Một số vấn đề về đồng cấu lannes zarati modulo p (some problems about the modulo p lannes zarati homomorphism )

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Phản biện 1: PGS TS LÊ MINH HÀ Phản biện 2: TS NGUYỄN LÊ CHÍ QUYẾT Phản biện 3: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN HOÀNG CHƠN PGS TS NGUYỄN SUM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Phan Hồng Chơn PGS TS Nguyễn Sum Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết luận án trung thực, đồng tác giả thầy hướng dẫn cho phép sử dụng đưa vào luận án chưa cơng bố trước TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Phan Hoàng Chơn Nguyễn Sum Phạm Bích Như i Tác giả PGS TS Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn tận tình hướng dẫn giúp đỡ PGS TS Phan Hoàng Chơn, PGS TS Nguyễn Sum nhiều người khác Nhân dịp xin gửi lời tri ân đến tất người giúp đỡ Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Phan Hoàng Chơn, người thầy, người anh người bạn đồng hành động viên suốt trình học tập nghiên cứu sinh Mặc dù bận rộn thầy kiên trì giảng dạy, hướng dẫn cho kiến thức Tôpô đại số tuần suốt năm Nếu khơng có thầy tơi khơng thể có tâm để theo đuổi việc học tập nâng cao trình độ Tơi xin bày tỏ lời tri ân sâu sắc PGS TS Nguyễn Sum, thầy giảng dạy, hướng dẫn cho tơi nhiều ý kiến đóng góp q báu chun mơn định hướng nghiên cứu Thầy người nghiêm túc học thuật lại gần gũi, giản dị sống nhân duyên để trở thành nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn Lời cảm ơn chân thành gửi đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy động viên hướng dẫn thủ tục cần thiết để tơi hồn thành chương trình học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học q Thầy, Cơ Khoa Tốn tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt việc học tập trường Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Cần Thơ, Khoa Khoa học Tự nhiên, q thầy Bộ mơn Tốn chia sẻ công việc, động viên giúp đỡ nhiều để tơi thuận lợi hồn thành việc học tập nâng cao trình độ Cảm ơn chị Dương Thị Tuyền thấu hiểu cho em lời khuyên chân thành ii Xin cảm ơn anh, chị, em học nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt hai cô em gái dễ thương TS Dư Thị Hịa Bình TS Lưu Thị Hiệp, sát cánh động viên, giúp đỡ nhiều cho từ ngày đầu Quy Nhơn học tập để tơi vượt qua khó khăn có thêm động lực hồn thành tốt chương trình nghiên cứu sinh Lời cuối cùng, tơi muốn cảm ơn đến đại gia đình tơi ln chia sẻ, động viên tơi lúc khó khăn, đặc biệt tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến mẹ tôi, người sinh tôi, suốt đời hy sinh cho chị em Cảm ơn mẹ chăm sóc cháu để yên tâm học tập Cảm ơn chồng ủng hộ định em Cảm ơn hai cho mẹ thêm động lực để mẹ không ngừng cố gắng Bình Định, 2021 Tác giả, Phạm Bích Như iii Các ký hiệu dùng luận án GLs: Nhóm tuyến tính tổng quát, 17 D[s]: Không gian tất bất biến tác động n H (X; F2): Đối đồng điều thứ n X lấy hệ số F2, 12 GLs Fp[y1; : : : ; ys], 18 s Hs(M): Đồng điều thứ s M, 20 # N : Đối ngẫu N, Es = (Z=p) : Không gian véctơ s chiều hay p-nhóm abel sơ cấp hạng s, 4, 15, 17, 28 i P : Lũy thừa Steenrod bậc i Fp , 1, 12 P (F2 GLs H (BEs)): Đối ngẫu đại số Dickson F2 A D[s], 44 Ps = H BEs: Đối đồng điều không QX: Không gian vịng lặp vơ hạn X, gian phân loại BEs, 15, 17 Ss: Lũy thừa toàn thể ổn định , 20 i Sq : Toán tử squaring, 77 Sq : Toán tử Steenrod bậc i F , 1, 11 TorA (Fp; M): Đồng điều đại số ; Sts: Lũy thừa tồn thể (khơng ổn định) , 29, 31, 35 Steenrod lấy hệ số A -môđun M, 16, 20, 22, 35 ; ExtA (M; Fp): Đối đồng điều đại số Steenrod lấy hệ số A - mô đun M, 4, 17 A : Đại số Steenrod trường Fp, 1, 13, 14 A : Đối ngẫu đại số Steenrod ; ExtA (F2; F2): Đối đồng điều đại số Steenrod lấy hệ số trên trường Fp, 14 Ds(): Dẫn xuất thứ s hàm tử D , trường F2, 10, 77 16, 35, 36 ; ExtA (Fp; Fp): Đối đồng điều đại số Steenrod lấy hệ số Ds: Dẫn xuất thứ s hàm tử D , 15 He (BZ=p): Đối đồng điều thu gọn không gian phân loại p-nhóm abel sơ cấp, 4, 6, 75 trường Fp, 2, 4, 51, 52 ; ExtA (He (BZ=p); Fp): Đối đồng điều đại số Steenrod lấy hệ số Pe : Biểu diễn mức độ dây He (BZ=p), 8, 47, 60, 73 chuyền P , 44, 45, 48 + BEs: Không gian phân loại Es, 15, 17 iv M: Phức dây chuyền A -môđun M, 4, 20, 21 : Đại số Lambda, 5, 23, 24 s: Không gian sinh tất đơn thức có độ dài s, 23 s M: Treo thứ s M, 14, 15, 36 pn : Nhóm đối xứng tác động lên tập sở Es, 5, 28 : Toán tử Bockstein, 1, 12, 45 F2: Trường số có phần tử, Fp: Trường có đặc số p lẻ, 1, 12 Z=p: -môđun tầm thường Z=p, 28 ps B[s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối đồng điều nhóm đối xứng pn đến đối đồng điều p-nhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z=p, 29 M: Phạm trù A -môđun trái phân bậc, 14 Rs: Hàm tử Singer , 15 RsM: Xây dựng Singer, 2, 4, 16, 29, 31–33, 35, 36, 76 P : Toán tử lũy thừa, 44, 76 S (S ): Nhóm đồng luân ổn định mặt cầu, # # Ann(N ): Không gian N bao gồm tất phần tử triệt tiêu tác động phần tử bậc dương A , 2, 51, 52 He RP : Đối đồng điều thu gọn không gian xạ ảnh vô hạn chiều, n He RP : Đối đồng điều thu gọn không gian xạ ảnh n chiều, He (BZ=p): Đồng điều thu gọn không gian phân loại pnhóm abel sơ cấp, 47, 58 ^ P : A -môđun mở rộng P1, 16, 38 R: Đại số Dyer-Lashof modulo p, 3, 5, 24, 47 Rs: Không gian R, 6, 24, 52, 58 U: Phạm trù tất A -môđun không ổn định, 14, 15, 38 Z=p: ps -môđun Z=p thông qua tác động dấu, 28 B[s]: Ảnh ánh xạ hạn chế từ đối đồng điều nhóm đối xứng pn đến đối đồng điều p-nhóm abel sơ cấp lấy hệ số Z=p, 5, 24, 28, 30, 37, 51, 52 D: Hàm tử bất ổn định hóa, 15, 16 v Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số Steenrod 1.2 Môđun đại số Steenr 1.3 Đồng cấu Lannes-Zarati 1.4 Phức dây chuyền Singer 1.5 Đại số Lambda đại số 1.6 Dãy phổ Chương Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 2.1 Hàm tử Singer 2.2 Biểu diễn mức độ dây chuyề 2.3 Chứng minh Mệnh đề 2.2.2 2.4 Toán tử lũy thừa 2.5 Trường hợp p = 2.6 Kết luận Chương Chương Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes-Za 3.2 Đối đồng điều đại số Stee 3.3 Ảnh đồng cấu Lannes-Za 3.4 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati mo 3.5 Kết luận Chương Kết luận vi Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo vii Mở đầu Các hàm tử đồng điều đối đồng điều kì dị cơng cụ sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô Tuy nhiên công cụ chưa đủ mạnh để giải toán quan trọng Vào năm 1947 Steenrod [61] xây dựng toán tử đối đồng điều sau với số nguyên i i n Sq : H (X; F2) ! H n+i (X; F2); X khơng gian tơpơ, F2 trường có phần tử 0, H (X; F 2) i đối đồng điều X trường F Toán tử Sq gọi toán tử Steenrod bậc i hay bình phương Steenrod bậc i Tốn tử tác động cách tự nhiên đối đồng điều X với hệ số F2 Đến năm 1952, ông [60] mở rộng kết cho trường hợp p số nguyên tố lẻ Cụ thể với số ngun khơng âm i, ơng xây dựng tốn tử i q P : H (X; Fp) ! H q+2(p 1)i (X; Fp); i P gọi lũy thừa Steenrod Từ tốn tử đối đồng điều trở thành công cụ quan trọng sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân Các toán tử toán tử đối đồng điều ổn định Đại số sinh toán tử Steenrod i Sq ; i (trường hợp p = 2); lũy thừa Steenrod P i với i toán tử Bockstein (trường hợp p > 2) gọi đại số Steenrod, ký hiệu A Sau cơng trình Steenrod, cấu trúc đại số Steenrod Adem [3], Cartan [68], Serre [73] Milnor [47] nghiên cứu cách sâu sắc Một vấn đề quan trọng nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô xác định nhóm đồng luân, đặc biệt nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Trong [1] Adams xây dựng dãy phổ, sau gọi dãy phổ Adams, hội tụ thành phần p-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Từ (3’) (10’), ta có ’~ F (D2) = ’~ F ( 47 11 0) = ’~ F ( 31 27 + 23 35 F 0) = ’~ 62( 31( 13 14+ 11 16+ 22+ 24+ 26) 0+ 23 35 0) = 0: Khi ’ F (D2) = F Từ kết ’ F (D1(0)) = ’ Mệnh đề 3.4.1) ta có ’~ F (d0) = (xem chứng minh (A) = Do đó, ’ F (A) = Sử dụng (4’), (5’), (6’), (7’) theo chứng minh Mệnh đề 3.4.1) ’ nên suy ’~ F F (c2) = 0; ’ F (f0) = 0; ’ (A ) = Khi đó, ’ F F (D1(0)) = 0 (A ) = 00 Tương tự, lấy (8’), (9’),(12’) D1(0) thay vào A , ta có A00 = fD1(0) 12 + 15 11 = f 15 11 12 + + 47( + ( = f 15 11 12 + + 47( + ( = f 15 11 12 + + + 2 + 47e0 0g 8+ 15 11 7) +( 7) 3) 2) 0g + 11 + 3) 2) 0g + ( 15 35 + 8+ 15 11 2 +(3 15 11 7 43) + ( 15 35+ 43) 5+( 15 35+ 43) 7) + ( 15 35 + 43) 11 + 15 39 3) 2) 0g Rõ ràng, trội tất số hạng A ’ F 00 (A ) Vì ’ F 00 âm Do đó, ’~ F 00 (A ) = 0, suy = F (f1) = 0; ’ (g2) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) trội số hạng lại r1 âm Do đó, ’~ Dựa vào kết ’ F (c2) = 0; ’ F F (r1) = 0, suy ’ F (D1(0)) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) (8’) Ta dễ dàng chứng minh ’~ x6;77 tầm thường, F ’ 62 86 (r1) = (x6;77) = F , ảnh Vì ’ F (H1(0)) = 0; ’ F (D3(0)) = (xem chứng minh Mệnh đề 3.4.1) quan hệ (3’),(8’) (9’), ta có ’ Các tác động Sq s Ext F cấu ’ s2 Do đó, ’ Từ kết ’ ’ F F F (t1) = ’ F s;t F (x6;82) = Rs giao hoán với đồng A 0 F (Sq t) = Sq (’ F (D3(0)) = ’ (t)) = 0: (d2) = 0, ta có ’~ F (x6;90) = Do đó, (x6;90) = Tương tự, ’ F (C1) = ’ Từ kết ’ đó, ’ F F F 0 F (Sq C) = Sq (’ (c3) = ’ F (C)) = 0: (f2) = 0, ta có ’~ F (x6;114) = Do (114) = Cuối cùng, ’ F (G1) = ’ F 0 F (Sq G) = Sq (’ (G)) = 0: Định lý chứng minh Ngoài ra, dùng phương pháp chúng tơi cịn kiểm tra kết Hưng-Tuấn [34] Mệnh đề 3.4.3 (Hưng-Tuấn [34]) H e (BZ=2) (i) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng ’ cấu Ext (ii) A đẳng (He (BZ=2); F2): H e Đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng ’1 i jg triệt tiêu Spanfhibhj : i < jg H e (BZ=2) (iii) Đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng s ’ s phần tử có gốc dương Ext s A triệt tiêu tất (He (BZ=2); F2) với s Chứng minh Phát biểu (i) (ii) chứng minh cách dễ dàng việc sử dụng Mệnh đề 2.5.2 biểu biễn bh i hibhj He (BZ=2) (xem Lin [39] ví dụ) Tương tự mệnh đề trên, chúng tơi chứng minh tường minh vài ví dụ, chứng minh chi tiết (iii) thực cách tượng tự 87 Trước tiên, ta chứng minh ’2e b b biểu diễn i Theo Mệnh đề 2.5.2 Mệnh đề 2.5.1, e( 3) = < nên ’2 Vì vậy, ’2 H e (BZ=2) i Tiếp theo, ’ tử 16(i) chu trình 16(i) Sử dụng Mệnh đề 2.5.2 e Vì ( e ’3 QQQ e cùng, ta thấy ’ Cuối 63(i) Ext chu trình A 63(i) = (Sq ) ( 31 23 0b Bằng phương pháp tương tự, dễ thấy ’4e Áp dụng quan hệ Adem, ta có Q Q Q e3 H = R3, ’4 H e Suy ’4 Chú ý 3.4.4 Dựa vào Mệnh đề 2.5.1, dễ thấy (F2 nh Q2i b j [2 1] = (S Do đó, đồng cấu Lannes-Zarati hạng ’ 88 H e (BZ=2) khơng phải tồn cấu 3.5 Kết luận Chương Trong chương này, sử dụng kết xây dựng phần trước để khảo sát dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ’ M s trường hợp M = Fp trường hợp M = He (BZ=p) Kết chúng tơi thu ảnh hồn tồn ’ 3.1.4) ảnh ’ H e (BZ=2) s F p s với s (xem Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.2, Định lý với s = 0; (xem Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) Cuối cùng, sử dụng phương pháp để kiểm tra lại kết ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo công bố tài liệu [72], [25], [27], [32], [30] Kết thu kết tương đồng với kết cơng bố với phần tính toán đơn giản (xem Mệnh đề 3.4.1, Mệnh đề 3.4.3) Bên cạnh đó, chúng tơi cịn thu ảnh đồng cấu ’ F phần tử khơng phân tích Ext ;6+t A (F2; F2) với t 114 Chen [12] tìm vào năm 2013 (xem Định lý 3.4.2) 89 Kết luận Trong luận án này, đạt kết sau đây: M # Xây dựng biểu diễn mức độ dây chuyền (’ s ) phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum (xem Định lý 2.2.1) biểu diễn dây chuyền ’ đại số Lambda (xem Hệ 2.2.4), biểu diễn dây chuyền ’ M s M s # M , với A -môđun M (xem Mệnh đề 2.2.5) Các kết sử dụng để tìm nhân ảnh đồng cấu Lannes-Zarati ’ M s với s nhỏ cho trường hợp p lẻ Phát triển toán tử lũy thừa P tác động lên Ext s; A (Fp; Fp) (xem Liulevicius [41], [42] May [19]) Với M = Fp M = He (BZ=p), tồn toán tử P tác động Ext s; A # A RsM) M Lannes-Zarati ’ s (M; Fp) (Fp Hơn nữa, toán tử cịn giao hốn với đồng cấu (xem Mệnh đề 2.4.3) Kết làm giảm đáng kể việc tính tốn Do đó, tốn tử trở thành cơng cụ quan trọng để nghiên cứu dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p M Khảo sát dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ’ s trường hợp M = Fp trường hợp M = He (BZ=p) Kết thu ảnh hoàn toàn ’ F p s với s (xem Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4) ảnh ’ (xem Định lý 3.3.1, Định lý 3.3.2) H e (BZ=p) s với s = 0; Cuối cùng, kiểm tra lại kết ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo công bố tài liệu [72], [25], [27], [32], [30] Kết thu tương đồng với kết cơng bố với phần tính tốn đơn giản (xem Mệnh đề 3.4.1, Mệnh đề 3.4.3) Dựa vào kết Chen [12] phần tử khơng phân tích Ext 90 ;6+t A (F2; F2) với t 114, chúng tơi tính ảnh phần tử qua đồng cấu Lannes-Zarati modulo hạng theo cách tiếp cận khác, chúng tơi khơng dùng kết tốn “hit” D6 Qua đây, kiểm chứng lại kết chứng minh đồng cấu Lannes-Zarati modulo (xem Định lý 3.4.2) Dự kiến nghiên cứu Chúng tiếp tục nghiên cứu dáng điệu đồng cấu Lannes - Zarati modulo p trường hợp s Chúng dự kiến nghiên cứu đồng cấu chuyển Singer modulo p với p số nguyên tố lẻ 91 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án [1] P H Chơn and P B Như (2019), “On the mod p Lannes-Zarati homomor-phism”, Journal of Algebra, 537, 316-342 [2] P H Chơn and P B Như (2020), “The cohomology of the Steenrod algebra and the mod p Lannes-Zarati homomorphism”, Journal of Algebra, 556, 656-695 [3] Pham Bich Nhu (2020), “On behavior of the sixth Lannes-Zarati homomor-phism”, East-West Journal of Mathematics, 22, no.1, 1-12 Các kết luận án báo cáo thảo luận tại: Hội nghị Khoa Học lần thứ IX Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG TPHCM thời gian từ ngày 09 đến 10/11/2018 Hội Nghị Tốn học Việt-Mỹ , Quy Nhơn, Bình Định từ ngày 09 đến 14/06/2019 Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần III, Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk, từ ngày 02-04/08/2019 Báo cáo Seminar Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định 92 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] J F Adams (1958), “On the structure and applications of the Steenrod algebra”, Comment Math Helv., 32, 180-214 [2] J F Adams (1960), “On the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Ann of Math., 72, 20-104 [3] J Adem (1952), “The interation of Steenrod squares in algebraic topology”, Proc Nat Acad Sci U.S.A., 38, 720-726 [4] T Aikawa (1980), “3-dimensional cohomology of the mod p Steenrod algebra”, Math Scand., 47, no 1, 91–115 [5] J M Boardman (1993), “Modular representations on the homology of powers of real projective space”, Contemp Math., 146, 49-70 [6] A K Bousfield, E B Curtis, D M Kan, D G Quillen, D L Rector, and J W Schlesinger (1966), “The mod-p lower central series and the Adams spectral sequence”, Topology, 5, 331–342 [7] A K Bousfield and D M Kan (1972),“ The homotopy spectral sequence of a space with coefficients in a ring”, Topology, 11, 79–106 [8] W Browder (1969), “The Kervaire invariant of framed manifolds and its gener-alization”, Ann of Math., 90, 157-186 [9] R R Bruner (1997), “The cohomology of the mod Steenrod algebra: A com-puter calculation”, WSU Research Report., 37, 217 pages [10] R R Bruner, L M Hà, and N H V Hưng (2005), “On the behavior of the algebraic transfer”, Trans Amer Math Soc., 357, no 2, 473–487 93 ; [11] T W Chen (2011), “Determination of Ext A (Z=2; Z=2)”, Topology Appl., 158, 660-689 ; [12] T W Chen (2013),“Indecomposable elements in Ext A (Z=2; Z=2)”, Preprint [13] P H Chơn and L M Hà (2011) , “Lambda algebra and the Singer transfer”, C R Acad Sci Paris, Ser I., 349, 21-23 [14] P H Chơn and L M Hà (2012), “On May spectral sequence and the algebraic transfer”, Manuscripta Mathematica, 138, 141-160 [15] P H Chơn and L M Hà (2014), “On the May spectral sequence and the alge-braic transfer II”, Topology Appl., 178, 372-383 [16] P H Chơn (2016), “Modular coinvariants and the mod p homology of k QS ”, Proc Lond Math Soc (3) 112, no 2, 351–374 [17] P H Chơn and P B Như (2019), “On the mod p Lannes-Zarati homomor-phism”, Journal of Algebra, 537, 316-342 [18] P H Chơn and P B Như (2020), “The cohomology of the Steenrod algebra and the mod p Lannes-Zarati homomorphism”, Journal of Algebra, 556, 656-695 [19] F R Cohen, T J Lada, and J P May (1976), “The homology of iterated loop spaces”, Lecture Notes in Mathematics, Vol 533, Springer-Verlag, Berlin [20] R L Cohen, W H Lin, and M E Mahowald (1988), “The Adams spectral sequence of the real projective spaces”, Pacific J Math 134, no 1, 27–55 [21] M D Crossley (1996), “A(p)-annihilated elements in H (CP 1 CP )”, Math Proc Camb Philos Soc., 120, no 3, 441–453 [22] E B Curtis (1975), “The Dyer-Lashof algebra and the -algebra”, Illinois J Math., 19, 231–246 [23] L E Dickson (1911), “A fundamental system of invariants of the general mod-ular linear group with a solution of the form problem”, Trans Amer Math Soc., 12, no 1, pp 75–98 (English) 94 [24] L M Hà (2007), “Sub-Hopf algebras of the Steenrod algebra and the Singer transfer”, in: Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology, Hà Nội 2004, in: Geom Topol Publ., Conventry, 11, 101-124 [25] N H V Hưng (1997), “Spherical classes and the algebraic transfer”, Trans Amer Math Soc., 349, no 10, 3893–3910 [26] N H V Hưng (2001), “Spherical classes and the Lambda algebra”, Trans Amer Math Soc., 353 , no 11, 4447–4460 (electronic) [27] N H V Hưng (2003), “On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra”, Math Proc Cambridge Philos Soc., 134, no 1, 103–113 [28] N H V Hưng (2005), “The cohomology of the Steenrod algebra and repre-sentations of the general linear groups”, Trans Amer Math Soc., 357, no 10, 4065–4089 [29] N H V Hưng and T N Nam (2001), “The hit problem for the Dickson algebra”, Trans Amer Math Soc., 353, no 12, 5029–5040 [30] N H V Hưng and F P Peterson (1995), “A -generators for the Dickson alge-bra”, Trans Amer Math Soc 347, no 12, 4687–4728 [31] N H V Hưng and F P Peterson (1998), “Spherical classes and the Dickson algebra”, Math Proc Camb Phil Soc., 124, 253-264 [32] N H V Hưng, V T N Quỳnh, and N A Tuấn (2014),“On the vanishing of the Lannes-Zarati homomorphism”, C R Math Acad Sci Paris., 352, no 3, 251–254 [33] N H V Hưng and N Sum (1995), “On Singer’s invariant-theoretic description of the Lambda algebra: a mod p analogue”, J Pure Appl Algebra, 99, no 3, 297–329 [34] N H V Hưng and N A Tuấn (2019), “The generalized algebraic conjecture on spherical classes”, Manuscripta Mathematica, 162, 133-157 [35] N H.V Hưng and G Powell (2019), “The A-decomposability of the Singer con-struction”, Journal of Algebra, 517, 186–206 95 [36] M Kameko (1990), “Products of projective spaces as Steenrod modules”, Pro- Quest LLC, Ann Arbor, MI, Thesis (Ph.D.)–The Johns Hopkins University [37] M Kameko (1998), “Generators of the cohomology of BV3”, J Math Kyoto Univ., 38, 587-593 [38] N J Kuhn (2018), “Adams filtration and generalized Hurewicz maps for infinite loopspaces”, Invent Math., 214, no 2, 957–998 ; ; [39] W H Lin (2008), “Ext A (Z=2; Z=2) and Ext A (Z=2; Z=2)”, Topology Appl., 155, no 5, 459–496 [40] W H Lin and M Mahowald (1998), “The Adams spectral sequence for Mi-nami’s Định lý”, Contemp Math., 220, 143-177 [41] A Liulevicius (1960), “The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America., 46, no 7, pp 978–981 [42] A Liulevicius (1962), “The factorization of cyclic reduced powers by secondary cohomology operations”, Mem Amer Math Soc No., 42, 112 [43] S MacLane (1963), Homology, 1st edition, Berlin Heidelbeg New York: Sp-inger [44] J P May (1964), “The cohomology of restricted Lie algebras and of Hopf alge-bras; applications to the Steenrod algebra”, Princeton University Ph.D [45] J P May (1966), “The cohomology of restricted Lie algebras and of Hopf alge-bras”, Journal of Algebra, 3, 123-146 [46] J P May (1970), “A general algebraic approach to Steenrod operations, The Steenrod algebra and its applications”, (Proc Conf to Celebrate N E Steenrod’s Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio), Lecture Notes in Mathematics., Vol 168, Springer, Berlin, pp 153–231 [47] J Milnor (1958), “The Steenrod algebra and its dual”, Ann of Math., 67, 150-171 96 [48] N Minami (1999), “The iterated transfer analogue of the new doomsday conjec-ture”, Trans Amer Math Soc., 351, 2325-2351 [49] H Mùi (1975), “Modular invariant theory and cohomology algebras of symmet-ric groups”, J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math., 22, no 3, 319–369 [50] Pham Bich Nhu (2020), “On behavior of the sixth Lannes-Zarati homomor- phism”, East-West Journal of Mathematics, Vol 22, no 1, 1-12 [51] F P Peterson (1987), “Generators of H (RP 1 RP ) as a module over the Steenrod algebra”, Abstracts Amer Math Soc., 833, 55-89 [52] F P Peterson (1989), “A -generators for certain polynomial algebras”, Math Proc Cambridge Philos Soc., 105, 311-312 [53] G M L Powell (2014), “On the derived functors of destabilization at odd primes”, Acta Math Vietnam, 39, no 2, 205–236 [54] S B Priddy (1970), “Koszul resolutions”, Trans Amer Math Soc., 152, no 1, pp 39–60 [55] W M Singer (1977/78), “The construction of certain algebras over the Steenrod algebra”, J Pure Appl Algebra, 11, no 1-3, 53–59 [56] W M Singer (1983), “Invariant theory and the Lambda algebra”, Trans Amer Math Soc., 280, no 2, pp 673–693 [57] W M Singer (1989), “The transfer in homological algebra”, Math Z., 202, no 4, 493–523 [58] W M Singer (1991), “On the action of the Steenrod squares on polynomial algebras”, Proc Amer Math Soc., 111, 577-583 [59] E H Spanier (1966), Algebraic topology, Springer-Verlag New York [60] N E Steenrod (1952), “Reduced powers of cohomology classes”, Ann of Math., 56, 47-67 [61] N E Steenrod (1962), Cohomology operations, Lecture by N E Steenrod, writ-ten and revised by D B A Epstein, Annals of Mathematics Studies, vol.50, Princeton University Press, Princeton New Jersey 97 [62] N Sum (2013), “On the hit problem for the polynomial algebra”, C R Acad Sci Paris, Ser I., 351, 565-568 [63] N Sum (2014), “On the Peterson hit problem of five variables and its applica- tions to the fifth Singer transfer”, East-West Journal of Mathematics, 16, 47-62 [64] M C Tangora (1970), “On the cohomology of the Steenrod algebra”, Math.Z., 116, 18-64 [65] J S P Wang (1967), “On the cohomology of the mod-2 Steenrod algebra and the non-existence of elements of Hopf invariant one”, Illinois J Math., 11, 480-490 [66] R J Wellington (1982), “The unstable Adams spectral sequence for free iterated loop spaces”, Mem Amer Math Soc., 36, no 258, viii-225 n [67] H Zare (2009), “On spherical classes in H QS ”, Ph.D thesis, The University of Manchester Tiếng Pháp [68] H Cartan (1950), “Une théories axiomatique des carrés de Steenrod”, C R Acad Sci Paris, Ser I., 230, 425-427 [69] N D H Hải (2010), “Résolution injective instable de la cohomologie modulo p d’un spectre de Thom et applications”, Ph.D thesis, Université Paris 13 [70] J Lannes (1988), “Sur le n-dual du n-ème spectre de Brown-Gitler”, Math Z., 199, no 1, 29–42 (fre) [71] J Lannes and S Zarati (1983), “Invariants de Hopf d’ordre supérieur et suite spectrale d’Adams”, C R Acad Sci Paris Sér I Math., 296, no 15, 695–698 [72] J Lannes and S Zarati (1987), “Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation”, Math Z., 194, 25-59 [73] J P Serre (1953), “Cohomologie modulo des complexes d’Eilenberg- MacLane”, Comment Math Helv., 27, 198-232 [74] S Zarati (1984), “Dérivés du foncteur de déstabilisation en caractéristiques im-paire et application”, Ph.D.thesis, Université Paris-Sud (Orsay) 98 ... < p 2; bA hibhi( 1) Ext hibhj Ext ;2 (p 1)pi+2pi (He (BZ =p) ; Fp); i 0; A ;2 (p 1)( pi+pj) A hibhj(k) Ext p 1; (He (BZ =p) ; Fp); i; j 0; j 6= i; i + 1; ;2 (p 1)pi+2kpi (He (BZ =p) ; Fp); i; j 0; j 6= i;... đó, E1 p; q p; q = H (E0 ) = Z1 p; q =[Z0 p 1;q+1 + d(Z0 p; q+1 )] với p; q Z1 p = fx F (C p+ q )jdx F p (C p+ q )g: Vi phân d cảm sinh vi phân d1 : E1 p; q p+ q =H p (G C !) Bằng phương ph? ?p quy n? ?p, giả... 5.4 ]) Nhóm mở rộng Ext ;1+t A (He (BZ =p) ; Fp) có Fp-cơ sở bao gồm tất phần tử cho danh sách sau 0bhi Ext ;2 (p 1)pi A (He (BZ =p) ; Fp); i 1; h (k) 0bi (? ?) Ext1;2 (p+ ? ?)+ 2(He (BZ =p) ; Fp); ‘ < p 2;