Chỉ số chính quy castelnuovo mumford và bậc mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH HẢI TÂM CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ BẬC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH HẢI TÂM CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ BẬC MỞ RỘNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An - 2016 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành môđun phân bậc 1.2 Chiều Krull 1.3 Độ dài môđun 1.4 Hệ tham số, số bội 11 1.5 Vành môđun Cohen-Macaulay 13 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 14 CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ BẬC MỞ RỘNG 17 2.1 Chỉ số quy đại số phân bậc 17 2.2 Bậc mở rộng số quy hình học 21 2.3 Chặn số quy 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI MỞ ĐẦU Chỉ số quy Castelnuovo-Mumford loại chặn cho bất biến quan trọng đại số phân bậc, chẳng hạn bậc cực đại môđun xoắn bậc không triệt tiêu lớn môđun đối đồng điều địa phương Nó sử dụng để đo độ phức tạp tính tốn Hình học đại số Đại số giao hốn Người ta thường cố gắng tìm chặn số qui Castelnouvo-Mumford theo bất biến đơn giản Bất biến đơn giản để đo độ phức tạp Đại số phân bậc chiều số bội Tuy nhiên, số qui Castelnuovo-Mumford khơng thể chặn theo số bội chiều Khái niệm bậc mở rộng đưa Vasconcelos cộng Nó hàm số phạm trù môđun phân bậc hữu hạn sinh vành địa phương vành phân bậc tổng qt hóa khái niệm thơng thường số bội bậc Những bất biến có đặc trưng đồng điều tn theo tính tốn Đại số máy tính Doering, Gunston Vansconcelos số qui Castelnuovo-Mumford Đại số phân bậc bé bậc mở rộng Trong báo “Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree” Ngô Việt Trung, Maria Evelina Rossi Giuseppe Valla giới thiệu số kết số quy Castelnuovo-Mumford đại số phân bậc, ước lượng số quy hình học theo bậc mở rộng tùy ý Luận văn nghiên cứu trình bày lại chi tiết số kết báo Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Đào Thị Thanh Hà Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến Cô, người tận tình hướng dẫn, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, giáo khoa Tốn trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng lớp Cao học K 22 chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Các thầy, cô không đưa đến cho tác giả kiến thức Khoa học mà cịn giúp tác giả có niềm tin ước mơ, để vững bước vị trí cơng tác Tác giả xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sư phạm Tốn học Phịng đào tạo sau đại học, Ban Giám hiệu - Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập rèn luyện Trường Nghệ An, tháng năm 2016 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành môđun phân bậc 1.1.1 Định nghĩa (i) Một vành R gọi phân bậc R = R0 ⊕ R1 ⊕ R2 ⊕ · · · tổng trực tiếp nhóm aben với Ri Rj ⊆ Ri+j , với i, j ∈ Z (ii) Một môđun M vành phân bậc R gọi môđun phân bậc M = M0 ⊕ M1 ⊕ M2 ⊕ · · · xét nhóm cộng Ri Mj ⊆ Mi+j , với i, j ∈ Z (iii) Nếu M = ⊕ Mi môđun phân bậc vành phân bậc R = ⊕ Ri i∈Z i∈Z phần tử x Ri (hoặc Mi ) gọi phần tử bậc i ký hiệu deg(x) = i Ta quy ước bậc phần tử số nguyên tùy ý Như vậy, a ∈ R x ∈ M phần tử deg(ax) = deg(a) + deg(x) ax = Từ định nghĩa ta suy R0 vành vành R thành phần phân bậc Mi (hoặc Ri ) R0 −môđun Nếu x ∈ M x = xi + xi+1 + + xj , với xk ∈ Mk , i ≤ k ≤ j; i, j ∈ Z xk (có thể xk = 0) gọi thành phần thành phần phân bậc bậc k x Mỗi phần tử có biểu diễn thành tổng thành phần phân bậc Cho S vành vành R (khơng thiết phân bậc) Khi người ta gọi R S -đại số Nếu a1 , , an ∈ R, kí hiệu S[a1 , , an ] tổ hợp tuyến tính S phần tử ap11 , , apnn với (p1 , , pn ) ∈ Nn Tập rõ ràng tập R Có thể xem vành đa thức a1 , , an biến độc lập Nếu tồn a1 , , an ∈ R cho R = S[a1 , , , an ] R gọi S -đại số hữu hạn sinh 1.1.2 Định nghĩa Vành phân bậc R = ⊕ Ri gọi vành phân bậc i≥0 chuẩn R0 R = R0 [R1 ] 1.1.3 Định nghĩa Cho M môđun phân bậc vành phân bậc R N môđun M Khi N gọi môđun hay môđun phân bậc thỏa mãn điều kiện tương đương sau (i) N sinh phần tử (ii) Với x ∈ N, thành phần thuộc N (iii) N = ⊕ (N ∩ Mi ) i∈Z Nếu I iđêan vành phân bậc R vành thương R/I là vành phân bậc Cũng vậy, N mơđun M M/N R-mơđun phân bậc 1.1.4 Ví dụ Vành phân bậc chuẩn hay gặp vành đa thức R = A[x1 , , xn ], A vành giao hốn có đơn vị, với Ri tập tổ hợp tuyến tính đơn thức có bậc tổng thể i hệ số thuộc A Như đa thức tổng đơn thức có bậc tổng thể I iđêan R sinh đa thức Một số ví dụ iđêan (i) Mọi iđêan đơn thức iđêan (ii) (x3 − y z, x4 yz − y z + 6y z ) iđêan vành R[x, y, z] (iii) I iđêan vành đa thức A[x1 , , xn ] vành thương A[x1 , , xn ]/I vành phân bậc chuẩn 1.1.5 Định nghĩa Cho I iđêan vành giao hốn R M Rmơđun Ta xây dựng vành môđun phân bậc tương ứng với I sau ∞ n (i) R∗ = Gri (R) := R/I ⊕ I I i ⊕ · · · = ⊕ I I n+1 n=0 ∗ R Ta có (R )0 = /I Phép tốn R∗ n m a ∈ I I n+1 ; b ∈ I I m+1 a ¯ ¯b = ab(moduleI n+m+1 ) Khi ∞ R∗ = GrI (R) = ⊕ (GrI (R))n n=0 gọi vành phân bậc liên kết R iđêan I ∞ n (ii) GrI (M ) = ⊕ I M I n+1 M R∗ -môđun phân bậc, gọi môđun n=0 phân bậc liên kết M iđêan I với phép toán m n a ∈ I I m+1 , x ∈ I M I n+1 M a · x = ax ∈ I 1.2 n+1 M I n+m+1 M Chiều Krull 1.2.1 Định nghĩa Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành giao hoán R p0 ⊃ ⊃ pn gọi xích ngun tố có độ dài n Ký hiệu SpecR tập iđêan nguyên tố R Cho p ∈ SpecR, cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p gọi độ cao p, ký hiệu ht(p) Cho I iđêan R Khi độ cao I xác định ht(I) = inf{ht(p)|p ∈ SpecR, p ⊇ I} 1.2.2 Định nghĩa Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, ký hiệu dim R Cho M R - môđun Tập hợp AnnR M = {a ∈ R|aM = 0} = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M } iđêan vành R, AnnR (M ) gọi linh hóa tử môđun M 1.2.3 Định nghĩa dim(R/AnnR M ) gọi chiều Krull môđun M , ký hiệu dim M Chú ý ta ln có dimM ≤ dimR với R-mơđun 1.2.4 Ví dụ (i) dim K = (với K trường) Vì trường K có hai iđêan K , iđêan nguyên tố K (ii) dim Z = Z có iđêan nguyên tố pZ với p số nguyên tố Mặt khác, iđêan pZ với p số nguyên tố iđêan cực đại Khi xích ngun tố có độ dài lớn Z ⊂ pZ 1.3 Độ dài môđun 1.3.1 Định nghĩa Một R-môđun M khác môđun không gọi mơđun đơn M có hai mơđun mơđun khơng 1.3.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành R-môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn môđun M = M0 ⊃ M1 ⊃ · · · ⊃ Mn = {0} 10 cho Mi−1 /Mi môđun đơn, i = 1, , n Khi số n gọi độ dài dãy hợp thành 1.3.3 Ví dụ (i) Một không gian véc tơ trường K K -mơđun có dãy hợp thành khơng gian véc tơ có chiều hữu hạn (ii) Một khơng gian véc tơ có dãy hợp thành với độ dài d có chiều d (iii) Vành số ngun Z Z-mơđun khơng có dãy hợp thành 1.3.4 Định lý (Jordan-Holder) Nếu R-môđun M có dãy hợp thành với độ dài n tất dãy hợp thành M có độ dài n Hơn nữa, dãy tăng, giảm thực mơđun M , có độ dài không vượt độ dài dãy hợp thành, mở rộng thành dãy hợp thành M Từ Định lý 1.3.4 ta có định nghĩa sau 1.3.5 Định nghĩa Độ dài dãy hợp thành tuỳ ý R-môđun M gọi độ dài môđun M ký hiệu R (M ) đơn giản (M ) Nếu R-mơđun M khơng có dãy hợp thành ta quy ước độ dài R (M ) = ∞ gọi mơđun có độ dài vơ hạn 1.3.6 Ví dụ (i) Độ dài không gian véc tơ số chiều khơng gian véc tơ (ii) Q (Q) = (vì Q khơng gian véc tơ Q có chiều Q Q-mơđun) (iii) Z (Z) =∞ Ta có đặc trưng mơđun có độ dài hữu hạn sau 1.3.7 Định lý Cho R vành giao hốn có đơn vị Giả sử có dãy khớp ngắn R-môđun → N →M →P → 18 Điều cho trường hợp vành thương S (khơng thiết phải có độ sâu dương) 2.1.2 Hệ Đặt R = S/I , I iđêan Nếu R m-chính quy yếu, R m-chính quy Chứng minh Theo Định lý 2.1.1, R/L m-chính quy, L iđêan lớn R có độ dài hữu hạn Vì m ≥ theo định nghĩa số quy Từ dãy khớp ngắn 0→I→S→R→0 ta có Ext0S (I, S)−m−1 ExtiS (I, S)−m−i−1 Ext1S (R, S)−m−1 = Exti+1 S (R, S)−m−i−1 = 0, i ≥ I (m + 1)−chính quy yếu Do I có độ sâu dương, I (m + 1)-chính quy theo Định lý 2.1.1 Dựa vào giải tự phân bậc tối tiểu I, ta kết luận R mchính quy Cho R đại số phân bậc chuẩn trường k Giả sử M R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Với số nguyên i ta ký hiệu HRi + (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M , R+ iđêan phân bậc cực đại R Nếu R = S/I, I iđêan HRi + (M ) = HSi + (M ) Theo tính đối ngẫu địa phương [4, A4.2] ta có HSi + (M )m ∼ = Extr−i S (M, S)−m−r ∀i, ∀m Như M m-chính quy HRi + (M )n = 0, ∀i ∀n ≥ m − i + M m-chính quy yếu HRi + (M )m−i+1 = 0, ∀i 19 Đặc biệt, reg(M ) số nguyên m nhỏ cho HRi + (M )n = 0, ∀i n ≥ m − i + Vì thế, số quy Castelnuovo-Mumford xác định cho R-mơđun hữu hạn sinh tuỳ ý, không kể đến biểu diễn Ta dùng số quy Castelnuovo-Munford để kiểm tra dáng điệu hàm Hilbert Cho hM (n) hàm Hilbert M pM (n) đa thức Hilbert M , mà theo định nghĩa đa thức thuộc Q[X] cho pM (n) = hM (n), ∀n Hiệu chúng tính cơng thức cổ điển sau Serre [2, Định lý 4.4.3]: (−1)i dimk HRi + (M )n hM (n) − pM (n) = i≥0 Vì thế, ta có kết sau: 2.1.3 Bổ đề hR (n) = pR (n) với n > reg(R) Chúng ta có khái niệm liên quan khái niệm số quy hình học sau Định nghĩa Ta nói M m-chính quy hình học HRi + (M )n = ∀i > 0, ∀n ≥ m − i + số quy hình học g-reg(M ) M , số nguyên m nhỏ nhất, cho M m-chính quy hình học Ta ln ln có g-reg(M ) ≤ reg(M ) g-reg(M ) = reg(M ) depth M > Theo [9] ta gọi z phần tử R lọc-chính quy z ∈ / Q, với iđêan nguyên tố liên kết Q R-lọc quy dạng tuyến tính ln ln tồn tại, k trường vô hạn Định lý sau suy từ cách chứng minh [Mu, pp 101, Định lý] Chú ý chứng minh định lý sau chi tiết 2.1.4 Định lý Giả sử R đại số phân bậc chuẩn với dim R ≥ Giả sử z lọc quy dạng tuyến tính R Nếu R/zR m-chính quy 20 hình học R (m + pR (m) − hR/L (m))-chính quy hình học, L ký hiệu iđêan lớn có độ dài hữu hạn R Chứng minh Từ HRi + (L) = 0, ∀i > 0, ta có HRi + (R) ∼ = HRi + (R/L)∀i > Do g-reg(R) =g-reg(R/L) Tương tự, từ L + zR/zR iđêan có độ dài hữu hạn R/zR ta có g-reg(R/zR) = g-reg((R/zR)/L(R/zR)) = g-reg ((R/L)/z(R/L)) Hơn nữa, rõ ràng pR (X) = pR/L X Như vậy, việc thay R/L R, ta giả sử z phần tử quy R Với giả thiết này, ta có: g-reg(R) =reg(R) =reg(R/zR) Ta cần R/zR m-chính quy hình học, R/zR (m + pR (m) − hR (m))-chính quy Từ R/zR m-chính quy hình học, ta có H i (R/zR)n−i+1 = 0, ∀n ≥ m, i > Nếu ta chứng minh: HR0 + (R/zR)n+1 = 0, với n ≥ m đó, R/zR n-chính quy yếu, R/zR n-chính quy theo Hệ 2.1.2 Do đó, điều kiện đủ để chứng minh rằng, R/zR m-chính quy hình học, tồn số nguyên j với m + ≤ j ≤ m + pR (m) − hR (m) + cho HR0 + (R/zR)j = Từ dãy khớp ngắn Z → R(−1) → R → R/zR → ta có dãy khớp dài mơđun đồng điều địa phương → HR0 + (R/zR)n → HR1 + (R)n−1 → HR1 + (R)n → HR1 + (R/zR)n → · · · → HRi + (R/zR)n → HRi+1 (R)n−1 → HRi+1 (R)n → · · · + + với số nguyên n 21 Do R/zR m-chính quy hình học, ta có HRi + (R/zR)n = 0, với i > n m − i + Áp dụng điều lên dãy khớp trên, với giả thiết n dimk HR1 + (R)n−1 − dimk HR1 + (R)n = dimk HR0 + (R/zR)n ánh xạ HRi+1 (R)n−1 → HRi+1 (R)n đơn ánh, với i + + với t m (1) Bởi HRi+1 (R)t = + 0, từ điều ta suy ra: HRi+1 (R)t = 0, với i ≥ t ≥ m − + Từ HR0 + (R) = 0, kéo theo (−1)i dimk HRi + (R)m = −dimk HR1 + (R)m hR (m) − pR (m) = i≥0 Đặt s = 1+m+pR (m)−hR (m) = 1+m+dimk HR1 + (R)m giả sử ngược lại HR0 + (R/zR)j = với số nguyên j thoã mản m + ≤ j ≤ s Theo (1) ta có: dimk HR1 + (R)m = s j=m+1 dimk HR0 + (R/zR)j + dimk HR1 + (R)s ≥ s − m > dimk HR1 + (R)m Định lý 2.1.4 chứng minh hoàn toàn 2.2 Bậc mở rộng số quy hình học Cho (A, m) vành địa phương, với trường thặng dư vô hạn Ký hiệu M(A) lớp A-môđun phân bậc hữu hạn sinh Theo [3] [10], bậc mở rộng (hay bậc đối đồng điều) M(A) hàm số D(-) M(A) cho tính chất sau với môđun M ∈ M(A) (i) D(M ) = D(M/L) + (L), L mơđun cực đại M có độ dài hữu hạn, (ii)D(M ) ≥ D(M/xM ), với x phần tử tổng quát m, (iii)D(M ) = e(M ) M A-môđun Cohen-Macaulay, e(M ) số bội M m 22 Ví dụ: Khái niệm bậc đồng điều hdeg(M ), đưa nghiên cứu Vasconcelos cộng ([10]) Bậc đồng điều R-môđun M phân bậc hữu hạn sinh xác định đệ quy sau Định nghĩa [10, Định nghĩa 9.4.1] Bậc đồng điều môđun M số   d−1 d−1  hdegExtn+i+1-d (M, R) hdeg(M ) = deg (M ) + R i=0 i Chú ý hdegM ≥ degM dấu xảy M môđun Cohen-Macaulay Nếu A ảnh đồng cấu vành Gorenstein S với dim S = n M ∈ M(A) với dim M = r, ta định nghĩa   r−1 r−1  hdeg(Extn−i (M, S))  hdeg(M ) := e(M )+ S i= i Đây định nghĩa đệ quy theo chiều, từ dim Extn−i S (M, S) < r với i = 0, , r − Nếu A ảnh đồng cấu vành Gorenstein, ta cần đặt hdeg(M ) := hdeg(M ⊗A A), A biểu thị m-adic đầy đủ A Đặc biệt, M môđun Cohen-Macaulay suy rộng tức (Hmi (M )) < ∞, với i < r = dim M, đây, Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M với giá m   r−1 r−1   (Hmi (M )) hdeg(M ) = e(M )+ i= i 23 Bất bậc mở rộng D(M ) thoã mãn D(M ) ≥ e(M ), dấu đẳng thức xảy M môđun Cohen-Macaulay Theo [3] ta gọi hiệu I(M ) := D(M ) − e(M ) độ lệch Cohen-Macaulay M Rõ ràng I(M ) thõa mãn điều kiện sau (i’) I(M ) = I(M/L) + (L), (i”) I(M ) ≥ I(M/xM ) với x phần tử tổng quát m Hàm Hilbert-Samuel bị chặn bậc mở rộng sau 2.2.1 Định lý Giả sử d = dim A ≥ Giả thiết I(A) độ lệch Cohen-Macaulay tuỳ ý A với ≥ ta có       n+d−1 n+d−2 n+d−1  +  +I(A)  (A/mn+1 ) ≤ e(A)  d−1 d−1 d Chứng minh Giả sử x1 , , xd dãy phần tử tổng quát m, cho e(A) số bội A iđêan q = (x1, , xd ) Ta có (A/mn+1 ) ≤ (A/mqn ) = (A/qn ) + (qn /mqn ) Từ x1 , , xd độc lập giải tích,  (qn /mqn ) =  n+d−1 d−1   Ta cần chứng minh rằng:  (A/qn ) ≤ e(A)  n+d−1 d    + I(A)  n+d−2 d−1   Nếu d = 1, A/L vành Cohen-Macaulay, L iđêan lớn có độ dài hữu hạn Vì (A/qn + L) = e(A)n I(A) = (L) Điều kéo theo rằng: (A/qn ) ≤ (A/qn + L) + (L) = e(A)n + I(A) 24 Nếu d > 1, ta đặt A = A/(x1 ) q = q/(x1 ) Khi dim A = d − ≥ 1, e A = e(A) I A ≤ I(A) Bằng phương pháp quy nạp ta giả sử  ¯ qi ) ≤ e(A)  ( (A/ i+d−2 d−1    + I(A)  i+d−3 d−2   , ∀i ≥ Từ dãy khớp x1 ¯ qi → 0 → qi−1 : x1 /qi−1 → A/qi−1 → A/qi → A/ Ta kết luận (qi−1 /qi ) = (A/qi ) − (A/qi−1 ) ≤ (A/qi ) Sử dụng công thức với i = 1, , n − 1, ta có n n−1 ¯ qi ) (A/q ) = (qi−1 /qi ) ≤ (A/ i=1 i=1     n i+d−3 i+d−2   + I(A)  e(A)  ≤ i=1 d−2 d−1 n  = e(A)  n+d−1 d    + I(A)  n+d−2 d−1   Chú ý: Từ kết gần hàm Hilbert vành địa phương [3, Định lý 4.6] Người ta suy chặn     n+d−1 n+d−1 +  (A/mn+1 ) ≤ D(A)  d d−1 Chặn yếu nhiều so với chặn Định lý 2.2.1 Chặn cho Hàm Hilbert-Samuel dùng để đưa phiên địa phương Định lý 2.1.4 Mumford 25 Cho G vành phân bậc liên kết ⊕n≥0 mn /mn+1 A Giả sử x phần tử tổng qt m Khơng tính tổng qt, ta giả sử dạng khởi đầu x∗ x G phần tử lọc-chính quy Giả sử G ký hiệu vành phân bậc liên kết A/(x) 2.2.2 Bổ đề g-reg(G/(x∗ )) = g-reg(G) Chứng minh Ta có: G/(x∗ ) = ⊕n ≥ mn mn+1 + xmn−1 , G = ⊕n ≥ (mn + (x)) mn+1 + (x) = ⊕n ≥ mn mn+1 + (x) ∩ mn Vì có tồn cấu phân bậc tự nhiên từ G/(x∗ ) đến G có hạt nhân E = ⊕ mn+1 + (x) ∩ mn / mn+1 + xmn−1 n≥0 Từ x phần tử bề mặt, mn+1 : x = mn +(0 : x) với n đủ lớn [7, Định lý 22.6] Vì vậy, (x) ∩ mn+1 = xmn để En = với n đủ lớn Điều nghĩa là: HGi + (G/G(x∗ )) = HGi + (G) với i > Do g-reg (G/(x∗ )) =g-reg (G) Với n ≥ reg(G), ta có chặn pG (n) theo ngôn ngữ Hàm Hilbert-Samuel A/(x) Chú ý reg(G) ≥ g - reg(G) 2.2.3 Bổ đề pG (n) = A/mn+1 + (x) − (0 : x) với n ≥ reg(G) Chứng minh Theo [7, Định lý (22.6)] ta có hG (n) = (mn /mn+1 ) = (A/mn+1 + (x)) − (0 : x) với n đủ lớn Viết A/mn+1 + (x) = n i=0 hG (i) Theo Bổ đề 2.1.3, hG (i) = pG (i) với i > reg(G) Vì A mn+1 + (x) − (0 : x) hàm đa thức với n ≥ reg(G) Đa thức phải pG (n) 26 Bây ta suy kết sau từ Định lý 2.1.4 Mumford cho trường hợp địa phương sau 2.2.4 Định lý Giả sử rằng: d = dim A≥ Đặt I(A) độ lệch Cohen-Macaulay tuỳ ý A Với n ≥ reg(G) ta có     n+d-2 n+d-3  +I(A)   g-reg(G) ≤ e(A)  d-1 d-2 Chứng minh Theo Định lý 2.1.4 Bổ đề 2.2.2 ta có g-reg(G) ≤ n + pG (n) − hG/L (n), L iđêan lớn có độ dài hữu hạn G Từ dim G/L = d,   n+d−1  hG/L (n) ≥  d−1 Theo Bổ đề 2.2.3 Định lý 2.2.1 pG (n) ≤ A/mn+1 + (x) ≤ e (A/ (x)) + I (A/ (x)) n+d−3 d−2 n+d−2 d−1 n+d−2 d−2 + Từ e (A/(x)) = eA I (A/(x)) ≤ IA, cuối ta có g − reg(G) ≤ n + e(A) ≤ e(A) n+d-2 d-1 n+d−2 d−1 + I(A) + I(A) n+d-3 d-2 n+d−3 d−2 + n+d-2 d-2 − n+d−1 d−1 27 2.3 Chặn số quy Giả sử (A, m) vành địa phương với trường thặng dư vô hạn d = dim A Giả sử G vành phân bậc liên kết A Ta áp dụng Định lý 2.2.4 để tính reg(G) Để làm ta cần tới hai mệnh đề sau Mệnh đề thứ cho phép ta bỏ qua trường hợp depth A > Mệnh đề thứ hai số quy trùng với số quy hình học trường hợp 2.3.1 Mệnh đề Giả sử G biểu thị vành phân bậc liên kết A/L, L iđêan lớn A có độ dài hữu hạn Khi reg(G) ≤ reg(G ) + (L) Chứng minh Ta có G = ⊕ mn + L) (mn+1 + L ∼ = ⊕ mn mn+1 + mn ∩ L n≥0 n≥0 Vì thế, phép toàn cấu phân bậc tự nhiên từ G đến G với hạt nhân K = ⊕ mn+1 + mn ∩ L mn+1 ∼ = ⊕ mn ∩ L mn+1 ∩ L n≥0 n≥0 Chú ý mn ∩ L mn+1 ∩ L = (L) (K) = n≥0 Khi đó, K có độ dài hữu hạn Điều có nghĩa HGi + (G) ∼ = HGi + G với i > Đặt a = reg (G ) = (K) Khi có tồn số m với a ≤ m ≤ a + , cho Km+1 = Từ (G ) m-chính quy, HGi + (G)m−i+1 = HGi + G m−i+1 = với i > Vì G m-chính quy yếu Theo Hệ 2.1.2, G m-chính quy, reg(G) ≤ m ≤ a + 28 2.3.2 Mệnh đề Giả sử depth A > Khi reg(G) = g-reg(G) Chứng minh Chú ý kết tầm thường, depth G > Với số nguyên i ta đặt (G) := max n| HGi + (G)n = , (M ) = −∞ HGi + (G) = Khi reg(G) = max {ai (G) + i| i ≥ 0} , g-reg(G) = max{ai (G) + i|i > 0} Theo [6, Định lý 5.2 ], giả thiết depth A > nghĩa a0 (G) ≤ a1 (G) Vì reg(G) = g-reg(G) Bây ta đưa chặn cho số quy CastelnuovoMumford vành phân bậc liên kết theo bậc mở rộng tuỳ ý 2.3.3 Định lý Giả sử I(A) độ lệch Cohen-Macaulay tuỳ ý A Khi (i) reg(G) ≤ e(A) + I(A) − d = 1, !−1 (ii) reg (G) ≤ e(A)(d−1) [e(A)2 + e(A)I(A) + 2I(A) − e(A)](d−i)! − I(A) d ≥ Chứng minh Giả sử G L Mệnh đề 2.3.1 Khi reg(G) ≤ reg (G ) + (L) Từ e(A) = e(A/L) I(A) = I(A/L) + (L), ta cần chứng minh kết luận vành A/L Thay A A/L ta giả sử depth A > Nếu d = 1, A vành Cohen-Macaulay Vì I(A) = Theo [9, Định lý 5.1 (i) Định lý 1.2 (iii)] ta biết reg(G) ≤ e(A) − Nếu d ≥ ta chọn phần tử tổng quát x m cho dạng khởi đầu x∗ x dạng tuyến tính lọc quy G Chú ý e(A/(x)) = 29 e(A) I(A/(x)) ≤ I(A) Giả sử G biểu thị vành phân bậc liên kết A/xA Đặt m = reg G Theo Mệnh đề 2.3.2 Định lý 2.2.4, ta có     m+d−3 m+d−2  + I(A)   reg(G) = g − reg(G) ≤ e(A)  d−1 d−2 Từ   m+d−2 d−1    ≤ md−1 ,  m+d−3 d−2   ≤ md−2 , điều có nghĩa reg(G) ≤ e(A)md−1 + I(A)md−2 Nếu d = 2, ta có m ≤ e(A/xA) + I(A/xA) − ≤ e(A) + I(A) − Từ điều cho ta kết sau reg(G) ≤ e(A)m + I(A) = e(A) [e(A) + I(A) − 1] + I(A) = e(A)2 + e(A)I(A) + 2I(A) − e(A) − I(A) Nếu d ≥ 3, ta có e(A)md−1 + I(A)md−2 ≤ e(A)[m + I(A)]d−1 − I(A) Dùng quy nạp ta giả sử m ≤ e(A)(d−2)!−1 e(A)2 + e(A)I(A) + 2I(A) − e(A) (d−2)! − I(A) Vì thế, chặn cuối reg(G) kéo theo (d−2)! d−1 reg(G) ≤ e(A) e(A)(d−2)!−1 [e(A)2 + e(A)I(A) + 2I(A) − e(A)] ≤ e(A)(d−1)!−1 e(A)2 + e(A)I(A) + 2I(A) − e(A) (d−1)! Định lý 2.3.3 chứng minh hoàn toàn − I(A) − I(A) 30 2.3.4 Hệ Giả sử A vành địa phương Cohen-Macaulay với d = dim A ≥ Khi (i) reg (G) ≤ e(A) − d = 1, (ii) reg(G) ≤ e(A)2((d−1)!)−1 [e(A) − 1](d−1)! d ≥ Chứng minh Khi A Cohen-Macaulay I(A) = Vì kết luận suy từ Định lý 2.3.3 31 KẾT LUẬN Dựa vào tài liệu [8] Chúng hồn thành kết sau - Mối liên quan m-chính quy m-chính quy yếu (Định lý 2.1.1, Hệ 2.1.2) - Hàm Hilbert-Samuel bị chặn bậc mở rộng (Định lý 2.2.1) - Chặn số quy hình học theo số bội bậc mở rộng (Định lý 2.2.4) - Chặn số quy Castelnuovo-Mumford vành phân bậc liên kết theo bậc mở rộng (Định lý 2.3.3) 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Tuấn Hoa (2003), Đại số máy tính Cơ sở Grobner, Nhà xuất Đại Học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] W Bruns and J Herzog (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge MR 95h:13020 [3] L R Doering, T Gunston and W Vasconcelos (1998), Cohomological degrees and Hilbert functions of graded modules, Amer J Math 120 493-504 [4] D Eisenbud (1994), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Springer MR 97a:13001 [5] D Eisenbud and S Goto (1984), Linear free resolutions and minimal multiplicities, J Algebra 88, 89-133 [6] L T Hoa (1996), Reduction numbers of equimultiple ideals, J Pure Appl Algebra, 109, 111-126 MR 97e:13027 [7] M Nagata (1962), Local rings, Interscience, New York MR 27:5790 [8] M E Rossi, N V Trung and G Valla (2003), Castelnuovo-Mumford regularity and extended degree, Trans Amer Math Soc.,35, 17731786 [9] Ng V Trung (1987), Reduction exponent and degree bound for the defining equations of graded rings, Proc Amer Math Soc 101, 229236 MR 89i:13031 [10] W Vasconcelos (1998), Cohomological degrees of graded modules Six lectures on commutative algebra (Bellaterra, 1996), 345-392, Progr Math 166, Birkhauser, Basel ... 17 CHƯƠNG CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO- MUMFORD VÀ BẬC MỞ RỘNG 2.1 Chỉ số quy đại số phân bậc Trong phần này, giả sử cho S = k [x1 , , xr ] vành đa thức trường k Cho M S -môđun phân bậc hữu hạn... 11 1.5 Vành môđun Cohen-Macaulay 13 1.6 Môđun đối đồng điều địa phương 14 CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO- MUMFORD VÀ BẬC MỞ RỘNG 17 2.1 Chỉ số quy đại số phân bậc ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐINH HẢI TÂM CHỈ SỐ CHÍNH QUY CASTELNUOVO- MUMFORD VÀ BẬC MỞ RỘNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC