Về đẳng cấu symplectic và hàm sinh

1 Lời nói đầu Cách kỉ, khái niệm ban đầu hình học symplectic đà xuất thuật ngữ ngành Vật lý học Hình học symplectic có nhiều ứng dụng học, động lực học ngành khoa học khác Chính từ năm 70, hình học symplectic đà đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu như: Wein Stein, Grornov, Taubes Hình học symplectic môn học nghiên cứu bất biến qua đẳng cấu symplectic Lý thuyết đà đ-ợc trình bày tài liệu chuyên khảo Hình học đại nh- [2], [7], [8], Trong luận văn này, trình bày số tính chất đẳng cấu symplectic ứng dụng đẳng cấu symplectic, để xây dựng hàm sinh đa tạp symplectic Luận văn đ-ợc chia làm ch-ơng: Ch-ơng Đa tạp symplectic Ch-ơng gồm phần: Phần I trình bày đa tạp symplectic số tính chất Phần II trình bày đa tạp Lagrange với tính chất Chúng trình bày nội dung ch-ơng này, nhằm mục đích để làm sở cho ch-ơng Ch-ơng Đẳng cấu symplectic hàm sinh Ch-ơng gồm phần: Phần I trình bày khái niệm đẳng cấu symplectic đa tạp symplectic số tính chất đẳng cấu symplectic Phần II trình bày quy tắc tìm đẳng cấu symplectic (ứng với ánh xạ 2, 1, t ) ứng dụng đẳng cấu symplectic để xây dựng hàm sinh đa tạp symplectic Phần III trình bày ứng dụng đẳng cấu symplectic để tìm hàm sinh hàm khả vi Luận văn đ-ợc thực hoàn thành vào tháng 12/2009 Khoa đào tạo Sau đại học - Tr-ờng Đại học Vinh, d-ới h-ớng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học đà dạy dỗ bảo trình học tập làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đà tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Ch-ơng Đa tạp Symplectic Trong luận văn này, ta giả thiết M đa tạp khả vi với sở đếm đ-ợc với hệ đồ U , I Ta kí hiệu Tp M không gian vectơ tiếp xúc với M p, Tp*M không gian đối ngẫu Tp M b(M) môđun tr-ờng vectơ khả vi M I Đa tạp symplectic 1.1.1 Định nghĩa i, 2- dạng vi phân M đ-ợc gọi dạng symplectic đóng điểm pM, p dạng symplectic Tp M (d¹ng  p : Tp M  Tp M R; p dạng song tuyến tính, phản xứng, không suy biến) ii, M đ-ợc gọi đa tạp symplectic M đà đ-ợc trang bị 2- dạng symplectic Và ta th-ờng viết lµ ( M , ) 1.1.2 VÝ dơ i, M  R   x1, x2 , x3 , x4  víi   dx1  dx3  dx2 dx4 Khi M , đa tạp symplectic Thật vậy: R ®a t¹p víi U  R ,  id    -symplectic -  - ®ãng Tõ d  d (1)  dx1  dx3  d (1)  dx2  dx4 , ta suy d = -  p -symplectic  p : Tp R  Tp R  R  p ,p   p ( p ,  p ) ;   p ( 1 ,  , 3 ,  ) ®ã   (  ,  ,  ,  )  p Ta cã  p ( p ,  p )   dx1  dx3 | p dx2  dx4 | p  ( p ,  p ) = 13  31    4      Dễ thấy rằng, p dạng song tuyến tính, phản xứng Mặt khác U p v Tp R |  p (v, u )  0; u Tp R 4 = Nh- vËy:  p kh«ng suy biÕn; p M VËy  M ,  đa tạp symplectic n ii, Tổng quát hơn, M  R   x1, , xn , y1, , yn  víi 0   dxi  dyi 2n i Khi M ,0 đa tạp symplectic Bây ta giả sử, X đa tạp n - chiều Giả sử đồ X Ta xÐt T *U = xU trªn M  T * X  xM U ; x1, , xn Tx* X , T *U ,( x1, , xn , 1, , n ) đồ Tx* X ; , , n x hệ tọa độ Tx* X Nh- ta đà biết, không gian T * X đ-ợc gọi phân thớ đối tiếp xóc víi nỊn X (Xem [2]) n n i 1 i 1 1.1.3 NhËn xÐt Víi    dxi  di ,  i dxi ®ã   Tx*U n i dxi , thì: i, d đ-ợc gọi 2- dạng tắc M i đ-ợc gọi dạng M; ii, M , đa tạp symplectic 1.1.4 Mệnh đề Các dạng vi phân , không phụ thuộc việc chọn hệ toạ độ X Chứng minh Giả sử x thuộc hai đồ U ; x1, , xn  vµ U ' ; x'1, , x'n Khi Tx X ta cã: n n    j dx j ,  i'dxi' j 1 (1) i 1 n dx j   i 1 x j n n dx     j dx j    j ' xi ' i j 1 i , j 1 n x j j 1 xi' Tõ (1) vµ (2) ta cã:     j ' i n n  n i 1 i 1  j 1 i'dxi'     j V× thÕ x j  ' dxi = xi'  x j x ' i dxi' n  j 1  i 1 n  j   (2) x j n ' dx   j dx j  i xi'  j 1 n Nh- vËy,    i dxi không phụ thuộc hệ toạ độ địa ph-ơng X i d không phụ thuộc hệ toạ độ địa ph-ơng X 1.1.5 Mệnh đề Giả sử ánh xạ : M T * X  X ; p  ( x, ) ®ã n   (1, ,n )  Tx* X i dxi Khi *   i 1 Chøng minh Víi v  (v1, , v2 n ) Tp X ta cã:    * p (v )   ( p)  * p  (v )   ( p) J  p  v  Do ( x1, , xn ,1 , ,n )  (x1 , , xn ) nên ma trận là: v1      1 0  v  J p     J  p  n   (v1 , , )T   vn1  0 0  n2 n      v2 n     ( p ) J  p v  i dxi (v1, , )  i vi n n i 1 i 1 Vậy * 1.1.6 Mệnh đề Giả sử X1, X2 hai đa tạp khả vi n-chiều Ta ký hiÖu M1  T * X1 , M  T * X vµ 1 , dạng M1, M2 Giả sử f : X1 X vi phôi Nếu ta đặt f1 : M M x2  f ( x1 ) vµ 1  f * |x1 (2 ) p1 ( x1,1 ) p2 ( x2 ,2 ) Khi f1 vi phôi, f1 đ-ợc gọi nâng f Chứnh minh f1 song ánh - f1 đơn ánh, thËt vËy: LÊy p1 (x1, 1)  M1, p1’ (x1’, 1) M1 p1 p1 Đặt: p2 (x2, 2) = f1 (p1) p2’ (x2’, 2’) = f1 (p1’) Ta cÇn chøng minh p2  p2’, thËt vËy: Do p1  p1’ nªn  x1  x1'  ' 1  1  x2  f ( x1 )  f ( x1' )  x2' vµ f vi phôi nên * * ' '  f   f   1  x2  x2'   p2  p2’ hay f1 đơn ánh ' - f1 toàn ánh, thật vậy: Lấy p2 (x2, 2 )  M2 ta cÇn chøng minh  p1 (x1, 1) M1 cho f1 (p1) = p2 Do f vi phôi nên với x2 X2 th× x1  X1 : x1 = f -1(x2) hay x2 =f(x1) (*) Mặt khác f đẳng cấu tuyến tính nên với T*X2 tồn T*X1 = f*2 thoả mÃn (**) Tõ (*) vµ (**) suy f1(p1) = p2 Do f1 toàn ánh Vậy f1 song ánh f1 f1-1 khả vi - f1 khả vi, thật vậy: Xét ánh xạ f1: M1 M2 (x,) f1 Khi ®ã (x1, x2, , xn, 1, 2, , n ) (y, ) (y1, y2, ,yn, 1, 2, , n) Để chứng minh f1 khả vi, ta chứng minh y1, , yn, 1, , n hàm kh¶ vi n  = f* = f* (i dyi ) Ta cã i 1 n  f = * i i yi n x * Mặt khác f (dyi)f(p) = j 1 LÊy v  X1  v = dyi n v j 1 j p dx j p , thËt vËy: j  , ta cã:  xj  n  yi  n   n  yi p dx j p   v j p  vj    j 1 x    x j  j j    j 1 x j  f dyi f(p) * = dyif(p)  vj p = dyif(p)  x j j 1 n n yk    p  k 1 x j  yk  n vj  j 1  n   p   v j f* x j   j 1 f (P) n = v j 1 j  yi p  xj Do ®ã f dyi f(p) = *  yi n  x j 1 Ta l¹i cã  = n  dxjp j i dyif(p) i1  f* = n  i f* dyi f(p) =  x j i1 Mặt khác f* = = n   yi n i p dxj p (1) j j dxjp (2) j1 Tõ (1) vµ (2) suy i = i  yi p  xj Theo giả thiết f vi phôi, nên yi yi p không suy biến hàm xj xj khả vi Do i khả vi hay f1 khả vi - Chứng minh t-ơng tự ta có f1-1 khả vi Vậy f1 vi phôi 1.1.7 Mệnh đề Giả sử ,1 dạng M1, M2 f1 nâng vi phôi f: X1 X2 Khi ®ã ta cã f1* ( )  1 Chøng minh Theo mƯnh ®Ị 1.1.5 ta cã: 1  1*1 ,    2*2 , ®ã: f1* ( )  f1*  2*2    f1*  2* 2   f1  2   f 1  2 * *  1* f *2  1* ( f *2 )  1* (1 )  1  1.1.8 HƯ qu¶ Gi¶ sử ,2 hai dạng tắc t-ơng ứng X1, X2 ta có f1*2 II Đa tạp Lagrange 1.2.1 Định nghĩa Giả sử (M, ) đa tạp symplectic 2n - chiều Y đa tạp M Y đ-ợc gọi đa tạp Lagrange dim Y = dim M vµ  |p = 0; p Y 1.2.2 Nhận xét Y đa tạp Lagrange M TPY không gian Lagrange TP M 1.2.3 Ví dô 1) Cho M = R2n = (x1, x2, xn, y1, y2, yn)xi  R, yi  R; i = 1, n  Víi  = n  i 1 dxi  dyi , ta cã (M, ) lµ ®a t¹p symplectic XÐt Y = Rn   ( x1,x2 , xn, 0, , 0)  xi  R, dó Y đa tạp Lagrange (M, ) Thật vậy: Rõ ràng Y đa tạp cđa M vµ dim Y = dim M Kí hiệu B (Rn) môđun tr-ờng vectơ khả vi Rn F(Rn) tập hàm khả vi Rn Khi với u, v  B(Rn ) tøc lµ u(u1, u2, un, 0, , 0), v(v1, v2, , vn, 0, , 0) víi ui , vi  F (Rn);  i = 1, n Ta cã: Y (u, v) = n  i 1 dxi  dyi (u, v) n =   dx (u)dy (v)  dx (v)dy (u)  i i 1 i n =  (u  v 0) = i 1 i i i i 10 Vậy Y đa tạp Lagrange đa tạp (M, ) 2) Giả sử X đa tạp khả vi n - chiều M T * X  ( x, ) | x  X ,  T *x X  Ta xÐt Y  X  ( x,0) | x  X ,0 Tx* X Khi Y= X0 đa tạp Lagrange cđa M ThËt vËy:  X0 ®ãng M vµ dimX0 = n= 1/2 dimM n  - dạng vi phân M có dạng là:    di  dxi i 1 Gi¶ sử A, B hai tr-ờng vectơ X0 có tọa độ địa ph-ơng t-ơng ứng là: A= (A1,, An, 0,…0), B = (B1,…,Bn, 0, , 0) n Khi ®ã:  ( A, B)   di  dxi ( A, B) i 1 n =   d ( A)dx ( B)  d ( B)dx ( A)   i 1 i i i i  | X0 Vậy X0 đa tạp Lagrange cđa M  Gi¶ sư S : X  T*X x ®ã: (x,  x ); : X T*X 1- dạng vi phân X x XÐt  x  : T*X  X (x, x) lµ phÐp chiÕu x Ta kÝ hiƯu, X = (x,  x) x  X,  x  Tx* X  T* X Khi ®ã ta cã mƯnh ®Ị sau: 1.2.4 Mệnh đề X đa tạp Lagrange (T* X, ) (với dạng tắc) đóng 26 T-ơng tự quy tắc tìm đẳng cấu symplectic 2.2.4*, tìm đ-ợc đẳng cấu symplectic : M1 M2 2.2.9 VÝ dơ Gi¶ sư X1 = X2 = R Tìm đẳng cấu symplectic : M1 M2? ThËt vËy:  X1 = R  M1 = T* X1 R2 với - dạng symplectic M1 lµ 1  50dx1  dx3 X2 = R  M2 = T* X2  R2 víi - dạng symplectic M2 5dx2 dx4  M1  M2 = T* (X1  X2) R4 với - dạng symplectic   11   22  50dx1  dx3 5dx2 dx4 dạng xoắn t-ơng ứng   11   22  50dx1  dx3 5dx2 dx4 Xét ánh xạ : R2 ( x1,1 ) đặt R2 ( x1, 1 ) ; x1  X1,1  Tx1 X1   1  id M : R  ( p1, p2 ) R4 (1 ( p1 ), p2 )  LÊy Y= (0, 0, 5x3,2x4), Y lµ đa tạp Lagrange (R4, ) vì: Y đóng R4 dimY = =1/2 dimR4   Y (u, v)  50dx1  dx3  5dx2  dx4  (0,0,5 X ,2 X );(0,0,5Y3 ,2Y4 )   ;  u, v Y Cái xoắn Y Y   (Y )  Y  = ( 0, 0, 5x3, 2x4 ) Ta kiÓm tra tÝnh chÊt Lagrange cña Y  ( R4,  ) ThËt vËy; vi phôi Y đa tạp Lagrange cđa (R4,  ) nªn  (Y ) đóng dim (Y ) =1/2 dimR4 Mặt khác  |Y    50dx1  dx3  5dx2  dx4   (0,0,5 X ,2 X );(0,0,5Y3 ,2Y4 )    |Y   50dx1  dx3  5dx2  dx4  (0,0,5 X ,2 X );(0,0,5Y3 ,2Y4 )   27 1 i :  Ta cã Y  R2 (0,0,5x3 ,2 x4 ) 2 i : Y lµ mét vi ph«i; (0,0)  (0,0,5x3 ,2 x4 ) R2 vi phôi (5x3 ,2 x4 ) ( i) (1 i)1 : R2  R Đặt ( x, y) ( x, y);  ( x, y)  ( i) (1 i)1 ( x, y) = ( i)(0,0,5x,2 y) = (5 x,2 y) : VËy R2  R ( x, y) đẳng cấu symplectic (5x,2 y) Ta kiểm tra xem xác định nh- có phải đẳng cấu symplectic không? Thật vậy: - Dễ thấy rằng, xác định nh- vi ph«i - Ta chøng tá r»ng  *2  1 ? Víi A, B B(R2) ta cã:  *2 ( A, B)  2 * A,*B  = 2  J  A, J  B   5   A1  5   B1   = 2   .  ;  .    0 2  A2  0 2  B2   = 2  (5 A1,2 A2 );(5B1,2B2 )  = 5dx  dy  (5 A1,2 A2 );(5B1,2B2 )  =  A1.2B2  5B1.2 A2  = 50dx  dy( A, B) ; A, B  B(R2)   *2  1 28  : R2  R VËy ( x, y) đẳng cấu symplectic (5x,2 y) 2.2.10 Mệnh đề Đặt 2t : M M ( x2 ,2 ) ( x2 , t2 ) ; t  Khi ®ã  2*t  t Chøng minh Ta cã  2*t ( x , ) ( X )   ( x,t )  2t* X   t dx( X1,  X ) = t. X1  t. ( x, ) ( X ) ; X B (M ), ( x, )  M Suy  2*t  t 2.2.11 MÖnh đề Đặt 1t : M1 M1 ( x1,1 ) ( x1, t1 ) ; t  Khi ®ã 1*t1  t1 Chøng minh T-¬ng tù nh- chứng minh mệnh đề 2.2.10 2.2.12 Mệnh đề §Ỉt  t   1t , 2t  : M1  M  ( p1, p2 ) M1  M  1t ( p1),2t ( p2 )  Khi ®ã  t* ( )  t. Trong 1,2 , lần l-ợt - dạng symplectic M1 , M2, M1 M2 dạng xoắn M1 M2 Chứng minh Ta ý đến sơ đồ sau: t M1  M1  M  M1  M  ( p1 , p2 )  1t ( p1 ), 2t ( p2 )  1t ( p1 )  1  t  1t 1 t 2  M2  M1  M  M1  M  ( p1 , p2 )  2t ( p2 )  1t ( p1 ), 2t ( p2 )     t   2t  (1) (2) 29 Khi ®ã  t* ( ) =  t* (1*1   2*2 )   t* 1*1   t*  2*2 = (1  t )*1  (  t )*2   1t 1  1   2t   2 (Do (1) vµ (2)) * * = 1* 1*t1   2*  2*t2  1* 1*t (d1 )   2*  2*t (d2 ) = 1* d (1*t1 )   2* d ( 2*t ) * * * * =   d (t1 )    d (t )  t. 1  t. 22 = t (1*1   2*2 )  t ; t  VËy  t* ( )  t. ; t 2.2.13 Mệnh đề Nếu Y ®a t¹p Lagrange cđa ( M1  M , ) t - xoắn Y lµ Y t   t (Y ) vµ Y t đa tạp Lagrange ( M1  M ,  ) Chøng minh Ta cã t vi phôi dimY=1/2dim(M1 M2) suy ra: t (Y)-đóng dim t (Y)=1/2dim(M1 M2) Mặt khác, Y đa tạp Lagrange cña ( M1  M ,  )  |Y = nªn  t*  (Y )  t. hay Y đa tạp Lagrange cña ( M1  M ,  ) t t 2.2.14 Mệnh đề Giả sử Y đa tạp Lagrange M1 M2, Y t đồ thị vi phôi t : M1 M2 đẳng cấu symplectic Chứng minh Xét biểu đồ giao hoán sau: M1  M2 i 1 1i Y t M1  M2 i 2i 2 t M1 M2 §Ĩ chøng minh t ánh xạ symplectic ta cần chứng minh t*2= ? 30 Giả sử i i vi phôi Khi ta đặt t ( i) (1 i)1 vi phôi Mặt khác, Y đa tạp Lagrange (M1 M2, ) nên Y t đa tạp Lagrange cđa (M1  M2,  ) Do ®ã i*  =0  i (11   22 ) =  (1 i)1  ( i)2   (1 i)1  ( i)2 (*) Ta l¹i cã: t 2   ( i) (1 i)1  2  =  (1 i)1  ( i)2 =  (1 i)1  (1 i)1   (do (*)) = id 1  1  t Vậy t đẳng cấu symplectic T-ơng tự quy tắc tìm đẳng cấu symplectic 2.2.4*, tìm đ-ợc đẳng cấu symplectic t : M1  M2 2.2.15 VÝ dơ Gi¶ sư X1 = X2 = R2 Tìm đẳng cấu symplectic t : M1  M2? ThËt vËy:  X1 = R2  M1 = T* X1  R4 víi - d¹ng symplectic M1 dx1 dx3 dx2  dx4 X2 = R2  M2 = T* X2 R4 với - dạng symplectic M2 lµ 2  dx1  dx3  dx2  dx4  M1  M2 = T* (X1  X2)  R8 với - dạng symplectic  11   22  2dx1  dx3 vµ dạng xoắn t-ơng ứng 11 22  2dx2  dx4 31  XÐt ¸nh x¹ 1t : R  R ( x1,1 ) vµ ( x1, t1 )  2t : R  R ; t  ( x2 ,2 ) ( x2 , t2 ) ta đặt  (1t , 2t ) : R8  R8 ( p1, p2 )  LÊy Y = (0, 0, 0, 0, x5,x6,- (1t ( p1 ), 2t ( p2 )) 1 x7, x8); t  Khi ®ã Y đa tạp Lagrange t t (R8, ) vì: Y đóng R8 dim Y = =1/2 dimR8   Y (u, v)  2dx1  dx3  (0,0,0,0, X , X ,  X , X );(0,0,0,0, Y5 , Y6 ,  Y7 , Y8 )   ; t t t t 1 1 u, vY Lấy t - xoắn cđa Y lµ Y t =  t (Y )  Y t = (0,0,0,0, x5 , x6 , x7 ,  x8 ) Ta kiÓm tra tÝnh chÊt Lagrange cña Y t ( R8 ,  ) ThËt vậy; t vi phôi Y đa tạp Lagrange (R8, ) nên t (Y ) đóng dim t (Y ) =1/2 dimR8 Mặt khác: |Y 2dx2 dx4  (0,0,0,0, X , X , X ,  X );(0,0,0,0, Y5 , Y6 , Y7 , Y8 )   t  Ta cã 1 i : Y t  (0,0,0,0, x5 , x6 , x7 ,  x8 ) 2 i : Y t  (0,0,0,0, x5 , x6 , x7 , x8 ) Đặt R4 vi phôi; (0,0,0,0) R4 vi phôi ( x5 , x6 , x7 ,  x8 ) t  ( i) (1 i)1 : R4  ( x, y, z, v) R4  ( x, y, z, v) ; ®ã t ( x, y, z, v)  ( i) (1 i)1 ( x, y, z, v) 32 = ( i)(0,0,0,0, x, y, z, v) = ( x, y, z, v) VËy t :  R4 ( x, y, z, v) R4 đẳng cấu symplectic ( x, y, z, v) III øng dơng Gi¶ sư f : X1 X2 R hàm khả vi, X1 X2 đa tạp nchiều Ta có df 1- dạng đóng X1 X2 Yf : = ( (x, y) , df (x, y) ) (x, y) X1 X2 đa tạp Lagrange cđa T* (X1  X2) KÝ hiƯu: d x f : df  x, y  chiÕu xuèng Tx* X1  0 d y f : df  x, y  chiÕu xuèng 0  Ty* X Ta cã thÓ viÕt Yf =  (x, y, dxf, dyf ) (x, y)  X1  X2, suy ra: Yf = (x, y, dxf, - dyf ) (x, y) X1 X2 2.3.1 Định nghĩa Giả sử : M1 M vi phôi thoả mÃn Y f ta nói đẳng cấu symplectic đ-ợc sinh f f đ-ợc gọi hàm sinh Vấn đề đặt biết f đ-ợc xác định nh- nào? Nghĩa cho f : X1 X R ta cần xác định : M1 M cách nào? Ta cã nhËn xÐt sau: 2.3.2 NhËn xÐt Ta cã quy tắc tìm đẳng cấu symplectic đà có hàm sinh f nhsau: + Xác định Yf + Lấy Yf + Nếu Yf đồ thị vi phôi : M1 M2 đẳng cấu symplectic sinh f 33 Giả sử (U1; x1, x2, ,xn) (U2; y1, y2, , yn ) đồ toạ độ X1, X2 liên kết với ®å (T*U1, (x1, x2, , xn, 1, 2, , n)) vµ (T*U2, (y1, y2, , yn, 1, 2, , n)) M1, M2 Tập Yf đồ thị vi phôi : M1 M2 víi bÊt kú (x, )  M1, (y, )  M2 mà (x, ) = (y, ) = dx f vµ  = - dy f Bëi để tìm ảnh điểm (x, ) M1 ta giải hệ ph-ơng trình: f (*)  i x ( x, y )  i     f ( x, y ) (**)  i  yi NÕu (*) cã nghiÖm y = 1(x, ) ta thay vào (**) thu đ-ợc = 2(x, ) Tõ ®ã ta cã  (x, ) = (1(x, ) ; 2(x, )) Hệ ph-ơng trình gọi hệ ph-ơng trình Hamilton Điều kiện để hệ có n    f   nghiƯm lµ: det       y j  xi   i , j 1  x y 2.3.3 VÝ dơ Gi¶ sư X1 = R , X2 = R vµ f (x, y) = 2 n n Tìm đẳng cấu symplectic : T*Rn T*Rn sinh bëi f ? ThËt vËy; theo ba× ra, ta có hệ ph-ơng trình Hamilton là: f i  x  i     f  i yi  i  yi  xi  i  yi  xi   yi  xi  i i i 34 Vậy đẳng cấu symplectic  sinh bëi f lµ  (x, ) = (x + , ) 2.3.4 Mệnh đề Giả sử hàm khả vi f : X  X  R sinh đẳng cấu symplectic : T*X T*X, ta định nghĩa hµm  nh- sau:  : X  R;  (x) = f (x, x);  x X Khi ®ã có t-ơng ứng 1-1 điểm bất động điểm tới hạn Chứng minh Với x0  X th× d x0   d x f d y f Đặt dx f  x , y  x0 , x0   x , y  x0 , x0  Ta có x0 điểm tới hạn d x0   dx f  d y f   dy f   dy f  x , y  x0 , x0   x , y  x0 , x0   x , y  x0 , x0  0  d x f  x , y  x0 , x0   Từ điểm thuộc Yf t-ơng ứng với (x, y) = (x0, x0) (x0, x0, , ) Mặt khác, Yf đồ thị đẳng cấu symplectic  sinh bëi f, ®ã  (x0, ) = (x0, ) hay (x0, ) điểm bất động Vậy x0 điểm tới hạn vµ chØ x0 , d x f  x , y  x0 , x0  ®éng cđa điểm bất 2.3.5 Nhận xét Từ mệnh đề cách tổng quát ta có: Xét  n     : M  M ; n N * Với n (n) đẳng n cấu symplectic Khi đó, (n): M M đ-ợc sinh f (n) có t-ơng ứng 1-1 điểm bất ®éng cđa  (n) víi ®iĨm tíi h¹n cđa  đ-ợc xác định nh- sau: (n) : X R x  (n) (x) = f (n)(x, x) (n) , ®ã  (n) 35 Nh- thÕ, nÕu cho f hàm sinh đẳng cấu symplectic  (n) cã hµm sinh nh- thÕ nµo? 2.3.6 MƯnh ®Ị Gi¶ sư f : X  X  R ánh xạ khả vi, : T * X T * X đẳng cấu symplectic sinh f, ta cố định (x, y) X X NÕu hµm  : X  R;  (z) = f (x, z) + f(z, y) cã mét ®iĨm tíi hạn không suy biến z0, (2) có hàm sinh f(2), với f (2) đ-ợc xác định nh- sau: f(2) (x, y) = f(x,z0) + f(z0,y) Chứng minh Vì z0 điểm tới hạn hàm nên dyf (x, z0) + dxf (z0, y) =    f  f §iĨm z0 không suy biến tức det ( x, z )  ( z, y)      x j    zi  y j Suy z0 = z0 (x, y) lµ hàm khả vi, từ f(2)(x, y) = f(x,z0) + f(z0,y) hàm khả vi Ta có f(2)(x, y) lµ hµm sinh cđa (2) vµ chØ khi: (2)(x, dxf(2)) = (y, - dyf(2)) (giả sử với   T*x X cã nhÊt y  X cho dxf(2) = ) Vì đ-ợc sinh f z0 điểm tới hạn ®ã: (2)(x, dxf(2)(x, y) ) =  ( (x, dxf(2)(x, y)) =  ( (x , dx f (x, z0)) =  (z0, - dyf (x, z0)) =  (z0, dxf (z0, y)) = (y, - dyf (z0, y)) = (y, - dy f(2)(x, y)) VËy f(2) sinh (2) 2.3.7 Mệnh đề Giả sử f: X X R ánh xạ khả vi, : T*X T*X đẳng cấu symplectic sinh f, ta cố định (x, y) X X Nếu hàm  : X  X  R;  (z,u) = f (x, z) + f(z, u) + f(u, y); (z, u) X X có điểm tới hạn không suy 36 biến (z0,u0) (3) có hàm sinh f (3), với f (3) đ-ợc xác định nh- sau: f(3) (x, y) = f (x,z0) + f(z0,u0) + f(u0,y) Chøng minh V× ( z0 , u0 ) điểm tới hạn hàm nªn:  d y f ( x, z0 )  d x f (u0 , z0 )    d y f ( z0 , u0 )  d x f (u0 , y )  DÔ thấy rằng, f (3) ( x, y) hàm khả vi Từ ( z0 , u0 ) điểm tới hạn, không suy biến f sinh ta cã:  (3)  x, d x f (3) ( x, y)  =     x, d x f ( x, z0 )  =    z0 , d y f ( x, z0 )  =    z0 , d x f ( z0 , u0 )  =   u0 , d y f ( z0 , u0 )  =   u0 , d x f (u0 , y)  =  y, d y f (u0 , y)  =  y, d y f (3) ( x, y)    (3)  x, d x f (3) ( x, y)  =  y, d y f (3) ( x, y)  VËy f (3) lµ hµm sinh cđa  (3)  2.3.8 Nhận xét Một cách tổng quát ta có: Cố định (x, y)  X  X nÕu hµm  : X  X   X  (x1, x2, , xn - 1) R f(x, x1) + f(x1, x2 ) + +f (xn-1 , y) cã mét ®iĨm tới hạn không suy biến (x10, x20, , xn-10) đó: f(n) : X X  (x, y) R f(n)(x, y) = f(x, x10) +f(x10, x20 )+ + f(xn-10, y) 37 lµ hµm sinh cđa (n) Chøng minh V× (x10 , x20, , xn - 10 ) điểm tới hạn hàm nên dyf (x, x10 ) + dx f(x10, x20 ) =  dyf (x10 x20 ) + dx f(x20, x30 ) =    dyf (xn-20, xn-10) + dxf(xn-10, y) = DƠ thÊy r»ng, f(n)(x, y) lµ hµm kh¶ vi Tõ (x10 , x20, , xn - 10) điểm tới hạn f sinh ta cã:  (n)(x, dxf(n) (x, y)) =    (x, dxf (x, x10)) n =    (x10, - dyf (x, x10)) n 1 =    (x10, dxf (x10, x20)) n 1 =    (x20, - dyf (x10, x20)) n2 = =   (xn-20, dx f(xn-20, xn-10)) =  (xn-10, - dy f (xn-20 , xn-10)) =  (xn-10, dx f (xn-10 , y)) = (y, - dy f(xn-10,y)) = (y, - dy fn(x,y)) VËy  (n)(x, dx f(n)(x, y)) =(y, - dy fn(x,y)), hay f (n) lµ hµm sinh cđa  (n) 38 Kết luận Luận văn đà đạt đ-ợc kết sau: Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất đa tạp symplectic, đa tạp Lagrange đẳng cấu symplectic; Phát biểu chứng minh đ-ợc tính chất: Đẳng cấu symplectic bảo tồn đa tạp Lagrange (mệnh đề 2.1.5), bảo tồn cấu trúc hầu phức (nhận xét 2.1.6); Bằng việc sử dụng ánh xạ : M1 M1 (1 phép đối hợp thứ nhất), đà tìm đ-ợc đẳng cấu symplectic : M1  M (mƯnh ®Ị 2.2.7, mƯnh ®Ị 2.2.8); Với cách xây dựng ánh xạ it : Mi Mi (it phép đối hợp thứ i; i = 1, t > 0) t-ơng tự nh- nh-ng tổng quát hơn, đà tìm đ-ợc đẳng cấu symplectic t : M1 M2 (mệnh đề 2.2.12, mệnh đề 2.2.14); Chúng đà ứng dụng đẳng cấu symplectic để tìm hµm sinh (nhËn xÐt 2.3.8) Trong thêi gian tíi, nÕu có điều kiện tiếp tục nghiên cứu số tính chất hình học qua đẳng cấu symplectic 39 Tài liệu tham khảo [1] Nguyn Hu Quang, Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học Vinh, 2004 [2] Nguyễn Hữu Quang - Ngơ Đình Quốc - Nguyễn Văn Bồng, Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2008 [3] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội, 2003 [4] Đoàn Quỳnh - Trương Đức Hinh - Nguyễn Hữu Quang - Trần Đình Viện, Bài tập Hình học vi phõn, NXB Giỏo dc, 1993 [5] M.W.Hơsc-X.Xmayl, Ph-ơng trình vi phân hệ động lực đại số tuyến tính (Bản dịch tiếng Việt), NXB Đại học THCN, Hà Nội, 1979 [6] M.Xpivak, Giải tích toán học đa tạp (Bản dịch tiếng Việt), NXB Giỏo dc THCN, Hà Néi, 1985 [7] Cannas da Silva A, Symplectic toric manifolds, Barcelona, July 2001 [8] Cannas da Silva A, Lectures on symplectic geometry, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2001 40 Môc lôc Lời nói đầu Ch-ơng 1: Đa t¹p Symplectic I Đa tạp symplectic II §a t¹p Lagrange Ch-ơng 2: Đẳng cấu Symplectic hàm sinh 14 I Đẳng cÊu symplectic 14 II Hµm sinh 19 III øng dông 32 KÕt luËn 38 Tài liệu tham khảo 39 ... 14 Ch-ơng Đẳng cấu Symplectic hàm sinh I Đẳng cấu Symplectic 2.1.1 Định nghĩa Giả sử (M1, 1), (M2, 2) đa tạp symplectic 2n - chiều, ánh xạ f: M1 M2 vi phôi Khi f đ-ợc gọi đẳng cấu symplectic. .. t 2  1 Vậy t đẳng cấu symplectic T-ơng tự quy tắc tìm đẳng cấu symplectic 2.2.4*, tìm đ-ợc đẳng cấu symplectic t : M1 M2 2.2.15 VÝ dơ Gi¶ sư X1 = X2 = R2 Tìm đẳng cấu symplectic t : M1... 1: Đa tạp Symplectic I Đa tạp symplectic II Đa tạp Lagrange Ch-¬ng 2: Đẳng cấu Symplectic hàm sinh 14 I Đẳng cấu symplectic 14 II Hµm sinh