chia thành chương: Chương I: Trình bày số khái niệm sở Chương II: Trình bày phần tử cấu xạ, vành cấu xạ; phần tử tựa cấu xạ, vành tựa cấu xạ; số đặc trưng QF – vành lớp vành cấu xạ tựa cấu xạ Trong q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn, tác giả nhận động viên, khuyến khích tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình cấp lãnh đạo, thầy giáo, cô giáo, anh chị em, bạn bè đồng nghiệp gia đình Với tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới: - Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Thường Xuân - Các thầy, giáo Khoa Tốn, Khoa Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Ngô Sỹ Tùng nhiều thầy cô, giáo tận tình bảo, giúp đỡ, góp ý để Luận văn hoàn thành Mặc dù cố gắng trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu tiếp thu ý kiến đóng góp luận văn khó tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong góp ý thầy, cô giáo bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 10 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến luận văn Các vành giả thiết vành có đơn vị môđun vành hiểu môđun trái unita 1.1 Các phần tử đặc biệt vành 1.1.1 Phần tử lũy đẳng Cho vành R phần tử e, f R Phần tử e gọi lũy đẳng R e2 = e Hai phần tử e, f gọi lũy đẳng trực giao e2 = e; f2 = f; ef = fe = 1.1.2 Phần tử quy Cho vành R, phần tử a R gọi phần tử tồn phần tử b R cho aba = a 1.1.3 Phần tử quy khả nghịch Cho vành R, phần tử a vành R gọi phần tử quy khả nghịch tồn phần tử khả nghịch b R cho aba = a 1.1.4 Nhận xét: Phần tử quy khả nghịch phần tử quy điều ngược lại khơng (đã có ví dụ [4]) 1.2 Định lý phân tích vành Giả sử R vành có đơn vị (i) Nếu R có phân tích trái R R   Ai  Ai I R + Tập I hữu hạn (tức I  I  1, ,n ) R  thì:  Ai  Rei , i  1,n  + Tồn e1 ,e2 , ,ek  R luỹ đẳng mà: e1  e2   en   ei e j  , i  j  1,n (ii) Ngược lại, tồn luỹ đẳng e1 ,e2 , ,en  R mà: e1   en  , ei e j  , i  j  1,n R R  Re1   Ren 1.3 Một số định nghĩa tính chất 1.3.1 Vành Bun Vành R gọi vành Bun (Boolean ring) phần tử R lũy đẳng 1.3.2 Vành quy Vành R gọi vành quy (regular ring) quy phần tử R phần tử quy 1.3.3 Định lý (Đặc trưng vành quy) Cho vành R, khẳng định sau tương đương: (i) R vành quy (ii) Mọi iđêan trái sinh phần tử lũy đẳng (iii) Mọi iđêan trái hạng tử trực tiếp R (iv) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R 1.3.4 Vành quy khả nghịch Vành R gọi vành quy khả nghịch (unit regular ring) phần tử R phần tử quy khả nghịch Nhận xét: Vành quy khả nghịch vành quy điều ngược lại khơng 1.3.5 Vành nửa đơn Vành R gọi vành nửa đơn (semisimple ring) R   Ri với Ri iđêan trái tối tiểu R iI 1.3.6 Định lý (Đặc trưng vành nửa đơn) Cho vành R, khẳng định sau tương đương: (i) R vành nửa đơn (ii) R tổng hữu hạn iđêan trái tối tiểu (iii) Mọi iđêan trái hạng tử trực tiếp R (iv) Mọi iđêan trái R sinh phần tử lũy đẳng 1.4 Linh hóa tử 1.4.1 Định nghĩa Cho vành R   A  R Khi đó: a) l  A  r  R  0,a  A gọi linh hóa tử trái (left annihilator) A vành R b) r  A  r  R ar  0,a  A gọi linh hóa tử phải (right annihilator) A vành R c) Nếu A  a viết l(a) r(a) tương ứng 1.4.2 Tính chất Cho vành R   A,B  R Khi đó: (i) l  A R R; r  A RR R l  A R b) Nếu A RR r  A R (ii) a) Nếu A R (iii) A  l  l  A  A  r  r  A  (iv) Nếu A  B l  B   l  A r  B   r  A 1.4.3 Nhận xét Cho vành R a  R Xét toàn cấu f : R  Ra xác định bởi: f(x) = xa, xR Khi theo định lý đồng cấu ta có: Ra  R/Kerf Ta có: Kerf =  x  R xa  0  l  a  Dẫn đến: Ra  R/l(a) Tuy nhiên R/Ra  l(a) Chẳng hạn: Xét vành số nguyên Z iđêan Z Ta có: Z / Z  Z l     x  Z x.2  0  Chúng ta nhận thấy Z /  Z.2 Z / Z.2  Z2   l   Trong chương sau xét đến lớp vành có tính chất R/Ra  l(a) lớp vành mở rộng lớp vành Các lớp vành gọi vành cấu xạ (morphic ring) tựa cấu xạ (quasi – morphic ring) 1.5 Vành P – nội xạ 1.5.1 Môđun nội xạ Cho vành R A, M R – môđun phải Môđun M gọi A - nội xạ (A-injective) với môđun X A, đồng cấu  : X  M mở rộng tới đồng cấu ψ : A  M Môđun M gọi nội xạ (injective) M A – nội xạ với môđun A 1.5.2 Định lý (Tiêu chuẩn Baer) Môđun M nội xạ M R – nội xạ 1.5.3 Môđun P – nội xạ Cho vành R M R – môđun phải Môđun M gọi nội xạ phải (viết tắt P-nội xạ phải) Rđồng cấu  : Ra  M với a  R mở rộng tới đồng cấu ψ:RM 10 1.5.4 Nhận xét: Từ định nghĩa môđun P – nội xạ tiêu chuẩn Baer thấy môđun nội xạ môđun P – nội xạ Trong đề tài chúng tơi cịn sử dụng định nghĩa tương đương định nghĩa sau: Cho vành R M R- môđun phải Môđun M gọi nội xạ phải (viết tắt P – nội xạ phải) R – đồng cấu  : aR  M phép nhân với phần tử m  M (kí hiệu  = m) 1.5.5 Vành P – nội xạ Vành R gọi nội xạ phải (P – nội xạ phải) RR mơđun P – nội xạ, nghĩa iđêan phải aR mở rộng 1.5.6 Định lý (đặc trưng vành P – nội xạ) Cho vành R Các điều kiện sau tương đương: (i) R vành P – nội xạ phải (ii) l(r(a)) = Ra, a  R (iii) Nếu r(a)  r(b) với a, b  R Rb  Ra (iv) l(bR  r(a)) = l(b) + Ra, a, b  R (v) Nếu  : aR  R a  R R – tuyến tính (a)  Ra 1.6 Điều kiện chuỗi vành 1.6.1 Định nghĩa: Xét tập hợp (X, ) với quan hệ  * Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng với xích (chuỗi) x1  x2   xn  tồn n  * cho xn  xn1  Ta kí hiệu chuỗi tăng ACC * Ta nói X thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm với xích (chuỗi) x1  x2   xn  tồn n  Ta kí hiệu chuỗi tăng DCC * cho xn  xn1  20 Xét a  pn   ,a  ,a  pi i  1,n  , ta có  l a   x   pn   pn pn   pn m   p ni  l p i pn pi   p ni  l pi vành cấu xạ trái Tương tự 2.1.13 Hệ Vành pn   pi , tức l p ni    pn   pi  l p ni   pi  l p ni Tương tự ta có Tóm lại pi  l p ni Ngược lại, x  l p ni x p ni   p n Do x  x1 pi  pn pn pn  l   : pi  x  x1 pi Từ x p ni  x1 pi p ni  , tức x  l p ni Chúng ta suy Vậy pn   pn a | x a  xa    Xét a  pi i  1,n  , ta chứng minh Thật vậy, x  pn pn vành cấu xạ phải vành cấu xạ với m   , m  Chứng minh Với m  ta có m  p1α1 p2α2 pkαk pi số nguyên tố αi số nguyên dương Theo Mệnh đề 2.1.12, 2.1.3 tích trực tiếp ik1 Vậy m piαi piαi vành cấu xạ Theo Mệnh đề vành cấu xạ Mặt khác m  ik1 piαi  vành cấu xạ 2.1.14 Nhận xét: Vành số nguyên vành cấu xạ Thật vậy, 2 , ta có l(2) = phần tử cấu xạ trái Vậy phải vành cấu xạ /   Do khơng phải vành cấu xạ trái Vậy không 21 2.1.15 Nhận xét: Cho vành R Chúng ta thấy s phần tử cấu xạ eRe (với e phần tử lũy đẳng vành R) s phần tử cấu xạ R điều ngược lại không Thật vậy, ta xét vành S phần tử s  S quy khơng khả nghịch S, tồn phần tử t  S cho s = sts Đặt 1 0  s 0 t 1 R  M  S  e    R với a    e Re, u      thì: 0 0        s  t  s   sts   s  aua         a  0 1  0   0   0  0  Với v    uv = vu = Do a phần tử quy khả  t   nghịch R Chúng ta có e Re  S , s khơng quy khả nghịch S nên a khơng quy khả nghịch eRe Vì a không phần tử cấu xạ eRe phần tử cấu xạ R 2.1.16 Bổ đề Cho vành R với ei 1 họ lũy đẳng trực giao Các n mệnh đề sau tương đương với phần tử  ei Rei : a) phần tử cấu xạ trái eiRei; b) a1 + a2 + …+ an phần tử cấu xạ trái R với aj phần tử cấu xạ phải e j Re j , j 1, ,n ,i  j; c) a1 + a2 + …+ an phần tử cấu xạ trái R với a j phần tử khả nghịch e j Re j , j 1, ,n ,i  j; d) + e1+…+ ei-1 +…+ en phần tử cấu xạ trái R; e) a1 + a2 + …+ an phần tử cấu xạ trái R với phần tử khả nghịch aj e j Re j , j 1, ,n ,i  j 22 Chứng minh  a   b : Theo giả thiết a1, a2 , , an phần tử cấu xạ trái e1R e1, e2 R e2 , , en R en có  a1, a2 , , an  phần tử cấu xạ trái e1R e1 e2 R e2   en R en (theo Mệnh đề 2.1.3) Do a1 + a2 + …+ an cấu xạ trái R  b    c  : Vì phần tử khả nghịch phần tử cấu xạ trái nên kết hợp với giả thiết (b) có (c) c   d  : Vì ej phần tử khả nghịch e j Re j nên theo giả thiết (c) có (d)  d    e  : Chúng ta chọn aj = ej theo giả thiết (d) ta có (e)  e    a  : Giả sử tồn phần tử a1, a2 , , ai1, ai1, , an cho aj khả nghịch e j Re j với j 1, , n , i  j a1 + a2 + …+ an phần tử cấu xạ trái R Chúng ta chứng minh phần tử cấu xạ trái ei Rei Ta tồn ei Rei cho lei Rei     ei Rei  b lei Rei  b    ei Rei  Thật từ giả thiết (e) tồn b  R cho l  a1  a2   an   Rb l  b   R  a1  a2   an  Ta có :   a1  a2   an  b  a1b  a2b   anb  e1R  e2R   enR , từ suy a jb  với j 1, , n Vì aj khả nghịch e j Re j với j 1, , n , j  i nên e jb  a j 1a jb  với j 1, , n , i  j Từ ta có eib  1  e2  en  b  b Chứng minh tương tự bei  b Vậy b  eibei  ei Rei Với x  ei xei  ei Rei xai  ta có: x  a1  a2   an   e1x1e1  a1  a2   an   , tức là: x  l  a1  a2   an   Rb 23 Do x  ei Rei  Rb  ei Reib Vì lei Rei     ei Rei  b Ngược lại x  ei Reib x  Rb  l  a1  a2   an  Do  x  a1  a2   an   xai suy x  lei Rei   , tức :  ei Rei  b  le Re   i i Vậy lei Rei     ei Rei  b Mặt khác:  ei Rei    ei Rei  a1  a2   an   R  a1  a2   an   l  b  Do  ei Rei   lei Rei  b  Ngược lại, x  lei Rei  b  thì: x  l  b   R  a1  a2   an  Mặt khác x  ei xei  ei Rei Chúng ta có x   ei Rei  , tức lei Rei  b    ei Rei  Vậy lei Rei  b    ei Rei  Dẫn đến phần tử cấu xạ trái ei Rei Vậy ta có (a)  Ta có đặc trƣng QF – vành vành cấu xạ nhƣ sau 2.1.17 Bổ đề ([8, Theorem 31 Theorem 24]) Cho R vành (a) Nếu R vành cấu xạ trái thì: (i) R vành P- nội xạ phải (ii) RR thoả mãn điều kiện (C2) b) Nếu R vành cấu xạ trái thoả mãn điều kiện ACC tập linh hố tử phải thì: (i) R Artin trái (ii) Soc(RR) = Soc( RR) 2.1.18 Định lý Cho R vành a) Nếu R vành cấu xạ, CS phải (và trái) thỏa mãn điều kiện ACC tập linh hóa tử phải R QF-vành 24 b) Nếu R vành cấu xạ trái, thỏa mãn điều kiện ACC tập linh hóa tử phải  R  R  R CS mơđun R QF-vành Chứng minh (a) Theo Bổ đề 2.1.17, có R vành liên tục phải trái Hơn R thoả mãn ACC tập linh hoá tử phải nên theo [5, Mệnh đề 18.24], ta có R QF - vành (b) Theo Bổ đề 2.1.17, RR vành P − nội xạ Do R  R P − nội xạ nên  R  R R thoả mãn điều kiện (C2) Mặt khác  R  R R CS môđun nên  R  R  R môđun liên tục Theo [7, Theorem 3.16], R vành tựa nội xạ phải Hơn R thoả mãn ACC tập linh hoá tử phải nên theo [5, Propositon 18.9], R QF - vành  2.1.20 Nhận xét: Nói chung QF – vành không vành cấu xạ Trong [8, Example 36], gọi C2 nhóm cấp vành nhóm R = ZC2 vành giao hốn, địa phương QF không vành cấu xạ Ngược lại, vành cấu xạ không QF - vành điều kiện Định lý 2.1.18 không thoả mãn 25 2.2 VÀNH TỰA CẤU XẠ Trong phần chúng tơi trình bày số tính chất phần tử tựa cấu xạ, vành tựa cấu xạ số lớp vành cổ điển vành tựa cấu xạ, trình bày đặc trưng QF – vành lớp vành tựa cấu xạ 2.2.1 ĐỊNH NGHĨA Cho vành R phần tử a  R a) Phần tử a gọi phần tử tựa cấu xạ trái (phải) (left(right) quasi – morphic element) R tồn phần tử b, c R cho Ra = l(b); Rc = l(a) (tương ứng aR = r(b); cR = r(a)) b) Vành R gọi vành tựa cấu xạ trái (phải) (left(right) quasi – morphic ring) phần tử phần tử tựa cấu xạ trái (tương ứng phải) c) Vành R gọi vành tựa cấu xạ (quasi – morphic ring) vành tựa cấu xạ trái phải Nhận xét: a) Mọi phần tử cấu xạ phần tử tựa cấu xạ vành cấu xạ vành tựa cấu xạ b) Tự nhận xét nhận thấy vành Bun, thể, vành nửa đơn, vành quy khả nghịch vành n (n ≥ 2) vành tựa cấu xạ Chúng ta có số tính chất phần tử tựa cấu xạ vành tựa cấu xạ nhƣ sau 2.2.2 Mệnh đề Nếu R vành quy R vành tựa cấu xạ Chứng minh Xét a  R chứng minh a phần tử tựa cấu xạ trái Thật vậy, R vành quy nên tồn b  R cho a = aba 26 Chúng ta chứng minh Ra = l(1 – ba) l(a) = R(1 – ab) Thật vậy, x  Ra x = x1a Khi x(1 – ba) = x1a(1 – ba) = x1(a – aba) = 0, tức x  l(1 – ba) Chúng ta suy Ra  l (1  ba) Ngược lại, x  l(1 – ba) x(1 – ab) = x – xba = Từ x = xba  Ra, tức l(1 – ba)  Ra Vậy Ra = l(1 – ba) Nếu x  r(1 – ba) x = x1(1 – ab) Khi xa = x1(1 – ab)a = x1(a – aba) = 0, tức x l(a) Do R(1 – ab)  l(a) Ngược lại, x  l(a) xa = Nhận xét xab = nên x = x(1 – ab), tức x  R(1 – ab) Chúng ta suy l(a)  R(1 – ab) Vậy l(a) = R(1 – ab) Do a phần tử tựa cấu xạ trái Chứng minh tương tự ta có a phần tử tựa cấu xạ phải  Vậy R vành tựa cấu xạ 2.2.3.Nhận xét: a) Điều ngược lại Định lý 2.2.2 sai Thật xét vành vành tựa cấu xạ không vành quy  tử quy 4 khơng phải phần 2  2  2   b) Vành tựa cấu xạ khơng phải vành cấu xạ Ví dụ sau vành tựa cấu xạ phải vành cấu xạ Ví dụ: Trong [5, Corollary 2.11], Mk không gian vectơ vô hạn chiều trường K, vành tự đồng cấu R = End(Mk ) vành quy khơng quy khả nghịch Theo Mệnh đề 2.2.2, vành R tựa cấu xạ R không vành cấu xạ Như vành tựa cấu xạ mở rộng thực vành cấu xạ 2.2.4 Mệnh đề Cho vành R a phần tử R a) Nếu a phần tử tựa cấu xạ trái r(a) = Ra = R 27 b) Nếu a phần tử tựa cấu xạ trái u phần tử khả nghịch R au ua phần tử cấu xạ trái R Chứng minh a) Giả sử a phần tử cấu xạ trái R Khi tồn b  R cho Ra = l(b) Vì a  l(b) nên ab = 0, suy b  r(a) = Do b = hay Ra = l(0) = R b) Giả sử a phần tử cấu xạ trái, tồn phần tử b, c  R cho Ra = l(b) Rc = l(a) Vì a  l(b) c  l(a) nên ab = ca = Với u phần tử khả nghịch ta chứng minh au ua phần tử tựa cấu xạ trái R Chúng ta có R  ua   l  b  , l  ua   R  cu 1  ,R  ua   l  u 1b  l  au   Rc Thật vậy, x  x1  ua   R  ua  xb  x1  ua  b  , suy x  l  b  Do R  ua   l  b  Ngược lại, x  l  b   Ra nên x  x1a  x1u 1ua  R  ua  Do l  b   R  ua  Chúng ta có R  ua   l  b  Nếu x  l  ua  x  ua   , suy xu  l  a   Rc Vì xu = x1c x  x1cu 1  R  cu 1  Do l  ua   R  cu 1  Ngược lại, x  x1  cu 1   R  cu 1  xua  x1  cu 1  ua  x1ca  , suy x  l  ua  Từ R  cu 1   l  ua  Chúng ta có l  ua   R  cu 1  Tương tự ta chứng minh R  au   l  u 1b  l  au   Rc Vậy ua au phần tử tựa cấu xạ vành R  2.2.5 Mệnh đề Cho R vành tựa cấu xạ trái, mệnh đề sau tương đương: a) R vành hữu hạn trực tiếp b) Với a  R r  a   l  a   28 Chứng minh  a    b  : Giả sử R vành hữu hạn trực tiếp cấu xạ trái Ta xét a  R cho r  a   , chứng minh l  a   Thật vậy, theo Mệnh đề 2.2.4 có Ra = R Do tồn phần tử a  R cho ba = Vì R vành hữu hạn trực tiếp nên ab = Khi với x  l  a  xa  , suy x  xab  Vậy l  a   b   a  : Giả sử R vành tựa cấu xạ trái phần tử a  R cho r  a   l  a   Ta chứng minh R vành hữu hạn trực tiếp Thật vậy, xét a, b  R cho ba = Khi với x  r  a  ta có ax = 0, suy x = bax = Do r(a) = Vì  ab  1 a  aba  a  a  a  , theo giả thiết l(a) = nên ab –  l(a) = Từ ab = Vậy R vành hữu hạn trực tiếp  2.2.6 Mệnh đề Cho R vành tựa cấu xạ trái Khi đó: a) R vành P – nội xạ phải b) R vành tựa cấu xạ phải R vành P – nội xạ trái Chứng minh a) Giả R vành tựa cấu xạ trái a  R Chúng ta chứng minh l  r  a    Ra Thật vậy, x  Ra x = x1a Với b  r  a  ta có ab = 0, suy x1ab = xb = Do x  l  r  a   , tức Ra  l  r  a   Ngược lại, với x  l  r  a   xr  a   Vì R vành tựa cấu xạ trái nên tồn phần tử b R cho Ra  l  b  , suy ab = tức b  r  a  Do xb = 0, suy x  l  b   Ra tức l  r  a    Ra Vậy l  r  a    Ra hay R vành P – nội xạ phải 29    : Giả sử R vành tựa cấu xạ phải có với a  R ln tồn b  R cho aR  r  b  Chúng ta chứng minh r  l  a    r  b   aR Thật vậy, x  aR x  ax1 Mà với a'  l  a  có a' a  , suy a' x  a' ax1  Do x  r  l  a   , tức aR  r  l  a   Ngược lại, với x  r  l  a   có l  a  x  Vì aR  r  b  nên ba = tức b  l  a  Do bx = 0, suy x  r  b   aR tức r  l  a    aR Vậy r  l  a    aR hay R vành P – nội xạ trái   : Giả sử R vành P – nội xạ trái Khi với a  R có r  l  a    aR Mặt khác R vành tựa cấu xạ trái nên tồn phần tử b, c cho Ra  l  b  , l  a   Rc Vì a  l  b  c  l  a  nên ab = ca = Chúng ta chứng minh R vành tựa cấu xạ phải cách chứng minh a phần tử tựa cấu xạ phải Chúng ta chứng minh aR  r  c  r  a   bR Thật vậy, x  aR x = ax1 Do cx = cax1 = 0, suy x  r  c  tức aR  r  c  Ngược lại, x  r  c  cx = Mà với a'  l  a   Rc a'  a'1 c , suy a' x  a'1 cx  Từ x  r  l  a    aR hay r  c   aR Vậy aR  r  c  Nếu x  bR x = bx1 Do ax = abx1 = 0, suy x  r  a  tức bR  r  a  Ngược lại, x  r  a  ax = Do R vành P – nội xạ trái nên bR  r  l  b   Với b'  l  b   Ra b'  b'1 a, suy b' x  b'1 ax  Từ x  r  l  b    bR hay r  a   bR Vậy r  a   bR Vậy a phần tử tựa cấu xạ phải hay R vành tựa cấu xạ phải  2.2.7 Mệnh đề Vành R tựa cấu xạ với phần tử a  R tồn phần tử b, c  R cho điều kiện sau thỏa mãn: a) Ra  l  b  l  a   Rc; b) aR  r  c  r  a   bR 30 Chứng minh Giả sử R vành tựa cấu xạ a  R Vì R vành tựa cấu xạ trái nên tồn phần tử b, c  R cho Ra  l  b  l  a   Rc Nhưng R vành tựa cấu xạ phải nên vành P–nội xạ trái, suy aR  r  l  a    r  Rc   r  c  bR  r  l  b    r  Ra   r  a  Chiều ngược lại hiển nhiên  2.2.8 Định lý Cho R vành tựa cấu xạ trái Khi giao hai iđêan trái R iđêan trái Chứng minh Giả sử R vành tựa cấu xạ trái a, b  R chứng minh Ra  Rb iđêan trái R Từ tính chất vành R tồn phần tử x  R để Rb = l(x) tồn phần tử y  R để l(ax) = R(y) Chúng ta yêu cầu Ra  Rb = Rya Trước hết ta chứng minh Ra  Rb  Rya , giả sử w  Ra  Rb , ta có w = sa = tb; s, t  R Ta chứng minh s  Ry điều có nghĩa s  l(ax) Nhưng s(ax) = (tb)x = 0, b  l(x) suy s  l  ax   w  Rya suy Ra  Rb  Rya Cuối ta chứng minh Rya  Ra  Rb Rõ ràng Rya  Ra , ta cần ya  Rb hay ya  l  x  Thật vậy,  ya  x  y  ax   y  l  ax  nên Rya  Rb  Rya  Ra  Rb  Vậy ta có Ra  Rb = Rya Nhận xét: Điều ngược lại Định lý 2.2.8 không Chẳng hạn ta xét vành số nguyên trái (vì thỏa mãn giao hai iđêan iđêan vành chính) Tuy nhiên (phải) Thật vậy, xét phần tử a  vành tựa cấu xạ trái , a  0, a  l  b    x  | xb  0 Nếu b = l  b   a   xa | x  ,  a Nếu b  31 l  b    a Vậy không tồn b  để a = l(b) Do khơng vành cấu xạ trái (tương ứng phải) 2.2.9 Hệ Cho R vành tựa cấu xạ trái a, b  R Khi l  a   l  b   l  c  với c  R Chứng minh Vì R vành cấu xạ trái nên tồn a,b  R cho l  a   Ra l  b   Rb Theo Định lý 2.2.8 l  a   l  b   Ra  Rb  Rc với c  R Vì R vành tựa cấu xạ trái nên tồn c  R cho Rc  l  c  Vậy l  a   l  b   l  c   Câu hỏi đặt ra: Trong vành tựa cấu xạ R tổng hai iđêan trái có phải iđêan trái hay khơng? Câu trả lời Đó nội dung định lý: 2.2.10 Định lý Nếu R vành tựa cấu xạ với phần tử a1, a2, an R thỏa mãn: a) l  r  a1   r  a2    r  an    Ra1  Ra2  Ran b) r  l  a1   r  a2    r  an    a1R  a2 R  an R Chứng minh a) Ta chứng minh phương pháp quy nạp Với n = lr(a1) = Ra1 thỏa mãn R vành P – nội xạ phải theo Mệnh đề 2.2.5 Giả sử với n – 1, tức ta có: l  r  a1   r  a2    r  an1    Ra1  Ra2  Ran1 32 Ta phải chứng minh với n, tức là: l  r  a1   r  a2    r  an    Ra1  Ra2  Ran Thật vậy, theo Định lý 2.2.6 viết: r  a2   r  a3    r  an   r  b  Do l  r  b    Rb  Ra2  Ra3   Ran Khi đó: l  r  a1   r  a2    r  an    l  r  a1   r  b    Ra1  Rb  Ra1  Ra2   Ran  b) Chứng minh tương tự a) Sau đặc trƣng QF – vành vành tựa cấu xạ 2.2.11 Bổ đề [3, Lemma 3, Proposition 8]): Nếu R vành tựa cấu xạ trái RR thoả mãn điều kiện (C2) 2.2.12 Định lý Nếu R vành tựa cấu xạ trái, thoả mãn ACC tập linh hoá tử phải (hoặc trái)  R  R  R CS mơđun R QF - vành Chứng minh Vì R vành tựa cấu xạ trái nên theo Bổ đề 2.2.11, ta có RR thoả mãn điều kiện (C2) Kết hợp điều kiện  R  R R CS môđun theo [9, Corollary 7.41], ta có R vành tựa nội xạ Theo giả thiết R thoả mãn ACC tập linh hoá tử phải (hoặc trái) nên sử dụng [5, Proposition 18.9], ta có R QF - vành  Nhận xét: Nói chung QF - vành không vành tựa cấu xạ Trong [3, Example 19], gọi C2 nhóm cấp vành nhóm R = Z4C2 vành hữu hạn, giao hốn, địa phương QF khơng vành tựa cấu xạ Ngược lại, vành tựa cấu xạ không QF - vành điều kiện Định lý 2.2.12 không thoả mãn 33 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nội dung sau đây: (1) Trình bày cách hệ thống khái niệm phần tử cấu xạ, vành cấu xạ; phần tử tựa cấu xạ, vành tựa cấu xạ số ví dụ Trình bày mối liên hệ vành cấu xạ, tựa cấu xạ với số lớp vành khác (2) Trình bày đặc trưng QF – vành lớp vành cấu xạ vành tựa cấu xạ 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO * Tiếng Việt [1] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2004), Cơ sở lý thuyết vành môđun, NXB Giáo dục [2] Ngô Sỹ Tùng (1995), Một số lớp vành đặc trưng điều kiện liên tục lớp CS – mơđun, Luận án Phó Tiến sĩ khoa học toán – lý, Trường Đại học Vinh * Tiếng Anh [3] V.Camillo and W.K.Nicholson (2007), “Quasi – morphic rings”, J of Algebra and its Appl Vol, No.5, 789 – 799 [4] J.Chen and Y.Zhou (2005), “Morphic rings as trivial extensions”, Glasgow J.Math 47, 139 – 148 [5] N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK [6] T.Y Lam and W.Murray (1997), “Unit regular elements in corner rings, Bull” Hong Kong Math Soc.1, 61 – 65 [7] S H Mohamed and B J Muller (1990), Continuous and Discrete Modules, London Math.Soc Lecture Notes Series147, Cambridge Univ Press, Cambridge [8] W.K Nicholson and E Sánchez Campos (2004), “Rings with the dual of the ismorphism theorem”, J.Algebra 27, 319 – 406 [9] W.K Nicholson and M.F Yousif (2003), “Quasi – Frobenius”, Cambridge Tracts No 158 Cambridge Univ Press, London, New York ... xạ; phần tử tựa cấu xạ, vành tựa cấu xạ số ví dụ Trình bày mối liên hệ vành cấu xạ, tựa cấu xạ với số lớp vành khác (2) Trình bày đặc trưng QF – vành lớp vành cấu xạ vành tựa cấu xạ 34 TÀI LIỆU... xét: a) Mọi phần tử cấu xạ phần tử tựa cấu xạ vành cấu xạ vành tựa cấu xạ b) Tự nhận xét nhận thấy vành Bun, thể, vành nửa đơn, vành quy khả nghịch vành n (n ≥ 2) vành tựa cấu xạ Chúng ta có số... tựa cấu xạ, vành tựa cấu xạ số lớp vành cổ điển vành tựa cấu xạ, trình bày đặc trưng QF – vành lớp vành tựa cấu xạ 2.2.1 ĐỊNH NGHĨA Cho vành R phần tử a  R a) Phần tử a gọi phần tử tựa cấu xạ