CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH

Tài liệu về CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH dành cho học sinh, sinh viên, và học viên cao học.

CHUỖI LŨY THỪA VÀ HÀM SINH Số phức - Định nghĩa tập số phức C: Tập hợp số C mở rộng tập hợp R số thực với phần tử thoả điều kiện:  C chứa nghiệm i phương trình x2+1=0  Các phép toán + * R mở rộng thành phép tốn C thỏa tính chất quen thuộc trường, nghĩa với z 1, z2, z3 ∈C • (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2+ z3) • z1 + z2 = z2 + z1 • z1 + = z1 • Với z ∈C, tồn z’ cho z + z’ = • (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2* z3) • z1 * z2 = z2 * z1 • z1 * = z1 • Với z ∈C, z≠0 tồn z’ cho z * z’ = 1, ta viết z’=z-1 • - z1 * (z2 + z3) = z1 * z2 + z1 *z3 Dạng đại số số phức khái niệm: Mơt số phức z có dạng đại số z= a + ib (a,b ∈ R) Trong đó: a phần thực viết a= Re(z) b phần ảo viết b= Im(z) Đặc biệt: Các số thực z=a có phần ảo =0 Các số phức có dạng z=ib, b ∈ R gọi số ảo Xét số phức z = a + ib Ta nói số phức z = a − ib liên hợp z Tính chất của phép liên hợp z1 + z = z1 + z ∀z1 , z ∈ C z1 * z = z1 * z ∀z1 , z ∈ C z=z ⇔ z ∈ℜ Modun môt số phức z= a + ib ký hiệu |z| định nghĩa sau z = a + b Các tính chất z = z z1 z z n = z1 z z n Re( z ) < z Im( z ) < z z1 + z ≤ z + z - ⇒ z1 + z + + z n ≤ z1 + z + + z n Dạng lượng giác số phức: Một số phức z=a+ib cịn viết dạng lượng giác sau: z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) Trong a = r cos ϕ , b = r sin ϕ r = a2 + b2 r modun z góc ϕ gọi argument z Ta viết ϕ=arg(z) Xét số phức z1 = r1 ( cos ϕ + i sin ϕ ) z = r2 ( cos ϕ + i sin ϕ ) Ta có: z1 z = r1 r2 [ cos(ϕ + ϕ ) + i sin(ϕ + ϕ )] (*) (mod 2π ) arg( z1 z ) = arg( z1 ) + arg( z ) arg( - z1 ) = arg( z1 ) − arg( z ) z2 (mod 2π ) Căn bậc n số phức Từ (*) ta suy z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) z n = r n ( cos nϕ + i sin nϕ ) , n∈N Đặc biệt r=1 ta có cơng thức Moivre: ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ Ta gọi bậc n số phức A số phức z cho zn = A Ta viết A z dạng lượng giác: A = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) z = ρ ( cos θ + i sin θ ) Như ta có ρ n = r nθ = ϕ (mod 2π) Do tất bậc n A≠0  ϕ 2π  2π  ϕ z k = n r cos + k  + i sin + k , k = 0,1, , n − n n  n n     Chú ý: bậc n A đỉnh đa giác n cạnh nội tiếp vòng tròn tâm O bán kính n A Đặc biệt bậc n đơn vị (A=1) nội tiếp vòng tròn đơn vị Đặt ω = cos 2π 2π + i sin bậc n n n đơn vị 1, ω , ω , , ω n −1 Ta nói ω bậc n nguyên thủy đơn vị 2 Chuỗi lũy thừa - Metric (khoảng cách) tập C Cho z z’ thuộc C, khoảng cách z z’ định nghĩa bởi: | z – z’| = (a -a') + (b - b') với z = a+b i, z’ = a’+b’ i - Định nghĩa khoảng cách thỏa tính chất metric - Giới hạn đạo hàm Định nghĩa giới hạn dãy số phức tương tự số thực: lim zn = z ⇔ ∀ε > 0, ∃k, ∀n, n > k ⇒ zn − z < ε n→∞ Định nghĩa giới hạn hàm số phức tương tự hàm số thực: lim f(z) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z, z - z0 ⇒ f(z) − z < ε z→z0 Đạo hàm hàm số phức G(z), ký hiệu G’(z), định nghĩa giới hạn tỉ số - G(t) - G(z) t → z t -z Chuỗi lũy thừa, hội tụ hội tụ tuyệt đối Chuỗi lũy thừa có dạng: ∞ ∑a z n =0 n n (1) với hệ số an, biến z lấy giá trị phức Tổng riêng phần: S n n ( z) = ∑a z k =0 k k Nếu Sn(z) có giới hạn G(z) n → ∞ ta nói chuỗi lũy thừa hội tụ có tổng G(z), viết: G( z) = ∞ ∑a z n =0 n n ∞ Chuỗi (1) gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi ∑|a z n=0 n n | hội tụ Tính chất: Chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ - Định lý Abel (i) Tồn R (0 ≤ R ≤ +∞) cho: chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối | z | < R, chuỗi (1) phân kỳ | z | > R (ii) Hơn nữa, ≤ ρ < R chuỗi (1) hội tụ đĩa | z | ≤ ρ Ta gọi R bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Ghi chú: Trên vòng tròn | z | = R ta khơng có kết luận tổng qt chuỗi (1) Hệ quả: Nếu chuỗi (1) hội tụ điểm z0 ≠ chuỗi hội tụ tuyệt đối z thỏa: | z | < | z0 | hội tụ đĩa | z | ≤ ρ < | z0 | - Các quy tắc tính bán kính hội tụ Quy tắc Cauchy: Nếu lim n a n tồn (có thể +∞) R = ( lim n a n )-1 Quy tắc D’Alembert: Nếu lim a n +1 tồn (có thể +∞) an  a  R =  lim n +1   an    - −1 Chuỗi tổng chuỗi tích ∞ ∞ n=0 n=0 n n Cho chuỗi lũy thừa f ( z ) = ∑ a n z g ( z ) = ∑ b n z với bán kính hội tụ R1 R2 Ta lập chuỗi tổng chuỗi tích sau: ( f + g )( z ) = ∞ ∑ (a n + bn) z n n=0 ( fg )( z ) = ∞ ∑c n z n với n =0 cn = a0bn + a1bn-1 + + anb0, n = 0, 1, 2, … Mệnh đề: Các chuỗi tổng tích có bán kính hội tụ ≥ min(R1,R2) (f + g)(z) = f(z) + g(z) (f g)(z) = f(z) g(z) với | z | < min(R1,R2) - Đạo hàm nguyên hàm chuỗi lũy thừa Xét chuỗi lũy thừa G ( z ) = ∞ ∑a z n =0 R n n với bán kính hội tụ Do chuỗi lũy thừa hội tụ đĩa | z | ≤ ρ < R, ta thấy G(z) có đạo hàm theo biến phức G ' ( z) = ∞ ∑ (n + 1) a z n +1 n +1 n=0 , |z|