Bổ đề
Gọi {ai}và{bk}là hai dãy, và gọi A(x) =P
i≥0aixi!i, và B(x) =P
k≥0bkxk!k là các hàm sinh của nó. Gọi cn=Pni=0
n i
aibn−i, và C(x) là hàm sinh của dãy {cn}. Thì
A(x)B(x) =C(x)
Hay nói cách khác, hệ số của xn/n!trong A(x)B(x) là cn=Pni=0 n i aibn−i.
Định lý (Công thức tích cho hàm sinh mũ)
Gọi an là số cách để xây dựng một cấu trúc nào đó trên một tập hợp n phần tử, và bn là số cách để xây dựng một cấu trúc khác trên tập n phần tử. Gọi cn là số cách để chia đoạn[n]thành những tập con rời nhau S và
T, (S∪T= [n]), và xây dựng một cấu trúc trên S, và một cấu trúc thứ
hai lên T. Gọi A(x), B(x), và C(x) là các hàm sinh mũ tương ứng của các dãy {an},{bn}, và{cn}, thì
A(x)B(x) =C(x).
Ví dụ
Một đội bóng có n cầu thủ. Huấn luyện viên chia đội bóng ra thành hai nhóm, và mỗi nhóm đứng thành một dịng. Các thành viên của nhóm thứ nhất mặt áo cam, áo trắng, hoặc áo xanh. Các thành viên của nhóm cịn lại mặc áo đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách để thực hiện các việc trên?
Bài toán đệ quy
Ứng dụng hàm sinh mũ trong bài toán đệ quy
Giả sử huấn luyện viên chọn ra kngười để tạo thành nhóm thứ nhất. Gọi
aklà số cách đểk người này có thể chọn áo cam, trắng, hoặc xanh, và đứng thành một dịng. Thìak=k!3k, hàm sinh mũ của dãy {ak} là
A(x) =P
k≥0k!3k xk
k! = 1−3x1 .
Tương tự, giả sử có mngười trong nhóm thứ hai. Gọi bm là số cách đểm
người này đứng thành một dòng,bm=m!, và hàm sinh mũ của dãybm là
B(x) =P
m≥0m!xm!m = 1−x1 .
Gọi cn là số cách để thực hiện tất cả những việc trên, vàC(x) là hàm sinh mũ tương ứng của nó. Theo cơng thức trên ta có
C(x) =A(x)B(x) = 1−3x1 ·1−x1 .Do 1−3x1 =P
k≥03kxk, và 1−x1 =P
m≥0xm, ta có hệ số của xn/n!trongC(x) là cn=n!(3n+1−1)/2.