Bài giảng toán học tổ hợp chương 5 phương pháp đếm dùng hàm sinh

Bài giảng Toán tổ hợp Nguyễn Anh Thi ĐH KHTN, Tp HCM Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG HÀM SINH Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Nội dung Nội dung Định nghóa hàm sinh Hệ số hàm sinh Phân hoạch Hàm sinh mũ Phương pháp tổng Bài toán đệ quy Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Định nghóa hàm sinh Định nghóa hàm sinh Định nghóa Cho {an }n≥0 dãy số thực, chuỗi lũy thừa hình thức A(x) = n≥0 an xn gọi hàm sinh thông thường (hay hàm sinh) dãy {an }n≥0 Ví dụ Xét tập hợp X với m phần tử, gọi an số tập có n phần tử X, m an = n Ta hàm sinh dãy số thực {an }n≥0 A(x) = + m x+ Nguyeãn Anh Thi ( ÑH KHTN, Tp HCM) m x2 + · · · + · · · + Bài giảng Toán tổ hợp m m xm = (1 + x)m / 54 Định nghóa hàm sinh Định nghóa hàm sinh Ví dụ Tìm hàm sinh ar , với ar số cách để chọn r viên bi từ viên bi màu xanh, viên bi màu trắng, viên bi màu đỏ, viên bi màu vàng Bài toán đưa toán tìm số nghiệm nguyên phương trình e1 + e2 + e3 + e4 = r với ≤ ei ≤ Ở e1 số viên bi màu xanh chọn, e2 số viên bi màu trắng, e3 số viên bi màu đỏ, e4 số viên bi màu vàng Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Định nghóa hàm sinh Định nghóa hàm sinh Ta xây dựng tích nhân tử đa thức cho sau nhân đa thức lại với nhau, ta tất hạng tử có dạng xe1 xe2 xe3 xe4 , ≤ ei ≤ Như ta cần nhân tử, nhân tử + x + x2 + x3 , bao gồm tất lũy thừa nhỏ hay x Ta hàm sinh cần tìm (1 + x + x2 + x3 )4 =1 + 4x + 10x2 + 20x3 + 31x4 + 40x5 + 44x6 + + 31x8 + 40x7 + 20x9 + 10x10 + 4x11 + x12 Nguyeãn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Định nghóa hàm sinh Định nghóa hàm sinh Ví dụ Tìm hàm sinh {ar }r≥0 , với ar số cách để chọn r từ lê, cam, chanh, mận Giải Tương tự ví dụ ar số nghiệm nguyên phương trình e1 + e2 + e3 + e4 = r với ≤ e1 ≤ 6, ≤ e2 ≤ 5, ≤ e3 ≤ 3, ≤ e4 ≤ Để tìm hàm sinh ta xây dựng tích nhân tử đa thức cho sau nhân đa thức lại với nhau, ta tất hạng tử có dạng xe11 xe22 xe33 xe44 Các nhân tử đa thức tương ứng là: + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 , 1+x+x2 +x3 +x4 +x5 , 1+x+x2 +x3 , vaø 1+x+x2 +x3 Vậy hàm sinh cần tìm (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 )(1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )(1 + x + x2 + x3 )2 Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Định nghóa hàm sinh Định nghóa hàm sinh Ví dụ Tìm hàm sinh {ar }r≥0 , với ar số cách chia r đồng xu vào hộp với điều kiện: Số đồng xu hộp hộp số chẵn không 10, hộp lại chứa đến đồng xu Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Định nghóa hàm sinh Định nghóa hàm sinh Ví dụ Tìm hàm sinh {ar }r≥0 , với ar số cách chia r đồng xu vào hộp với điều kiện: Số đồng xu hộp hộp số chẵn không 10, hộp lại chứa đến đồng xu Giải ar số nghiệm nguyên phương trình e1 + e2 + e3 + e4 + e5 = r với e1 , e2 chẵn, ≤ e1 , e2 ≤ 10, vaø ≤ e3 , e4 , e5 ≤ Để tìm hàm sinh ta xây dựng tích nhân tử đa thức cho sau nhân đa thức lại với nhau, ta tất hạng tử có dạng xe1 xe2 xe3 xe4 xe5 Ta nhân tử đa thức tương ứng với e1 e2 (1 + x2 + x4 + x6 + x8 + x10 ), tương ứng với e3 , e4 , e5 laø (x3 + x4 + x5 ) Haøm sinh cần tìm (1 + x2 + x4 + x6 + x8 + x10 )2 (x3 + x4 + x5 )3 Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Hệ số hàm sinh Hệ số hàm sinh Trong phần này, sử dụng số kỷ thuật để tính toán hệ số hàm sinh Phương pháp chủ yếu đưa hàm sinh phức tạp hàm sinh kiểu nhị thức tích hàm sinh kiểu nhị thức Ta cần sử dụng số khai triển sau: Một số khai triển đa thức − xm+1 = + x + x2 + x3 + · · · + xm 1−x (2) = + x + x2 + · · · 1−x n n x2 + · · · + (3) (1 + x)n = + x+ (1) (4) (1 − xm )n = − · · · + (−1)n n n Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) n xm + n n r xr + · · · + x2m + · · · + (−1)k n k n n xn xkm + xnm Baøi giảng Toán tổ hợp / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh thông thường toán đệ quy (2)Do ta G(x) = 500x 1000 + − 1.05x (1 − x)(1 − 1.05x) (3)Ta thaáy 1000 = 1000 · − 1.05x 1.05n xn n≥0 hệ số xn biểu thức 1000 · 1.05n Xét thành phần thứ hai Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) 500x (1−x)(1−1.05x) = 500x Bài giảng Toán tổ hợp n≥0 x n n≥0 1.05 n xn 41 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh thông thường toán đệ quy Trong tích xn−1 tạo thành từ xi tổng thứ 1.05n−1−i xn−1−i từ tổng thứ hai với ≤ i ≤ n − Do hệ số xn 500x (1−x)(1−1.05x) n−1 1.05i = 500 500 i=0 1.05n − = 10000 · (1.05n − 1) 1.05 − Ta hệ số an = 1000 · 1.05n + 10000 · (1.05n − 1) = 1.05n 11000 − 10000 Thử lại ta kết Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 42 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh thông thường toán đệ quy Ví dụ Cho hệ thức đệ quy an+1 = 4an − 100, a0 = 50 Tìm công thức cho an Đáp aùn: an = 50 · 4n − 100 · 4n −1 Ví dụ Cho hệ thức đệ quy an+2 = 3an+1 − 2an , vaø a0 = 0, a1 = Tìm công thức cho an Đáp aùn: an = 2n − Nguyeãn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 43 / 54 Bài toán đệ quy Định lý (Công thức tích cho hàm sinh thông thường) Gọi an số cách để xây dựng cấu trúc tập n phần tử, bn số cách để xây dựng cấu trúc khác tập n phần tử Gọi cn số cách để chia [n] thành đoạn S = {1, 2, · · · , i} vaø T = {i + 1, i + 2, · · · , n}, (S T rỗng), xây dựng cấu trúc loại thứ lên S, cấu trúc loại thứ hai lên T Gọi A(x), B(x), C(x) hàm sinh tương ứng dãy {an }, {bn }, {cn } Thì A(x)B(x) = C(x) Ví dụ Một học kỳ trường đại học có n ngày Đầu học kỳ, cô hiệu trưởng chia học kỳ làm phần, k ngày dùng cho lý thuyết, n − k ngày lại dùng cho thực hành (ở ≤ k ≤ n − 2) Trong đợt dạy lý thuyết có ngày nghỉ, đợt dạy thực hành có ngày nghỉ Hỏi cô hiệu trưởng có cách khác để làm vậy? Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 44 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh thông thường toán đệ quy Nếu đợt dạy lý thuyết có k ngày ta có k cách để chọn ngày n−k cách để nghỉ, đợt dạy thực hành có n − k ngày có chọn ngày nghỉ Các hàm sinh tương ứng A(x) = k≥1 kxk , m xm Ta có i≥0 xi = 1−x B(x) = m≥2 x x2 Lấy đạo hàm ta A(x) = (1−x) B(x) = (1−x)3 Gọi fn số cách để chia học kỳ hai phần chọn ngày nghỉ, gọi F(x) hàm sinh Khi ta có A(x)B(x) = F(x) Do F(x) = x3 = x3 (1 − x)5 n≥0 Từ suy fn = n+1 Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) n+4 xn = n≥3 n+1 xn Bài giảng Toán tổ hợp 45 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh thông thường toán đệ quy Ví dụ Tương tự ví dụ thay chọn ngày nghỉ, hiệu trưởng chọn số ngày tự học hai phần học kỳ Hỏi có cách khác để hiệu trưởng làm vậy? Gọi gn số cách mà hiệu trưởng chọn Chia toán thành phần Gọi C(x) hàm sinh cho số cách để chọn tập ngày tự học phần thứ học kỳ Bởi tập k phần tử có 2k tập con, ta có C(x) = k≥0 2k xk = 1−2x Ta thấy phần thứ hai có hàm sinh giống phần thứ Do hàm sinh cần tìm n+2−1 (2x)n = F(x) = C(x)C(x) = (1−2x) = n≥0 n n+1 (2x)n = n≥0 (n + 1)2n xn Vậy ta gn = (n + 1)2n n≥0 Nguyeãn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 46 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh thông thường toán đệ quy Ví dụ Tìm số cách để chia n ngày học kỳ thành ba phần Trong đó, phần thứ số ngày nghỉ chọn tùy ý, phần thứ hai số ngày nghỉ số lẻ, phần thứ ba số ngày nghỉ số chẵn Đáp án: gn = 2n−3 n(n + 3) Ví dụ Gọi p≤k (n) số phân hoạch số nguyên n thành phần có nhỏ hay k, chứng minh ∞ k p≤k (n)xn = n≥0 i=1 1 − xi = (1 + x + x2 + x3 + · · · )(1 + x2 + x4 + x6 + · · · ) · · · (1 + xk + x2k + x3k + · · · ) Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 47 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh mũ toán đệ quy Tương tự hàm sinh thông thường, gọi G(x) hàm sinh mũ cho dãy {an }, ta thực theo số bước sau: (1) Chuyển hệ thức đệ quy thành phương trình G(x), thường thực cách nhân hai vế phương trình đệ quy cho xn /n!, hay xn+1 /(n + 1)!, hay xn+k /(n + k)! với k đó, lấy tổng tất số nguyên không âm n (2) Giải G(x) (3) Tìm hệ số xn /n! G(x), hệ số an , ta công thức tường minh cho an Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 48 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh mũ toán đệ quy Ví dụ Cho a0 = 1, vaø an+1 = (n + 1)(an − n + 1), n ≥ Tìm công thức cho an Chú ý Nếu giải toán cách dùng hàm sinh thông thường, gặp vấn đề lúc đưa kết Dãy {an } tăng nhanh, không tìm dạng hàm sinh thông thường tương ứng Do toán giải hàm sinh mũ Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 49 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh mũ toán đệ quy Gọi A(x) = xn n≥0 an n! hàm sinh mũ dãy {an }n≥0 Ta nhân hai vế hệ thức đệ quy với an+1 n≥0 xn+1 (n+1)! , xn+1 = (n + 1)! lấy tổng với n ≥ 0, ta an n≥0 xn+1 − n! (n − 1) n≥0 xn+1 n! Ta thấy vế trái A(x) − 1, hạng tử vế phải xA(x) Từ ta phương trình tương đương với A(x) − = xA(x) − x2 ex + xex A(x) = Heä số xn /n! n≥0 xn+1 n! + xex = 1−x n≥0 x n xn + n≥0 n≥0 xn+1 n! n!, hệ số xn /n! n Vậy hệ số xn /n! A(x) n! + n Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 50 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh mũ toán đệ quy Ví dụ Cho f0 = 0, vaø fn+1 = 2(n + 1)fn + (n + 1)! n ≥ Tìm công thức cho fn Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 51 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh mũ toán đệ quy Ví dụ Cho f0 = 0, fn+1 = 2(n + 1)fn + (n + 1)! neáu n ≥ Tìm công thức cho fn n Gọi F(x) = n≥0 fn xn! hàm sinh mũ dãy {fn } Nhân hai vế hệ thức với xn+1 /(n + 1)!, lấy tổng với n ≥ Ta xn+1 xn n+1 n≥0 fn+1 (n+1)! = 2x n≥0 fn n! + n≥0 x Do f0 = nên vế trái F(x), hạng tử thứ vế phải 2xF(x), hạng tử thứ hai vế phải x/(1 − x) Do đó, ta có x x F(x) = 2xF(x) + 1−x , hay F(x) = (1−x)(1−2x) Suy ra, (2n − 1)xn F(x) = n≥0 Ta hệ số xn /n! F(x) fn = (2n − 1)n! Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 51 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh mũ toán đệ quy Bổ đề xi i≥0 i! , Gọi {ai } {bk } hai dãy, gọi A(x) = hàm sinh Gọi cn = n i=0 n i vaø B(x) = xk k≥0 bk k! bn−i , vaø C(x) laø haøm sinh dãy {cn } Thì A(x)B(x) = C(x) Hay nói cách khác, hệ số xn /n! A(x)B(x) n bn−i cn = ni=0 i Nguyeãn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 52 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh mũ toán đệ quy Định lý (Công thức tích cho hàm sinh mũ) Gọi an số cách để xây dựng cấu trúc tập hợp n phần tử, bn số cách để xây dựng cấu trúc khác tập n phần tử Gọi cn số cách để chia đoạn [n] thành tập rời S T, (S ∪ T = [n]), xây dựng cấu trúc S, cấu trúc thứ hai lên T Gọi A(x), B(x), C(x) hàm sinh mũ tương ứng dãy {an }, {bn }, {cn }, A(x)B(x) = C(x) Ví dụ Một đội bóng có n cầu thủ Huấn luyện viên chia đội bóng thành hai nhóm, nhóm đứng thành dòng Các thành viên nhóm thứ mặt áo cam, áo trắng, áo xanh Các thành viên nhóm lại mặc áo đỏ Hỏi có cách để thực việc trên? Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 53 / 54 Bài toán đệ quy Ứng dụng hàm sinh mũ toán đệ quy Giả sử huấn luyện viên chọn k người để tạo thành nhóm thứ Gọi ak số cách để k người chọn áo cam, trắng, xanh, đứng thành dòng Thì ak = k!3k , hàm sinh mũ dãy {ak } laø k A(x) = k≥0 k!3k xk! = 1−3x Tương tự, giả sử có m người nhóm thứ hai Gọi bm số cách để m người đứng thành dòng, bm = m!, hàm sinh mũ dãy bm m B(x) = m≥0 m! xm! = 1−x Gọi cn số cách để thực tất việc trên, C(x) hàm sinh mũ tương ứng Theo công thức ta có 1 1 C(x) = A(x)B(x) = 1−3x · 1−x Do 1−3x = k≥0 3k xk , vaø 1−x = m≥0 xm , n n+1 ta có hệ số x /n! C(x) cn = n!(3 − 1)/2 Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 54 / 54 ...PHƯƠNG PHÁP ĐẾM DÙNG HÀM SINH Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Nội dung Nội dung Định nghóa hàm sinh Hệ số hàm sinh Phân hoạch Hàm sinh mũ Phương pháp tổng Bài toán. .. KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp / 54 Hệ số hàm sinh Hệ số hàm sinh Trong phần này, sử dụng số kỷ thuật để tính toán hệ số hàm sinh Phương pháp chủ yếu đưa hàm sinh phức tạp hàm sinh kiểu nhị... −1 r! Suy heä số x 25 / 25! 3 25 − (3 × 2 25 ) + Nguyễn Anh Thi ( ĐH KHTN, Tp HCM) Bài giảng Toán tổ hợp 31 / 54 Phương pháp tổng Phương pháp tổng Trong phần ta cách xây dựng hàm sinh thông thường