Tài liệu về CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH dành cho học sinh, sinh viên, và học viên cao học.
CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH Số phức - Định nghĩa tập số phức C: Tập hợp số C mở rộng tập hợp R số thực với phần tử thoả điều kiện: C chứa nghiệm i phương trình x2+1=0 Các phép toán + * R mở rộng thành phép tốn C thỏa tính chất quen thuộc trường, nghĩa với z 1, z2, z3 ∈C • (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2+ z3) • z1 + z2 = z2 + z1 • z1 + = z1 • Với z ∈C, tồn z’ cho z + z’ = • (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2* z3) • z1 * z2 = z2 * z1 • z1 * = z1 • Với z ∈C, z≠0 tồn z’ cho z * z’ = 1, ta viết z’=z-1 • - z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 *z3 Dạng đại số số phức khái niệm: Mơt số phức z có dạng đại số z= a + ib (a,b ∈ R) Trong đó: a phần thực viết a= Re(z) b phần ảo viết b= Im(z) Đặc biệt: Các số thực z=a có phần ảo =0 Các số phức có dạng z=ib, b ∈ R gọi số ảo Xét số phức z = a + ib Ta nói số phức z = a − ib liên hợp z Tính chất của phép liên hợp z1 + z = z1 + z ∀z1 , z ∈ C z1 * z = z1 * z ∀z1 , z ∈ C z=z ⇔ z ∈ℜ Modun môt số phức z= a + ib ký hiệu |z| định nghĩa sau z = a + b Các tính chất z = z z1 z z n = z1 z z n Re( z ) < z Im( z ) < z z1 + z ≤ z + z - ⇒ z1 + z + + z n ≤ z1 + z + + z n Dạng lượng giác số phức: Một số phức z=a+ib cịn viết dạng lượng giác sau: z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) Trong a = r cos ϕ , b = r sin ϕ r = a2 + b2 r modun z góc ϕ gọi argument z Ta viết ϕ=arg(z) Xét số phức z1 = r1 ( cos ϕ + i sin ϕ ) z = r2 ( cos ϕ + i sin ϕ ) Ta có: z1 z = r1 r2 [ cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )] (*) (mod 2π ) arg( z1 z ) = arg( z1 ) + arg( z ) arg( - z1 ) = arg( z1 ) − arg( z ) z2 (mod 2π ) Căn bậc n số phức Từ (*) ta suy z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) z n = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) , n∈N Đặc biệt r=1 ta có cơng thức Moivre: ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ Ta gọi bậc n số phức A số phức z cho zn = A Ta viết A z dạng lượng giác: A = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) z = ρ ( cos θ + i sin θ ) Như ta có ρ n = r nθ = ϕ (mod 2π) Do tất bậc n A≠0 ϕ 2π 2π ϕ z k = n r cos + k + i sin + k , k = 0,1, , n − n n n n Chú ý: bậc n A đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp vòng tròn tâm O bán kính n A Đặc biệt bậc n đơn vị (A=1) nội tiếp vòng tròn đơn vị Đặt ω = cos 2π 2π + i sin bậc n n n đơn vị 1, ω , ω , , ω n −1 Ta nói ω bậc n nguyên thủy đơn vị 2 Chuỗi lũy thừa - Metric (khoảng cách) tập C Cho z z’ thuộc C, khoảng cách z z’ định nghĩa bởi: | z – z’| = (a -a') + (b - b') với z = a+b i, z’ = a’+b’ i - Định nghĩa khoảng cách thỏa tính chất metric - Giới hạn đạo hàm Định nghĩa giới hạn dãy số phức tương tự số thực: lim zn = z ⇔ ∀ε > 0, ∃k, ∀n, n > k ⇒ zn − z < ε n→∞ Định nghĩa giới hạn hàm số phức tương tự hàm số thực: lim f(z) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z, z - z0 ⇒ f(z) − z < ε z→z0 Đạo hàm hàm số phức G(z), ký hiệu G’(z), định nghĩa giới hạn tỉ số - G(t) - G(z) t → z t -z Chuỗi lũy thừa, hội tụ hội tụ tuyệt đối Chuỗi lũy thừa có dạng: ∞ ∑a z n =0 n n (1) với hệ số an, biến z lấy giá trị phức Tổng riêng phần: S n n ( z) = ∑a z k =0 k k Nếu Sn(z) có giới hạn G(z) n → ∞ ta nói chuỗi lũy thừa hội tụ có tổng G(z), viết: G( z) = ∞ ∑a z n =0 n n ∞ Chuỗi (1) gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi ∑|a z n=0 n n | hội tụ Tính chất: Chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ - Định lý Abel (i) Tồn R (0 ≤ R ≤ +∞) cho: chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối | z | < R, chuỗi (1) phân kỳ | z | > R (ii) Hơn nữa, ≤ ρ < R chuỗi (1) hội tụ đĩa | z | ≤ ρ Ta gọi R bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Ghi chú: Trên vòng tròn | z | = R ta khơng có kết luận tổng qt chuỗi (1) Hệ quả: Nếu chuỗi (1) hội tụ điểm z0 ≠ chuỗi hội tụ tuyệt đối z thỏa: | z | < | z0 | hội tụ đĩa | z | ≤ ρ < | z0 | - Các quy tắc tính bán kính hội tụ Quy tắc Cauchy: Nếu lim n a n tồn (có thể +∞) R = ( lim n a n )-1 Quy tắc D’Alembert: Nếu lim a n +1 tồn (có thể +∞) an a R = lim n +1 an - −1 Chuỗi tổng chuỗi tích ∞ ∞ n=0 n=0 n n Cho chuỗi lũy thừa f ( z ) = ∑ a n z g ( z ) = ∑ b n z với bán kính hội tụ R1 R2 Ta lập chuỗi tổng chuỗi tích sau: ( f + g )( z ) = ∞ ∑ (a n + bn) z n n=0 ( fg )( z ) = ∞ ∑c n z n với n =0 cn = a0bn + a1bn-1 + + anb0, n = 0, 1, 2, … Mệnh đề: Các chuỗi tổng tích có bán kính hội tụ ≥ min(R1,R2) (f + g)(z) = f(z) + g(z) (f g)(z) = f(z) g(z) với | z | < min(R1,R2) - Đạo hàm nguyên hàm chuỗi lũy thừa Xét chuỗi lũy thừa G ( z ) = ∞ ∑a z n =0 R n n với bán kính hội tụ Do chuỗi lũy thừa hội tụ đĩa | z | ≤ ρ < R, ta thấy G(z) có đạo hàm theo biến phức G ' ( z) = ∞ ∑ (n + 1) a z n +1 n +1 n=0 , |z|