Chỉ số chính quy của lũy thừa iđêan cạnh của chu trình rẽ nhánh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HỒNG LÊ THANH TRÚC MAI CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA CHU TRÌNH RẼ NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HOÀNG LÊ THANH TRÚC MAI CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA CHU TRÌNH RẼ NHÁNH Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS THIỀU ĐÌNH PHONG Nghệ An - 2017 MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford 1.3 Chỉ số quy iđêan cạnh 13 1.2 Đồ thị khái niệm liên quan Chương Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh chu trình rẽ nhánh 17 2.1 Chỉ số quy chu trình rẽ nhánh 17 2.2 Chứng minh Bổ đề 2.1.2 27 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Cho k trường I iđêan vành đa thức R = k[x1 , , xn ] Một giải tự tối tiểu I có dạng: R(−j)β1,j (I) −→ −→ · · · −→ j R(−j)β0,j (I) −→ I −→ j Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt số quy) I , ký hiệu reg(I), bất biến quan trọng đại số giao hốn xác định cơng thức: reg(I) = max{j − i| βi,j (I) = 0} Với đồ thị đơn G có tập hợp đỉnh V (G) = {x1 , , xn } tập hợp cạnh E(G), ta liên kết với iđêan đơn thức I = I(G), gọi iđêan cạnh G, xác định I(G) = xi xj : {xi , xj } ∈ E(G) ⊆ R Việc tính tốn tìm kiếm chặn cho số quy iđêan cạnh lũy thừa chúng thực nhiều nhà toán học (xem [1], [2], [3], [5], [7], [11] [12]) Một kết biết đến rộng rãi số quy reg(I s ) hàm tuyến tính với số dương s đủ lớn Đặc biệt, I = I(G) iđêan cạnh, tồn số nguyên b s0 cho với s ≥ s0 ta có đẳng thức reg(I s ) = 2s + b (*) Trường hợp đơn giản b = 0, nghĩa reg(I s ) = 2s, trường hợp I s có giải tự tối tiểu tuyến tính Ví dụ, Banerjee [2] chứng minh G đồ thị không gián đoạn cricket-free reg(I(G)s ) = 2s Dùng [10, Định lý 3.2] cựng vi kt qu ca Frăobergs [8], ta thy phần bù đồ thị G đồ thị dây cung, I(G)s có giải tuyến tính với s ≥ Gần đây, Beyarslam, Ha ` Trung [3] chứng minh với đồ thị G số nguyên s ≥ 1, ta có bất đẳng thức: reg(I(G)s ) ≥ 2s + ν(G) − 1, ν(G) ký hiệu cho số đối sánh cảm sinh G, giá trị lớn lực lượng đối sánh cảm sinh G (xem [3, Định lý 4.5]) Trong báo tương tự, tác giả chứng minh dấu "=" xảy với s ≥ 1, G rừng với s ≥ 2, G chu trình (xem [3, Định lý 4.7 5.2]) Việc tìm thêm lớp đồ thị để dấu "=" bất đẳng thức xảy vấn đề mở thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trên sở chúng tơi chọn đề tài "Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh chu trình rẽ nhánh" để trình bày lại kết Moghimian, Seyed Fakhari Yassemi tài liệu tham khảo [13] lớp đồ thị cho đẳng thức reg(I(G)s ) = 2s + ν(G) − thỏa mãn với s ≥ Cụ thể tìm hiểu lớp đồ thị chu trình rẽ nhánh, tức chu trình mà đỉnh có thêm nhánh cạnh nối đỉnh với đỉnh mới, từ chứng minh đẳng thức với s ≥ Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày kiến thức sở Đại số giao hoán Đại số giao hoán Tổ hợp nhằm chuẩn bị nội dung cho chương sau Các nội dung chương bao gồm số quy, đồ thị, khái niệm đồ thị, iđêan cạnh đồ thị, Chương Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh chu trình rẽ nhánh Nội dung chương trình bày chứng minh chi tiết số kết tài liệu tham khảo số quy lũy thừa iđêan cạnh chu trình rẽ nhánh Luận văn hồn thành hướng dẫn TS Thiều Đình Phong Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc hướng dẫn tận tình chu đáo TS Thiều Đình Phong Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ Đại số - Hình học, Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Phòng Đào tạo Sau đại học, Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý, sửa chữa, bổ sung thầy cô giáo bạn học viên Nghệ An, tháng 08 năm 2017 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong toàn luận văn ta giả thiết k trường, R = k[x1 , , xn ] vành đa thức phân bậc chuẩn n biến k M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Nội dung chương trình bày khái niệm tính chất số quy Castelnuovo-Mumford, đồ thị iđêan cạnh đồ thị Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [2] [3] 1.1 Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford mơđun phân bậc iđêan R bất biến quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số Chỉ số quy định nghĩa theo nhiều cách, nhắc lại định nghĩa dựa vào số Betti phân bậc giải tự sau: 1.1.1 Định nghĩa Cho M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh R(−j)βp,j (M ) → · · · → 0→ j∈Z R(−j)β0,j (M ) → M → j∈Z giải tự phân bậc tối tiểu M Khi số βi,j (M ) gọi số Betti phân bậc vị trí thứ i với bậc j M số quy M định nghĩa reg(M ) = max{j − i | βi,j (M ) = 0} 1.1.2 Ví dụ Giả sử R = k[x, y] I = (xy, y ) Ta có cách xây dựng giải tự R/I sau Giả sử phần bên phải giải tự có dạng ∂ ∂ ∂ F2 − → F1 − → R− → R/I Khi đó, Im∂1 = Ker∂0 = I = (xy, y ) Suy rankR (Im∂1 ) = rankR (I) = Bởi tính tối tiểu tính bảo tồn bậc đồng cấu phân bậc, ta chọn F1 sinh hai phần tử e1 , e2 với deg e1 = deg e2 = Khi F1 = Re1 ⊕ Re2 ∼ = R[−2] ⊕ R[−3] ∂1 (e1 ) = xy, ∂1 (e2 ) = y Suy dãy khớp (xy y ) ∂0 F2 − → R[−2] ⊕ R[−3] −−−−−−→ R − → R/I ∂2 Ta có Im∂2 = Ker∂1 Suy Im∂2 = {α1 e1 + α2 e2 ∈ F1 | αi ∈ R, ∂1 (α1 e1 + α2 e2 ) = 0} = {α1 e1 + α2 e2 ∈ F1 | αi ∈ R, α1 ∂1 (e1 ) + α2 ∂1 (e2 ) = 0} = α1 e1 + α2 e2 ∈ F1 | αi ∈ R, α1 xy + α2 y = = R(y e1 − xe2 ) Bởi tính tối tiểu, nên rankR (F2 ) = rankR (Im∂2 ) = F2 = Rf ∼ = R[−4] với deg f = deg(y e1 − xe2 ) = ∂2 (f ) = (y e1 − xe2 ) Suy y2 (xy y ) −x ∂3 F3 − → R[−4] −−−−→ R[−2] ⊕ R[−3] −−−−−−→ R Ta có Im∂3 = Ker∂2 = {γf ∈ F2 | γ ∈ R, ∂2 (γf ) = 0} = {γf ∈ F2 | γ ∈ R, γ∂2 (f ) = 0} = γf ∈ F2 | γ ∈ R, γ(y e1 − xe2 ) = = {0} Chúng ta thu giải tự phân bậc tối tiểu R/I sau: y2 (xy y ) −x → R[−4] −−−−→ R[−2] ⊕ R[−3] −−−−−−→ R → R/I Suy số Betti phân bậc R/I là: β0,0 (R/I) = 1, β1,2 (R/I) = 1, β1,3 (R/I) = 1, β2,4 (R/I) = Do reg(R/I) = max{j − i | βi,j = 0} = − = 1.1.3 Nhận xét Cho R → S mở rộng vành đạt việc thêm biến vào R Cho I ⊆ R iđêan IS mở rộng S Do mở rộng R → S phẳng nên giải tự tối tiểu IS (như S -mơđun) đạt từ giải tự tối tiểu I (như R-môđun) việc nhân tenxơ với S Do đó, regR (I) = regS (IS) Từ cho phép viết reg(I) cho số quy I R-mơđun số quy IS S -môđun 1.2 Đồ thị khái niệm liên quan Trong mục này, trình bày khái niệm tính chất đồ thị nhằm chuẩn bị cho nội dung phần sau Đầu tiên, ta có định nghĩa đồ thị sau: 1.2.1 Định nghĩa Một đồ thị G = (V, E) bao gồm tập đỉnh V tập cạnh E nối cặp đỉnh (nếu có) Nếu khơng nói thêm, ta sử dụng VG EG để ký hiệu tập đỉnh tập cạnh tương ứng đồ thị G cho trước Một đỉnh v ∈ VG gọi đỉnh cô lập khơng thuộc cạnh G, hay v không nối với đỉnh khác Một cạnh đồ thị G gọi khuyên G hai đỉnh trùng Một cạnh G gọi cạnh kép tồn cạnh khác G có chung đỉnh với Đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị đơn G khơng có khun khơng có cạnh kép 1.2.2 Ví dụ Cho đồ thị G1 , G2 , G3 Hình 1.1 Khi đồ thị G1 có đỉnh d đỉnh lập khơng thuộc cạnh G1 đỉnh a, b, c đỉnh cô lập; đồ thị G2 có gf cạnh kép e khun; đồ thị G3 khơng có cạnh kép, khơng có khun Đồ thị G1 , G3 đồ thị đơn, đồ thị G2 đồ thị đơn Hình 1.1: Đồ thị G1 , G2 , G3 1.2.3 Định nghĩa Cho đồ thị G = (V, E) i) Với đỉnh u đồ thị G, đặt NG (u) = {v ∈ V | uv ∈ E} Ta gọi NG (u) tập tất đỉnh kề u Ký hiệu NG [u] := NG (u) ∪ {u} Một cạnh e liên thuộc tới đỉnh u u ∈ e Bậc đỉnh u ∈ V , ký hiệu degG (u), số cạnh liên thuộc tới u Nếu không gây nhầm lẫn gì, lược bỏ G viết N (u), N [u] deg(u) ii) Với cạnh e đồ thị G, ta định nghĩa G \ e đồ thị G với cạnh e xóa bỏ (nhưng đỉnh giữ nguyên) Với tập W ⊆ V tập đỉnh G, ta định nghĩa G \ W đồ thị G đỉnh thuộc W cạnh liên thuộc với đỉnh bị xóa Lúc W = {u} bao gồm đỉnh đơn, viết G \ u thay cho G \ {u} Nếu e = {u, v} tập NG [e] = NG [u] ∪ NG [v] ta định nghĩa Ge đồ thị G \ NG [e] G iii) Một đồ thị H gọi đồ thị cảm sinh G đỉnh H đỉnh G, với đỉnh u v H , {u, v} cạnh 24 2.1.5 Bổ đề Với giả thiết Bổ đề 2.1.4, x2n+1 ∈ (I s+1 : M ) n số lẻ, viết n = 2m − với ≤ m ≤ s, M = (x1 x2 )(x3 x4 ) (x2m−3 x2m−2 )(x2m−1 x1 )N, với N ∈ I s−m Hơn nữa, trường hợp xn+1 xj ∈ (I s+1 : M ) với j = 1, , 2n Chứng minh Trước tiên giả sử n = 2m − số lẻ M = (x1 x2 )(x3 x4 ) (x2m−3 x2m−2 )(x2m−1 x1 )N với N ∈ I s−m Thì x2n+1 M = (xn+1 x1 )(x2 x3 ) (x2m−2 x2m−1 )(x1 xn+1 )N ∈ I s+1 Bây giờ, giả sử x2n+1 ∈ (I s+1 : M ) Khi đó, từ Định lý 1.3.8 suy xn+1 liên thơng chẵn với ứng với M Cho xn+1 = p0 , p1 , , p2m+1 = xn+1 đường liên thơng chẵn ngắn xn+1 Giả sử tồn ≤ j ≤ 2k cho pj = xn+1 Nếu j số lẻ xn+1 = p0 , , pj = xn+1 đường liên thông chẵn xn+1 ngắn hơn, mâu thuẫn Nếu j số chẵn xn+1 = pj , , p2m+1 = xn+1 đường liên thơng chẵn xn+1 ngắn hơn, mâu thuẫn Do đó, ta giả sử xn+1 khơng xuất đường p0 , , p2m+1 trừ điểm mút Ta ý degG (xn+1 ) = 1, nên đường liên thông chẵn p0 , , p2m+1 đơn giản Từ đây, tồn số i j với ≤ i < j ≤ 2k cho pi = pj ta chọn i j cho j − i cực tiểu Khi pi , , pj đường đóng đơn G Điều xảy đường đơn Cn Nếu đường p0 , , p2m+1 chứa hai Cn , cách xóa cạnh hai này, ta thu đường liên thông chẵn ngắn Vì vậy, đường p0 , , p2m+1 chứa xác Cn Điều đường liên thơng chẵn p0 , , p2m+1 có dạng xn+1 , x1 , x2 , , xn , x1 , xn+1 Vì vậy, 2m + = n + từ n = 2m − số lẻ Bằng cách đánh lại số cần, ta giả sử pi = xi với 25 i = 1, , 2m − p2m = x1 Hơn nữa, định nghĩa đường liên thơng chẵn, ta có M = (p1 p2 ) (p2m−1 p2m )N = (x1 x2 ) (x2m−1 x1 )N, với N ∈ I s−m Sử dụng Định lý 1.3.8, để chứng minh phát biểu cuối bổ đề, ta phải với j = 1, , 2n, đỉnh xn+1 xj liên thông chẵn ứng với M Theo giả thiết, trường hợp j = hay n + tầm thường Từ giả sử j = 1, n + Ta xét trường hợp sau Trường hợp Nếu < j ≤ n số lẻ, xn+1 , x1 , , xj đường liên thông chẵn xn+1 xj Trường hợp Nếu < j ≤ n số chẵn, xj , xj+1 , x1 , xn+1 đường liên thông chẵn xj xn Trường hợp Giả sử n + < j ≤ 2n Nếu j số lẻ, xn+1 , x1 , x2 , x3 , , xj−n , xj đường liên thông chẵn xn+1 xj Nếu j số chẵn, xn+1 , x1 , xn , xn−1 , xn−2 , , xj−n , xj đường liên thông chẵn xn+1 xj Vì vậy, xn+1 xj ∈ (I s+1 : M ) với j = 1, , 2n Giờ ta trình bày chứng minh định lý sau 2.1.6 Định lý Cho G = W (Cn ) đồ thị chu trình rẽ nhánh I = I(G) iđêan cạnh Khi với s ≥ 1, ta có reg(I s ) = 2s + n−1 − = 2s + ν(G) − Chứng minh Dễ dàng kiểm tra ν(G) = n−1 Do đó, đẳng thức thứ hai hiển nhiên Để chứng minh đẳng thức thứ nhất, ý theo tài liệu tham khảo [3, Định lý 4.5], bất đẳng thức reg(I s ) ≥ 2s + ν(G) − 26 biết Vì vậy, ta phải chứng minh với s ≥ bất đẳng thức reg(I s ) ≤ 2s + n−1 −1 Với s = bất đẳng thức biết (xem Mệnh đề 1.3.5) Bằng việc sử dụng [2, Định lý 5.2] phương pháp quy nạp s, ta cần chứng minh với s ≥ phần tử cực tiểu M I s , reg(I s+1 : M ) ≤ n−1 + Theo Định lý 1.3.8, iđêan (I s+1 : M ) sinh đơn thức bậc hai uv , uv cạnh G u v liên thông chẵn ứng với M Cho J biểu thị phân cực iđêan (I s+1 : M ) Giả sử x2i1 , , x2it phần tử cực tiểu không phương (I s+1 : M ) Khi đó, J = I(G ) + (xi1 yi1 , , xit yit ), G đồ thị đỉnh x1 , , x2n yi1 , , yit biến Vì phân cực khơng thay đổi số quy, ta có reg(J) = reg(I s+1 : M ) Mặt khác, (I s+1 : M ) chứa tất cạnh G phần tử sinh cực tiểu, G đồ thị G Với j = 0, , t, cho Hj đồ thị có iđêan cạnh I(G ) + (xi1 yi1 , , xij yij ) Khi đó, H0 = G J = I(Ht ) Theo Bổ đề 2.1.4 2.1.5, ta ý {xij , xl } ∈ E(G ) với j = 1, , t l = 1, , 2n với ij = l Suy với ≤ j ≤ t, đồ thị Hj \ NHj [xij ] chứa đỉnh cô lập {yi1 , , yij−1 } Từ đây, reg(Hj \ NHj [xij ]) = Bây giờ, theo [6, Bổ đề 2.10] ta có reg(Hj ) = reg(Hj \ xij ) 27 Mặt khác, yij đỉnh cô lập Hj \ xij Hj \ {xij , yij } đồ thị cảm sinh Hj \ yij = Hj−1 Do đó, reg(Hj ) = reg(Hj \ xij ) = reg(Hj \ {xij , yij }) ≤ reg(Hj \ yij ) = reg(Hj−1 ) Chú ý Hj−1 đồ thị cảm sinh Hj Điều suy reg(Hj−1 ) ≤ reg(Hj ) Vì vậy, ta thu reg(Hj ) = reg(Hj−1 ) với j = 1, , t Trong trường hợp đặc biệt, suy reg(J) = reg(Ht ) = reg(H0 ) = reg(G ) Để hoàn thành chứng minh, cần reg(G ) ≤ n−1 + Nếu {xn+i , xn+j } ∈ E(G ), với ≤ i, j ≤ n, xn+i xn+j ∈ (I s+1 : M ) Nghĩa tồn đường liên thông chẵn xn+i = p0 , p1 , , p2m+1 = xn+j G, xn+i xn+j Vì NG (xn+i ) = {xi }, ta kết luận p1 = xi Vì vậy, xi+1 , p1 , , p2m+1 = xn+j đường liên thông chẵn xi+1 xn+j Hơn nữa, xi−1 , p1 , , p2m+1 = xn+j đường liên thông chẵn xi−1 xn+j Tương tự, xn+i liên thông chẵn với xj−1 xj+1 (trong ta xem số i − 1, i + 1, j − j + theo môđun n) Suy {xi−1 , xn+j }, {xi+1 , xn+j }, {xj−1 , xn+i }, {xj+1 , xn+i } ∈ E(G ) Theo Bổ đề 2.1.3 reg(G ) ≤ 2.2 n+1 kết thúc chứng minh Chứng minh Bổ đề 2.1.2 Trong phần này, ta trình bày chứng minh đầy đủ Bổ đề 2.1.2 Chứng minh Chúng sử dụng phương pháp quy nạp n Vì đồ thị liên thơng với nhiều bốn đỉnh có phần bù đồ thị dây cung, nên bổ đề với n ≤ Đặt d = degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ) 28 Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo d Chú ý d ≥ Đầu tiên, xét trường hợp d = Trong trường hợp này, đặt H = G \ {x1 , xn+1 } ý đồ thị G \ x1 , đỉnh xn+1 đỉnh lập Do đó, reg(G \ x1 ) = reg(H) Từ đây, giả thiết quy nạp n, ta có reg(G \ x1 ) = reg(H) ≤ n+2 (n − 1) + ≤ 2 (3.1) Gọi K đồ thị cảm sinh G có tập hợp đỉnh V (G)\{x1 , xn+1 , x2 , xn+2 } Rõ ràng, G \ (N [x1 ] ∪ {xn+2 }) đồ thị cảm sinh K Nên, theo Định lý 1.3.6, reg(G \ (N [x1 ] ∪ {xn+2 })) ≤ reg(K) Mặt khác, degG (xn+2 ) = xn+2 đỉnh cô lập G \ N [x1 ] Vì vậy, reg(G \ N [x1 ]) = reg(G \ (N [x1 ] ∪ {xn+2 })), từ đây, reg(G \ N [x1 ]) ≤ reg(K) Hơn nữa, quy nạp n, ta có reg(K) ≤ (n − 2) + n = 2 (3.2) Theo Định lý 1.3.6, với (3.1) (3.2) reg(G) ≤ max{reg(G \ x1 ), reg(G \ N [x1 ]) + 1} ≤ n+2 Bây giả sử d > Khi đó, có đỉnh xt ∈ {x1 , , xn , xn+1 , , x2n } cho (i) t = {xn+1 , xt } ∈ E(G) (ii) t = {xn+2 , xt } ∈ E(G) Gọi t số nguyên nhỏ thỏa mãn tính chất Ta xét trường hợp sau Trường hợp Giả sử e = {xn+1 , xn+2 } ∈ E(G) Thì degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ) 29 Nên, theo giả thiết quy nạp d, ta có reg(G \ e) ≤ n+2 Cho H đồ thị cảm sinh G có tập hợp đỉnh V (G)\{x1 , xn+1 , x2 , xn+2 } Khi đó, theo quy nạp n, ta có reg(H) ≤ n (n − 2) + = 2 Hơn nữa, Ge đồ thị cảm sinh H theo Định lý 1.3.6 n Từ đây, theo Định lý 1.3.6, ta kết luận reg(Ge ) ≤ reg(H) ≤ reg(G) ≤ n+2 Trường hợp Giả sử e = {xn+1 , x2 } ∈ E(G) {xn+1 , xn+3 } ∈ / E(G) Thì degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ), {xn+1 , xn+3 } ∈ / E(G), suy G \ e thỏa mãn giả thiết bổ đề Nên, theo giả thiết quy nạp d, ta có reg(G \ e) ≤ n+2 Đặt H đồ thị cảm sinh G có tập hợp đỉnh V (G)\{x1 , xn+1 , x2 , xn+2 } Khi đó, theo quy nạp n, reg(H) ≤ (n − 2) + n = 2 Hơn nữa, Ge đồ thị cảm sinh H theo Định lý 1.3.6 reg(Ge ) ≤ reg(H) ≤ n Từ đây, theo Định lý 1.3.6, ta kết luận reg(G) ≤ n+2 Trường hợp Giả sử e = {xn+1 , x2 } e = {xn+1 , xn+3 } cạnh G Vì G \ e ta có degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ), 30 quy nạp d, ta có n+2 n+2 , ta cần chứng minh Sử dụng Định lý 1.3.6, để chứng minh reg(G) ≤ n reg(Ge ) ≤ Gọi H đồ thị cảm sinh G có tập hợp đỉnh V (G)\{x1 , xn+1 , x3 , xn+3 } reg(G \ e ) ≤ đặt H đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H tập hợp cạnh E(H ) = E(H)∪ {x2 , x4 } ∪ {x2 , xn+i } | ≤ i ≤ n ∪ {x4 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = Khi đó, H thỏa mãn giả thiết bổ đề Từ đây, theo giả thiết quy nạp n, ta thấy (n − 2) + n = 2 Hơn nữa, Ge đồ thị cảm sinh H (vì x2 x4 không đỉnh reg(H ) ≤ Ge ), suy reg(Ge ) ≤ reg(H ) ≤ n Trường hợp Giả sử e = {xn+2 , x1 } cạnh G Khi degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ) Vì vậy, theo quy nạp d, reg(G \ e) ≤ n+2 Gọi H đồ thị cảm sinh G có tập hợp đỉnh V (G)\{x1 , xn+1 , x2 , xn+2 } Khi đó, Ge đồ thị cảm sinh H giả thiết quy nạp cho ta reg(Ge ) ≤ reg(H) ≤ n Theo Định lý 1.3.6 reg(G) ≤ n+2 Trường hợp Giả sử ≤ t ≤ n, cạnh e = {xn+1 , xt } ∈ E(G), {xn+1 , xn+t+1 } không cạnh G 31 Nếu t = e = {xn+1 , x3 } ∈ E(G) {xn+1 , xn+4 } ∈ / E(G) Nếu {xn+1 , xn+2 } cạnh G, khẳng định suy theo trường hợp Nếu t ≥ {xn+1 , xn+t−1 } cạnh G, theo giả thiết, {xn+1 , xt−2 } cạnh G, mâu thuẫn với cách chọn t Do đó, ta giả sử {xn+1 , xn+t−1 } ∈ / E(G) Vì {xn+1 , xn+t−1 } {xn+1 , xn+t+1 } cạnh G, suy G \ e thỏa mãn giả thiết bổ đề Bây giờ, degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ) Vì vậy, theo quy nạp d, reg(G \ e) ≤ n+2 Gọi H đồ thị cảm sinh G có tập hợp đỉnh V (G)\{x1 , xn+1 , x3 , xn+3 } gọi H đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H tập hợp cạnh E(H ) = E(H)∪ {x2 , x4 } ∪ {x2 , xn+i } | ≤ i ≤ n ∪ {x4 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = Khi Ge đồ thị cảm sinh H (vì x2 x4 khơng đỉnh Ge ) Do đó, theo quy nạp n Định lý 1.3.6, ta có reg(Ge ) ≤ reg(H ) ≤ n (n − 2) + = 2 n+2 suy theo Định lý 1.3.6 Trường hợp Giả sử ≤ t ≤ n e = {xn+1 , xt } giả sử e = {xn+1 , xn+t+1 } Khẳng định reg(G) ≤ cạnh G Khi degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ), theo quy nạp d, n+2 n+2 Theo Định lý 1.3.6, để chứng minh reg(G) ≤ , ta cần chứng minh n reg(Ge ) ≤ reg(G \ e ) ≤ 32 Gọi H đồ thị cảm sinh G có V (H) = V (G) \ {x1 , xn+1 , xt+1 , xn+t+1 } gọi H đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H tập hợp cạnh E(H ) = E(H) ∪ {xt , xt+2 } ∪ {xt , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = t + ∪ {xt+2 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = t + Dễ dàng kiểm tra H thỏa mãn giả thiết bổ đề Do đó, quy nạp n, ta suy n (n − 2) + = 2 Hơn nữa, Ge đồ thị cảm sinh H (vì xt xt+2 khơng đỉnh n suy kết Ge ) Suy reg(Ge ) ≤ reg(H ) ≤ Trường hợp Giả sử n + ≤ t ≤ 2n {xn+1 , xt } cạnh G Theo reg(H ) ≤ quy nạp, {xn+1 , xt−n−1 } cạnh G, mâu thuẫn với cách chọn t Trường hợp Giả sử ≤ t ≤ n giả sử e = {xn+2 , xt } e = {xn+2 , xn+t+1 } cạnh G Trong đồ thị G \ e , ta có degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ) Nên, theo quy nạp d, ta có reg(G \ e ) ≤ n+2 Theo Định lý 1.3.6 reg(G) ≤ max{reg(G \ e ), reg(Ge ) + 1} n+2 , ta cần chứng minh n reg(Ge ) ≤ (3.3) Gọi H đồ thị cảm sinh G có V (H) = V (G) \ {x2 , xn+2 , xt+1 , xn+t+1 } Vì vậy, để chứng minh reg(G) ≤ gọi H đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H tập hợp cạnh E(H ) = E(H) ∪ {x1 , x3 }, {xt , xt+2 } ∪ {x1 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = t + ∪ {x3 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = 2, t + ∪ {xt , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = 2, t + ∪ {xt+2 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = 2, t + 33 Dễ dàng kiểm tra H thỏa mãn giả thiết bổ đề Từ theo quy nạp n, ta có (n − 2) + n = 2 Hơn nữa, Ge đồ thị cảm sinh H (vì x1 , x3 , xt xt+2 không reg(H ) ≤ cạnh Ge ) Nên Định lý, ta có 1.3.6, reg(Ge ) ≤ reg(H ) ≤ n (3.3) Trường hợp Giả sử e = {xn+2 , xn+3 } cạnh G Bằng quy nạp d, ta có reg(G \ e) ≤ n+2 Bây giờ, dùng Định lý 1.3.6 reg(G) ≤ max{reg(G \ e), reg(Ge ) + 1} Do đó, ta cần chứng minh n Gọi H đồ thị cảm sinh G với tập hợp đỉnh V (G)\{x2 , xn+2 , x3 , xn+3 } reg(Ge ) ≤ gọi H đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H tập hợp cạnh E(H ) = E(H)∪ {x1 , x4 } ∪ {x1 , xn+i } | ≤ i ≤ n ∪ {x4 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = 2, Dễ dàng kiểm tra H thỏa mãn giả thiết bổ đề Vì vậy, theo quy nạp n, ta có n (n − 2) + = 2 Hơn nữa, Ge đồ thị cảm sinh H (vì x1 x4 không đỉnh reg(H ) ≤ Ge ) suy reg(Ge ) ≤ reg(H ) ≤ n Trường hợp 10 Giả sử e = {xn+2 , x3 } cạnh G {xn+2 , xn+4 } không cạnh G Chú ý degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ) 34 Vì {xn+2 , xn+4 } không cạnh G, ta kết luận G \ e thỏa mãn giả thiết bổ đề Nên, quy nạp d, reg(G \ e) ≤ n+2 Gọi H đồ thị cảm sinh G có tập hợp đỉnh V (G)\{x2 , xn+2 , x3 , xn+3 } gọi H đồ thị có tập hợp đỉnh giống H tập hợp cạnh E(H ) = E(H) ∪ {x1 , x4 } ∪ {x4 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = 2, ∪ {x1 , xn+i } | {xn+4 , xn+i } ∈ E(G), i = 2, Dễ dàng kiểm tra H thỏa mãn giả thiết bổ đề Chú ý x4 không đỉnh Ge Mặt khác, {xn+4 , xn+i } ∈ E(G), với i = 2, 3, từ giả thiết bổ đề suy {x3 , xn+i } ∈ E(G) Do đó, xn+i khơng đỉnh Ge Vì vậy, Ge đồ thị cảm sinh H Từ đây, theo Định lý 1.3.6 quy nạp n, reg(Ge ) ≤ reg(H ) ≤ (n − 2) + n = 2 Cuối sử dụng Định lý 1.3.6, ta có, reg(G) ≤ n+2 Trường hợp 11 Giả sử ≤ t ≤ n giả sử e = {xn+2 , xt } cạnh G {xn+2 , xn+t+1 } không cạnh G Nếu t = {xn+2 , xn+3 } ∈ E(G), khẳng định giống trường hợp Nếu t ≥ {xn+2 , xn+t−1 } ∈ E(G), theo giả thiết, {xn+2 , xt−2 } ∈ E(G), mâu thuẫn với cách chọn t Vì vậy, ta giả sử {xn+2 , xn+t−1 } ∈ / E(G) Trong trường hợp này, ta ý degG\e (xn+1 ) + degG\e (xn+2 ) < degG (xn+1 ) + degG (xn+2 ) Vì {xn+2 , xn+t−1 } {xn+2 , xn+t+1 } không cạnh G, ta kết luận G \ e thỏa mãn giả thiết bổ đề Nên, quy nạp d, reg(G \ e) ≤ n+2 35 Gọi H đồ thị cảm sinh G có tập hợp đỉnh V (G)\{x2 , xn+2 , xt , xn+t } gọi H đồ thị có tập hợp đỉnh giống với H tập hợp cạnh E(H ) = E(H) ∪ {x1 , xt−1 }, {x3 , xt+1 } ∪ {xt−1 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = 2, t ∪ {xt+1 , xn+i } | ≤ i ≤ n, i = 2, t ∪ {x1 , xn+i } | {xn+t−1 , xn+i } ∈ E(G), i = 2, t ∪ {x3 , xn+i } | {xn+t+1 , xn+i } ∈ E(G), i = 2, t Xét đường x1 , xt−1 , xt−2 , , x4 , x3 , xt+1 , xt+2 , , xn , dễ dàng kiểm tra H thỏa mãn giả thiết bổ đề Chú ý xt−1 xt+1 không đỉnh Ge Mặt khác, {xn+t−1 , xn+i } ∈ E(G), với i = 2, t, từ giả thiết bổ đề suy {xt , xn+i } ∈ E(G) Vì vậy, xn+i khơng đỉnh Ge Tương tự, {xn+t+1 , xn+i } ∈ E(G), với i = 2, t, xn+i khơng đỉnh Ge Do đó, Ge đồ thị cảm sinh H Từ đây, theo Định lý 1.3.6 quy nạp n, reg(Ge ) ≤ reg(H ) ≤ n (n − 2) + = 2 Cuối cùng, dùng Định lý 1.3.6, ta có, reg(G) ≤ n+2 Trường hợp 12 Giả sử n + ≤ t ≤ 2n e = {xn+2 , xt } cạnh G Khi theo giả thiết, {xn+2 , xt−n−1 } ∈ E(G), mâu thuẫn với cách chọn t 36 KẾT LUẬN Trên sở tìm hiểu trình bày lại số kết tài liệu tham khảo [13], luận văn hồn thành nội dung sau: Trình bày khái niệm, tính chất số quy CastelnuovoMumford, đồ thị, iđêan cạnh đồ thị khái niệm tổ hợp khác với số ví dụ minh họa Trình bày khái niệm số tính chất số quy iđêan cạnh đồ thị Trình bày chứng minh chặn số quy lũy thừa iđêan cạnh Trình bày chứng minh biểu thức tường minh số quy lũy thừa iđêan cạnh chu trình rẽ nhánh 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm 13 tài liệu sau, tài liệu [13] [1] A Aliooee, A Banerjee, Powers of edge ideals of regularity three bipartite graphs, preprint available at https://arxiv.org/abs/1408.2557 [2] A Banerjee (2015), The regularity of powers of edge ideals, J Algebraic Combin 41, no 2, 303–321 [3] S Beyarslan, H T Ha, T N Trung (2015), Regularity of powers of forests and cycles, J Algebraic Combin 42, no 4, 1077–1095 [4] J Biermann, A Van Tuyl (2013), Balanced vertex decomposable simplicial complexes and their h-vectors Electron J Combin 20, no 3, Paper 15 [5] A Conca (2006), Regularity jumps for powers of ideals, Commutative algebra, Lect Notes pure Appl., Queens Papers in Pure and Appl Math., 244, 1–40 [6] H Dao, C Huneke, J Schweig (2013), Bound on the regularity and projective dimension of ideals associated to graphs J Algebraic Combin 38, 37–55 [7] C Ferro, M Murgia, O Olteanu (2012), Powers of edge ideals, Matematiche (Catania), 67, no 1, 129144 [8] R Frăoberg (1998), On Stanley-Reisner rings, Topics in algebra, Part 2, 5770, Banach Center Publ., 26, Part 2, PWN, Warsaw 38 [9] H T Ha (2014), Regularity of squarefree monomial ideals, Connections between algebra, combinatorics, and geometry, Springer Proc Math Stat., 76, Springer, New York, 251–276 [10] J Herzog, T Hibi, X Zheng (2004), Monomial ideals whose powers have a linear resolution, Math Scand 95, no 1, 23–32 [11] S Jacques (2004), Betti numbers of graph ideals, Ph.D Thesis, University of sheffield [12] S Morey, R H Villarreal (2012), Edge ideals: algebraic and combinatorial properties, Progress in commutative algebra 1, 85–126, de Gruyter, Berlin [13] M Moghimian, S A Seyed Fakhari, S Yassemi (2017), Regularity of powers of edge Ideal of whiskered cycles, Comm Algebra 45, no 3, 1246–1259 ... iđêan cạnh đồ thị, Chương Chỉ số quy lũy thừa iđêan cạnh chu trình rẽ nhánh Nội dung chương trình bày chứng minh chi tiết số kết tài liệu tham khảo số quy lũy thừa iđêan cạnh chu trình rẽ nhánh. .. Trình bày khái niệm số tính chất số quy iđêan cạnh đồ thị Trình bày chứng minh chặn số quy lũy thừa iđêan cạnh Trình bày chứng minh biểu thức tường minh số quy lũy thừa iđêan cạnh chu trình rẽ. .. sinh x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 cạnh G x1 x4 liên thông chẵn ứng với M 17 CHƯƠNG CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH CỦA CHU TRÌNH RẼ NHÁNH 2.1 Chỉ số quy chu trình rẽ nhánh Mục đích phần chứng