Một số vấn đề về đẳng cấu trường mở rộng

Bộ giáo dục đào tạo tr-ờng đại học vinh lê thị hà Một số vấn đề đẳng cấu tr-ờng mở rộng luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2009 Bộ giáo dục đào tạo tr-ờng đại học vinh lê thị hà Một số vấn đề đẳng cấu tr-ờng mở rộng Chuyên ngành: Đại số & Lý thuyết số Mà số: 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn thành Quang Vinh 2009 mục lục Trang Mở đầu Ch-¬ng më réng tr-êng 1.1 Më réng tr-êng bëi mét tËp 1.2 Mở rộng 1.3 Mở rộng đơn ®¹i sè 11 Ch-ơng Đẳng cấu tr-ờng mở rộng 19 2.1 Đẳng cấu tr-ờng mở rộng 19 2.2 Mở rộng đẳng cÊu tr-êng më réng 25 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Mở đầu Tr-ờng chủ đề quan trọng đ-ợc nghiên cứu toán học từ ng-ời ta chứng minh đ-ợc tồn nhiều hƯ thèng sè, vÝ dơ nh- sè h÷u tû, sè thùc, sè phøc, sè p-adic Më réng tr-êng lµ vÊn đề đ-ợc nghiên cứu Lý thuyết tr-ờng Cách thức tổng quát bắt đầu với tr-ờng sở xây dựng tr-ờng rộng chứa tr-ờng sở thỏa mÃn số tính chất Nhiều nhà bác học tên tuổi có liên quan đến lĩnh vùc nµy nh- Liouville, Hermite, Lindemann, Lagrange, Gauss, Abel, Galois, Dedekind, Bài toán mở rộng tr-ờng xuất phát từ toán giải ph-ơng trình đại số Nh- đà thấy, lịch sử phát triển toán học khởi đầu từ việc mở rộng tập hợp số tự nhiên, nguyên nhân chủ yếu nhu cầu giải ph-ơng trình dạng x a b Đến toán mở rộng vành số nguyên tới tr-ờng hữu tỉ liên quan đến giải ph-ơng trình bậc ax b Tiếp theo yêu cầu mở rộng tr-ờng số hữu tỉ tới tr-ờng số thực lại gắn liền với việc giải ph-ơng trình x2 T-¬ng tù viƯc më réng tr-êng sè thùc tíi tr-êng số phức xuất phát từ việc giải ph-ơng trình bậc hai x2 Nói khác đi, với việc giải ph-ơng trình đại số khái niệm số phức đà đời Tổng quát hơn, lý thuyết tr-ờng ta có định lý tồn tr-ờng phân rà đa thức, t-ơng tự nhđịnh lý đại số học cổ điển B-ớc phát triển Lý thuyết tr-ờng Lý thuyết Galois Đây lý thuyết đẹp đẽ đại số, tập hợp nhiều kiến thức ph-ơng pháp lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải toán cổ điển vấn đề quan trọng khác đại số đại Lý thuyết có nhiều cách tiếp cận khác Một cách thức có nhiều -u điểm xem xét Lý thuyết Galois sở Lý thuyết mở rộng tr-ờng Với lý trên, đà lựa chọn đề tài Một số vấn đề đẳng cấu trường mở rộng để nghiên cứu Cấu trúc luận văn đ-ợc chia thành hai ch-ơng: Ch-ơng trình bày kiến thức sở Lý thuyết tr-ờng nh- kh¸i niƯm më réng tr-êng theo mét tËp, më réng mở rộng đơn đại số Trong ch-ơng này, luận văn trình bày mô tả tr-ờng mở rộng n phần tử thông qua tập đa thức n biến (Bổ đề 1.1.6), mô tả tr-ờng mở rộng đơn đại số thông qua vành đa thức biến (Định lý 1.3.10) định lý phân loại mở rộng đơn đại số mở rộng đơn siêu việt (Định lý 1.3.13) Ch-ơng trình bày khái niệm đẳng cấu tr-ờng mở rộng Tiếp đến, luận văn trình bày kh¸i niƯm bËc cđa mét më réng tr-êng, mét kh¸i niệm quan trọng đại số, số đo độ lớn mở rộng Không tiếp cận khái niệm bậc më réng th«ng th-êng th«ng qua sè chiỊu cđa kh«ng gian vectơ, luận văn đà xét định nghĩa bậc mở rộng số đẳng cấu tr-ờng mở rộng Với cách tiếp cận này, luận văn thu lại đ-ợc kết đà có cách tiếp cận thông th-ờng Ngoài ra, luận văn đà phát biểu chứng minh đ-ợc số kết đáng ý nh-: - Giả sử E mở rộng K đẳng cấu E/K Khi (E) mở rộng K - Gi¶ sư f  K  X  đa thức bất khả quy có nghiệm nằm mở rộng K Khi f giải đ-ợc thức K; - Giả sử L mở rộng hữu hạn K a L thoả mÃn điều kiện (a) a với đẳng cấu L / K ,   id L Khi ®ã L = K(a); - Mọi mở rộng bậc hữu hạn mở rộng đơn đại số Luận văn đ-ợc hoàn thành d-ới h-ớng dẫn nhiệt tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy, ng-ời đà dành cho tác giả h-ớng dẫn chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Tổ Đại số - Khoa Toán - Tr-ờng Đại học Vinh đà hết lòng giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu tập thể giáo viên Tr-ờng cao đẳng Giao thông vận tải II Đà Nẵng đà động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Mặc dù đà cố gắng, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp Vinh, ngày 02 tháng 12 năm 2009 Tác giả Lê Thị Thanh Hà Ch-ơng mở rộng tr-ờng Trong ch-ơng này, trình bày mở rộng tr-ờng số, mở rộng theo tập, mở rộng căn, mở rộng đơn đại số c¸c tr-êng sè tr-êng sè phøc ℂ 1.1 Më rộng tr-ờng tập 1.1.1 Định nghĩa Giả sử E vµ K lµ hai tr-êng sè, K  E Khi ta nói E mở rộng cđa tr-êng K vµ ký hiƯu lµ E/K 1.1.2 NhËn xÐt + ℝ lµ mét më réng cđa tr-êng ℚ; ℂ lµ mét më réng cđa tr-êng ℝ + Mäi tr-ờng số mở rộng tr-ờng Nh- tr-ờng nguyên tố Thật vậy, giả sử E tr-ờng số Khi E chứa số a khác không nªn  a  a  E,  a : a  E Do ®ã n      E vµ  n   n  E (do E lµ tr-ờng), nghĩa E Với số nguyên m, n, n 0, E đóng kín với phép chia nên m E Từ ta suy E n 1.1.3 Định nghĩa Cho K lµ tr-êng sè tïy ý vµ T lµ mét tập gồm số phức Ta ký hiệu K(T) tr-ờng số nhận đ-ợc từ K T phép toán cộng, trừ, nhân, chia Khi K(T) đ-ợc gọi tr-ờng mở rộng K tập T Ta chó ý r»ng K(T) lµ tr-êng nhá nhÊt chøa K vµ T 1.1.4 VÝ dơ - ℂ chÝnh tr-ờng mở rộng số ảo i, ℂ = ℝ(i) - ℚ ( )  {a  b / a, b ℚ} lµ tr-êng më réng cđa ℚ bëi phÇn tư 1.1.5 NhËn xÐt NÕu T lµ mét tËp cã chøa Ýt nhÊt mét số khác không (nh- tập hệ số ph-ơng trình đại số) tập số nhận đ-ợc từ T phép toán cộng, trừ, nhân, chia lËp thµnh mét tr-êng vµ nã chÝnh lµ tr-êng (T) Thật vậy, tr-ờng số nhận đ-ợc từ T chứa T tr-ờng chứa nên chứa tr-ờng (T) Ng-ợc lại, (T) tr-ờng chứa T nên (T) chứa tr-ờng đ-ợc sinh T Ta ý rằng, T tập gồm hữu hạn số a1 , , an ta dùng ký hiÖu K (a1 , , an ) thay cho K(T) Ta mô tả phần tử K (a1 , , an ) thông qua đa thức nhiều biến Một đa thức biến X , , X n víi hƯ sè K lµ mét biĨu thøc P( X , ,X n ) cã d¹ng:  c X  X  N ; n n n ®ã   (1, ,  n ) vµ c  K , cho có số hữu hạn hệ số c khác không Ta th-ờng dùng ký hiệu P thay cho P( X , , X n ) vµ ký hiƯu P(a1 , , an ) lµ sè  c a a  N n n n Số đ-ợc gọi giá trị đa thøc P( X , , X n ) t¹i bé sè (a1 , , an ) Tỉng vµ tÝch cđa hai ®a thøc:  c X  X  , P : n  N Q : n n  d X  X  , n  N n n víi hƯ sè K đ-ợc tính theo quy luật tính toán thông th-êng nh- sau: P  Q :  (c  d ) X  X  , N PQ : n   ,  N c d  X 1   X n   n n n n n Do K đóng với phép toán cộng nhân nên P + Q PQ lại đa thức với hƯ sè K Ta lu«n cã: (P  Q)(a1 , , an )  P(a1 , , an )  Q(a1, , an ), (PQ)(a1 , , an )  P(a1, , an )Q(a1, , an ) Ta ký hiÖu K[ X , X n ] tập đa thức n biến X , , X n víi hƯ sè K , Khi ®ã K[ X , X n ] víi hai phép toán nói lập thành vành giao hoán, có đơn vị Bổ đề sau cho ta mô tả mở rộng K (a1 , , an ) tr-ờng K 1.1.6 Bổ đề Giả sử K (a1 , , an ) lµ mét tr-êng më réng cđa K Khi ®ã:  P(a1 , , an )  K (a1 , , an )   P, Q  K[ X , , X n ]; Q(a1 , , an )    Q(a1 , , an )  Chøng minh Gäi E lµ tập vế phải công thức Do phần tử E nhận đ-ợc từ số K a1 , , an phép toán cộng trừ nhân chia nên E K (a1 , , an ) (1) Ta lấy đa thức n biÕn P vµ Q cho P  Q, Q  Khi ®ã P(a1 , , an )  Q(a1 , , an ), Q(a1, , an ) E chứa Mặt khác, ta cã P1 (a1 , , an ) P2 ( a1 , , an ) ( PQ  P2Q1 )( a1, , an )   ; Q1 (a1 , , an ) Q2 (a1, , an ) (Q1Q2 )( a1, , an ) P1 (a1 , , an ) P2 (a1, , an ) ( PP )( a , , an )  ; Q1 (a1 , , an ) Q2 (a1, , an ) (Q1Q2 )( a1, , an ) P1 (a1 , , an ) P2 ( a1, , an ) ( PQ )( a , , an ) :  Q1 (a1 , , an ) Q2 (a1 , , an ) (Q1P2 )(a1 , , an ) Nh- vËy, E khÐp kÝn víi c¸c phÐp to¸n cộng, trừ, nhân, chia Vì E tr-ờng Hơn nữa, với phần tử a K , ta chọn đa thức P = a Q = 1, ®ã a  P(a1 , , an ) E Do E chứa K Với i  1, , n; ta chän Q(a1 , , an ) P  X i , Q  1, ta cã  P(a1 , , an )  E Tõ ®ã suy Q(a1 , , an ) K (a1 , , an )  E (2) Tõ (1) vµ (2), suy E  K (a1 , , an ) 1.1.7 MƯnh ®Ị Víi a, b, c số hữu tỷ, ta có: a) ( a , b )  ℚ ( a  b )  b) ℚ ( a , b , c )  ℚ ( a  b  c ) , víi a + b = c Chøng minh a) Ta cã a ℚ ( a , b ) b ( a , b ) nên suy a  b ℚ ( a , b ) Do ®ã ℚ ( a  b )  ( a , b ) (1) Mặt khác, ta cã a b a b nªn a b a  b ( a b) nên Vì a vµ b  a  ( a  b ) nªn a  b  ℚ ( a  b ) a ℚ ( a  b ) b ℚ ( a  b ) Tõ ®ã ta cã ℚ ( a , b )  ℚ ( a  b ) (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy ℚ ( a , b )  ℚ ( a  b ) a ℚ ( a , b , c ) ; b) Ta cã nªn suy b ℚ ( a , b , c ) vµ c ℚ ( a, b, c ) a  b  c ℚ ( a , b , c ) Do ®ã: ℚ ( a  b  c )  ℚ ( a , b , c ) (3) Ta thÊy ( a  b  c ) ( a  b  c )  [( a  b )  c]2  4ab  ( a  b  c ) ℚ ( a  b  c )  ( a  b  c )2  ( a  b  c )2  2(a  b  c)  a b ℚ ( a  b  c )  a b ℚ ( a  b  c )  ( a  b )  a  b  a b ℚ ( a  b  c ) ( a  b )2  c  a b c ℚ ( a  b  c ) a b c  c  ( a  b  c )  ( a  b  c )  ℚ ( a  b  c ) 10  a  b  ( a  b  c )  c ℚ ( a  b  c ) Theo a) ta suy a, b  ℚ ( a  b  c ) V× vËy ℚ ( a , b , c )  ℚ ( a  b  c ) (4) Tõ (3) vµ (4) ta suy ℚ ( a , b , c )  ℚ ( a  b  c ) 1.2 Mở rộng 1.2.1 Định nghĩa Một số phức a đ-ợc gọi phần tử tr-êng K nÕu tån t¹i mét sè c  K , cho a  r c (nghÜa lµ ar c) Một tr-ờng E đ-ợc gọi mở rộng K tồn phần tử a1 , , an  E , cho E  K (a1 , , an ) , víi phần tử tr-ờng K (a1, , 1 ); i  1, , n 1.2.2 VÝ dụ +) Số ảo i phần tử tr-ờng, i Tập số phức mở rộng ℝ, v× ℂ = ℝ(i) +) Sè phøc  3i phần tử , (1 3i)3   3i  9i  3i   3i  3i Bây ta mô tả số tính đ-ợc từ tập số cho tr-ớc qua phép toán cộng, trừ, nhân, chia khai 1.2.3 Bổ đề Giả sử T mét tËp gåm c¸c sè phøc chøa Ýt nhÊt mét số khác Một số a tính đ-ợc từ số T qua phép toán cộng, trừ, nhân, chia khai a nằm mở rộng tr-ờng (T) Chứng minh Giả sử a tính đ-ợc từ số T qua phép toán cộng, trừ, nhân, chia khai Gọi a1 , , an lần l-ợt thức theo thứ tự xuất tính a Ta thấy phần tử (T)( a1 , ,ai1 ), i  1, , n, vµ ®ã a ℚ(T)( a1 , , an ) Gi¶ sư a nằm mở rộng tr-ờng (T) Do mở rộng tr-ờng (T) tập số tính đ-ợc từ T qua phép toán cộng 22 nên tồn a, b thuộc E cho u = (a), v = (b) Mặt khác, ta cã (a + b) = (a)  (b)  u  v; (ab)  (a)(b)  uv Tõ ®ã 1 (u  v)  1 ((a  b))  a  b   1 (u)   1 (v) 1 (uv)  1 ((ab))  ab  1 (u)1 (v) Vì -1 đồng cấu F/K Do -1 song ánh nên -1 đẳng cấu F/K 2.1.3 Ví dụ Xét ánh xạ : z z* z* phần tử liên hợp z Khi đẳng cấu / ThËt vËy, gi¶ sư (z1 )  ( z2 ), víi z1, z2 thc ℂ, nghÜa lµ z1*  z2 * Suy  z1 **   z2 **, hay z1 = z2 Do đơn ánh Với số phức z bất kỳ, tồn sè phøc z* cho (z*)  (z*)*  z Vì toàn ánh Mặt khác, ta cã (c)  c*  c, c ℝ, vµ (z1  z2 )  (z1  z2 )*  z1 *  z2 *  ( z1 )  ( z2 ); (z1z2 )  (z1z2 )*  z1 * z2 *  (z1 )( z2 ), víi z1, z2 Vậy đẳng cấu / 2.1.4 Định nghĩa Cho : E F đẳng cấu E K Với đa thức f  c0 X n  c1 X n1  cn E[ X ] Ta định nghĩa ( f ) : (c0 ) X n  (c1 ) X n1 (cn ) Khi ánh x¹ 23  : E X   F X f ( f ) đ-ợc gọi ánh xạ mở rộng 2.1.5 Mệnh đề Giả sử đẳng cấu E/K Khi a) ánh x¹  : E X   F X  f ( f ) đẳng cấu vành b) Víi f  E  X  mµ c0  , ta cã deg f  deg ( f ) c) Nếu a E nghiệm đa thøc f  E  X  th× (a) cịng lµ nghiƯm cđa ( f ) d) NÕu a  E nghiệm đa thức f K X (a) nghiệm f e) Nếu f đa thức bất khả quy (f) đa thức bất khả quy Chứng minh a) Xét ánh xạ : E X  F X  f ( f ) n n i 0 i 0 Víi bÊt kú f , g  E  X ; f   X ni vµ g   bi X ni Ta cã n n n i 0 i 0 i 0 f  g   X ni   bi X ni   (ai  bi ) X ni  2n  n  n fg    X ni    bj X n j     (ai bj ) X 2nk  i 0   j 0  k 0 i  j  k Do ®ã  n  ( f  g)     (ai  bi ) X ni   i 0  n   (ai  bi ) X ni i 0 n  (ai )  (bi )  X ni i 0 24 n n i 0 i 0   (ai ) X ni   (bi ) X ni  n   n      X ni      bi X ni   i 0   i 0   ( f )  ( g);  2n   ( fg )      (ai bi ) X nk   k 0 i  j  k  2n     (ai bi ) X nk k 0 i  j  k 2n     (ai ) (bi ) X nk k 0 i  j  k n  n  n  p      (a p ) X    (bq ) X nq   p 0  q0    ( f ) ( g ) Vì vậy, đồng cấu vành  n   n  Gi¶ sư ( f )  (g); víi f , g  E  X  , nghÜa lµ    X ni      bi X ni   i 0   i 0  Do ®ã n n i 0 i 0  (ai ) X ni   (bi ) X ni Tõ ®©y ta suy (ai )  (bi ); i  1, n Do  : E  F lµ đơn ánh nên bi ; i 1, n, hay lµ f = g n n i i Mặt khác, với h F  X ; h   ci X ni , ta lÊy k    1 (ci ) X ni  E  X  Râ rµng r»ng (k ) h Vậy đẳng cấu vành b) Vì song ánh nên với c0 (c0 ) Do deg f  deg ( f ) c) Gi¶ sư a lµ nghiƯm cđa f, ta xÐt  (f)(  (a)) = (c0 )(a)n  (c1 )(c)n1   (cn ) = ( c0 a n  c1a n1   cn ) 25 = (f(a)) = (0) = Do (a) nghiệm ( f ) d) Gi¶ sư f  c0 X n  c1 X n1   cn  E[ X ] Khi ®ã ( f )  (c0 ) X n  (c1 ) X n1   (cn ) Do  lµ ®ång cÊu cđa E/K nªn (ci )  ci ; ci  K Do ®ã ( f )  f Tõ c) ta suy (a) cịng lµ nghiƯm cđa f Tõ ®ã ta thÊy r»ng nÕu mét số phức nghiệm đa thức với hệ số thực số phức liên hợp nghiệm đa thức e) Giả sử ng-ợc lại, (f) không đa thức bất khả quy, có nghĩa (f) viết thành tích hai đa thức với bËc nhá h¬n F[X], ( f )  h1h2 Do song ánh từ E[X] lên F[X] nên tồn đa thức k1, k2 E  X  cho (k1 )  h1; (k2 )  h2 Ta xÐt g  k1k2 Khi đó, bảo toàn phép nhân nên (g)  (k1k2 )  (k1 )(k2 )  h1h2 ( f ) Vì đơn ánh nên f = g Điều mâu thuẫn với tính bất khả f Vậy (f) đa thức bất khả quy Bây ta xét E K (a1, , an ) lµ mét tr-êng më réng cđa K Bổ đề sau cho thấy đẳng cấu E/K đ-ợc xác định hoàn toàn tập ảnh cđa a1, , an 2.1.6 Bỉ ®Ị Cho  đẳng cấu tuỳ ý E/ K Khi ®ã: (i) ( E )  K ((a1 ), , (an )); (ii) Nếu đẳng cấu E / K thoả mÃn điều kiện (ai ) (ai ), víi mäi i  1, , n; th×    Chøng minh (i) Theo bỉ ®Ị 1.1.6, ta cã  P(a1 , , an )  E=  | P, Q  K [ X , , X n ]; Q(a1 , , an )    Q(a1 , , an )  Gi¶ sö P   c X  X  n 1 N n n Khi ®ã P(a1 , , an )   c a a n 1 N n Do đẳng n cấu E/K nên giữ cố định hệ số thuộc K bảo toàn phép tính cộng 26 trừ nhân chia Do đó: (Q(a1 , , an ))     c a11 an n   N n    (c )(a11 ) (an n )  N n   (c )(a ) (a ) n n  N n   c (a ) (a ) n n  N n  Q( (a1 ), , (an )) Và P(a1 , , an )  ( P(a1 , , an )) P((a1 ), ,(an )) =   = Q ( a , , a ) Q (  ( a ), ,  ( a ))  ( Q ( a , , a ))  n n  n Vì ( E) tập hợp tất phần tử dạng P((a1 ), ,(an )) với Q((a1 ), ,(an )) Q((a ), , (a ))  n Tõ bỉ ®Ị 1.1.6, ta suy ( E)  K ((a1 ), , (an )) (ii) Nếu đẳng cấu E/K thỏa mÃn ®iỊu kiƯn (ai) = (ai) víi mäi i  1, , n, th× ( P(a1 , , an ) P( (a1 ), , (an )) P((a1 ), ,(an )) )= = = Q( (a1 ), , (an )) Q((a1 ), ,(an )) Q(a1 , , an ) ( P(a1 , , an ) ) Q(a1 , , an ) §iỊu nµy chøng tá (x) = (x) víi mäi x  E 2.1.7 Hệ Giả sử E mở rộng K đẳng cấu E/K Khi (E) mở rộng K Chứng minh Giả sử E  K (a1 , , an ) lµ mét më rộng K Khi với i 1,2, , n, tån t¹i sè ri  cho air  K (a1 , , 1 ) Khi ®ã theo bỉ ®Ị 2.1.6, i ta cã 27 (ai )r  (air ) ( K (a1 , , 1 )  K ((a1 ), , (ai 1 )), i  1, n i i V× vËy ( E )  K ((a1 ), , (an )) lµ mở rộng K 2.2 Mở rộng đẳng cấu tr-ờng mở rộng 2.2.1 Định nghĩa Giả sử đẳng cấu L/K E tr-ờng chứa L Một đẳng cấu E/K đ-ợc gọi đẳng cấu mở rộng ánh xạ thu hẹp L, hay nãi mét c¸ch kh¸c (c) = (c) víi mäi c L Số đẳng cấu E/K đ-ợc gäi lµ bËc cđa E/K, ký hiƯu lµ [E : K] 2.2.2 Ví dụ i) Mỗi đẳng cấu E/K coi mở rộng đẳng cấu ®ång nhÊt idK cña K ii) Cho id K : K K đẳng cấu đồng K Khi idK có đẳng cấu K nên [K : K] = 2.2.3 Nhận xét Giả sư E  K (a1, , an ) vµ  đẳng cấu tuỳ ý E/K Dễ thấy ánh xạ thu hẹp tr-ờng K (a1, , ) đẳng cấu i K (a1, , ) / K Đẳng cấu đ-ợc xác định hoàn toàn tập ảnh (a1 ), , (ai ) V× vËy ta cã thĨ quy vấn đề toán xác định dÃy sè b1 , , bn cho víi mäi i 1, , n; ta lần l-ợt có đẳng cÊu i cña K (a1, , ) / K thoả mÃn điều kiện i(ai) = bi i đẳng cấu mở rộng i-1, := idK 2.2.4 Định lí Cho L tr-ờng chứa K đẳng cấu L/K Giả sử a phần tử đại số L g đa thức tối tiểu a L Khi (i) Nếu đẳng cấu mở rộng L(a)/ K (a) nghiệm (g); (ii) Với nghiệm b (g) tồn đẳng cấu L(a)/K mở rộng  víi (a) = b; (iii) Cã ®óng deg g ®¼ng cÊu cđa L(a)/ K më réng  Chøng minh (i) Theo mệnh đề 2.1.5, c, (a) nghiƯm cđa (g) V× g cã hƯ sè L nªn (c) = (c) víi mäi c  L Do ®ã (g) = (g) hay (a) lµ 28 nghiƯm cđa (g) (ii) Do a phần tử đại số L nên theo định lý 1.3.10, ta có L(a)  f (a) f  L  X  Víi mäi phÇn tư z  L(a) ta chän mét ®a thøc f  L  X  cho z = f(a) định nghĩa ( z ) :  ( f )(b) Gi¶ sư h  L  X đa thức khác với z h(a) Ta cã (h  f )(a)  h(a)  f (a) Do g đa thức tối tiểu a nên theo bổ đề 1.3.7, ta có h - f chia hÕt cho g Do (g)(b) = nên (h - f)(b) = (h)(b) = (f)(b) Vậy phần tử ( f )(b) không phụ thuộc vào cách chọn đa thức f Theo định nghÜa (z) = (f)(b) trªn nªn ta cã (c) = (c) víi mäi c  L c cã thĨ coi nh- đa thức số L[X] Do bảo toàn phép cộng nhân đa thøc, suy víi bÊt kú f1, f  L  X , ta cã (f1(a) + f2(a)) = ((f1 + f2)(a)) = (f1 + f2)(b) = (f1)(b) + (f2)(b) = (f1(a)) + (f2(a)), (f1(a)f2(a)) = ((f1f2)(a)) = (f1f2)(b) = (f1)(b)(f2)(b) = (f1(a))(f2(a)) Vì vậy, đồng cấu L(a)/K Hơn nữa, theo nhận xét 2.1.2, b), đẳng cấu L(a)/ K Nếu đẳng cấu L(a)/K mở rộng với (a) = b theo bổ đề 2.1.6, ii), ta có = Nh- đẳng cấu xác định (iii) Những điều cho ta t-ơng ứng 1-1 đẳng cấu L(a)/K mở rộng với nghiệm phân biệt (g) Do g đa thức bất khả quy nên (g) đa thức bất khả quy theo 2.1.5, e) Vì nên (g) có degg nghiệm phân biệt theo hệ 1.3.8 Tóm lại, L(a)/K có deg(g) = degg đẳng cấu mở rộng 2.2.5 Hệ Giả sử L tr-ờng chứa K E mở rộng hữu hạn L Mọi đẳng cấu L/ K mở rộng thành đẳng cấu E/ K 29 Chøng minh Gi¶ sư E  L(a1 , , an ) mở rộng hữu hạn L, phần tử đại số trªn L(a1 , , 1 ), víi mäi i 1, , n Ta thấy đẳng cấu L(a1 , , 1 ) / K ®Ịu cã thể mở rộng thành đẳng cấu L(a1 , , ) / K Vì đẳng cấu L/K mở rộng dần thành đẳng cấu E/K 2.2.6 Nhận xét Cho E  K (a1 , , an ) lµ mét mở rộng hữu hạn K Theo bổ đề 2.1.6, đẳng cấu E/K đ-ợc xác định hoàn toàn bëi tËp ¶nh cđa a1 , , an Gäi gi đa thức tối tiểu K (a1 , , ) Theo định lý 2.2.4, dÃy số b1 , , bn tập ảnh a1 , , an qua đẳng cấu E/K vµ chØ bi lµ nghiƯm cđa i-1(gi) víi mäi i  1, , n; ®ã 0 = id K i-1 đẳng cấu K (a1 , , ) / K đ-ợc xác định bëi ®iỊu kiƯn i-1(aj) = bj víi mäi j  1, , i  1; i  V× vËy ta có t-ơng ứng 1-1 đẳng cấu E/K dÃy số b1 , , bn thoả mÃn điều kiện Đặc biệt, E = K(a) g đa thức tối tiểu a K ta có t-ơng ứng 1-1 đẳng cấu K(a)/K nghiệm b đa thức tối tiểu a thông qua điều kiƯn (a) = b 2.2.7 VÝ dơ Ta cã x đa thức tối tiểu i Do x  cã nghiƯm lµ  i nên có hai đẳng cấu ứng với hai điều kiện (i) i (i) i Dễ thấy hai đẳng cấu ánh xạ đồng id ánh xạ ứng số phức với số phức liên hợp 2.2.8 Hệ Giả sử a phần tử đại số K g đa thức tối tiểu a K Cho E mở rộng hữu hạn K(a) Khi đó, với nghiệm b g tồn đẳng cấu E/K víi (a) = b Chøng minh Tr-íc tiªn ta có đẳng cấu K(a)/K với (a) = b Sau ta mở rộng đẳng cấu thành đẳng cấu E/K 2.2.9 Hệ Giả sử f K X ®a thøc bÊt kh¶ quy cã mét nghiƯm n»m mở rộng K Khi f giải đ-ợc thức K Chứng minh Giả sử a1 , , an nghiệm f Giả sử E mở rộng 30 K chứa a1 Không tính tổng quát, ta giả thiết f đa thức tối tiểu a1 K Theo hệ 2.2.8, với ta có đẳng cấu i E/K cho (a1 )  , i  1, n Theo hệ 2.1.7, i ( E ) mở rộng K Khi tr-ờng mở rộng K phần tử i ( E ), i 1, n mở rộng K Hiển nhiên, tr-ờng chứa a1 , , an , nghĩa f giải đ-ợc thức K 2.2.10 Định lý Giả sử E K (a1, , an ) mở rộng hữu hạn K, phần tử đại số K (a1, , ) với mäi i  1, , n Gäi ri lµ bËc đa thức tối tiểu K (a1, , ai1 ) Ta cã  E : K  r1 rn Chứng minh Theo định lý 2.2.4, đẳng cấu K (a1 , , ) / K có ri đẳng cấu mở rộng lªn K (a1 , , ) / K Vì ánh xạ đồng id K K có r1 rn đẳng cấu mở rộng lên E Do đẳng cấu E/K mở rộng cđa id K nªn ta cã thĨ kÕt ln  E : K   r1 rn  2.2.11 Hệ Giả sử L mở rộng hữu hạn tr-ờng K E mở rộng hữu hạn L Khi (i) L K nÕu  L : K   1; (ii)  E : K    E : L L : K  Chøng minh Ta cã thĨ gi¶ thiÕt L  K (a1 , , as ) vµ E  L(as 1 , , as t ) cho phần tử đại số K (a1 , , 1 ), i  1, , s t Gọi ri bậc đa thức tối tiĨu cđa trªn K (a1 , , 1 ) (i) NÕu  L : K   theo định lý 2.2.10, ta có r1  rs  §a thøc tèi tiĨu cđa mét phần tử a K có bậc a K Vì ta lần l-ợt có a1, , as K L = K (ii) Theo định lý 2.2.10, ta có 31  E : K   r r ;  E : L  r r ;  L : K   r r s t s 1 s t s Từ suy đ-ợc công thức E : K E : L L : K   2.2.12 HÖ Giả sử f đa thức bậc n K X E tr-ờng phân r· cđa f Khi ®ã  E : K   n! Chøng minh Cho a1 , , an lµ nghiệm f Gọi g đa thức tối tiểu a1 K Do g -ớc f nên deg g n Vì K (a ) : K   deg g  n Đặt h ( X a2 ) ( X  an ) Do f  ( X  a1 )h , nên theo thuật toán Euclid ta thấy h  K (a1 )  X  Tr-êng ph©n rà h K (a1 ) E Bằng ph-ơng pháp quy nạp, ta giả thiết E : K (a )  (n  1)! Khi ®ã  E : K    E : K (a ). K (a ) : K   n! 1  2.2.13 HƯ qu¶ Gi¶ sư L mở rộng hữu hạn K a L thoả mÃn điều kiện (a) a với đẳng cấu L/ K, id L Khi ®ã L = K(a) Chøng minh Ký hiệu G(L/K) nhóm tự đẳng cấu L trªn K DƠ thÊy G( L / K (a))  G( L / K ) Giả sử tự đẳng cấu khác đồng L K(a) Khi tự đẳng cấu L K Theo giả thiết, (a) a Điều mâu thuẫn với tự đẳng cấu L K(a) Vì tự đồng cÊu ®ång nhÊt, hay G( L / K (a))  id K  Do ®ã  L : K (a)  Theo hƯ qu¶ 2.2.11, ta cã L = K(a) 2.2.14 Định lý Cho E mở rộng hữu hạn K Ta có: 32 (i) Mọi phần tử E phần tử đại số K; (ii) Mọi tr-ờng E chứa K mở rộng hữu hạn K Chứng minh (i) Cho a phần tử tuỳ ý cđa E Khi ®ã theo bỉ ®Ị 1.1.6, ta cã  P(a)  K (a)   | P, Q  K [ X ]; Q(a)   Q( a ) Giả sử a phần tử đại số K Với n > ta định nghĩa n ( P(a) P(a n ) ) : Q( a ) Q( a n ) Chó ý r»ng Q(a n )  không a nghiệm đa thức Q( X n ) Đây ánh xạ tõ K(a) vµo K(an) ThËt vËy, nÕu P(a) f (a)  Q(a ) g (a ) víi f , g  K  X , g(a)  0, th× ( Pg Qf )(a) Do a không nghiệm đa thức khác không nên Pg Qf Vì ( Pg Qf )(a n ) P(a n ) f (a n )  Q(a n ) g (a n ) Víi bÊt kú P1 (a) P2 (a) ,  K (a), ta cã Q1 (a) Q2 (a) n ( P1 (a) P2 (a) ( PQ  P2Q1 )(a)  )  n ( ) Q1 (a) Q2 (a) Q1Q2 (a)  n ( PQ  P2Q1 )(a ) Q1Q2 (a n ) P1 (a n ) P2 (a n )   Q1 (a n ) Q2 (a n )  n ( n ( P1 (a) P (a ) )   n ( ); Q1 (a) Q2 (a) P1 (a) P2 (a) ( PP )(a)  )  n ( ) Q1 (a) Q2 (a) (Q1Q2 )(a) n ( PP )( a )  (Q1Q2 )(a n ) 33  n ( P1 (a) P (a ) )   n ( ) Q1 (a) Q2 (a) Hơn nữa, rõ ràng  n (c)  c víi mäi c  K Do n đẳng cấu K(a)/K Theo hƯ qu¶ 2.2.5 cã thĨ më réng  n thành đẳng cấu n E/K Bằng cách ta nhận đ-ợc vô hạn đẳng cấu K Điều mâu thuẫn với giả thiết E mở rộng hữu hạn K Vậy a phần tử đại số K (ii) Cho L lµ mét tr-êng cđa E chøa K Ta cã thể giả thiết E K Chọn a mét phÇn tư tïy ý cđa L\ K Theo (i), a phần tử đại số K Gọi r bậc đa thức tối tiểu a Do a K nên r Theo định lý 2.2.4 ta suy  K (a) : K   r V× vËy [ E : K (a)]  [E : K ]  [ E : K ] [ K (a) : K ] Do E lµ mở rộng hữu hạn K(a) K (a) L nên dùng quy nạp theo bậc ta giả thiết L mở rộng hữu hạn K (a) Từ ta thấy L mở rộng hữu hạn K 2.2.15 Định lý Mọi mở rộng bậc hữu hạn mở rộng đơn đại số Chứng minh Giả sử E mở rộng hữu hạn K Ta cần chứng minh tr-ờng hợp E K (a1 , a2 ) Theo định lý 2.2.14, a1 , a2 phần tử đại số K Gọi g1 , g lần l-ợt đa thức tối tiĨu cđa a1 , a2 K[X] Cho u1 , , ur v1 , , vs nghiệm phân biệt g1 , g , a1 u1 a2 v1 Chọn phần tö b  K cho b ui  u1 (i  1, , r; j  1, , s) v1  v j Khi ®ã u1  bv1  bv j ui , j Đặt a : u1  bv1  a1  ba2 g : g1 (a  bX ) Ta cã g (a2 )  g1 (a1 )  vµ g (v j )  g1 (u1  bv1  bv j ) 0, j Vì g g chØ cã mét nghiƯm chung lµ a2 Do g g đa thức K (a) X 34 nên theo hệ 1.3.9, ta cã a2  K (a) Khi ®ã ta cịng cã a1  a  ba2  K (a) V× vËy ta cã thÓ kÕt luËn K (a1 , a2 ) K (a) 35 Kết luận Luận văn đà trình bày số nội dung sau: Mô tả tr-ờng mở rộng n phần tử thông qua tập đa thức n biến (Bổ đề 1.1.6) Mô tả tr-ờng mở rộng đại số đơn thông qua vành đa thức biến (Định lý 1.3.10) Định lý phân loại mở rộng đại số đơn mở rộng siêu việt đơn (Định lý 1.3.13) Giả sử E mở rộng K đẳng cấu E K Khi (E) mở rộng K  Gi¶ sư f  K  X  đa thức bất khả quy có nghiệm nằm mở rộng K Khi f giải đ-ợc thức K Giả sử L mở rộng hữu hạn K a L thoả mÃn điều kiện (a) a với đẳng cấu L / K ,   id L Khi ®ã L = K(a) Mọi mở rộng bậc hữu hạn mở rộng đại số đơn Luận văn tiếp tục nghiên cứu theo h-ớng xem xét tính chất mở rộng tr-ờng số đại số 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự C-ờng (2003), Giáo trình Đại số đại, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính - Cơ sở Grobner, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Việt H-ng (1999), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [7] S Lang (1975), Đại số, NXB ĐH & THCN, Hà Nội [8] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học đại, Đại học Vinh [9] Nguyễn Thành Quang (2005), Lý thuyết tr-ờng Lý thuyết Galois, Đại học Vinh Tiếng Anh [10] Z I Borevic, I R Safarevic (1966), Numbers Theory, Acamedic Press [11] N Koblitz (1979) p-adic numbers, p-adic Analysis and Zeta – Functions, Springer - Verlag ... E )  K ((a1 ), , (an )) mở rộng K 2.2 Mở rộng đẳng cấu tr-ờng mở rộng 2.2.1 Định nghĩa Giả sử đẳng cấu L/K E tr-ờng chứa L Một đẳng cấu E/K đ-ợc gọi đẳng cấu mở rộng ánh xạ thu hẹp L,... này, trình bày khái niệm tính chất đẳng cấu tr-ờng mở rộng, mở rộng đẳng cấu tr-ờng mở rộng mối quan hệ nghiệm đa thức với tr-ờng mở rộng 2.1 Đẳng cấu tr-ờng mở rộng 2.1.1 Định nghĩa Giả sử K tr-ờng... -u điểm xem xét Lý thuyết Galois sở Lý thuyết mở rộng tr-ờng Với lý trên, đà lựa chọn đề tài Một số vấn đề đẳng cấu trường mở rộng để nghiên cứu Cấu trúc luận văn đ-ợc chia thành hai ch-ơng: