0

Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 4: Tổ hợp cơ bản

39 2 0
  • Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 4: Tổ hợp cơ bản

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/09/2021, 18:05

Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 4: Tổ hợp cơ bản cung cấp cho người học những kiến thức như: Các nguyên lý đếm cơ bản; Tổ hợp; Tổ hợp lặp. Mời các bạn cùng tham khảo! TOÁN HỌC TỔ HỢP Chương TỔ HỢP CƠ BẢN Đại học Khoa Học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 1/39 Nội dung Chương TỔ HỢP CƠ BẢN Các nguyên lý đếm Tổ hợp Tổ hợp lặp Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 2/39 4.1 Các nguyên lý đếm Nguyên lý cộng Nguyên lý nhân Nguyên lý Dirichlet Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 3/39 4.1.1 Nguyên lý cộng Giả sử ta muốn thực việc X cách chọn k phương pháp T1 , T2 , , Tk khác Với phương pháp Ti (1 ≤ i ≤ k) ta có ni cách thực việc X Như số cách thực việc X n1 + n2 + · · · + nk Ví dụ Một sinh viên chọn đề tài từ danh sách đề tài Số đề tài danh sách 23, 15 19 Hỏi sinh viên có cách chọn đề tài? Đáp án 23 + 15 + 19 = 57 cách Nhận xét Quy tắc cộng phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp Nếu A1 , A2 , , Ak tập hữu hạn đơi rời |A1 ∪ A2 ∪ ∪ Ak | = |A1 | + |A2 | + + |Ak | Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 4/39 4.1.2 Nguyên lý nhân Giả sử muốn thực thủ tục X ta phải thực k việc X1 , X2 , , Xk liên tiếp Nếu việc Xi (1 ≤ i ≤ k) có ni cách thực số cách thực thủ tục X n1 × n2 × × nk Ví dụ Hỏi có nhiêu cách từ A đến C? Đáp án × = cách Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 5/39 Nhận xét Quy tắc nhân phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp Nếu A1 , A2 , , Ak tập hữu hạn |A1 × A2 × × Ak | = |A1 | × |A2 | × × |Ak | Ví dụ Có chuỗi bit có độ dài 8? Giải Mỗi bit có cách chọn: Để tạo chuỗi bit có độ dài ta chọn giá trị cho bit Theo nguyên lý nhân ta có số chuỗi bit có độ dài 28 = 256 Ví dụ Cho tập A gồm phần tử tập B gồm 10 phần tử Hỏi a) Có ánh xạ từ A vào B? b) Có đơn ánh từ A vào B? Giải a) Với phần tử x A ta có 10 cách chọn ảnh (vì B có 10 phần tử) Để tạo ánh xạ từ A vào B ta chọn ảnh phần tử A Theo nguyên lý nhân, ta có 106 ánh xạ từ A vào B Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 6/39 b) Giải sử A = {x1 , x2 , , x6 } Ta chia toán thành bước: Bước Chọn ảnh x1 có 10 cách Bước Chọn ảnh x2 có 10 − = cách Bước Chọn ảnh x6 có 10 − = cách Vậy số đơn ánh từ A vào B là: 10 × × × × × = 151200 Ví dụ Mỗi mật máy tính có độ dài từ đến ký tự Mỗi ký tự chữ số chữ hoa Mỗi mật phải có chữ số Hỏi tạo mật khác cho máy tính? Giải Gọi L6 , L7 , L8 số mật có chiều dài tương ứng 6, Ta có L6 = (10 + 26)6 − 266 , L7 = (10 + 26)7 − 267 , L8 = (10 + 26)8 − 268 Dùng nguyên lý cộng ta có tổng số mật P = L6 + L7 + L8 = 366 + 367 + 368 − (266 + 267 + 268 ) = 2684483063360 Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 7/39 Ví dụ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, ta lập số tự nhiên có ba chữ số khác mà chia hết cho 2? Giải Gọi số có ba chữ số abc Trường hợp c = Khi c có cách chọn a có cách chọn ( a = X \ {0} ) b có cách chọn ( b = X \ {a, 0} ) Trường hợp có × × = 20 số Trường hợp c = Khi c có cách chọn a có cách chọn ( a = X \ {c, 0} ) b có cách chọn ( b = X \ {a, c} ) Trường hợp có × × = 32 số Như có 20 + 32 = 52 số Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 8/39 4.1.3 Nguyên lý Dirichlet (chuồng bồ câu) Ví dụ Trong 367 người có người có ngày sinh nhật Có 20 chim bồ câu chuồng Khi có chuồng có trở lên Định nghĩa Giá trị trần x, ký hiệu x , số nguyên nhỏ mà lớn hay x Ví dụ 2.1 = 3; 1.9 = 2; = 4; −1.1 = −1; −2.9 = −2; Nguyên lý Dirichlet Nếu có n vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa n vật k Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 9/39 Chứng minh Giả sử hộp chứa n vật Khi tổng k số vật nhỏ k n n −1 25 Do ta chọn N = 26 Vậy lớp phải có 26 sinh viên Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 10/39 7! 4! 2! 1! × × × 4! × 3! 2! × 2! 1! × 1! 1! × 0! 7! = = 420 3! × 2! × 1! × 1! C37 × C24 × C12 × C11 = Định nghĩa Cho n đối tượng có ni đối tượng loại i (1 < i ≤ k) giống hệt nhau, nghĩa n1 + n2 + · · · + nk = n Mỗi cách xếp có thứ tự n đối tượng cho gọi hoán vị lặp Định lý Số hoán vị lặp trường hợp Pn (n1 , n2 , , nk ) = n! n1 ! × n2 ! × · · · × nk ! Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 25/39 Chứng minh Để xác định số hoán vị trước tiên nhận thấy n Có Cn1 cách chọn vị trí cho n1 phần tử loại 1, cịn lại n − n1 vị trí trống n Sau có Cn−n cách chọn vị trí cho n2 phần tử loại 2, lại n − n1 − n2 vị trí trống Tiếp tục chọn vị trí phần tử loại 3, loại 4, , loại k − n k Cuối có Cn−n cách chọn vị trí cho nk phần tử loại k −···−nk−1 Theo nguyên lý nhân tất số hoán vị là: nk Cnn1 × Cnn−n × · · · × Cn−n = 1 −···−nk−1 n! n1 ! × n2 ! × × nk ! Ví dụ Có chuỗi kí tự khác có cách xếp chữ từ ATAHATAT? Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 26/39 Giải Trong từ ATAHATAT có chữ A, chữ T chữ H Do số chuỗi có P8 (4, 3, 1) = 8! = 280 4! × 3! × 1! Ví dụ.(tự làm) Từ chữ số 1, 2, ta lập số tự nhiên có chữ số 1, chữ số chữ số Hướng dẫn Số tự nhiên có 10 chữ số, có chữ số 1, chữ số chữ số Do ta lập P10 (5, 2, 3) = 10! = 2520 số 5! × 2! × 3! Ví dụ.(tự làm) Với chữ số 0; 1; 2; ta lập số có chữ số mà chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt lần? Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 27/39 4.3.2 Chỉnh hợp lặp Ví dụ Từ bảng chữ tiếng Anh, chuỗi chữ có độ dài 5? Đáp án 265 Định nghĩa Cho A tập hợp gồm n phần tử Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử thứ tự k phần tử A, phần tử lặp lại Định lý Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nk Chứng minh Giả sử A = {a1 , a2 , , an } Mỗi chỉnh hợp lặp chập k n thứ tự gồm k phần tử x1 x2 xk Ta có, xi có n cách chọn Áp dụng nguyên lý nhân, ta số chỉnh hợp lặp chập k n nk Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 28/39 4.3.3 Tổ hợp lặp Ví dụ Có loại nón A, B C, An mua nón Hỏi An có cách chọn? Đáp án An có cách chọn AA, AB, AC, BB, BC, CC Định nghĩa Mỗi cách chọn r vật từ n loại vật khác (trong loại vật chọn lại nhiều lần) gọi tổ hợp lặp r chập r n Số tổ hợp lặp chập r n ký hiệu Kn r r Định lý Số tổ hợp lặp chập r n Kn = Cr+n−1 Chứng minh Mỗi tổ hợp lặp chập r từ tập n loại vật biểu diễn dãy r “ ∗ ” n − đứng “|” Ta dùng n − đứng để phân cách ngăn Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 29/39 Ngăn thứ i chứa thêm vật loại i xuất tổ hợp Chẳng hạn, tổ hợp lặp chập loại vật biểu thị ∗ ∗| ∗ | | ∗ ∗∗ Khi tổ hợp chứa vật loại một, vật loại hai, khơng có vật loại ba vật loại bốn Mỗi dãy r n − ứng với chuỗi có độ dài r + n − Do số tạo dãy r n − số tổ hợp chập r từ tập r + n − phần tử Hệ Số nghiệm nguyên không âm (x1 , x2 , , xn ) (xi ∈ Z, xi ≥ 0) phương trình x1 + x2 + + xn = r r r Kn = Cr+n−1 Ví dụ Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 = 10 Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 30/39 10 10 Đáp án K3 = C12 = 66 Ví dụ Tìm số nghiệm ngun phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 (∗) thỏa điều kiện x1 ≥ 4; x2 > 2; x3 > 5; x4 ≥ −2 Giải Ta viết điều kiện cho thành x1 ≥ 4; x2 ≥ 3; x3 ≥ 6; x4 ≥ −2 Đặt y1 = x1 − 4; y2 = x2 − 3; y3 = x3 − 6; y4 = x4 + Khi yi ≥ với ≤ i ≤ Phương trình (∗) trở thành y1 + y2 + y3 + y4 = (∗∗) Ta có số nghiệm phương trình (∗) số nghiệm phương 9 trình (∗∗) Do số nghiệm phương trình (∗) K4 = C12 = 220 Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 31/39 Ví dụ Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 20 thỏa điều kiện x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 > (∗) Giải Ta viết điều kiện cho thành ≤ x1 ≤ 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ Xét điều kiện sau: x1 ≥ 0; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ x1 > 3; x2 ≥ 2; x3 ≥ 5; x4 ≥ (∗∗) (∗ ∗ ∗) Gọi p, q, r số nghiệm ngun khơng âm phương trình thỏa điều kiện (∗), (∗∗), (∗ ∗ ∗) Ta có p = q − r Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 32/39 Trước hết ta tìm q Đặt y1 = x1 ; y2 = x2 − 2; y3 = x3 − 5; y4 = x4 Phương trình (1) trở thành y1 + y2 + y3 + y4 = 13 (2) Số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (**) số nghiệm nguyên khơng âm phương trình (2) 13 13 13 Số nghiệm K4 = C16 Vậy q = C16 9 13 Lý luận tương tự ta có r = K4 = C12 Như p = q − r = C16 − C12 = 560 − 220 = 340 Vậy số nghiệm nguyên không âm phương trình (1) thỏa điều kiện (∗) 340 Hệ Số cách chia r vật giống vào n hộp phân biệt số tổ hợp lặp chập r n Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 33/39 Ví dụ.(tự làm) Tìm số cách chia 15 viên bi giống cho đứa trẻ 15 15 Đáp án K4 = C18 = 816 Ví dụ Tìm số nghiệm ngun khơng âm bất phương trình sau: x1 + x2 + x3 ≤ 11 Giải Đặt x4 = 11 − (x1 + x2 + x3 ) Khi x4 ≥ bất phương trình cho tương đương với phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 11 với x1 , x2 , x3 , x4 số ngun khơng âm Do số nghiệm bất 11 11 phương trình là: K4 = C14 = 364 Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình x + y + z ≤ 20, biết x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 34/39 Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình x + y + z ≤ 15 thỏa điều kiện ≤ x ≤ 6, y ≥ 2, z ≥ Ví dụ.(tự làm) Tìm số nghiệm ngun phương trình x + y + z + t = 16 thỏa điều kiện ≤ x ≤ 5, y ≥ 1, z ≥ 2, t ≥ Ví dụ.(tự làm) Có cách chia 18 viên bi giống cho đứa trẻ cho đứa trẻ có bi đứa lớn nhất viên bi Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 35/39 4.3.4 Khai triển lũy thừa đa thức Định lý Cho x, y biến n số tự nhiên Khi n Ckn xn−k y k n (x + y) = k=0 n nx =C n−1 + Cn xn−1 y + · · · + Cn n xy n−1 + Cn y n Chứng minh Ta có (x + y)n = (x + y)(x + y) (x + y) Các số hạng khai triển (x + y)n có dạng xn−k y k với k = 0, 1, , n Để nhận số hạng xn−k y k ta chọn x từ n − k tổng n−k (x + y) có Cn cách chọn vậy, y chọn từ k tổng n−k cịn lại (chỉ có cách nhất) Đó hệ số xn−k y k Cn Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 36/39 Ví dụ Khai triển (x + y)4 Ck4 x4−k y k Giải (x + y) = k=0 4x =C + C4 x3 y + C4 x2 y + C4 xy + C4 y = x + 4x3 y + 6x2 y + 4xy + y Ví dụ.(tự làm) Khai triển (2x − 3y)5 Hệ Lần lượt cho x = y = x = 1, y = −1 vào khai triển ta có n (i) k=0 n (ii) Ckn = C0n + C1n + C2n + + Cnn = 2n k n (−1)k Cn = Cn − Cn + Cn + + (−1)n Cn = k=0 Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 37/39 Ví dụ Tìm hệ số x12 y 13 khai triển (2x − 3y)25 ? Giải Dựa vào Định lý, ta có 25 25 2x + (−3y) Ck25 (2x)25−k (−3y)k = k=0 Do hệ số x12 y 13 có k = 13 Suy hệ số cần tìm là: 12 13 C13 = −33959763545702400 25 (−3) Định lý Cho x1 , x2 , , xm biến n số nguyên dương Khi n! xk1 xk2 xkmm (x1 + x2 + · · · + xm )n = k1 ! k2 ! km ! k1 +k2 +···+km =n Chứng minh Tương tự chứng minh cơng thức hốn vị lặp Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 38/39 Ví dụ Tìm hệ số x3 y z khai triển (x + 2y − 3z + t)9 Giải Áp dụng Định lý trên, ta có số hạng chứa x3 y z 9! x3 (2y)5 (−3z)1 t0 = −48384 x3 y z 3! 5! 1! 0! Vây hệ số x3 y z −48384 Ví dụ.(tự làm) Cho khai triển (−x + y − 2z + t)10 a) Tìm hệ số x5 y t b) Có số hạng khác phép khai triển trên? Hướng dẫn b) Mỗi số hạng có dạng M xa (y )b z c td Suy số hạng khác khai triển số nghiệm phương trình a + b + c + d = 10, với a, b, c, d số nguyên không âm 10 10 Đáp án K4 = C13 = 286 Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 39/39 ...Nội dung Chương TỔ HỢP CƠ BẢN Các nguyên lý đếm Tổ hợp Tổ hợp lặp Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 2/39 4.1 Các nguyên lý đếm Nguyên lý cộng Nguyên lý nhân Nguyên lý Dirichlet Chương Tổ hợp ❖ LVL... chứng minh tồn số nguyên tố Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 12/39 4.2 Tổ hợp Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 13/39 4.2.1 Hoán vị Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách... chứa phần tử 2? c) có số phần tử lẻ? Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 22/39 4.3 Tổ hợp lặp Hoán vị lặp Chỉnh hợp lặp Tổ hợp lặp Khai triển lũy thừa đa thức Chương Tổ hợp ❖ LVL c 2020 23/39 4.3.1 Hốn vị
- Xem thêm -

Xem thêm: Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 4: Tổ hợp cơ bản, Bài giảng Toán học tổ hợp - Chương 4: Tổ hợp cơ bản