Một số vấn đề về đồng cấu lannes zarati modulo p (some problems about the modulo p lannes zarati homomorphism ) TT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM BÍCH NHƯ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐỒNG CẤU LANNES-ZARATI MODULO p CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÍ THUYẾT SỐ MÃ SỐ: 46 01 04 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2021 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Quy Nhơn Tập thể hướng dẫn: PGS TS PHAN HOÀNG CHƠN PGS TS NGUYỄN SUM Phản biện 1: PGS TS LÊ MINH HÀ Viện nghiên cứu cao cấp Toán Phản biện 2: TS NGUYỄN LÊ CHÍ QUYẾT Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Phản biện 3: PGS TS TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án Trường Đại học Quy Nhơn vào lúc 14 00 ngày 24 tháng năm 2021 Có thể tìm hiểu luận án tại: -Thư viện Quốc gia Việt Nam -Trung tâm thông tin tư liệu Trường Đại học Quy Nhơn Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn, hướng dẫn PGS TS Phan Hoàng Chơn PGS TS Nguyễn Sum Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết luận án trung thực, đồng tác giả thầy hướng dẫn cho phép sử dụng đưa vào luận án chưa cơng bố trước Tập thể hướng dẫn khoa học PGS TS Phan Hoàng Chơn PGS TS Nguyễn Sum i Tác giả Phạm Bích Như Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn tận tình hướng dẫn giúp đỡ PGS TS Phan Hoàng Chơn, PGS TS Nguyễn Sum nhiều người khác Nhân dịp xin gửi lời tri ân đến tất người giúp đỡ Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Phan Hoàng Chơn, người thầy, người anh người bạn đồng hành động viên suốt trình học tập nghiên cứu sinh Mặc dù bận rộn thầy kiên trì giảng dạy, hướng dẫn cho kiến thức Tôpô đại số tuần suốt năm Nếu khơng có thầy tơi khơng thể có tâm để theo đuổi việc học tập nâng cao trình độ Tơi xin bày tỏ lời tri ân sâu sắc PGS TS Nguyễn Sum, thầy giảng dạy, hướng dẫn cho tơi nhiều ý kiến đóng góp q báu chun mơn định hướng nghiên cứu Thầy người nghiêm túc học thuật lại gần gũi, giản dị sống nhân duyên để trở thành nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn Lời cảm ơn chân thành gửi đến PGS TS Lê Cơng Trình, thầy động viên hướng dẫn thủ tục cần thiết để tơi hồn thành chương trình học Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học q Thầy, Cơ Khoa Tốn tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành tốt việc học tập trường Xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Cần Thơ, Khoa Khoa học Tự nhiên, q thầy Bộ mơn Tốn chia sẻ công việc, động viên giúp đỡ nhiều để tơi thuận lợi hồn thành việc học tập nâng cao trình độ Cảm ơn chị Dương Thị Tuyền thấu hiểu cho em lời khuyên chân thành Xin cảm ơn anh, chị, em học nghiên cứu sinh Trường Đại học Quy Nhơn, đặc biệt hai cô em gái dễ thương TS Dư Thị Hịa Bình TS Lưu Thị Hiệp, sát cánh động viên, giúp đỡ nhiều cho từ ngày đầu Quy Nhơn học tập để tơi vượt qua khó khăn có thêm động lực hồn thành tốt chương trình nghiên cứu sinh Lời cuối cùng, tơi muốn cảm ơn đến đại gia đình tơi ln chia sẻ, động viên tơi lúc khó khăn, đặc biệt tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến mẹ tôi, người sinh tôi, suốt đời hy sinh cho chị em Cảm ơn mẹ chăm sóc cháu để yên tâm học tập Cảm ơn chồng ủng hộ định em Cảm ơn hai cho mẹ thêm động lực để mẹ khơng ngừng cố gắng Bình Định, tháng 04 năm 2021 Tác giả Phạm Bích Như ii MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số Steenrod 1.2 Môđun đại số Steenrod 1.3 Đồng cấu Lannes-Zarati 1.4 Phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum 1.5 Đại số Lambda đại số Dyer-Lashof 1.6 Dãy phổ Chương Biểu diễn dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 11 2.1 Hàm tử Singer 11 2.2 Biểu diễn mức độ dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati 13 2.3 Chứng minh Mệnh đề 2.2.2 14 2.4 Toán tử lũy thừa 15 2.5 Trường hợp p = 16 Chương Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati 17 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati mod p Fp 17 3.2 Đối đồng điều đại số Steenrod 17 3.3 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati mod p H ∗ (BZ/p) 20 3.4 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati modulo F2 H ∗ (BZ/2) 21 Kết luận 23 Tài liệu tham khảo 24 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án iii Mở đầu Các hàm tử đồng điều đối đồng điều kì dị cơng cụ sử dụng để nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô Một vấn đề quan trọng nghiên cứu toán phân loại kiểu đồng luân không gian tôpô xác định nhóm đồng luân, đặc biệt nhóm đồng luân ổn định mặt cầu Trong [1], Adams xây dựng dãy phổ, sau gọi dãy phổ Adams, hội tụ thành phần p-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu ∗,∗ (Fp , Fp ) π∗S (S0 ) Trang E2 dãy phổ Adams đối đồng điều đại số Steenrod ExtA Kể từ cơng trình đời, việc xác định đối đồng điều đại số Steenrod trở thành đề tài hấp dẫn, thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Từ năm 60 kỷ trước, nhà tốn học có nhiều cơng trình nghiên cứu Ext∗,∗ A (Fp , Fp ) với p = 2, tiêu biểu có cơng trình Adams [1], Wang [65], May [46], Tangora [64], Lin [39], Lin-Mahowald [40], Bruner [10] nhiều công trình khác Tuy nhiên, tốn khó Cho đến nay, tốn xác định đối đồng điều đại số Steenrod mở, đặc biệt trường hợp p lẻ Có nhiều cơng cụ nhiều phương pháp tiếp cận để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod đại số vi phân phân bậc Lambda (xem Bousfield [6], Chen [11], Lin [39], Priddy [54], Singer [56], Wang [65]), dãy phổ May (xem May [44], [45], Tangora [64], Lin [39], Chơn-Hà [14, 15]), giải thức tối tiểu (xem Bruner [9]) cơng cụ bất biến modular Điển hình cho cơng cụ bất biến modular đồng cấu chuyển đại số (hay gọi đồng cấu chuyển Singer) Singer [57] xây dựng năm 1989 đồng cấu Lannes-Zarati Lannes-Zarati xây dựng [72] Đồng cấu Lannes-Zarati mod p định nghĩa lần Lannes-Zarati [72] sau, với A -môđun không ổn định M với số nguyên s ≥ 0, s,s+t ϕM (M, Fp ) −→ Ann((Rs M )# )t , s : ExtA đây, với A -môđun N bất kỳ, ký hiệu N # đối ngẫu N Ann(N # ) không gian N # bao gồm tất phần tử triệt tiêu tác động phần tử bậc dương A Rs M xây dựng Singer Hơn nữa, đồng cấu Lannes-Zarati mod p xem phân bậc liên kết ánh xạ Hurewicz H : π∗S (X) ∼ = π∗ (QX) → H∗ (QX) trang E2 dãy phổ Adams hội tụ đến π∗S (X), QX := limn Ωn Σn X không gian vịng lặp vơ hạn (xem Lannes-Zarati [71], Lannes [70] cho trường hợp p = Kuhn [38] cho trường hợp p số nguyên tố lẻ) Do đó, việc nghiên cứu dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati mod p cịn có liên quan mật thiết với việc mơ tả ảnh ánh xạ Hurewicz Với p = 2, Lannes Zarati [72] ϕF1 đẳng cấu ϕF2 toàn cấu Sau đó, Hưng cộng [27], [32], [34] làm sáng tỏ kết quả, ϕFs với ≤ s ≤ tầm thường tất phần tử có gốc dương Những kết có quan hệ mật thiết với giả thuyết Curtis [22] lớp cầu cho trường hợp p = (và Wellington [66] cho trường hợp p lẻ) thông qua kết Adams [1] Browder [8] phần tử bất biến Hopf phần tử bất biến Kervaire π∗S S0 (nếu tồn tại) phát tương ứng chu trình 2,∗ ∗ ∞ vĩnh cửu Ext1,∗ M = H ∗ RP n , A (F2 , F2 ) ExtA (F2 , F2 ) Thêm vào đó, với M = H RP M M Hưng Tuấn [34] chứng minh ϕ0 đẳng cấu, ϕ1 không tầm thường ϕM s bị triệt tiêu tất phần tử có gốc dương với s = 2, s = s = Kết rằng, dáng điệu ϕM s có quan hệ chặt chẽ với giả thuyết Eccles (xem phần thảo luận Zare [67]) Do đó, hiểu biết đồng cấu Lannes-Zarati mod p đóng vai trị quan trọng việc nghiên cứu ánh xạ Hurewicz việc khảo sát giả thuyết lớp mặt cầu Như thảo luận trên, đồng cấu Lannes-Zarati mod nghiên cứu cách cẩn thận nhiều tác giả suốt thời gian dài đồng cấu Lannes-Zarati mod p với p nguyên tố lẻ chưa nhiều người quan tâm nghiên cứu Trong luận án tập trung nghiên cứu dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati mod p với p lẻ # Cụ thể, thiết lập biểu diễn mức độ dây chuyền (ϕM s ) phức dây chuyền # Singer-Hưng-Sum biểu diễn mức độ dây chuyền ϕM s phức Λ ⊗ M , với A -môđun M Việc sử dụng đại số Lambda để nghiên cứu ảnh nhân đồng cấu Lannes-Zarati mod p (1.6) cho trường hợp M = Fp tránh việc phải sử dụng kết toán “hit” Rs Fp [30], [25], [27], [32] Với phương pháp thu được kết F dáng điệu ϕs p với s ≤ trường hợp p lẻ Tuy nhiên, với s lớn, việc tính tốn gặp nhiều khó khăn quan hệ Adem đại số Dyer-Lashof mod p R, nói chung khó tính, R xem đối ngẫu Rs Fp Để khắc phục khó khăn này, chúng tơi phát triển tốn tử lũy thừa P tác động lên ∗ Exts,∗ A (Fp , Fp ) (xem Liulevicius [41] May [19]) Với M = Fp M = H (BZ/p), # tồn toán tử lũy thừa P tác động Exts,∗ A (M, Fp ) (Fp ⊗A Rs M ) M Hơn nữa, tác động tương thích với thơng qua đồng cấu Lannes-Zarati mod p ϕs 0 Một họ {ai : i ≥ i0 } ⊂ Exts,∗ A (M, Fp ) gọi P -họ ai+1 = P (ai ) với i ≥ i0 Kết M M cho phép xác định ϕs (ai ) thông qua ϕs (ai0 ), điều làm giảm đáng kể tính tốn F H ∗ (BZ/p) việc nghiên cứu dáng điệu ϕs p với s ≤ ϕs với s ≤ cho trường hợp p số nguyên tố lẻ Chú ý phương pháp chúng tơi sử dụng cho trường hợp p = với sửa đổi bậc Ngoài phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận án chia làm chương Chương 1, chúng tơi trình bày kiến thức cần thiết cho phần luận án Các kết luận án trình bày Chương Chương Chương 2, nghiên cứu biểu diễn mức độ dây chuyền đối ngẫu ϕM s phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum biểu diễn mức độ dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati # ϕM s phức Λ ⊗ M Chương 3, chúng tơi trình bày kết thu nghiên cứu đồng cấu Lannes-Zarati mod p Fp H ∗ (BZ/p), kể trường hợp p = Các kết luận án công bố báo [17, 18, 50] báo cáo tại: • Hội nghị Khoa Học lần thứ IX Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQG TPHCM thời gian từ ngày 09 đến 10/11/2018; • Hội Nghị Tốn học Việt-Mỹ , Quy Nhơn, Bình Định từ ngày 09 đến 14/06/2019; • Hội nghị Tốn học Miền Trung-Tây Ngun lần III, Bn Ma Thuột, Đắk Lắk, từ ngày 02-04/08/2019; • Báo cáo Seminar Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đại số Steenrod Vào năm 1947, Steenrod [61] định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian tơpơ Các tốn tử đối đồng điều tác động cách tự nhiên đối đồng điều không gian tôpô X Sq i : H n (X, F2 ) → H n+i (X, F2 ), gọi toán tử Steenrod với ∀i ≥ 0, n ≥ Năm 1952, Steenrod [60] tiếp tục xây dựng toán tử Steenrod trường Fp với p số nguyên tố lẻ Định nghĩa 1.1.2 Cho X khơng gian tơpơ Các tốn tử đối đồng điều tác động cách tự nhiên đối đồng điều không gian tôpô X P i : H n (X, Fp ) → H n+i (X, Fp ), gọi lũy thừa Steenrod với ∀i ≥ 0, n ≥ Cùng năm đó, Adem [3] chứng minh tất quan hệ đại số Steenrod sinh từ tập quan hệ [a/2] a b−i−1 a − 2i b Sq Sq = i=0 Sq a+b−i Sq i , (1.1) với a < 2b ( trường hợp p = 2) [i/p] i j (p − 1)(j − t) − i − pt (−1)i+t P P = t=0 P i+j−t P t , (1.2) với i < pj, [i/p] i j (−1)i+t P βP = t=0 (p − 1)(j − t) i − pt [i−1/p] (−1)i−1+t − t=0 βP i+j−t P t (p − 1)(j − t) − i − pt − P i+j−t βP t , (1.3) với i ≤ pj (trường hợp p lẻ), hệ số nhị thức lấy theo mod p, ký hiệu [x] phần nguyên x, số nguyên lớn khơng vượt q x β tốn tử Bockstein Từ kết trên, cách túy đại số, ta định nghĩa đại số sinh toán tử Steenrod (được gọi đại số Steenrod) sau Định nghĩa 1.1.3 Đại số Steenrod A đại số phân bậc, có đơn vị trường Fp sinh phần tử Sq i bậc i ≥ 0, thỏa mãn Sq = quan hệ Adem (1.1) (cho p = 2); sinh phần tử P i , i ≥ bậc 2(p − 1)i β bậc 1, thỏa mãn P = 1, β = quan hệ Adem (1.2), (1.3) (cho p lẻ) Mệnh đề 1.1.4 (Xem Steenrod-Epstein [61]) Tập hợp tất đơn thức chấp nhận sở đại số Steenrod A , xem không gian véctơ phân bậc Fp Mệnh đề 1.1.5 (Xem Steenrod-Epstein [61]) Với i ≥ 0, tốn tử P k khơng phân tích i k lũy thừa p Khi đó, tập hợp {Sq 2i |i ≥ 0} với p = {P p |i ≥ 0} ∪ {β} với p lẻ, tập sinh đại số A Mệnh đề 1.1.6 (Xem Steenrod-Epstein [61]) A∗ đại số Hopf có sở gồm đơn thức có dạng τ0ε0 ξ1r1 τ1ε1 ξ2r2 · · · εi = 1.2 Môđun đại số Steenrod Định nghĩa 1.2.1 Một A -môđun M gọi không ổn định với phần tử x ∈ M, • Sq i x = với deg(x) < i p = • β ε P i (x) = với deg(x) < 2i + ε, ε = 0, p > Phạm trù tất A -môđun không ổn định ký hiệu U Định nghĩa 1.2.2 Cho A -môđun M , treo thứ s M , ký hiệu Σs M , định nghĩa (Σs M )n = M n−s Tác động đại số Steenrod lên s M cho θ(Σs m) = (−1)s deg θ Σs (θm) với m ∈ M θ ∈ A 1.3 Đồng cấu Lannes-Zarati / M Hàm tử Hàm tử bất ổn định hóa D : M → U phụ hợp trái phép nhúng U mô tả cách chi tiết sau D(M ) := M/EM, EM := SpanFp {β P i x : + 2i > deg(x), x ∈ M } Khi đó, D(M ) đồng với A -môđun M bao gồm tất phần tử bậc không âm /Fp ⊗A M cảm sinh A -đồng cấu D(M ) /D(Fp ⊗A Với A -môđun tùy ý M , phép chiếu M / M ) Do đó, tồn A -đồng cấu D(M ) Fp ⊗A M hợp nối đồng cấu sau D(M ) / D(Fp ⊗A M )   / Fp ⊗A M Đồng cấu cảm sinh ánh xạ tương ứng hàm tử dẫn xuất iM s : Ds (M ) / TorA (Fp , M ) s Bổ đề 2.3.1 Phần tử γ ∈ EBs−1 (A , A , Σ1−s M ) ⊂ Bs−1 (A , A , Σ1−s M ) Bổ đề 2.3.2 Phần tử [X(γ)] chu trình DBs (A , A , Σ1−s M ) Hơn nữa, qua đẳng cấu ∼ = ∂∗ : Ds (Σ1−s M ) − → Hs−1 (EBs−1 (A , A , Σ1−s M )), ∂∗ ([X(γ)]) = [γ] Bổ đề 2.3.3 Ảnh [γ] ∈ Hs−1 (EBs−1 (A , A , Σ1−s M )) qua δs−1 cho δs−1 ([γ]) = (−1) (s−2)(s−1) +(s−1)(deg γ+δ) [Σγ] ∈ D0 (ΣPs ⊗ M ) (p−1)(i1 +nps−1 )− Bổ đề 2.3.4 Cho γ = I∈Iγ ωI (−1)sn u11 v1 (Γ+ M )s , m ∈ M 2n+δ (δ = 0, 1), ωI (−1)i1 +···+is ×β 1− P i1 +np γ= s−1 (x1 y1−1 (β 1− P i2 +np s−2 (p−1)(is +n)− · · · uss vs s Ss (m) ∈ Rs M ⊂ (x2 y2−1 · · · (β 1− s P is +n (xs ys−1 ⊗m))))) I∈Iγ Để chứng minh Bổ đề 2.3.4, ta cần kết Bổ đề 2.3.5 (Hưng-Sum [33]) Cho H ∗ BE1 = E(x) ⊗ Fp [y] m, n ∈ M với M A -đại số Khi đó, ta có Ss (mn) = Ss (m) · Ss (n); Ss (x) = (−1)s us+1 ; Ss (y) = (−1)s vs+1 Hệ 2.3.6 S1 (ui ) = −ui+1 ; S1 (vi ) = −vi+1 2.4 Toán tử lũy thừa Vào đầu năm 60 Liulevicius [41], [42] chứng minh tồn toán tử lũy thừa / Sq : Exts,s+t (F2 , F2 ) A s,2(s+t) ExtA (F2 , F2 ) Toán tử Sq gọi toán tử Squaring cổ điển Hưng [26] xây dựng toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson P (F2 ⊗GLs H∗ (BEs )) / P (F2 Sq : P (F2 ⊗GLs H∗ (BEs ))d ⊗GLs H∗ (BEs ))(2d+s) Sau đó, Hưng [27, Định lý 1.3] toán tử squaring Sq P (F2 ⊗GLs H∗ (BEs )) giao hoán với toán tử squaring cổ điển Sq Exts,s+t (F2 , F2 ) qua đồng cấu Lannes-Zarati mod A ϕFs Toán tử Hưng-Tuấn phát triển [34] Các kết Liulevicius [41], [42] May [46] chứng minh tồn toán tử lũy thừa cho trường hợp p lẻ / s,s+t P : ExtA (Fp , Fp ) 15 s,p(s+t) ExtA (Fp , Fp ) Biểu diễn mức độ dây chuyền P Λ cho P (λi11−1 · · · λiss−1 ) = λpi11 −1 · · · λpiss −1 , = · · · = s = 1, 0, trường hợp khác Bổ đề 2.4.1 Tốn tử P khơng làm tăng trội phần tử Λ Do đó, tồn toán tử, ký hiệu P , tác động lên đại số Dyer-Lashof R cho P (β Qi1 · · · β s Qis ) = β Qpi1 · · · β s Qpis , = · · · = s = 1, 0, trường hợp khác Bổ đề 2.4.2 Toán tử P tương thích với tác động A Đặc biệt, 0 P ((β Qi1 · · · β s Qis )P k ) = (P (β Qi1 · · · β s Qis ))P pk (2.3) Tương tự, toán tử lũy thừa P tác động lên Λ ⊗ H cảm sinh toán tử lũy thừa (Fp ⊗A Rs P )# toán tử ký hiệu P Mệnh đề 2.4.3 Với M = Fp M = P , biểu đồ sau giao hoán Exts,s+t (M, Fp ) A ϕM s (Fp ⊗A 2.5  P0 / s,p(s+t) ExtA ϕM s Rs M ) # t P 0/ (M, Fp )  (Fp ⊗A Rs M )# p(s+t)−s Trường hợp p = Mệnh đề 2.5.1 Cho A -môđun không ổn định M , tập hợp tất phần tử QI ⊗ với chạy khắp sở M # , I chấp nhận e(I) ≥ | |, biểu diễn F2 -cơ sở (Rs M )# # / (Rs M )# Mệnh đề 2.5.2 Cho A -môđun không ổn định M , phép chiếu ϕM s : Λs ⊗ M / [QI ⊗ ], biểu diễn mức độ dây chuyền đồng cấu Lannes-Zarati cho λI ⊗ M mod ϕs Mệnh đề 2.5.3 (Hưng-Tuấn [34, Định lý 4.1]) Biểu đồ sau giao hoán Exts,s+t (M, F2 ) A ϕM s (F2 ⊗A  Sq / s,2(s+t) ExtA ϕM s Rs M )# t Sq / với M = F2 M = H ∗ (BZ/2) 16  (M, F2 ) (F2 ⊗A Rs M )# 2t+s , Chương Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati 3.1 Ảnh đồng cấu Lannes-Zarati mod p Fp Định lý 3.1.1 (Chơn-Như [17, Định lý 4.1]) Đồng cấu Lannes-Zarati mod p hạng ϕ1 p : Ext1,1+t (Fp , Fp ) A F / Ann(B[1]# )t đẳng cấu Định lý 3.1.2 (Chơn-Như [17, Định lý 4.2]) Đồng cấu Lannes-Zarati mod p hạng ϕ2 p : Ext2,2+t (Fp , Fp ) A F / Ann(B[2]# )t không tầm thường phần tử có gốc t = t = 2(p − 1)pi+1 − 2, i ≥ Chú ý 3.1.3 (Chơn-Như [17, Chú ý 4.3]) Từ kết Wellington [66, Định lý 11.11], Ann(R2 ) i i F sinh Q0 Q0 , βQp (p−1) βQp , i ≥ 0, Qs(p−1) Qs , s = pi + · · · + 1, i > Do đó, ϕ2 p khơng phải tồn cấu Định lý 3.1.4 (Chơn-Như [18, Định lý 5.1]) Đồng cấu Lannes-Zarati mod p hạng / (Fp ϕ3 p : Ext3,3+t (Fp , Fp ) A F ⊗A R3 Fp )# t đơn cấu với t = bị triệt tiêu với t > F F F p Bổ đề 3.1.5 Nếu λI ∈ Λs λJ ∈ Λk cho ϕs p (λI ) = ϕk p (λJ ) = ϕs+k (λI λJ ) = 3.2 Đối đồng điều đại số Steenrod Trong phần này, xây dựng dãy phổ phức Λ ⊗ H∗ (BZ/p), dãy phổ xem phiên tổng quát dãy phổ Cohen-Lin-Mahowald [20], Lin [39], Chen [11] sử dụng cho trường hợp p lẻ Sau đó, chúng tơi sử dụng dãy phổ để tính đối đồng điều đại s,s+t số Steenrod ExtA (H ∗ (BZ/p), Fp ) sử dụng kết để khảo sát dáng điệu đồng cấu Lannes-Zarati trường hợp M = H ∗ (BZ/p) 17 Dãy phổ phức Λ ⊗ H∗ (BZ/p) Cho F n := F n (Λ ⊗ H∗ (BZ/p)), n ≥ lọc phức Λ ⊗ H∗ (BZ/p), F (Λ ⊗ H∗ (BZ/p)) := với n > 0, F n (Λ ⊗ H∗ (BZ/p)) := {λ ⊗ h ∈ Λ ⊗ H∗ (BZ/p) : |h| ≤ n} n,s,t n,s,t Khi đó, E0n,s,t = (F n (Λs ⊗ H∗ (BZ/p))/F n−1 (Λs ⊗ H∗ (BZ/p)))t ∼ = Σn Λs , đó, E1 = H ∗ (E0 ) ∼ = s,s+t−n n n,s,t ∼ n s n−1 s t Σ ExtA (Fp , Fp ), E∞ = (F H (Λ ⊗ H∗ (BZ/p))/F H (Λ ⊗ H∗ (BZ/p))) , s n s s n / H (Λ ⊗ H∗ (BZ/p)) Do đó, ⊕n≥1 E n,s,t ∼ F H (Λ ⊗ H) := im H (F (Λ ⊗ H∗ (BZ/p))) = ∞ s,s+t ExtA ∗ (H (BZ/p), Fp ) Đối đồng điều đại số Steenrod d r → Er∗,1,∗ cho bổ đề sau Vi phân Er∗,0,∗ − d r → Er∗,1,∗ cho danh sách sau đây: Bổ đề 3.2.1 Vi phân không tầm thường Er∗,0,∗ − / α0 ab[t−1] , (3.2.1.1) b[t] (3.2.1.2) ab với t ≥ 1; / [(mp+k)pi −1] i − (k + 1)hi ab[((m−1)p+k+1)p −1] , với i ≥ 0, ≤ k ≤ p − 1, m ≥ ∗ Định lý 3.2.2 (Chơn-Như [18, Định lý 5.3], Crossley [21, Định lý 1.1]) Nhóm mở rộng Ext0,t A (H (BZ/p), Fp ) có Fp -cơ sở gồm tất phần tử 0,2(p−1)pi −1 i hi := ab[(p−1)p −1] ∈ ExtA (H ∗ (BZ/p), Fp ), i ≥ 0; i i −1 (H ∗ (BZ/p), Fp ), i ≥ 0, ≤ k < p − hi (k) := ab[kp −1] ∈ Ext0,2kp A d r → Er∗,2,∗ cho bổ đề sau Vi phân Er∗,1,∗ − d r Bổ đề 3.2.3 Những vi phân không tầm thường Er∗,1,∗ − → Er∗,2,∗ cho danh sách sau đây: / α2 ab[t−1] , (3.2.3.1) α0 b[t] (3.2.3.2) α0 ab với t ≥ 1; / [mp+k] − k+2 / (k i (3.2.3.3) α0 ab[(mp+k)p −1] (3.2.3.6) h0 b[mp+ ] (3.2.3.7) h0 b / i + 1)α0 hi ab[((m−1)p+k+1)p −1] , với i ≥ 1, m ≥ 1; / (k i (3.2.3.4) α0 ab[(mp+k)p −p+p−2] (3.2.3.5) hi b[t] ρab[(m−2)p+k+2] , với ≤ k < p − 2, m ≥ 2; − hi α0 ab[t−1] , với i ≥ 1, t ≥ 1; / 1( − 1)ρab[(m−1)p+ ] , với m ≥ / [(mp+e)pi −p2 +kp+1] / (3.2.3.8) hi ab [(mp+k)pj −1] (3.2.3.9) hi ab [(mp+k)pi−1 +pi−1 −1] (3.2.3.10) hi ab i + 1)α0 hi ab[((m−1)p+k+1)p −p+p−2] , với i ≥ 1, m ≥ 1; i − (e + 1)h0 hi b[((m−1)p+e+1)p −p − (k + 1)hi hj ab [(mp+k)pi +(p−1)pi−1 −1] = 1; / − / k+2 [((m−1)p+k+1)pj −1] +kp+1] , với i ≥ 1, m ≥ 1, ≤ j < i; hi−1;1,2 ab[((m−2)p+k+2)p − 12 (k − 1)hi−1;2,1 ab 18 , với i ≥ 2, m ≥ 0; i−1 +pi−1 −1] [((m−1)p+k)pi +pi −1] , với i ≥ 1, m ≥ 1; , với i ≥ 1, m ≥ 1; i+2 (3.2.3.11) hi ab[(mp+k)p +rp (p − 1)pi−1 − 1; / r+2 i+1 +pi +u] i+2 +(r+2)pi+1 +pi +u] hi;2,1 ab[(mp+k−2)p / − (k + 1)hi hj ab[((m−1)p+k+1)p (3.2.3.12) hi ab[(mp+k)p −p +v] 1, v = (p − 2)pi+1 + pi + (p − 1)pi−1 − 1; j i+2 j i+1 (3.2.3.15) hi ab 0; ˜ i ab[((m−1)p+k+2)pi+1 −1] , /λ i+1 +pi −1] với i ≥ 0, m ≥ 1; / − ( + 1)hi hj ab[((m−1)p+ +1)p (3.2.3.16) hi ab[(mp+ )p −p +w] i+1 i 1, w = (p − 2)p + ep + pi − 1; i+2 j −pi+2 +w] / −( +1)hi hj ab[((m−1)p+ +1)p (3.2.3.17) hi ab[(mp+ )p −p +kp +x] m ≥ 1, k = p − 2, x = pi+1 − j i+2 với j −2 ≥ i ≥ 1, m ≥ / (k+2)(e+1) hi;1,2 ab[(m−1)pi+2 +kpi+1 +(e+1)pi +pi −1] , [mpi+2 +kpi+1 +epi +pi −1] j , với j − ≥ i ≥ 1, m ≥ / −(k+1)hi hj ab[((m−1)p+k+1)pj −pi+1 +pi +u] , i (3.2.3.13) hi ab[(mp+k)p −p +p +u] 0, u = (p − 1)pi−1 − 1; (3.2.3.14) hi ab[(mp+k)p j −pi+2 +v] , với i ≥ 1, m ≥ 0, u = i+1 với i ≥ 0, m ≥ , với j − ≥ i ≥ 0, m ≥ j −pi+2 +kpi+1 +x] , với j −2 ≥ i ≥ 0, ∗,1,∗ Mệnh đề 3.2.4 (Chơn-Như [18, Mệnh đề A.3]) Trang vơ E∞ có Fp -cơ sở bao gồm tất phần tử cho Bảng 3.1 ∗,1,∗ Bảng 3.1: Phần tử sinh E∞ Phần tử α0 hi α0 hi (k) α( ) hi hi (1) hi hj hi hj (k) di (k) ki (k) pi (k) Phần tử đại diện i α0 ab[(p−1)p −1] i α0 ab[kp −1] α0 ab[p+ ] i hi ab[p −1] j hi ab[(p−1)p −1] j hi ab[kp −1] i hi ab[kp +(p−1)p i+1 i−1 −1] i hi ab[kp +p −1] i+1 i hi ab[(p−1)p +(k+1)p −1] t 2(p − 1)pi − 2kpi − 2(p + ) + 2(p − 1)pi + 2pi − 2(p − 1)(pi + pj ) − 2(p − 1)pi + 2kpj − 2(p − 1)(pi + pi−1 ) +2kpi − 2(k + 1)pi+1 − 2(p − 1)(pi + pi+1 ) +2(k + 1)pi − Vùng số i≥1 i ≥ 1, ≤ k < p − 0≤