Một số tính chất về vành cấu xạ và vành cấu xạ mạnh

1 Môc lôc Trang Môc lôc Lêi nãi đầu Ch-ơng Các kiến thức sở 1.1 Các phần tử đặc biệt vành 1.2 Các lớp vành cổ điển 1.3 Linh hãa tư…………………………………… 1.4 Vµnh P – néi xạ Ch-ơng Vành cấu xạ vành cấu xạ mạnh 2.1 Vành cấu xạ 2.2 Vành cấu xạ mạnh 17 Kết luận 24 tài liệu tham khảo 25 Lời nói đầu Lý thuyết vành lý thuyết phát triển mạnh mẽ giai đoạn Trong lý thuyết vành, vấn đề đặc tr-ng lớp vành toán đ-ợc nhiều nhà toán học quan tâm đà đạt đ-ợc nhiều kết sâu sắc.Chúng ta đà biết rằng, vành R bất kì, theo ®Þnh lÝ ®ång cÊu ta cã R/ l(a)  Ra, a R, l(a) linh hóa tử trái phần tử a Tuy nhiên, tính chất R Ra l a Năm 1976, G Erlich đà đ-a lớp vành cấu xạ lớp vành thỏa mÃn điều kiện R Ra  l  a  ( xem  ) Năm 2004, Nicholson Campos đà đ-a điều kiện t-ơng đ-ơng vành cấu xạ với tính chất linh hóa tử phần tử ( xem ) Khi sử dụng điều kiện này, việc nghiên cứu lớp vành cấu xạ tỏ có hiệu đạt đ-ợc nhiều kết đáng quan tâm Trong [4], Erlich đà chứng minh đ-ợc: vành R quy khả nghịch nã lµ vµnh chÝnh quy (theo nghÜa von Neumann) vµ cấu xạ trái Sử dụng kết [5], mục đích luận văn làm sáng tỏ số kết phần tử cấu xạ Đồng thời phát biểu chứng minh chi tiết theo hiểu biết kết mối liên hệ lớp vành cấu xạ vành quy khả nghịch thông qua lớp vành cấu xạ mạnh Xuất phát từ mục đích nghiên cứu nh- đà nêu trên, nội dung luận văn đ-ợc trình bày ch-ơng: Ch-ơng Các kiến thức sở Trong ch-ơng hệ thống lại khái niệm, ký hiệu tính chất vành phần tử đặc biêt vành để làm sở cho việc trình bày ch-ơng sau Ch-ơng Vành cấu xạ vành cấu xạ mạnh Ch-ơng giới thiệu phần tử cấu xạ, vành cấu xạ vành cấu xạ mạnh Đồng thời đ-a số ví dụ mối liên hệ hai lớp vành với lớp vành cổ điển, đặc biệt vành quy khả nghịch Nội dung ch-ơng đ-ợc trình bày tiết: 2.1 Vành cấu xạ Nội dung tiết giới thiệu phần tử cấu xạ vành cấu xạ, số tính chất nội đặc tr-ng vành cấu xạ để đ-a mối liên hệ vành cấu xạ với vành quy khả nghịch, vành Bun, thể, vành nửa đơn, 2.2 Vành cấu xạ mạnh Trong tiết giới thiệu vành cấu xạ mạnh, mối liên hệ vành cấu xạ mạnh với vành cấu xạ vành quy khả nghịch luận văn đ-ợc thực tr-ờng Đại học Vinh hoàn thành d-ới h-ớng dẫn trực tiếp PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tâm nhiệt tình h-ớng dẫn đà dành cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, thầy giáo, cô giáo tổ Đại số, khoa Toán, khoa đào tạo sau Đại học đặc biệt cảm ơn nhóm seminar Lý thuyết vành môđunđà th-ờng xuyên quan tâm tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, ng-ời thân đà động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khoá học Mặc dù đà cố gắng trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu nh- tiếp thu ý kiến đóng góp nh-ng luận văn khó tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong tiếp tục nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn để luận văn đ-ợc hoàn thiện Vinh, tháng 11 năm 2009 Tác giả CHNG CC KIN THC CƠ SỞ Chƣơng giới thiệu định nghĩa, định lí, tính chất có liên quan đến nội dung luận văn Các khái niệm, tính chất ký hiệu dựa vào tài liệu [2], [6] [7] Trong suốt luận văn này, tất vành kết hợp, có đơn vị môđun vành đƣợc hiểu mụun phi unita 1.1 Các phần tử đặc biệt vµnh 1.1.1 Định nghĩa Cho vành R phần tử e R Phần tử e đƣợc gọi phần tử lũy đẳng (idempotent element ) R e2 = e 1.1.2 Định nghĩa Cho vành R Phần tử a vành R đƣợc gọi phần tử quy (regular element) tồn phần tử b  R cho aba = a 1.1.3 Định nghĩa Cho vành R Phần tử a vành R đƣợc gọi phần tử quy khả nghịch (unit regular element) tồn phần tử khả nghịch bR cho aba = a 1.1.4 NhËn xÐt Phần tử quy khả nghịch phần tử quy nhƣng điều ngc li cú th khụng ỳng 1.2 Các lớp vành cỉ ®iĨn 1.2.1 Định nghĩa Vành R đƣợc gọi thể phần tử khác không R khả nghịch 1.2.2 Định nghĩa Vành R đƣợc gọi vành Bun (Boolean ring) phần tử R phần tử luỹ đẳng 1.2.3 Định nghĩa Vành R đƣợc gọi vành quy (regular ring) theo nghĩa von Neumann phần tử vnh R u l phn t chớnh quy 1.2.4 Định lý (Đặc trƣng vành quy) Cho vành R Các khẳng định sau tương đương: (a) R vành quy; (b) Mọi iđêan trái sinh phần tử luỹ đẳng ; (c) Mọi iđêan trái hạng tử trực tiếp R; (d) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R 1.2.5 Định nghĩa Vành R đƣợc gọi vành quy khả nghịch (unit regular ring) phần tử R phần tử quy khả nghịch 1.2.6 NhËn xÐt Vành quy khả nghịch vành quy nhƣng điều ngƣợc lại khơng VÝ dô Cho trƣờng K V không gian véc tơ vô hạn chiều K Xét vành R = End(V) vành tự đồng cấu V Khi R vành quy nhƣng khơng vành chớnh quy kh nghch 1.3 Linh hoá tử 1.3.1 Định nghÜa Cho vành R   A  R Khi : a) l ( A)  r  R  0, a  A đƣợc gọi linh hóa tử trái (left annihilator) A vành R b) r ( A)  r  R ar  0, a  A đƣợc gọi linh hóa tử phải (right annihilator) A vành R c) Nếu A = a ta viết l(a) r(a) tƣơng ứng 1.3.2 TÝnh chÊt Cho vành R   A, B  R Khi đó: (i) l(A) iđêan trái vành R, r(A) iđêan phải vành R (ii) a) Nếu A  R R l ( A)  R b) Nếu A  RR r ( A)  R (iii) A  l (l ( A)) A  r (r ( A)) (iv) Nếu A  B l ( B)  l ( A) r ( B)  r ( A) 1.4 Vành P nội xạ 1.4.1 Định nghĩa Cho vnh R v A, M l R- môđun phải Môđun M đƣợc gọi A - nội xạ (A - injective) với môđun X A, đồng cấu  : X  M mở rộng tới đồng cấu  : A  M Môđun M đƣợc gọi nội xạ (injective) M A- nội xạ với mi mụun A 1.4.2 Định lý(Tiờu chun Baer) Mt R – môđun M nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu  :I  M mở rộng thành ng cu : R M 1.4.3 Định nghÜa Cho vµnh R vµ M lµ mét R – môđun phải Môđun M đ-ợc gọi nội xạ phải (principally injective), viết tắt P nội xạ phải, nÕu mäi R - ®ång cÊu  : aR  M với a R më réng tíi ®ång cÊu  : R  M 1.4.4 Nhận xét Từ định nghĩa môđun P nội xạ tiêu chuẩn Baer thấy môđun nội xạ môđun P nội xạ Trong luận văn sử dụng định nghĩa t-ơng đ-ơng định nghĩa nh- sau: Cho vành R M R môđun phải Môđun M đ-ợc gọi nội xạ phải (viết tắt P nội xạ phải) R - đồng cấu : aR M phép nhân với phÇn tư mM ( kÝ hiƯu   m ) 1.4.5 Định nghĩa Vành R đ-ợc gọi nội xạ phải (P nội xạ phải) (right principally injective ring) RR môđun P nội xạ, nghĩa iđêan phải aR mở rộng đ-ợc 1.4.6 Định lý (ặc tr-ng vành P nội xạ) Cho vành R Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng: (a) R vành P nội xạ ph¶i; (b) l  r  a    Ra , a R; (c) NÕu r  a   r  b  víi a, bR th× Rb  Ra ; (d) l  bR  r  a    l  b   Ra,  a, bR; (e) NÕu  : aR  R a R R đồng cấu th×   a   Ra Chøng minh  a    b  : Gi¶ sư R vành P nội xạ, chøng minh l  r  a    Ra , aR ThËt vËy, víi mäi y  r  a  th× ay = Víi mäi x  Ra chóng ta cã x  , xy ray suy x  l  r  a   , tøc lµ Ra  l  r (a)  Gi¶ sư b  l  r  a   chóng ta cã víi mäi x  r  a bx suy x  r  b  Tõ ®ã  : aR R đ-ợc xác định ar br đồng cấu Theo giả thiết (a) chóng ta cã   c , víi cR b a ca  Ra , tøc lµ l  r  a    Ra VËy l  r  a    Ra , aR , chóng ta cã (b)  b    c  : Gi¶ sư cã gi¶ thiÕt (b) chóng ta chøng minh ®iỊu kiƯn (c) NÕu r  a   r  b  th× bl  r  a    Ra,  aR Do ®ã Rb  Ra , cã (c)  c    d  : Gi¶ sư cã gi¶ thiÕt (c) chóng ta chøng minh ®iỊu kiƯn (d) XÐt x  l  bR  r  a   Chóng ta cã víi r  r  ab  th× abr  , suy br r  a  , ®ã br  r  a   bR , tøc lµ xbr  0, suy r r  xb  , v× vËy r  ab   r  xb  Theo gi¶ thiÕt (c) chóng ta cã Rxb  Rab Tõ ®ã xb tab với t R NhËn xÐt r»ng  x  ta  b   yb víi y  x  ta , suy y  l  b  Chóng ta cã x  ta  y  Ra  l  b  , tøc lµ l  bR  r  a    Ra  l  b  Víi x  Ra  l  b  th× x  x1  x2a ®ã x1b Víi mäi c  bR  r a c bc1 ac  Chóng ta cã xc   x1  x2a  c  x1bc1  x2ac  , ®ã x  l  bR  r  a   , tøc lµ Ra  l  b   l  bR  r  a   VËy l  bR  r  a    l  b   Ra,  a, bR; chóng ta cã (d)  d    e  : Gi¶ sư cã gi¶ thiết (d) chứng minh điều kiện (e) Giả sử : aR R R đồng cấu Đặt a d Chúng ta cã víi x  r  a  th× ax (ax) x  a   xd  suy x  r  d  ,tøc lµ r  a   r  d  , nªn l  r  d    l  r  a   , ®ã d  l  r a Mặt khác, với b = tõ gi¶ thiÕt (d) chóng ta cã Ra  l  r  a   nªn d  Ra VËy chóng ta cã (e)  e    a  : Gi¶ sư cã gi¶ thiÕt (e) chóng ta chøng minh R lµ vµnh P nội xạ Giả sử : aR R R đồng cấu, từ (e) có   a   ca víi c  R Vậy c , có (a) 10 CHNG VàNH CấU Xạ Và VàNH CÊU X¹ M¹NH 2.1 Vành cấu xạ Xét đồng cấu :  : R  Ra r , với a phần tử R Dựa vào định lí đồng cấu mơđun, ta có : Im   R / Ker  mà Im   (r ) r  R  ra r  R  Ra Ker  r  R  (r )  0  r  R  0  l (a) Do đó, Ra  R / l(a) Vấn đề đặt là: R / Ra  l(a) có thỏa mãn với phần tử a khơng? Tính chất khơng phải Trong tiết chúng tơi xét lớp vành mà tính chất R / Ra  l(a) đƣợc thỏa mãn Lớp vành nhƣ đƣợc gọi vành cấu xạ trái vành R Chúng tơi trình bày số tính chất điều kiện tƣơng đƣơng vành cấu xạ; số kết khẳng định lớp vành cổ điển nhƣ vành qui khả nghịch, vành nửa đơn, vnh Bun, th, l vnh cu x 2.1.1 Định nghÜa (a) Một phần tử a vành R đƣợc gọi cấu xạ trái (left morphic) R Ra  l  a  Vành R đƣợc gọi vành cấu xạ trái (left morphic ring) phần tử cấu xạ trái (b) Một phần tử a vành R đƣợc gọi cấu xạ phải (right morphic) R aR  r  a  Vành R đƣợc gọi vành cấu xạ phải (right morphic ring) phần tử cấu xạ phải 12 mà Im   (r ) r  R  rb r  R  Rb Ker  r  R  (r )  0  r  R rb  0  l (b) Do , Rb  R / l(b) Khi , R / Ra = R / l(b)  Rb  l(a) ( dựa vào c) ) Vậy a phần tử cấu xạ trái R 2.1.3 Hệ Vành R cấu xạ trái với a  R , tồn b  R cho Ra = l(b) , l(a) = Rb 2.1.4 Mệnh đề Cho vành R a) Phần tử a khả nghịch R phần tử cấu xạ trái phải b) Phần tử lũy đẳng e R phần tử cấu xạ trái phải Chứng minh a) Chúng ta chứng minh tồn phần tử b c R cho Ra = l(b), Rb = l(a) aR = r(c) , cR = r(a) Thật vậy, a khả nghịch nên Ra = R = l(0) l (a)   xR x a  0 =  xR : xaa 1   = = R0 Đặt b = 0, có : Ra = l(b), Rb = l(a) Tƣơng tự, đặt c = 0, có: aR = r(c) , cR = r(a) Vậy a phần tử cấu xạ trái phải b) Chúng ta chứng minh Re = l(1- e) , l(e) = R(1- e) eR = r(1-e), r(e) = (1- e) R Thật vậy, x  Re x = xe.Vì thế, x(1- e) = xe (1 – e) = x(e – e2) = x  l (1 e) Ngƣợc lại, x  l (1 e) x (1 – e) = x – xe = Do đó, x = xe  Re Từ đó, Re = l(1 – e) Nếu x  l(e) xe = Vì thế, x = x – xe = x(1 – e)  R(1 – e) Ngƣợc lại, x  R(1 – e) x = x(1 – e) Bởi vì, xe = x(1 – e) e = x ( e – e2) = nên x  l(e) Do đó, l(e) = R(1- e) Tƣơng tự, có : eR = r(1- e), r(e) =(1- e) R Vậy e phần tử cấu xạ trái phải 13 Hệ sau đƣợc suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.1.4 2.1.5 Hệ Cho vành R (a) Nếu R thể R vành cấu xạ (b) Nếu R vành Bun R vành cấu xạ 2.1.6 Bổ đề Cho a, b  R , u phần tử khả nghịch R Khi khẳng định sau tương đương: (a) Ra = l(b) , Rb = l(a); (b) R(ua) = l( bu-1) , R( bu-1) =l(ua); (c) R(au) = l(u-1b) , R(u-1b) = l(au) Chứng minh a)  b) : Lấy x  R, ta có: xua  R(ua), mà xua = (xu)a Ra, R(ua)  Ra Mặt khác, xa  Ra , xa = x1a = x u-1(ua)  R(ua), Ra  R(ua).Vì vậy, R(ua) = Ra Theo a), Ra = l(b) nên R(ua)= l(b) (1) Ta lại có , l (b)  x R xb  0 , l (bu 1 )  x  R xbu 1  0 Lấy x  l(b)  x.b =  xbu-1 =  x  l(b.u-1), l(b)  l(bu-1) Lấy x  l(bu-1)  xbu-1 =  xbu-1.u =  xb =  x  l(b) , l(bu-1)  l(b) Vì , l(b) = l(bu-1) (2) Từ (1) (2), suy ra: R(ua)= l(bu-1) Ta có: R(bu-1)= (Rb)u-1 = l(a)u-1; (3) l (a)  x R xa  0 , l (a).u 1 x.u 1 , xl (a) ; l (ua)  xR x.ua  0 ; Với x  l(a), ta có xu-1  l(a) u-1, mà xu-1.ua = x.a =  xu-1  l(ua)  l(a) u-1  l(ua) Với x  l(ua), ta có x.ua =  x u  l(a)  x = xu.u-1  l(a) u-1 -1  l(ua)  l(a) u Do đó, l(a) u -1 = l(ua) (4) Từ (3) (4) suy : R (bu-1) = l(ua) a)  c) : Ta có : R(au) = (Ra) u = l(b).u (5) 14 Ta chứng minh : l(b).u = l(u-1b) Thật , lấy x  l(b)  xb = , xu  l(b).u mà xu.u-1 b = xb= 0, suy ra, xu  l(u-1b)  l(b).u  l(u-1b) Lấy x  l(u-1b), ta có: x u-1 b =  x.u-1  l(b)  x = xu u  l(b).u, suy : l(u b)  l(b).Do đó, l(b).u = l(u b) (6) -1 -1 -1 Từ (5) (6) suy : R(au) = l(u-1b) Lấy x  R , ta có: x.u-1 b  R(u-1b) mà x.u-1 b = (x.u-1 ) b  Rb -1  R(u b)  Rb Lấy x  R , ta có : xb  Rb mà xb = xu.u-1b = xu ( u-1b )  R(u-1b)  Rb  R(u-1b) Do đó, R(u-1b) = Rb mà Rb = l(a) nên R(u-1b) = l(a) (7) Mặt khác, ta chứng minh đƣợc : l(a) = l(au) Thật vậy, lấy x  l(a)  xa =  x.au =  x l(au)  l(a)  l(au) Lấy x  l(au)  x.au =  xau.u-1 =  xa =  x  l(a)  l(au)  l(a) Do đó, l(a) = l(au) Từ (7) (8) suy : (8) R(u-1b) = l(au) * b)  a) : Từ R(ua) = l(bu-1) , R(bu-1) = l(ua), áp dụng mệnh đề a)  b) với A = ua , B = bu-1, vai trị u-1 nhƣ u , ta có : R(u-1A) = l(B(u-1)-1) ,  R a = l(b), R( B (u-1)-1) = l(u-1A) l(a) = Rb * c)  a) : Từ R(au) = l(u-1b), R(u-1b) = l(au) Áp dụng mệnh đề a)  c) với A = au , B = u-1b, vai trò u-1 nhƣ u, ta có: R(Au-1) = l((u-1)-1.B) , R((u-1)-1.B) = l(Au-1)  R(a) = l(b) , l(a) = R(b) Vậy a)  b) a)  c), suy : b)  c) 2.1.7 Định lý Cho R vành qui Khi đó, R vành quy khả nghịch R vành cấu xạ 15 Chứng minh (  ) Giả sử R vành quy khả nghịch Ta chứng minh R vành cấu xạ Xét a  R, R vành quy khả nghịch nên tồn phần tử khả nghịch b  R cho aba = a Ta thấy  ab   abab  ab Do đó, ab phần tử lũy đẳng vành R Theo Mệnh đề 2.1.4, ab phần tử cấu xạ 1 phải R Theo bổ đề 2.1.6, (ab)b  a phần tử cấu xạ phải Vậy R vành cấu xạ phải R Tƣơng tự ta có, (ba)  baba  ba Do đó, ba phần tử lũy đẳng vành R Theo mệnh đề 2.1.4, ba phần tử cấu xạ trái 1 R Theo bổ đề 2.1.6, b (ba)  a phần tử cấu xạ trái Vậy R vành cấu xạ trái R Từ R vành cấu xạ (  ) Giả sử R vành cấu xạ Ta chứng minh R vành qui khả nghịch Xét a  R, R vành cấu xạ nên a phần tử cấu xạ, a phần tử cấu xạ trái, tồn phần tử b  R cho Ra = l(b) l(a) = Rb Nhận xét ab = ba = (vì b = 1.b  Rb = l(a) nên b  l(a), đó, ba = ; tƣơng tự, a = 1.a  Ra = l(b) nên a  l(b), ab = ) Vì a phần tử qui nên tồn phần tử x  R cho a = axa Đặt u = xax + b có aua = a( xax + b)a = axaxa + aba = axa = a Mặt khác, (1 – ax) a = nên – ax  l(a) = Rb Do đó, - ax = yb với y  R Đặt v = a + y(1 – xa ), chứng minh uv = vu = Thật vậy, vu= (a+y(1 – xa))u = au + yu – yxau = a(xax + b)+ y(xax + b) yxa(xax+ b)= axax+ ab + yxax + yb – yxaxax - yxab = ax + yxax + 1– ax - yxax =1 Vì vu = nên uvu = u, tức (1 – uv) u = Do – uv  l(u) Chúng ta l(u) = Nếu r  l(u) ru = r( xax+ b) = rxax+ rb = Khi đó, rua = (rxax + rb)a = rxaxa + rba = rxa = 0, điều suy rb = Từ đó, r  l(b) = Ra, tức r = ta Chúng ta có rxa = taxa = ta = r = Vậy l(u ) = Vì – uv  l(u) nên uv = Vậy uv = vu = 1, tức v phần tử 16 nghịch đảo u Do a = aua u khả nghịch Chúng ta có a phần tử quy khả nghịch Vậy R vành quy khả nghịch 2.1.8 Định nghĩa Cho vành R M song môđun R Ta gọi mở rộng tầm thường R M R M   a, x  : a R , xM  với phép cộng đƣợc xác định theo thành phần phép nhân đƣợc xác định bởi: (a, x)(b, y) = (ab, ay + xb) 2.1.9 Hệ Với kí hiệu R M vành có đơn vị (1,0) Chứng minh * Chøng minh R M nhóm giao hoán với phép cộng + Kết hợp : Víi bÊt k×  a, x  ;  b, y  ;  c, z   R M ta cã:  a, x    b, y    c, z    a  b, x  y    c, z    a  b  c, x  y  z   a, x   b, y    c, z    a, x   b  c, y  z    a  b  c, x  y  z  Suy  a, x    b, y    c, z    a, x    b, y   c, z + Tồn phần tử không: ( 0, 0) , a, x   0,0   a, x  + Phần tử đối: Với a, x R M tồn phần tử đối a, x   R M mµ  a,  x    a, x    0,0  + Tính giao hoán: Với a, x  ;  b, y   R M ta cã  a, x   b, y    a  b, x  y   b  a, y  x   b, y   a, x  * Chøng minh R M nửa nhóm với phép nhân Với  a, x  ;  b, y  ;  c, z   R M ta cã (a, x)  b, y   c, z    ab, ay  xb  c, z    abc, abz  ayc  xbc   a, x   b, y  c, z    a, x bc, bz  yc    abc, abz  ayc  xbc  Tõ ®ã suy  a, x  b, y   c, z    a, x  b, y  c, z  17 *Chøng minh phÐp nh©n ph©n phối phép cộng Với a, x  ;  b, y  ;  c, z   R M ta cã:  a, x  b, y    c, z    a, x b  c, y  z    ab  ac, ay  az  xb  xc   a, x b, y    a, x  c, z    ab, ay  xb    ac, az  xc    ab  ac, ay  xb  az  xc  Suy  a, x   b, y    c, z    a, x  b, y    a, x  c, z  Víi bÊt k×  a, x ; b, y ;  c, z   R M ta cã:  a, x    b, y   c, z    a  b, x  y  c, z    ac  bc, az  bz  xc  yc   a, x  c, z   b, y  c, z    ac, az  xc   bc, bz  yc    ac  bc, az  xc  bz  yc  Suy  a, x    b, y   c, z    a, x  c, z   b, y  c, z * Phần tử đơn vị (1,0), v×  a, x 1,0   a, x 1,0   a, x  VËy R M vành có đơn vị (1,0) 2.1.10 Định lý Cho D thể V song môđun D Khi đó, D V vành cấu xạ trái dim  D V   Chứng minh () Giả sử S = D V cấu xạ trái Xét V  0, tồn x  V, x  Xét phần tử (0, x)  S cấu xạ trái, tồn (b, y)  S cho S(0, x) = l(b, y); S(b, y) = l(0, x) Từ (D, V)(0, x) = (0, Dx) ta có S(0, x) = (0, Dx) = Dx Ta có l  0, x    a, t   S : a, t  0, x   (0,0)  a, t   S : 0, ax    0,0  Khi đó, ax = 0, ta suy a = (vì a  ax = nên a-1ax = 0, suy x = 0, mâu thuẫn với giả thiết) Từ đó, ta có l(0, x) = (0, V) Ta có l  b, y    a, t   S : a, t  b, y    0,0    a, t   S :  ab, ay  tb    0,0  18 ab  Do đó,  Vì l(b, y) = S(0, x) = ay  tb   a  Dx nên  t  Dx Suy ra, tb = 0, t  Dx hay Dx.b = 0, 1.x.b = 0, tức xb = Nếu b  xbb-1 = 0, suy x = 0, mâu thuẫn Vậy b = Nhƣ vậy, (0, Dx) = S(0,x) = l(b,y) = l(0,y) = (0, V), V = Dx Vì vậy, dim  D V   () Giả sử dim  D V   Nếu dim  DV   V = Khi đó, D V  D cấu xạ trái Nếu dim  DV     a, x   S S(a,x) = l(0,x) S(0,x) = l(a,x) a = (vì S(0,x) = ( 0, Dx) = (0,V) = l(0,x)) Khi a  S(a,x) = l(0,0) S(0,0) = l(a,x) Vì vậy, S cấu xạ trái Ví dụ Cho D   k 1 (vì dim( ,V  k k Khi đó, ) = k > 1), nhƣng k khơng phải vành cấu xạ trái, vành cấu xạ trái (vì dim = 1) 2.2 Vành cấu xạ mạnh Chúng ta có nhận xét sau: Nếu  n  1, vành M n ( R) gồm ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc R vành cấu xạ R vành cấu xạ Nhƣng điều ngƣợc lại khơng phải Ví dụ sau chứng tỏ điều 2.2.1 Ví dụ Cho F trƣờng với phép đẳng cấu x x từ F đến trƣờng F  F Chúng ta định nghĩa R F - không gian trái có sở 1,c , c2 = cx = x c,  x  F Khi đó, R vành cấu xạ trái nhƣng M ( R) vành cấu xạ trái Chứng minh Ta có Rc = Fc = J R có iđêan trái 0, J, R Do đó, R vành địa phƣơng Nếu a  R, ta chứng tỏ a cấu xạ trái Từ R vành địa 19 phƣơng, giả thiết  a  J Khi J = Ra nhờ giả thiết Hơn nữa, l (a)  R a  Nếu l(a) = r phép đẳng cấu R  Ra, kéo theo  Ja  J , mâu thuẫn với giả thiết Do đó, l(a)  0, l(a) = J, suy l(a) = Ra, nhờ bổ đề 2.1.2 ta suy a phần tử cấu xạ trái Vậy R vành cấu xạ trái Nếu y  F  F , chứng tỏ c    0 yc  cấu xạ trái S = M ( R) Từ   Fc R   Fc R   lR (c)  J  Fc, ta có lS ( )   Giả sử tồn   S cho S   lS ( ) S   lS ( ) Khi  có dạng  xc r   zc s  ,   điều kiện   kéo theo cr + ycs = Nếu ta viết r  z1  w1c , s  z2  w 2c R, cz1  ycz2  , z1  yz2  Nếu z2  y  F , mâu thuẫn với y  F Vì vậy, z2  , z1  z1   z2 Từ ,  xc w1c    M ( J ) , thế,  zc w 2c    c Vậy    0  Fc R   Fc R   lS     S   M  J  , mâu thuẫn   yc  cấu xạ trái M ( R) Do đó, M ( R)  khơng phải vành cấu xạ trái 20 2.2.2 Định nghĩa Một vành R đƣợc gọi vành cấu xạ mạnh (strongly morphic ring) vành ma trận M n ( R) cấu xạ, n 1 2.2.3 Định lý Nếu R vành quy khả nghịch R[x] / (xn) vành cấu xạ mạnh, n 1 Chứng minh Nếu R vành quy khả nghịch M k ( R) vành quy khả nghịch, k 1 Áp dụng mệnh đề: “ Nếu R vành quy khả nghịch  :R  R tự đồng cấu vành cho  (e) e với e2  e  R R[x;  ]/(x2) R[x] / (xn+1) vành cấu xạ trái với n  0” cho vành M k ( R) ta có M k ( R) [x] / (xn) vành cấu xạ trái, n 1 Mặt khác, M k  R x   n  x   M k  R  x   x  nên ta có M k n  R x    x  vành cấu xạ trái, n n 1 Vậy R[x] / (xn) vành cấu xạ mạnh, n 1 Định lý R vành quy khả nghịch R[x]/(xn) vành cấu xạ mạnh Tuy nhiên vành đa thức hai biến kết không   2.2.4 VÝ dơ Vµnh Z2  x, y x , y vành cấu xạ trái Chứng minh Giả sử S = Z2  x, y  x , y Khi ®ã, S a  bx  cy dxy a, b, c, d Z2 Đặt   xy  S Ta chøng minh  phần tử cấu xạ trái S Thật vậy, giả sử tồn phần tử a0  b0 x  c0 y  d0 xy  S cho S  l ( ) vµ S   l ( ) Ta cã, S  Z2 xy , l    Z2 x  Z2 y  Z2 xy Tõ S   l ( ) ta suy a0  , v× vËy,   b0 x  c0 y  d0 xy Ta cã, 21 S  ab0 x  ac0 y   ad0  bc0  cb0  xy a, b, c  Z2  vµ   l (  )  a  bx  cy  dxy S ab0  0, ac0  0, ad0  bc0  cb0  V× vËy, tõ S   l ( ) ta suy Z2b0  Z2 , Z2c0  Z2 , ®ã, b0  c0 1 V× thÕ, l     b  x  y   dxy b, d Z2  , tõ ®ã l     S , m©u thuÉn VËy Z2  x, y x , y vành cấu xạ trái, Z2 x, y   x , y  kh«ng vành cấu xạ mạnh ( cho dù Z vành quy khả nghịch) Bây ta quan tâm điều ng-ợc lại có không? Định lý sau trả lời câu hỏi 2.2.5 Định lý Cho vành R Khi khẳng định sau t-ơng đ-ơng: (1) R quy khả nghịch, (2) R[x] / (xn) vành cÊu x¹ m¹nh, n 1 , (3) R[x] / (x2) cấu xạ Chứng minh (1) (2): Theo định lý 2.2.3 (2) (3): Hiển nhiên (3) (1): Giả sử S := R[x] / (x2) cấu xạ Khi đó, R cấu xạ Cho a R Để chứng minh R vành quy ta chứng minh a phần tử quy R Vì a cấu xạ R, nên tồn bR saocho Ra l (b), l (a) Rb Do R cấu xạ nên R P- nội xạ trái (nhờ định lý 24, [6]), ®ã aR  rl (a)  r ( Rb)  r (b) vµ r (a)  r ( Ra) rl (b) bR Đặt bx S Từ S cấu xạ trái, tån t¹i   c  dx  S cho S  l ( ) vµ l   S Vì S cấu xạ phải nên S 22 P nội xạ trái, nhờ [6, định lý 24] Do đó, nh- ta có  S  rl ( )  r (S  )  r ( ) vµ r    r  S   r l       S Ta cã, l   r  sx :r l b  , sR, S  rc   rd  sc  x :r , sR, r   r  sx :r r b  , sR,  S cr   dr  cs  x :r , sR Do ®ã, x  l    S  vµ x  r ( ) S Vì thế, tồn r, s, r’, s’  R cho  rc, 1 rd  sc,  cr ', 1 dr '  cs ' V× vËy, r  r  dr '  cs '  rdr '  rcs '  rdr '  rdr '  scr '   rd  sc  r '  r ' Do ®ã, c  c  rd  sc   crd  csc  cr ' d csc csc Bởi vậy, c phần tö chÝnh quy R Tõ l    S  kÐo theo Rc  l (b) MỈt khác, l (b) Ra nên ta có Ra = Rc Bởi vậy, a phần tử quy R, c quy R 2.2.6 H Nếu R vành quy khả nghịch vành R R vành cấu xạ mạnh Chøng minh Vì R vành quy khả nghịch nên theo định lý 2.2.5 ta có R[x] / (x2) vành cấu xạ mạnh Mặt khác, R R R[x]/(x2) nên R R vành cấu xạ mạnh 2.2.7 Định lý Nếu I iđêan vành quy khả nghịch R R I vành cấu xạ mạnh Chứng minh Giả sử S = R I    a, x   S Tr-íc hết, để chứng minh S cấu xạ trái, ta chứng minh phần tử cấu xạ trái S Thật vậy, từ R quy khả nghịch, ta có a = aua, với u phần tử khả nghịch R Khi đó, ua ua.ua ua , hay ua phần tử luỹ ®¼ng Ta cã, a  u 1 (ua) , đó, a = ue, với u phần tử khả nghịch e2 e R 23 Khi đó, u ,0 phần tử khả nghịch S (vì u ,0  u,0   1,0  ) vµ u 1 ,0    u 1,0   a, x    u 1a, u 1x    e, u 1x  Do ®ã, nhê bỉ ®Ị 2.1.6 giả thiết a =e    e, x  Vi` 1,  1  e x  1,  x   1,  1  e  x   e, x 1,  x    e, x  1  e  xe  1,  x    e,  e x  x  1  e  xe    e, 1  e  x  1  e  xe    e, 1  e  x 1  e   vµ 1,  1  e  x ; 1, x phần tử khả nghịch S (phần tử nghịch đảo (1 , -(1 - e)x) lµ (1 , (1 – e)x) ; phần tử nghịch đảo (1 , -x) (1 , x) )), nên nhờ bổ đề 2.1.6, để chứng minh phần tử cấu xạ trái S ta chøng tá r»ng  e, 1  e  x 1  e   lµ cÊu xạ trái S Vì R quy khả nghịch nªn 1  e  R 1  e  vành quy khả nghịch Ta có, e  x 1  e   v f với f I , f luỹ đẳng  e  R 1  e  vµ v phần tử khả nghịch e R e với phần tử nghịch đảo Khi đó, e phần tử khả nghịch R, với phần tử nghịch đảo e+v Tõ  e  ,0 e, vf    e, f  , nhê bỉ ®Ị 2.1.6 ta cã thĨ gi¶ thiÕt   (e, f ) víi e2  e  R vµ f  f I , e f f e Đặt  1  e  f , f  S Ta cã, S  S  e, f   Re ( Rf  Ie), l ( )  l (e, f )  R 1  e  f  I 1  e  , S   S 1  e  f , f   R 1  e  f l     l 1  e  f , f   Re I  e    Rf  I 1  e  f   , f  Víi bÊt k× c  I, ta cã ce   ce  e  f  vµ cf   cf  e  f  NÕu x  I  e  f  th× x  c  e  f   ce  cf  Ie  If Do ®ã I  e  f   I e  I f Ng-ợc lại, x I e I f th× 24 x  ce  cf   ce  e  f   (cf )  e  f    ce  cf  e  f   I  e  f  Do ®ã I e  I f  I  e  f  V× vËy, I  e  f   Ie  If Mặt khác, R f R f f I f ( I iđêan R f I ) nên R f I e  I  e  f  Vì S l Hơn nữa, với c I với r  R, ta cã c 1  e   cf  c 1  e  f   R f  I 1  e  f  vµ r f  c 1  e  f   r f  c 1  f  1  e  , víi rf  c 1  f   I Tõ ®ã suy ra, I 1  e   R f  I 1  e  f  V× vËy, S l Do đó, phần tử cấu xạ trái Vậy S vành cấu xạ trái T-ơng tự, ta chứng minh đ-ợc S vành cấu xạ phải Ta lại có, M n S   M n  R  M n  I  ,  n  V× M n R vành quy khả nghịch nên M n S vành cấu xạ Vậy S cấu xạ mạnh 25 Kết Luận Sử dụng kết báo [5], [6], luận văn đà trình bày nội dung sau: Phát biểu lại cách có chọn lọc chứng minh chi tiết kết phần tử cấu xạ trái ( Mệnh đề 2.1.4, Bổ đề 2.1.6, Định lý 2.1.7) Giới thiệu khái niệm vành cấu xạ mạnh sử dụng để trình bày chứng minh chi tiết định lý mối liên hệ lớp vành quy khả nghịch với vành cấu xạ vành cấu xạ mạnh ( Định lý 2.2.5) 26 Tài liệu tham khảo A.Tiếng việt [1] Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh (2008), Vành cấu xạ QF vành, Tạp chí khoa học, TËp XXXVII, Sè 4A, Tr-êng §H Vinh B TiÕng anh [2] F.W Anderson and K.R Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, Graduate Text in Math, vol.13 , 2nd Edition, Springer – Verlag, New York, Heidelberg, Berlin [3] V Camillo and W K Nicholson (2007), Quasi – morphic rings, Journal of Algebra and its Appl., Vol 6, No 5, 789-799 [4] G Erlich (1976), Units and one – sided units in regular rings, Trans Amer Math Soc 216, 81-90 [5] T K Lee and Y Zhou (2007), Morphic rings and unit regular rings, Journal of Pure and Applied Algebra, 210, 501 – 510 [6] W.K Nicholson and E S¸nschez Campos (2004), Ring with the dual of the isomorphism theorem, J Algebra, 271, 391 – 406 [7] W.K Nicholson and E S¸nschez Campos (2005), Morphic Modules, Comm In Algebra, 33, 2629 – 2647 ... mối liên hệ vành cấu xạ với vành quy khả nghịch, vành Bun, thể, vành nửa đơn, 2.2 Vành cấu xạ mạnh Trong tiết giới thiệu vành cấu xạ mạnh, mối liên hệ vành cấu xạ mạnh với vành cấu xạ vành quy khả... biêt vành để làm sở cho việc trình bày ch-ơng sau Ch-ơng Vành cấu xạ vành cấu xạ mạnh Ch-ơng giới thiệu phần tử cấu xạ, vành cấu xạ vành cấu xạ mạnh Đồng thời đ-a số ví dụ mối liên hệ hai lớp vành. .. 1.1 Các phần tử đặc biệt vành 1.2 Các lớp vành cổ điển 1.3 Linh hóa tử 1.4 Vành P nội xạ Ch-ơng Vành cấu xạ vành cấu xạ mạnh 2.1 Vành cấu xạ 2.2 Vành cấu xạ mạnh 17 Kết luận 24 tài